時間序列分析

張成思第

1

1

章

ARCH模型與

GARCH模型11.1

背景介紹11.2

ARCH模

型11.3

GARCH模

型11.4

非對稱

GARCH模

型

：TGARCH模型

與

EGARCH模

型11.5

其他

GARCH

模

型11.1

背景介紹AR模型因為自身經常表現(xiàn)出較高的平滑性而可以用來捕捉相對頻率較低的時

間序列變量，如月度、季度通脹率、GDP

增長率等。對這樣的時間序列數(shù)據(jù)其進

行AR模型回歸之后的殘差序列一般不表

現(xiàn)出很強的異方差性。(%)35T30-2520-1510-1997

200020032006200920122015201820212024(a)

中國M2同比增長率19972000200320062009201220152018圖11

-

1

中國

M2

同

比增長率與其

AR模型殘差序列：1996

年12月

—

2024年4月(b)AR

模型殘差序列(a)上海證券綜合指數(shù)收益率(%)1992199620002008201220162024(b)

深圳成份指數(shù)收益率1992199620002004200820122016圖11-2上海證券綜合指數(shù)收益率和深證成份指數(shù)收益率11.2

ARCH模型11.2.1

ARCH模型的定義ARCH模型的核心思想是，誤差項在

時刻t的方差依賴于時刻t-1的誤差平方

的大小。因此，在ARCH建模的過程中，

要涉及到兩個核心的模型回歸過程，即

原始的回歸模型(常被稱為條件均值回

歸模型)和方差的回歸模型(條件異方

差回歸模型)。ARCH(1)模型的基本組成形式：(13.1)(13.2)其中y,和

分別表示因變量和自變量，U?

表示無序列相關性的隨機擾動項。σ2表示

在t時刻隨機擾動項的方差，因為方差隨

時間變化，并且以過去的擾動項的信息

為變化條件，所以稱為“條件異方差”。模型(11.1)表示原始回歸模型，在ARCH以及后面介紹的GARCH模型系統(tǒng)中，經常被稱為“條件均值等式”,或者簡稱為“均值等式”。而模型(11.2)體現(xiàn)的ARCH模型的核心內容，該等式被稱為“條件方差等式”,或

者簡稱為“方差等式”。注意，凡是提到ARCH模型，實際上一定包含模型(11.1)和(11.2)這樣

的兩個等式，缺一不可。另外，

“方

差等式”模型(11.2)有時候也可以寫

成下面的形式，模型(11.1)和(11.2)構成了ARCH(1)模型，而更一般的，我們可以將這個模型系統(tǒng)拓展到ARCH(p)的形式，

即：y.=x?+1l,u

~N(0,o)(13.15)0.24-0.20-——殘差項的樣本自相關函數(shù)---殘差平方項的樣本自相關函數(shù)0.16-0.12-0.08-0.04-0.00--0.04-2418202224262830圖11-3上海證券綜合指數(shù)收益率

AR(1)模型殘差及殘差

平方項的樣本自相關函數(shù)圖可觀察到，殘差項自身在各期之間沒有表現(xiàn)出明顯的自相關性，而其平方項呈

現(xiàn)出較強的自相關性，說明殘差平方項可

能符合自回歸模型的特點。所以，我們可以通過u2的歷史信息來預測

u2

。一般情況下，我們經常會觀察到

殘差平方項之間存在一定的正相關性。這

就是我們常說的股票市場波動性的集群現(xiàn)

象，從圖13-2中我們已經看到這樣的現(xiàn)象。ARCH模型突出了條件期望的概念，而在傳統(tǒng)的回歸模型當中，我們以前

經常使用的是無條件方差的概念。為

了說明問題，我們以AR(1)模型y,=C+φy?-1+U

為

例

。這里，對擾動項的無條件方差和條件

方差可以分別寫成：無條件：

u,～N(0,σ2)有條件：

u,～N(0,o2)無條件條件E(y.)=c/(1—φ)c/(1—φ)E(y,

|I?-1)=c+φy?-1c+φy?-1E(u?)=E(u,

|I-1)=0000E(u2)=σ2?2E(u2

|I?-1)=?2o?表11-1無條件方差和條件方差對應的期望結果的所有根都落在單位圓外。u2的無條件期望：(13.8)(13.9)11.2.2

ARCH模型的屬性ARCH模型的方差等式的平穩(wěn)條件：(13.7)11.2.3ARCH模型的估計與檢驗利用模型(11.7)還可以對回歸模型的參差項進行直接檢驗ARCH效應。步驟如下：①首先利用OLS回歸y,=x'φ+u,獲得殘差序列u;(2)然后回(3)進行假設檢驗

ARCH

LMTest檢驗統(tǒng)計量的計算公式：ARCH(LM)=T*R2由

于GARCH(1,1)

模型的方差等式比ARCH模型的方差等式多了一項

了便

于區(qū)分，u-1

被

稱

為ARCH

項

，11.3

GARCH模型11.3.1GARCH(1,1)模型的基本定義

GARCH(1,1)模型的基本表達形式：稱為GARCH

項

。應用滯后算子，可以將重新寫成以下形式：即：11.3.2

GARCH(q,p)模型GARCH(p,q)

的基本形式：使用滯后算子符號a(L)=a?L+a?L2+…+a,L

和β(L)=1—β?L—β?L2—…—β?L2

方差等式就可以寫成如果滯后算子多項式β(L)對應的過程滿足平穩(wěn)條件，那么式(11.23)可以寫成(11.25)(11.26)(11.27)模型(10.26),可得：11.3.3GARCH模型的屬性其中：

m=max(q,p)。如果q>p,

則定義：如果q<p,

則定義：的根都落在單位圓外，即滿足平穩(wěn)條件：1-(a?+β)z-(a?+β?)z2-…-(am+βm)z"=0的根都落在單位圓外，那么GARCH

模型系統(tǒng)中的方差等式為平穩(wěn)過程。對于模型，如果下列方程另

外，11.3.4

GARCH模型的估計與檢驗這里，我們介紹的GARCH模型的估計過程，通過同時設立均值等式和方差

等式，然后直接獲得估計結果。而ARCH

模型只不過是GARCH模型的一個特殊情況，所以這里介紹的GARCH

模型估計過程和估計方法等，同樣適用于ARCH模型。要估計GARCH模型，首先要明確組成一個GARCH模型的均值等和方差等

式的具體形式。例如，如果我們要對標準普爾500股票收益率

進行AR(1)回歸，

并檢驗回歸殘差項是否具有GARCH

效應，

那么可以設立下面的GARCH(1,1)

模型，13.3.5

GARCH模型與波動預測在計量經濟學發(fā)展的早期，經常使用殘差的平方項來直接代表金融序列變量

收益率的波動性

o

t2。2000

2004

2008

2012

2016

2020圖11-4上海證券綜合指數(shù)收益率

AR(1)模型殘差的平方

項序列我們使用模型(11.18)中的GARCH(1,1)

模型

例子來說明如何獲得波動性的序列

σ

t2,

即利用以上結果，可以獲得u=y—0.025093—0.018324yi-1這樣，利用y,

序列的觀測值及以上假設，我們可以通過以下循環(huán)過程獲得σ2序列，即o2=0.0183+0.084×0+0.912×4.575=4.1907u?=y?—0.025—0.018yo=—0.031—0.025—0=—0.056o2=0.0183+0.084×(一0.056)2+0.912×4.1907=3.8405u?=y?—0.025—0.018y?=0.008—0.025+0.018×0.056=—0.0160o2=0.0183+0.084u2-1+0.912σ2-1u?=y—0.025—0.018yt-1?傳統(tǒng)的做法是假設

u0=y0=0,而設定σ20等于無條件方差σ2,即…圖11-5上海證券綜合指數(shù)收益率

GARCH(1,1)模型的條件波動性σ2序列Variable

Coefficient

Std.Error

z-Statistic

Prob.C0.0667160.0086947.6733290.0000SP500

_

RETURN(

一

1)

—0.030997

0.012220—2.5366530.0112VarianceEquationC0.0176990.00138612.765650.0000RE

SID(

一

1)^2

0.107558

0.005020

21.42370

0.0000G

A

R

C

H

(

一

1

)

0.8784880.005466160.7091

0.0000R-squared

0.003895

Mean

dependent

var

0.037197Adjusted

R-squared

0.003772

S.D.dependent

var

1.151831S.E.of

regression

1.149656

Akaikeinfo

criterion2.653495Sum

squared

resid

10758.72Schwarzcriterion2.657797Log

likelihood

—10797.38

Hannan-Quinn

criter.

2.654966Durbin-Watsonstat

2.114252Dependent

Variable:SP500_RETURNMethod:ML

ARCH-Normal

distribution(BFGS/Marquardt

steps)

Sample(adjusted):1/03/19925/01/2024Included

observations:8142

after

adjustmentsConvergence

achieved

after

26

iterationsCoefficient

covariance

computed

using

outerproduct

ofgradientsPresamplevariance:backcast(parameter=0.7)GARCH=C(3)+C(4)*RESID(—1)^2+C(5)*GARCH(—1)表11-3標準普爾500指數(shù)收益率的

G

ARCH(1,1)

模型估計

結果Variable

Coefficient

Std.Error

z

Statistic

Prob.CDJI_RETURN(-1)0.065592一0.0189210.0085940.0121427.632514-1.5583360.00000.1192VarianceEquationC0.0190110.001562

12.174490.0000RESID(-1)-2

0.1120370.005135

21.817320.0000G

ARCH(

一

1)

0.8713150.005743151.72010.0000R-squared

0.002182

Mean

dependent

var

0.036571AdjustedR-squared0.002060

S.D.dependent

var1.103690S.E.of

regression

1.102553

Akaikeinfocriterion2.585594Sumsquaredresid9895.175

Schwarzcriterion2.589896Log

likelihood

-10520.95

HannanQuinn

criter.

2.587065Durbin-Watsonstat

2.130167表11-4道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)收益率的

GARC

H(1,1)模型估計結果DependentVariable:DJI_RETURNMethod:MLARCH-Normaldistribution(BFGS/Marquardtsteps)

Sample(adjusted):1/03/19925/01/2024Included

observations:8142

afteradjustmentsConvergence

achieved

after

20

iterationsCoefficient

covariance

computed

using

outer

product

ofgradientsPresample

variance:backcast(parameter=0.7)G

ARCH=C(3)+C(4)*RE

SID(

一

1)

-

2+C(5)*GARCH(

一

1)12—AR(1)

模型殘差序列(標準普爾500指數(shù))840-4-8圖11-6殘差序列與條件波動性序列比較：標準普爾500指數(shù)與道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)收益率-121992

199620002004

2008(a)201220162020

202450——條件波動性序列(標準普爾500指數(shù))40302010199219962000200420082012

201620202024(b)1992

1996

2000

20042008(c)2012

2016

202402004

2008(d)——條件波動性序列(道瓊斯工業(yè)平均指數(shù))504030201020122016

20202024假定通過上述過程獲得的樣本內最后一個觀測值為

,那么我們可以通過

GARCH模型來獲得樣本外的波動性預測。例如，對于向前一期的預測，可以通過下式獲得，即：對于向前多期的動態(tài)預測，可以通過循環(huán)過程實現(xiàn)，即：αo+α?E(u2+2

IT)+β?+2隨著預測期間的增最終要收斂到無條件方差的水平，即：11.3.6GARCH-in-Mean模

型簡單的GARCH(1,1)-in-Mean

模型可以定義成如下形式，即：把模型(11.35)拓展到GARCH(q,p)的形式：由于在GARCH模型的

,條件方差

很可

能無法區(qū)分正的和負的沖擊可能造成的不同影響。11.4

非對稱

GARCH模型：TGARCH模型與

EGARCH

模

型11.4.1非對稱

GARCH

模型的背景介紹因此，利用GARCH

模型分析金融資產收益率的波動性問題，常常需要考

慮到這種非對稱影響，而非對稱GARCH

模型也就應運而生了。而這種非對稱

性的反應有時稱為杠桿效應。我們下

面分別介紹兩種典型的非對稱GARCH模

型，即TGARCH

和EGARCH模型。11.4.2TGARCH模型所謂TGARCH模型，即門限GARCH模型，就是指利用虛設變量來設置一個門限用

以區(qū)分正的和負的沖擊對條件波動性的

影

響

。以GARCH(1,1)為例，要建立只有一個門限的TGARCH模型，首先，設立一個虛設

變量，滿足以下條件，即然后，設立GARCH模型的方差與均值等式：如果將模型(11.38)中的方差等式明確的表示出來，可以寫成：,

那

么TGARCH模型捕捉了一定的非對稱性0當時，TGARCH

模型就變回到一般的GARCH模型。在一般GARCH模型中，只要α?+β?

<1

,就可以確保模型系統(tǒng)具有恒定的無條件方差。而對于TGARCH

模型，不難證明，必須

滿足下列條件，才能確保模型系統(tǒng)具有

恒

定

的

無

條

件

方

差a+即：+0.5a{<1展

，表門限個數(shù)。并且，如果u,<0

;

她

果

0,

則雖然以上討論的內容是基于只有一個門限的

TGARCH(1,1)模型的，但可以推廣到含有多個門限的TGARCH(q,p)模型，只要將模型(11.37)進行拓

其

則9O11.4.3

EGARCH模型簡單的EGARCH(1,1)模型可以設立如

下

：從模型(11.40)可以看到，EGARCH模型中的非對稱性表現(xiàn)為如果要檢驗EGARCH模型中的非對稱性是否存在，就是要進行下列假設

檢驗：H?:θ=0H:θ<0EGARCH(1,1)模型可以拓展到更一

般的EGARCH(q,p)模型，即GARCH模型設立檢驗基本思想：首先設立一般GARCH模型，不包含任何非對稱因素，并獲得殘

差序列

和標準差序列

;

然

病定議/σ其

中

：

表示信息集，包含可能與么進而進行以下回歸：m一般采用似然比檢驗來對模型(11.48)進行檢驗?似然比統(tǒng)計量的定義為：LR～x2(r)如果要檢驗條件方差是否具有非對稱反應，可以使用類似模型(11.37)的條。原假設是要

沒有任何解釋力，H?:ζ1=0件來檢驗

即：義=

I又付11.5

其他GARCH模型11.5.1PGARCH模型PGARCH(1,1)模型的基本形式可以寫成其中：h表示冪(power)

的值，非對稱性

由系數(shù)Y?捕捉，如果=0,則模型中沒

有非對稱性因素存在。其中，當i=1,2,…,rYi

≤1

9;其他情況下

,并且要求門限的個更一般的含有多個門限的PGARCH(q,p)·

≤數(shù)不能超過p,即OC(4)0.0993920.003435

28.930970.0000C(5)0.1019160.018496

5.5101670.0000C(6)0.9158240.002585

354.26620.0000C(7)1.2652940.082889

15.264870.0000R-squared0.000001Meandependent

var0.037950AdjustedR-squared—0.000145S.D.dependent

var1.573949S.E.of

regression1.574063Akaike

infocriterion3.421243S