第27章

相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形應用舉例1.掌握運用相似三角形知識解決實際問題的方法，能求出無法直接測量的物體高度、寬度.2.深化對數學建模思想的認識，學會將實際問題抽象為相似三角形模型，增強分析問題、解決問題的實踐能力.一、新課引入二、典型例題三、針對練習四、當堂鞏固五、課堂總結六、作業(yè)布置新課引入世界第三高塔——廣州塔世界上最寬的河——亞馬孫河思考：怎樣測量這些非常高大的物體的高度？怎樣測量河的寬度？新課引入

據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．典型例題例1

如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．思考：怎樣測出OA的長？一、利用影長測量物體高度典型例題例1

如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．點O是金字塔底面正方形的中心，金字塔的影子可以看成一個等腰三角形，則OA的長等于這個等腰三角形的高與金字塔的邊長一半的和．邊長一半等腰三角形的高＋典型例題例1

如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．太陽光可近似地看作平行光線AB//DE∠BAO=∠EDF∠AOB＝∠DFE＝90°△ABO∽△DEF分析典型例題例1

如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．

歸納小結利用影長測量物體高度的步驟：①利用同一時刻物體與影長的比例關系，構建相似三角形模型；②明確相似三角形的對應邊（物體高度對應、影長對應），列出比例式；③代入已知數據，通過比例運算求解未知物體的高度.

在同一時刻物高與影長成正比例

針對練習1.《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，其中一題可譯為：如圖，有一根直立的竹竿AB，量出它在太陽下的影長BF＝15尺，同時立一根長1.5尺的小標桿CD，它的影長DE＝0.5尺，求竹竿AB的長．

針對練習2.如圖，已知小麗的身高CD是1.6米，她在路燈下的影長AC為2米，此時她與路燈BE的距離BC為3米，且BE⊥AB，CD⊥AB，求路燈BE的高度．

AFEBO┐┐思考：金字塔的高度還有其他測量方法嗎？△ABO∽△AEF平面鏡典型例題

入射角出射角法線測量EF、OA、AF，求出OB∠BAO=∠EAF∠EFA=∠BOA=90°二、利用平面鏡反射測量物體高度

歸納小結典型例題例2

如圖，小明為了測量大樹AB的高度，在離B點21米的N點處放了一個平面鏡，小明沿BN方向后退1.4米到D點處，此時從鏡子中恰好看到樹頂A(∠CND＝∠ANB).已知小明的眼睛(C點)到地面的高度CD是1.6米，且AB⊥BD，CD⊥BD，求大樹AB的高度．

針對練習如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球在點E的位置，AE＝35cm，如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經過反彈后(∠EFB＝∠DFC)，球剛好彈到點D的位置，求FC的長．

典型例題三、測量河寬問題例3

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．已測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，請根據這些數據，計算河寬PQ．典型例題

思考：還有其他測量方法嗎？典型例題例4

如圖，為了估算河的寬度，我們還可以在河對岸選定一個目標點A，在近岸取點B，使AB與河垂直，接著選擇適當的點E，過點E作與河垂直的垂線，垂足為C，確定BC和AE的交點D．已測得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，請根據這些數據，求河寬AB．

歸納小結測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構造相似三角形求解.“A”型“X”型針對練習1.如下左圖，為了測量水塘邊A，B兩點之間的距離，在可以看到A，B的點E處，取AE，BE延長線上的D，C兩點，使得CD∥AB．若測得CD＝5m，AD＝15m，ED＝3m，則A，B兩點間的距離為_____m．2.如下右圖，點A是河對岸上一點，點A，B，D在一條直線上，點A，C，E在一條直線上，且AD⊥DE，DE∥BC.若BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，則河的寬度AB=_______米.2018典型例題四、視線遮擋問題例5

如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別為AB＝8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD＝5m，一個人估計自己眼睛距地面1.6m．她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進，當她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就看不到右邊較高的樹的頂端C了？

分析：如圖（1），設觀察者眼睛的位置為點F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB，CD于點H，K．視線FA與FG的夾角∠AFH是觀察點A時的仰角．類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角．由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，觀察者都看不到．典型例題

典型例題歸納小結解決視線遮擋問題的步驟：①確定臨界狀態(tài)：當觀測者眼睛、左邊樹頂端、右邊樹頂端三點共線時，為剛好看不到右邊樹頂端的臨界位置；②構建相似三角形：利用觀測者眼睛高度與兩樹高度的差值，結合兩樹底部距離，形成對應相似的直角三角形；③明確對應邊關系：找準相似三角形中“樹高差值”與“水平距離”的對應關系，列出比例式；④代入數據計算：通過比例運算求出觀測者與左邊樹的最大距離（小于該距離則無法看到）.針對練習如圖，某測量員的眼睛A與標桿的頂端F、電視塔的頂端E在同一直線上．已知此人眼睛距地面的高度AB為1.6米，標桿FC的長為3.2米，BC＝1米，CD＝5米，求電視塔ED的高度．

HG當堂鞏固1.某時刻測得大樹的影長為5米，小樹的高度及其影長分別為1米、0.5米，則這棵大樹的高度為__________米．2.如圖，小明發(fā)現教學樓的銘牌上寫著“樓高18m”．他站上一節(jié)臺階，正好通過地面的水漬看到了教學樓的頂端．已知小明身高1.65m，水漬距離教學樓2.25m，距離小明0.25m，則這節(jié)臺階的高為__________m.3.如圖是小孔成像原理的示意圖，根據圖中標注的尺寸，如果物體AB的高度為36cm，那么它所成的像CD的高度應為__________cm.100.35第2題第3題16當堂鞏固4.如圖，一條小河的對岸有一棵大樹，底部記為點A，大樹所對的岸邊記為點B，在點B處豎直放置標桿BC，在AB延長線上的點D處豎直放置標桿DE，使得A，C，E三點共線．經測量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求河寬AB.當堂鞏固

5.如圖，某同學正向著教學樓(AB)走去，他發(fā)現教學樓后面有一座信號塔(DC)，經過了解，教學樓、信號塔的高分別是21.6m和31.6m，它們之間的距離(BC)