上海市同濟(jì)中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的三個頂點(diǎn)分別為，，，則的歐拉線方程是（）A. B.C. D.2．設(shè)，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.3．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且，則的長為（）A. B.1C. D.4．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°5．函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.7．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A B.C. D.8．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1009．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)10．如圖，在直三棱柱中，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)．若平面過點(diǎn)E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個 B.2個C.3個 D.4個11．為調(diào)查參加考試的高二級1200名學(xué)生的成績情況，從中抽查了100名學(xué)生的成績，就這個問題來說，下列說法正確的是（）A.1200名學(xué)生是總體 B.每個學(xué)生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學(xué)生是樣本12．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則_____________14．已知數(shù)列滿足（），設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（）恒成立，則的取值范圍是________15．已知直線被圓截得的弦長等于該圓的半徑，則實(shí)數(shù)_____.16．在梯形中，，，.將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，求直線的方程19．（12分）某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學(xué)史》，銷售前該書店擬定了5種單價進(jìn)行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數(shù)據(jù)：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，請建立關(guān)于的回歸直線方程：（2）預(yù)計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應(yīng)定為多少元？附：，，，.20．（12分）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長為4，設(shè)，的左右有兩個焦點(diǎn)求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點(diǎn)，求的取值范圍；是否存在過點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點(diǎn)22．（10分）已知函數(shù)在處的切線與軸平行（1）求的值；（2）判斷在上零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)，先求解出重心的坐標(biāo)，然后再根據(jù)三個點(diǎn)坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程，聯(lián)立方程，即可算出外心的坐標(biāo)，最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為．因?yàn)椋?，所以線段的垂直平分線的方程為．因?yàn)椋?，所以直線的斜率，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段的垂直平分線的方程為．聯(lián)立，解得，則的外心坐標(biāo)為，故的歐拉線方程是，即故選：B.2、B【解析】先設(shè)，根據(jù)P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【詳解】由橢圓的方程可得，，設(shè)，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因?yàn)?，所以整理可得：，消去得：所以，即所?故選：B3、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C4、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B5、B【解析】方程有兩個根，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性與極值【詳解】函數(shù)定義域是，有兩個零點(diǎn)，即有兩個不等實(shí)根，即有兩個不等實(shí)根設(shè)，則，時，，遞減，時，，遞增，極小值＝，而時，，時，，所以故選：B6、A【解析】因?yàn)?，那么結(jié)合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應(yīng)用，屬于中等題.7、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.8、D【解析】由題設(shè)條件求出，從而可求.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，故，解得，故，故選：D.9、C【解析】根據(jù)莖葉圖依次計算甲和乙的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差即可得到結(jié)果.【詳解】甲的平均數(shù)為：；乙的平均數(shù)為：；甲和乙的平均數(shù)相同；甲的方差為：；乙的方差為：；甲和乙的方差不相同；甲的極差為：；乙的極差為：；甲和乙的極差不相同；甲的中位數(shù)為：；乙的中位數(shù)為：；甲和乙的中位數(shù)不相同.故選：C.10、B【解析】構(gòu)造出長方體，取中點(diǎn)連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長方體，取中點(diǎn)，連接則所有過點(diǎn)與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過點(diǎn)繞且與成角，當(dāng)與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長方體的外面）時，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個，故選：B.11、C【解析】根據(jù)總體、個體、樣本容量、樣本的定義，結(jié)合題意，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，總體是名學(xué)生的成績；個體是每個學(xué)生的成績；樣本容量是，樣本是抽取的100名學(xué)生的成績；故正確的是C.故選：C.12、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)特點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##31.5【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，求出，代入求和公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，又，所以，所以.故答案為：14、【解析】先由條件求出的通項(xiàng)公式，得到，由裂項(xiàng)相消法再求出，根據(jù)不等式恒成立求出參數(shù)的范圍即可.【詳解】當(dāng)時，有當(dāng)時，由①有②由①－②得：所以，當(dāng)時也成立.所以,故則由，即，所以所以，由所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列不等式問題，屬于中檔題.15、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長，列出等量關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.16、##【解析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可【詳解】梯形ABCD：由題意可知空間幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為1，高為2的圓柱，挖去一個相同底面高為1的圓錐，幾何體的體積為：故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，；（2）.【解析】（1）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求出，又，，構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)出公差，代入可求出，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入可求出，的值，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將通項(xiàng)公式代入，運(yùn)用裂項(xiàng)相消的方法可求出前項(xiàng)和.【詳解】解析：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，，?gòu)成等比數(shù)列，則，即，解得或(舍)即，又等比數(shù)列中，，所以，；（2）∵，∴，∴【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：（1）裂項(xiàng)相消時一定要注意分母的差，一般情況下分母的差是幾，則要在裂項(xiàng)前面乘以幾分之一；（2）裂項(xiàng)相消時要注意保留的項(xiàng)數(shù).18、（1）（2）【解析】（1）由離心率公式以及橢圓的性質(zhì)列出方程組得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得出點(diǎn)坐標(biāo)，最后由距離公式得出直線的方程【小問1詳解】由題意可得，得，，橢圓；【小問2詳解】設(shè)，，直線為由，得顯然，由韋達(dá)定理有：，則；所以，且，若，解得，所以19、(1)(2)當(dāng)單價應(yīng)定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：（2）設(shè)獲得的利潤為，，因?yàn)槎魏瘮?shù)的開口向下，所以當(dāng)時，取最大值，所以當(dāng)單價應(yīng)定為22.5元時，可獲得最大利潤【點(diǎn)睛】本題考查了回歸方程，函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計算能力.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件求出即可；（2），然后利用等差數(shù)列的求和公式求出答案即可.【詳解】（1）且，，（2）21、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進(jìn)而求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;設(shè),表示出,求出其范圍;設(shè)CD的中點(diǎn)為;由,則;得到其斜率的乘積為,最后列取方程聯(lián)立計算即可.【詳解】解：由題意可知,,則;所以橢圓C的方程為:;由題意可知,,設(shè),則,;所以的取值范圍是;假設(shè)存在滿足條件的直線,根據(jù)題意得直線的斜率存在;則設(shè)直線的方程為：；消化簡得:;,則;；設(shè)，則CD的中點(diǎn)為；,；，則;，即;即,無解;故滿足條件的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),向量的數(shù)量積,直線的垂直,設(shè)而不求的思想方法,關(guān)鍵在于將幾何條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,還考查了學(xué)生的綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.22、（1）0（2）f（x）在（0，π）上有且只有一個零點(diǎn)，理由見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由，可得，令，，，，利用導(dǎo)數(shù)法