階段拔尖專訓(xùn)2巧用垂徑定理解決問(wèn)題1．幾何模型：條件：如圖①，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最?。椒ǎ鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則此時(shí)，PA＋PB＝A′B，PA＋PB的值最小(不必證明)．模型應(yīng)用：(1)如圖①，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋PE的最小值是__________；(2)如圖②，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA＋PC的最小值；【解】如圖①所示，作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，連接AP，則PA＋PC的最小值為A′C的長(zhǎng)．(3)如圖③，AB，CD是半徑為5的⊙O的兩條弦，AB＝8，CD＝6，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，求PA＋PC的最小值．【解】如圖②，連接OA，OB，OC，BC，作CH⊥AB于H.2．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).如何確定拱橋形狀？

問(wèn)題背景右圖是一座拱橋，其形狀與拋物線和圓形相似．為了定量的確定拱橋形狀，九(8)班數(shù)學(xué)、科學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)小組聯(lián)合開(kāi)展了本次活動(dòng).

素材一小晨認(rèn)為可以在橋下不同的位置，用卷尺測(cè)量水面到橋的垂直距離(記為x)，進(jìn)而確定形狀．經(jīng)過(guò)測(cè)量，數(shù)學(xué)組繪制了圖①，并得到水面寬AB為16m，拱頂離水面的距離CD為4m.

素材二科學(xué)組發(fā)現(xiàn)在船上使用卷尺十分不便，所以決定使用激光三角測(cè)距法測(cè)量x.其測(cè)量流程如下：1.在一個(gè)底部挖空的圓柱形薯片盒上安裝放大鏡(焦距f＝20cm)，并在一側(cè)的同一高度放置一支激光筆．另一端蓋上盒蓋(半徑r＝12cm)；

素材二2.讓激光垂直照射拱橋，光線會(huì)在拱橋發(fā)生漫反射，并經(jīng)過(guò)放大鏡光心(即圓心B)，再在盒蓋上形成一個(gè)光斑(記為點(diǎn)E)；

素材二

問(wèn)題解決任務(wù)一若拱橋呈圓形，且小晨測(cè)得x＝2m，求他到點(diǎn)D的距離.【解】根據(jù)素材一可得AD＝AB＝8m，CD＝4m，如圖①所示，設(shè)點(diǎn)O為圓心，MN＝x＝2m，過(guò)點(diǎn)M作MS⊥OC交OC于點(diǎn)S，連接OM，OA，設(shè)OD＝am，則CO＝AO＝(a＋4)m，在Rt△AOD中，AD2＋DO2＝AO2，即82＋a2＝(a＋4)2，解得a＝6，即OD＝6m，∴OM＝OA＝OC＝10m，OS＝OD＋DS＝OD＋MN＝8m，在Rt△MSO中，OM2＝MS2＋SO2，即102＝MS2＋82，解得MS＝6m，即ND＝6m，∴小晨到點(diǎn)D的距離為6m.任務(wù)二請(qǐng)?jiān)跍y(cè)量示意圖(圖②)中，畫(huà)出光的傳播路徑，并寫(xiě)出公式的獲得原理.任務(wù)三【解】如圖③所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，作PQ⊥AD于點(diǎn)Q，項(xiàng)目復(fù)盤(pán)小組在實(shí)際操作時(shí)發(fā)現(xiàn)，激光三角測(cè)距法