河北省永年縣一中2026屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點，在拋物線上，是坐標原點，若等邊三角形的面積為，則該拋物線的方程是（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)滿足對于恒成立，設則下列不等關系正確是（）A. B.C. D.3．已知點，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．若實數(shù)滿足，則點不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限5．在三棱柱中，，，，則這個三棱柱的高（）A1 B.C. D.6．五行學說是中華民族創(chuàng)造的哲學思想.古代先民認為，天下萬物皆由五種元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在如圖所示的相生相克關系.若從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，則這兩種元素恰是相生關系的概率是（）A. B.C. D.7．下面四個說法中，正確說法的個數(shù)為（）（1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；（2）兩條直線可以確定一個平面；（3）若，，，則；（4）空間中，兩兩相交的三條直線在同一平面內.A.1 B.2C.3 D.48．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.9．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則10．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.411．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（）A.2 B.6C.4 D.1212．已知一個圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________14．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.15．已知拋物線，則的準線方程為______.16．已知直線過點，，且是直線的一個方向向量，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設正項數(shù)列的前項和為，已知，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求k的取值范圍19．（12分）已知拋物線上的點到其焦點F的距離為5.（1）求C的方程；（2）過點的直線l交C于A，B兩點，且N為線段的中點，求直線l的方程.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知直線l過定點（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程22．（10分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，且（1）求的通項公式；（2）設，記數(shù)列的前項和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據等邊三角形的面積求得邊長，根據角度求得點的坐標，代入拋物線方程求得的值.【詳解】設等邊三角形的邊長為，則，解得根據拋物線的對稱性可知，且，設點在軸上方，則點的坐標為，即，將代入拋物線方程得，解得，故拋物線方程為故選：A2、A【解析】由條件可得函數(shù)為上的增函數(shù)，構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性比較的大小，再根據函數(shù)的單調性確定各選項的對錯.【詳解】設，則，∵，∴，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，∵，∴，故，所以，C錯，令()，則，當時，，當時，∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，∴，∴，即，∴，故，所以，D錯，，故，所以，A對，，故，所以，B錯，故選：A.3、A【解析】由兩點坐標，求出直線的斜率，利用，結合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設直線AB的傾斜角為，因為，所以直線AB的斜率，即，因為，所以.故選：A4、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因實數(shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點不可能落在第二象限.故選：B5、D【解析】先求出平面ABC的法向量，然后將高看作為向量在平面ABC的法向量上的投影的絕對值，則答案可求.【詳解】設平面ABC的法向量為，而，，則,即有,不妨令,則,故,設三棱柱的高為h，則,故選：D.6、C【解析】先計算從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種的所有基本事件數(shù)，再計算其中兩種元素恰是相生關系的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式，即得解【詳解】由題意，從金、木、水、火、土五種元素中任取兩種，共有（金，木），（金，水），（金，火），（金，土），（木，水），（木，火），（木土），（水，火），（水，土），（火，土），共10個基本事件，其中兩種元素恰是相生關系包含（金，木），（木，土），（土，水），（水，火）（火，金）共5個基本事件，所以所求概率.故選：C7、A【解析】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，即可判斷；利用兩條異面直線不能確定一個平面即可判斷；利用平面的基本性質中的公理判斷即可；若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內（如棱錐的3條側棱），即可判斷.【詳解】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故（1）不正確；兩條異面直線不能確定一個平面，故（2）不正確；利用平面的基本性質中的公理判斷（3）正確；空間中，若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內（如棱錐的3條側棱），故（4）不正確，綜上所述只有一個說法是正確的，故選：A【點睛】本題主要考查了空間中點，線，面的位置關系.屬于較易題.8、B【解析】由雙曲線的標準方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B9、D【解析】根據空間里面直線與平面、平面與平面位置關系的相關定理逐項判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項錯誤；B，若，則或相交，故該選項錯誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項錯誤；D，若，則利用面面垂直的性質可得，故該選項正確.故選：D.10、C【解析】先取，得與之間的關系，然后根據導數(shù)的運算直接求導，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C11、C【解析】根據題設條件求出橢圓的長半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓＋y2＝1知，該橢圓的長半軸，A是橢圓一個焦點，設另一焦點為，而點在BC邊上，點B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長故選：C12、B【解析】設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據體積公式計算可得，利用扇形的面積公式計算即可求得結果.【詳解】如圖，設圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側面積為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設過M的切線切點為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點，根據導數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設過點的直線與曲線相切于點，則，化簡得，，令，則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點∵，故當x<0或x>1時，，g(x)單調遞增；當0<x<1時，，g(x)單調遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒14、【解析】由題可得有兩個不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需和有兩個交點，利用導數(shù)研究的單調性與極值，數(shù)形結合即得.【詳解】∵的定義域為，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需有兩個不同正根，并且在的兩側的單調性相反，在的兩側的單調性相反，由得，，令，，要使函數(shù)有兩個極值點，只需和有兩個交點，∵，令得：0<x<1；令得：x>1；所以在上單調遞增，在上單調遞減，當時，；當時，；作出和的圖像如圖，所以，即，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：15、##【解析】根據拋物線的方程求出的值即得解.【詳解】解：因為拋物線，所以，所以的準線方程為.故答案為：16、【解析】由題得，解方程組即得解.【詳解】解：由題得，因為是直線的一個方向向量，所以，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用的關系求的通項公式；（2）由（1）得，應用錯位相減法求，根據不等式，討論n的奇偶性求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題設，當時，則，整理得，，則，當時，，又得：，故，所以數(shù)列是首項、公差均為2的等差數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，所以，，兩式相減得，故，所以令，易知：單調遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，即綜上，18、（1）在上單調遞增，在上單調遞減，極大值為﹣1，無極小值（2）【解析】（1）利用導數(shù)求出單調區(qū)間，即可求出極值；（2）令，利用分離參數(shù)法得到，利用導數(shù)求出的最大值即可求解.【小問1詳解】當時，，定義域為，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減∴當時，取得極大值﹣1所以在上單調遞增，在上單調遞減極大值為﹣1，無極小值【小問2詳解】由，得，令，只需.求導得，所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，∴當時，取得最大值，∴k的取值范圍為19、（1）（2）【解析】（1）根據拋物線的定義可得，求得，即可得出答案；（2）設，利用點差法求出直線l的斜率，再利用直線的點斜式方程即可得出答案.【小問1詳解】解：由拋物線定義可知：，解得：，∴C的方程為；【小問2詳解】解：設，則，兩式作差得，∴直線l的斜率，∵為的中點，∴，∴，∴直線l的方程為，即（經檢驗，所求直線符合條件）.20、（1）答案見解析（2）【解析】(1)求函數(shù)的定義域及導函數(shù)，根據導數(shù)與函數(shù)的單調性關系判斷函數(shù)的單調性；(2)結合已知條件，根據函數(shù)的單調性，極值結合零點存在性定理列不等式求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，恒成立，上單調遞增，當時，在遞減，在遞增【小問2詳解】當時，恒成立，上單調遞增，所以至多存一個零點，不符題意，故舍去.當時，在遞減，在遞增；所以有極小值為構造函數(shù)，恒成立，所以在單調遞減，注意到①當時，，則函數(shù)至多只有一個零點，不符題意，舍去.②當時，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，的極小值為，又函數(shù)在單調遞減，所以在上存在唯一一個零點；，令，構造函數(shù)，恒成立.在單調遞增，所以，即，所以函數(shù)在單調遞增，所以在上存在唯一一個零點；當時，函數(shù)怡有兩個零點，即在上各有一個零點.綜上，函數(shù)有兩個不同的零點，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.21、（1）（2）或【解析】(1)求出直線的斜率可得l的斜率，再借助直線點斜式方程即可得解.(2)按直線l是否過原點分類討論計算作答.【小問1詳解】直線的斜率為，于是得直線l的斜率，則，即，所以直線l的方程是：.【小問2詳解】因直線l在兩坐標軸上的截距相等，則當直線l過原點時，直線l的方程為：，即，當直線l不過原點時，設其方程為：，則有，解得，此時，直線l的方程為：，所以