2026屆山東省淄博市第七中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的模為（）．A． B．1 C．2 D．2．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，則為A． B． C． D．4．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．6．如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．2 D．7．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．8．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．39．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為10．設(shè)非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則＝_______．14．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.15．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為_(kāi)___．16．若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，記平面為，平面為，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①為的重心；②；③當(dāng)時(shí)，平面；④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.（1）求證：平面；（2）已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）某商場(chǎng)以分期付款方式銷售某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客購(gòu)買該商品選擇分期付款的期數(shù)的分布列為：2340.4其中，（Ⅰ）求購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；（Ⅱ）商場(chǎng)銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)l00元，若顧客選擇分3期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)150元，若顧客選擇分4期付款，則商場(chǎng)獲得利潤(rùn)200元.商場(chǎng)銷售兩件該商品所獲的利潤(rùn)記為（單位：元）（ⅰ）求的分布列；（ⅱ）若，求的數(shù)學(xué)期望的最大值.20．（12分）某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下：等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測(cè)試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測(cè)試得分仍低于80分的概率；（3）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談．現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望．21．（12分）[2018·石家莊一檢]已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．22．（10分）一年之計(jì)在于春，一日之計(jì)在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開(kāi)端．某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立．對(duì)每一個(gè)坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種．（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】解：，復(fù)數(shù)的模為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

對(duì)x分類討論，去掉絕對(duì)值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點(diǎn)睛】識(shí)圖常用的方法(1)定性分析法：通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征分析解決問(wèn)題；(2)定量計(jì)算法：通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題．3、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點(diǎn)睛】熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.4、B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式可求.【詳解】解：角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，故選：B【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，是基礎(chǔ)題.5、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由，兩邊平方后展開(kāi)整理，即可求得，則的長(zhǎng)可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧?，所以，則，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問(wèn)題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.9、C【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問(wèn)題，屬于中檔題.10、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性可求實(shí)數(shù)滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，故.令，，解得，.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故直線為其圖象的對(duì)稱軸，令，，故，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，注意平移變換是對(duì)自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個(gè)單位后，得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為，另外，如果為正弦型函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則有，本題屬于中檔題．12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】，所以．16、①②③【解析】

①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；②取的中點(diǎn)，連接，則點(diǎn)在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；③若設(shè)，則由可得，然后對(duì)應(yīng)邊成比例，可解，所以③正確；④由于，而的面積是定值，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋B接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；由平面，可知平面平面，記，由，可得平面平面，則，所以②正確；若平面，則，設(shè)由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為棱長(zhǎng)為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系，求幾何體的體積，考查空間想象能力和推理能力，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為.①當(dāng)時(shí)，則，所以；②當(dāng)時(shí)，則，所以；⑧當(dāng)時(shí)，則，所以.綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對(duì)值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識(shí)的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）由已知可得，結(jié)合，由直線與平面垂直的判定可得平面；（2）由（1）知，，則，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，0，，由二面角的余弦值為求解，再由空間向量求解直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，，所?又，所以，因此，，又，且，，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，，由于，因此，又平面，平面，所以.由于，，平面，所以平面，故，所以為二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，因此，又，因?yàn)椋?，所以以為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為所以，即，令，則，，則平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，屬于中檔題．19、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（?。┮?jiàn)解析（ⅱ）數(shù)學(xué)期望的最大值為280【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，由獨(dú)立重復(fù)事件的特點(diǎn)得出，利用二項(xiàng)分布的概率公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，根據(jù)離散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由題意知，，解得，根據(jù)的分布列，得出的數(shù)學(xué)期望，結(jié)合，即可算出的最大值.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)購(gòu)買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數(shù)為，則，則，故購(gòu)買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.（Ⅱ）（?。┮李}意，的取值為200，250，300，350，400，，，，，的分布列為：2002503003504000.16（ⅱ），由題意知，，，，，又，即，解得，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為280，所以的數(shù)學(xué)期望的最大值為280.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件和二項(xiàng)分布的應(yīng)用，以及離散型分布列和數(shù)學(xué)期望，考查計(jì)算能力.20、（1）64，65；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為，“合格”的學(xué)生數(shù)為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率，進(jìn)而得出分布列與數(shù)學(xué)期望．【詳解】由題意知，樣本容量為，．（1）平均數(shù)為，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，所以，則，解得．（2）由題意可知，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有24人，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生有12人．設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件，則，所以．（3）在評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取10人，則“不合格”的學(xué)生人數(shù)為，“合格”的學(xué)生人數(shù)為．由題意可得的所有可能取值為0,5,10,15,1．，．所以的分布列為0510151．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣、超幾何分布列及其數(shù)學(xué)期