2025年高考數(shù)學三輪復習之常用邏輯用語

一.選擇題（共8小題）

I.（2025?咸陽模擬）設xER,則“x=-1”是“復數(shù)z=（A+1）+（，-1）i為實數(shù)”的（）

A.充分必要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2025?咸陽模擬）已知命題p：3A>0,?>X,則命題〃的否定為（）

A.王。（），B,?>XC.VX>0,D.V.V>0,

3.（2024秋?師宗縣校級期末）臺題“力區(qū)N,戶+1>宗，，的否定是（）

A.3//GN,〃3+]43"B.V/?EN,

C.3/?eN,/+]=3"D.V〃6N,，AH>3"

4.（2025?廣東模擬）“x>2”是"-2%>0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.（2025?荷澤一模）已知｛，“｝是無窮數(shù)列，m=3,則“對任意的，小〃EN*,都有所+”=所+劭”是“｛劭｝

是等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

6.（2024秋?雙清區(qū)校級期末）自題“V.隹R,的否定是（）

A.VxeR,B.V.veR,A?<XC.mxWR,fwxD.3xGR,x^<x

7.（2024秋?山西期末）設命題p：m.YO,『+1=0,則命題〃的否定是（）

A.弘20,f+1W0B.3.r<0,A1^0

C.V.r>O,f+lHOD.VA<0,A1^0

8.（2024秋?許昌期末）已知”，〃是實數(shù)，則成立的一個充分不必要條件是（

A.Va>VbB.a2>b2C.\a\>\b\D.a3>b3

二,多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?重慶模擬）下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)I,2,2,5,5,5,7,9,11的眾數(shù)和第6（）百分位數(shù)都為5

B.樣本相關系數(shù)「越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度也越強

C.若隨機變量?服從二項分布2（6.則方差￡）（2§）=?

D.若隨機變量X服從正態(tài)分布N（0,1）,MP（|X|<1）=2P（X>1）

（多選）10.（2024秋?仁壽縣校級期末）下列四個命題中是真命題的是（）

A.一切實數(shù)均有相反數(shù)

B.3.V6N,使得方程如+1=0無實數(shù)根

C.梯形的對角線相等

D.有此三角形不是等腰三角形

（多選）11.（2024秋?郴州期末）下列說法正確的是（）

A.命題“Vx>0,的否定形式是"AWO,

B.函數(shù)y=21og”（3?x）+1（。>0且aWl）的圖象過定點（2,1）

C.方程&尸一X=2的根所在區(qū)間為（—1,-1）

D.若命題“W&R,$+2。什什2Ko恒成立"為假命題，則“aV-1或4,2”

（多選）12.（2024秋?景德鎮(zhèn)期末）下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/'（%）=+VFHT既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

B.函數(shù)/（%）=（%-1）法|為偶函數(shù)

C.函數(shù)/=儼（4一％）’°是定義在R上的奇函數(shù)且有最大值4

,x（44-X）,x<0

ox4-1

D.函數(shù)/"⑶=/。。?I今與I為偶函數(shù)且值域為（0,+8）

三,填空題（共4小題）

13,（2024秋?廣東校級期末）已知命題p：1V0,則命題〃的否定是

14.（2024秋?豐滿區(qū)校級期末）命題：“V.隹R,fWx-1"的否定是.

15.（2024秋?梅河口市校級期末）已知命題:“SER,/-1=（加+加2”，為真命題，則m的取值為

16.（2024秋?阜陽校級期末）命題“女>1,f-G+2V0”的否定是

四,解答題（共4小題）

17.（2024秋?蚌埠期末）已知集合A={.v|4-〃WxW2加+1},集合B=-x-2W0}.

（1）若〃?=4,求4U4：

（2）設p：.愷4,q：xWB,若〃是q的必要不充分條件，求實數(shù)〃，的取值范圍.

18.（2024秋?龍崗區(qū)校級期末）已知命題p：3.u）e[-2,1],焉+2&-7n20是真命題.

（1）記實數(shù)，〃取值范圍的集合為A,求集合4

（2）關于x的不等式/〃（x+〃）W0的解集為8,且xWA是尤B的必要條件，求實數(shù)〃的取值范圍.

19.（2024秋?玉溪期末）寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假：

（1）Vw￡N,y/m2+1WN；

（2）存在一個六邊形A8CDE",其內角和不等于720°.

20.（2024秋?仁壽縣校級期末）已知集合八={川〃-lWxW2a+3},B=b|-lWxW4},全集U=R.

（1）當4=1時，求（CuA）Cl8：

（2）若“尤B”是“XG4”的必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【分析】存在改任意，將結論取反，即可求解.

【解答】解：命題p：3x>0,?>X,

則命題〃的否定為：Vx>0,9Wx.

故選：C.

【點評】本題主要考查存在量詞命題的否定，屬「基礎題.

3.(2024秋?師宗縣校級期末)俞題“最WN,的否定是()

A.力尼N,7+]43"B.切怎N,枕+]43〃

C.3/?GN,〃3+|=3〃D.V/?EN,

【考點】求存在量詞命題的否定.

【專題】轉化思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，直接判斷選項.

【解答】解：原命題為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，所以原命題的否命題為：“MEN,/

W3"”.

故選：B.

【點評】本題考查了存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，是基礎題.

4.(2025?廣東模擬)“x>2”是“小-2%>0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充分條件必要條件的判斷.

【專題】方程思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】A

【分析】可先求解不等式“，?2匕>0"，再由充要條件的定義進行判斷即可.

【解答】解：由題，解不等式x2-Zr>0,可得x>2或xVO,

因為｛小>2｝是｛小>2或xVO｝的真子集，

所以“x>2”是一2-以>0”的充分不必要條件,

故選:A.

【點評】本題考查了充分條件，必要條件，充要條件，屬于基礎題.

5.（2025?荷澤一模）已知｛〃“｝是無窮數(shù)列，切=3,則“對任意的，〃，尤N*,都有加+劭”是“｛〃〃｝

是等差數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】充要條件的判斷.

【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；數(shù)學抽象.

【答案】A

【分析】根據(jù)充分性和必要性的判斷，直接論證即可.

【解答】解：對任意的〃?，尤N*,都有所+〃=所+”〃，

令〃?=1,可以得到“/】="+用,因此｛〃〃｝是公差為m=2的等差數(shù)列：

若〃〃=2〃+1,則43=7,42=5,41=3,可得42+1#〃1+42,

故“對任意的機，怔N’,都有是"｛〃”｝是等差數(shù)列”的充分不必要條件.

故選：A.

【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

6.（2024秋?雙清區(qū)校級期末）自題，.隹R,的否定是（）

A.V.vGR,B.V.VGR,C.S.VGR,D.3.VGR,A^<,.X

【考點】求全稱量詞命題的否定.

【專題】函數(shù)思想：定義法；簡易邏輯：邏楫思維.

【答案】C

【分析】利用含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，求解即可.

【解答】解：由含有量詞的命題的否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，

命題“W.xtR,A3>AW的否定是：S.veR,

故選：C.

【點評】本題考查了含有量詞的命題的否定，要掌握其否定方法：先改變量詞，然后再否定結論，屬于

基礎題.

7.（2024秋?山西期末）設命題尸：八<0,/+]=（）,則命題〃的否定是（）

A.3x^0,f+1W0B.3x<0,7+1WO

C.VGO,f+1關0D.VA<0,『+IWO

【考點】存在量詞命題的否定.

【專題】轉化思想：轉化法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】D

【分析】存在改任意，將結論取反，即可求解.

【解答】解：命題P：丸V0,/+1=0,

則命題〃的否定是：Vx<0,W+1N0.

故選：D.

【點評】本題主要考查特稱命題的否定，是基礎題.

8.（2024秋?許昌期末）已知a,b是實數(shù),則“。>力”成立的一個充分不必要條件是（〕

A.y/a>VbB.a2>b2C.同〉依D.a3>b3

【考點】充分不必要條件的應用；等式與不等式的性質.

【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】4

【分析】利用充分不必要條件的定義，結合不等式的性質逐項判斷.

【解答】解：對于A,由得a>b,當a=-l,〃=-2時，a>b,但仿，VK沒有意義，即由

〃>人推不出論〉正，4是；

對于8C,取a=-2,b=\,滿足/>房，外而。<48c不是；

對于Z）,330a￡>不是.

故選：A.

【點評】本題主要考查了充分必要條件的判斷，屬于基礎題.

二,多選題（共4小題）

（多選）9.（2025?重慶模擬）下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)1,2,2,5,5,5,7,9,11的眾數(shù)和第60百分位數(shù)都為5

B.樣本相關系數(shù)〃越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度也越強

C.若隨機變量《服從二項分布8（6,1）,則方差。（2f）=3

D.若隨機變量X服從正態(tài)分布N（0,1）,MP（|X|<i）=2P（X>i）

【考點】命題的真假判斷與應用：正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義；百分位數(shù)；樣本相關系數(shù).

【專題】計算題；方程思想；轉化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運算求解.

【答案】AC

【分析】利用眾數(shù)和第60百分位數(shù)的定義判斷4,利用相關系數(shù)的意義判斷8,利用方差的性質判斷C,

利用正態(tài)曲線的性質判斷。即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,數(shù)據(jù)中，5出現(xiàn)的次數(shù)最多，則數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5,

由于9X60%=5.4,所以第60百分位數(shù)為第6個數(shù)據(jù)5,A正確；

對于當，?<()時，，?越大成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱，8錯誤；

QQ1QQ

對于C,f?8(6,；),D(f)=6x：x,=.,D(2f)=22D(f)=C正確;

對于D,X?N(0,1),P(|X|<|)=P(-1<￥<1)=2[1-P(X>1)],O錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查數(shù)據(jù)百分位數(shù)的計算，涉及二項分布、正態(tài)分布的性質，屬于基礎題.

(多選)10.(2024秋?仁壽縣校級期末)下列四個命題中是真命題的是()

A.一切實數(shù)均有相反數(shù)

B.3AGN,使得方程ar+l=0無實數(shù)根

C.梯形的對角線相等

D.有些三角形不是等腰三角形

【考點】存在量詞命題的真假判斷；全稱量詞命題的真假判斷.

【專題】對應思想；定義法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)全稱量詞、存在量詞命題真假判斷方法可逐一判斷.

【解答】解：對于A,一切實數(shù)均有相反數(shù)，故A正確；

對于4,當x=0時，方程or+1=0無實數(shù)根，故B正確；

對于C,只有等腰梯形的對角線相等，故C錯誤；

對于至少有兩條邊相等的三角形才是等腰三角形，故D正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查全稱量詞、存在量詞命題真假判斷方法，屬于基礎題.

(多選)11.(2024秋?郴州期末)下列說法正確的是()

A.命題i(Vx>0,f的否定形式是"3.^0,x27<1”

B.函數(shù)尸21?！?3-幻+1(心0且〃為)的圖象過定點(2,1)

C.方程&尸一X=2的根所在區(qū)間為（—1,-1）

D.若命題uV.vGR,，+2辦+〃+22（）恒成立"為假命題，則“〃V-1或。>2"

【考點】命題的真假判斷與應用；求解函數(shù)零點所在區(qū)間；全稱量詞命題的否定.

【專題】計算題：方程思想；轉化思想：綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】BCD

【分析】八選項，全稱量詞命邈的否定是存在星詞命題，把任意改為存在，把結論否定，H錯誤；6選

項，由對數(shù)函數(shù)的特征得到圖象過定點（2,I）,B正確；C選項，由零點存在性定理和函數(shù)單調性得

到C正確；。選項，先得到玉ER,/+2ar+〃+2V0成立為真命題，由根的判別式得到不等式，求出答

案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,命題“Vx>0,f_.侖1”的否定形式是“%>0,A錯誤；

對于從函數(shù)y=21og〃（3-XJ+1,

令3-x=l,故工=2,此時y=l,故該函數(shù)的圖象過定點（2,I）,8正確；

對于C,令力（%）=$尸_%_2,顯然其在R上單調遞減，

又/?（-1）=2+1-2=1>0,<-1）=V2+1-2<0,

故做工）=&尸一%-2的零點在（-1,一》內，

故方程&尸一％=2的根所在區(qū)間為（一1,-1）,C正確：

對于D,命題“VxGR,』+2依+”+220恒成立"為假命題，

則命題4<3AGR,f+2o￥+a+2Vo成立”為真命題，

故A=4/-4（。+2）>0,解得〃V?1或。>2,。正確.

故選：BCD.

【點評】本題考查命題真假的判斷，涉及對數(shù)函數(shù)的性質，屬于基礎題.

（多選）12.（2024秋?景德鎮(zhèn)期末）下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/?（%）=+存=1既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)

B.函數(shù)/（乃=（又一1）隹|為偶函數(shù)

C.函數(shù)y=『（4一%）’°是定義在R上的奇函數(shù)且有最大值4

.x（4+x）,%<0

D.函數(shù)/(%)=/。92|追I為偶函數(shù)且值域為(。，+8)

【考點】命題的真假判斷與應用；復合函數(shù)的值域；奇函數(shù)偶函數(shù)的判斷.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質及應用；運算求解.

【答案】AD

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性首先判斷函數(shù)的定義域，再結合函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4函數(shù)/(%)=小三記+信=1,有匕2二；金，解可得X=±l，函數(shù)的定義域為{-1,1},

此時/(公=0,既滿足/(-幻=/(x),也滿足/(-X)=-/(外，所以函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),

故A正確；

對于3,函數(shù)/(%)=(%-1)、原，有山20,解可得7WxVl,函數(shù)的定義域為［-1,1),

N1-X

函數(shù)的定義域不關于原點對稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯誤；

對于C,函數(shù)y=2(4一%)，%之0,

1x(4+%),x<0

有/(0)=0,

設x>0,-x<0,/(-x)=-x(4-x)=-f(x),

設xVO,-x>0,/(-x)=-x(4+x)=-f(x),

對于任意實數(shù)x,都有/(-J=-f(.r),則函數(shù)是奇函數(shù)，

當x>0時，y=v(4-x)=-(x-2)2+4W4,

當xV()時，y=x(4+x)=(x+2)2--4,

所以函數(shù)的值域為R，無最大值，故C錯誤；

1

對于D,函數(shù)/'(%)=，。921示一71的定義域是｛木羊。｝，

Z—1

_2X+1_1工2

y=2^T=1+2^T，

當x>0時，y>\,當x<0時，)，V7,

所以t=|法|>1，所以函數(shù)/(%)的值域是(0,+8),

/-(-X)=log1I=logIf,所以函數(shù)fG)是偶函數(shù)，故。正確.

2L—121—幺=W

故選：AD.

【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，注意函數(shù)的定義域，屬于基礎題.

三,填空題（共4小題）

13.（2024秋?廣東校級期末）已知命題〃：1<0,則命題〃的否定是VxER,』+.v-120.

【考點】求存在量詞命題的否定.

【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯：邏輯思維.

【答案】V.vGR,x^+x-1^0.

【分析】否定命題的結論，把存在量詞改為全稱量詞.

【解答】解：命題〃的否定是/+X-12（）.

故答案為：VxGR,/+x-120.

【點評】本題考查命題的否定.注意命題的否定是否定命題的結論，同時把全稱量詞與存在量詞互換.

14.（2024秋?豐滿區(qū)校級期末）命題：“V.詫R,-1”的否定是A6R,.

【考點】求全稱量詞命題的否定.

【專題】對應思想；數(shù)學模型法；簡易邏輯；邏輯思維.

【答案】3AGR,x1>x-1.

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.

【解答】解：全稱命題：“VxWR,-1”的否定為特稱命題，即：3AGR,-I.

故答案為：3xER,?>x-1.

【點評】本題考查命題的否定，是基礎題.

15.（2024秋?梅河口市校級期末）己知命題：“U.gR,〃/-1=J，為真命題，則，〃的取值為_二

1.

【考點】全稱量詞命題真假的應用.

【專題】轉化思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】7.

【分析】由命題為真命題可知等式恒成立，進而列方程，解方程即可.

【解答】解：由題意可知等式〃P-l=（〃汁〃/）,V恒成立，此時與x的取值無關，

則只需嚴「%解得加=7,則根的取值為7.

故答案為：-1.

【點評】本題考查了全稱量詞命題的真假應用，涉及到恒成立問題，屬于基礎題.

16.（2024秋?阜陽校級期末）命題“觸>1,x2-ax+2<0,f的否定是1,x2-or+220.

【考點】求存在量詞命題的否定.

【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】Vx>l,/-ax+220.

【分析】根稱特稱命題的否定，否定結論，存在量詞換成全稱量詞即可.

【解答】解：由命題否定的定義可知，存在改任意，將結論取反，

貝IJ命題/?ax+2V0”的否定是uV.v>l,f?or+220”.

故答案為：Vx>1,x2-or+220.

【點評】本題主要考查命題的否定，屬于基礎題.

四,解答題（共4小題）

17.（2024秋?蚌埠期末）已知集合A={.v|4-〃?WxW2m+l},集合B={x|『-??-2W0}.

（1）若=4,求4U8：

（2）設〃：.詫4,q：xWB,若〃是g的必要不充分條件，求實數(shù)〃，的取值范圍.

【考點】必要不充分條件的應用；解一元二次不等式；求集合的并集.

【專題】對應思想；定義法；集合；運算求解.

【答案】（1）4UB={M-1&W9}；

（2）[5,+8）.

【分析】（1）根據(jù)題意化簡集合A,B,進而求并集；

（2）分析可知集合4是集合A的真子集，根據(jù)包含關系列式求解即可.

【解答】解：（1）已知集合A={x|4-},集合8={.很2-x-2<0}.

則B={x|?-x-2W0}={M-IWxW2},

當〃?=4時，A={x|0WxW9},

所以4口8=3?1或入￡9}.

（2）因為〃是夕的必要不充分條件，可知集合3是集合A的真子集，

則將一：1*二，且等號不同時成立，解得，心5,

所以實數(shù)機的取值范闈為[5,+8）.

【點評】本題考查集合間的運算相關知識，屬于基礎題.

18.（2024秋?龍崗區(qū)校級期末）已知命題p：3xoe[-2,1],辭+一m20是真命題.

（1）記實數(shù)，〃取值范圍的集合為A,求集合A；

（2）關于x的不等式/〃（x+〃）W0的解集為8,且在A是尤B的必要條件，求實數(shù)〃的取值范圍.

【考點】存在量詞命題真假的應用；解一元二次不等式.

【專題】整體思想；綜合法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】(1)A={〃?|〃]W3}；

(2){川〃2-2}.

【分析】(I)由己知結合存在性量詞命題與最值關系的轉化卻可求解：

(2)結合充分必要條件與集合包含關系的轉化即可求解.

【解答】解:(1)命題p：3.roel-2,1J,以+2%o-m/O是真命題,

所以三刈曰-2,1],使得加工與2+2無0,

2

所以X0日-2,I]時，(xo+2XQ)max,

2

根據(jù)二次函數(shù)的性質可得，當燦=1時，(XO+2XO),Wra=3,

故〃?W3,

所以A={/n|/nW3}；

(2)由不等式歷(x+n)WO可得OVx+〃Wl,

解得-〃即B={x|-〃VxW1-〃},

若xEA是xEB的必要條件,則BQA,

所以1?〃W3,即-2,

故實數(shù)n的取值范圍為{川〃云-2}.

【點評】本題主要考查了存在性量詞命題的真假關系應用，逐考查了充分必要條件與集合包含關系的應

用，屬于基礎題.

19.(2024秋?玉溪期末)寫出下列命題的否定，并判斷其否定的真假：

(1)V/??eN>Vm2+1任N；

(2)存在一個六邊形A8CDE凡其內角和不等于720°.

【考點】求全稱量詞命題的否定；求存在量詞命題的否定：存在量詞命題的真假判斷.

【專題】轉化思想；轉化法；簡易邏輯；運算求解.

【答案】(1〉3///6N,\/m2+16N,真命題；

(2)任意六邊形/WCDE/，其內角和等于720。，真命題.

【分析】(I)由全稱命題的否定是把存在改為存在，并否定原結論，進而判斷真假；

(2)由特稱命題的否定是把存在改為任意，并否定原結論，進而判斷真假.

【解答】解：(1)V〃?WN,7m3+1￡/V的否定為力〃WN,Vm24-16/V,

因為〃?=OWN時，VOr+l=16/V,故為真命題；

(2)存在一個六邊形A3C。*',其內角和不等于720”,

則原命題的否定為任意六邊形A8CQER其內角和等于7200,易知其為真命題.

【點評】本題主要考查命題的否定，屬于基礎題.

20.(2024秋?仁壽縣校級期末)己知集合A={也-lWxW2a+3},8="|-lWxW4),全集U=R.

(1)當。=1時，求(CuA)CIB；

(2)若是的必要條件，求實數(shù)〃的取值范圍.

【考點】充分條件與必要條件；交、并、補集的混合運算.

【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；運算求解.

【答案】(1)W-1<x<0).

1

(2)(?8,-4)U[0,

【分析】(1)利用集合的補集、交集運算求解.

(2)由題意可知AC8,再對4分A=0和AW0兩種情況討論，分別求出。的取值范圍，最后取并集即

可.

【解答】解：(1)當〃=1時，集合A={x|0WxW5},8={x|-lWxW4},

CuA={x|xV0或x>5},

(CuA)-IWXVO}.

(2)?:“X6B”是的必要條件，???AGB,

①若A=0,貝Jia-l>2a+3,：,a<-4,

②若AW0，則”IN-1，解得0字a[,

2a+3<4

綜上所述，實數(shù)〃的取值范圍為(-8,-4)U[0,*.

【點評】本題主要考查了集合的基本元素，考查了集合間的包含關系，屬于基礎題.

考點卡片

1.求集合的并集

【知識點的認識】

由所有屬于集合A或屬于集合B的元素的組成的集合叫做4與8的并集，記作AUB.

符號語言:AUB={4x€A或XEB].

八U6實際理解為：①人僅是A中元素；?僅是6中的元素；③人是八且是6中的元素.

運算性質：

①4UB=BLM.②AU0=A.③AU4=A.④AUB34,AU8NB.

【廨題方法點撥】

定義并集：集合A和集合8的并集是所有屬于A或屬于8的元素組成的集合，記為AU&元素合并：將

A和〃的所有元素合并，去重，得到并集.

【命題方向】

己知集合4={x￡N|一狂％<當，B={.VGZ|.V2<3},則AU5=()

解：依題意，71={xG/V|-i<r<1}={0,1,2},B={%GZ|-V3<x<V3}={-1,0,1},

所以43A={-I,0,1,2}.

2.交、并、補集的混合運算

【知識點的認識】

集合交換律AAB=BGA,

集合結合律(AGB)nC=AC(8AC),(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律AH(4UC)=(AC3)U(ACC),AU(BAO=(AUB)n(AUC).

集合的摩根律Cu(AH。)=CuAUCuaCu(AUB)=CuAGCu〃.

集合吸收律AU(AA8)=A,AP(AUB)=A.

集合求補律AUCuA=U,AnCuA=0.

【辭題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬

于基礎題.

3.充分條件與必要條件

【知識點的認識】

I、判斷：當命題“若〃則/'為真時，可表示為〃=%稱〃為夕的充分條件，夕是〃的必要條件.事實上，

與“p=/等價的逆否命題是“fqn-'p”.它的意義是：若，/不成立，則〃一定不成立.這就是說，q對

于〃是必不可少的，所以說q是p的必要條件.例如：p：x>2；6/：x>0.顯然則xEg.等價于

則人任〃一定成立.

2、充要條件：如果既有“p=g”，又有“q=p”，則稱條件〃是q成立的充要條件，或稱條件g是〃成立的

充要條件，記作“p=q”.〃與q互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一

不可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學

生答題時往往混淆二者的關系.判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若pnq為真命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；

③若p=q為真命題旦，日,為真命題，則命題〃是命題q的充要條件：

④若pnq為假命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題〃與命題所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，譙小誰充分”的原則，判斷命題〃與命題9

的關系.

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內

容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣.

4.充分條件必要條件的判斷

【知識點的認識】

1、判斷：當命題“若〃則g”為其時，可表示為png,稱〃為q的充分條件，g是〃的必要條件.

2、充要條件：如果既有“〃=/',又有&=p"，則稱條件〃是4成立的充要條件，或稱條件g是〃成立的

充要條件,記作“poq”.〃與夕互為充要條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生

答題時往往混淆二者的關系.判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判斷充要條件的方法是：

①若p=q為真命題且qnp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

②若pnq為假命題且qnp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件：

③若pnq為真命題且q=p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；

④若〃為假命題且qnp為假命題，則命題〃是命題q的既不充分也不必要條件.

⑤判斷命題〃與命題，/所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，讒小誰充分”的原則，判斷命題〃與命題q

的關系.

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，

多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣.

5.充要條件的判斷

【知識點的認識】

充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件.即若P成立，則。成立，若。成立，則P也成立.用

符號表示為尸=Q.充要條件在數(shù)學中非常重要，因為它們表示兩個條件是等價的.

【解題方法點撥】

要判斷一個條件是否為充要條件，需要分別驗證P=Q和Q=P.如果兩者都成立，則尸和Q互為充要條

件.通常可以通過邏輯推理和實例驗證來進行判斷.對于復雜問題，可以分步驟進行驗證，確保每一步推

理的正確性.

【命題方向】

充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數(shù)的性質等.伊蚊口，矩形的對角線相等且互相平分是矩

形的充要條件.

“方程7-2x+m=0至多有一個實數(shù)解”的一個充要條件是（）

A.

B.1

C.

D.

解：“方程7-2x+〃?=0至多有一個實數(shù)解”的充要條件為“(-2)2?4mW0”即“用力”.

故選：A.

6.充分不必要條件的應用

【知識點的認識】

充分不必要條件是指如果條件P成立，則條件Q必然成立，但條件。成立時，條件P不一定成立.用符

號表示為p=Q,但Q”.這種條件在數(shù)學中表明某個條件足以保證結果成立，但不是唯一條件.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生

答割時往往混淆二者的關系.判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq為真命題且q=p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，

多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣.

集合A={x|/+(〃+2)x+2a<0},{4r+2v-3<0},若“xWA”是“xW/T的充分不必要條件，則實數(shù)

a的取值范圍是()

A.{a|-1WaW3}

B.{a|-1?2或2VaW3}

C.{a|2VaW3}

D.{cz|czs>2)

解：因為A={x|』+(a+2)x+2aV0}={x|(x+2)(x+a)<0},B={4r+2.r-3<0}={x\-3<x<1},

若“尤A”是“讓B”的充分不必要條件，則且AW0,

當-aV-2時，A={x\-a<x<-2],5={x|-3<x<l},則解得2VaW3,

當?a>?2時,A={x\-2<x<-a],5={x|-3<x<l},貝iJ-aWl,解得?1W〃V2，

所以-lWa<2或2VaW3.

敗選：B.

7.必要不充分條件的應用

【知識點的認識】

必要不充分條件是指如果條件Q成立，則條件。必然成立，但條件。成立時，條件Q不一定成立.用符

號表示為gP,但P4Q.這種條件在數(shù)學中表明某個條件必須滿足才能保證結果成立，但單靠這個條件

不能完全保證結果成立.

【解題方法點撥】

充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不

可.證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生

答題時往往混淆二者的關系.判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

若pnq為假命題且qnP為真命題，則命題〃是命題q的必要不充分條件；

【命題方向】

充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，

多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣.

設p：1;q：。近X近〃+1,若q是〃的必要不充分條件，則實數(shù)〃的取值范圍是()

4(0.1)

8.(0,1]

C.[0,》

D[0,

解：p：~<A<1,q：aWxWa+1，

乂,：P的必要不充分條件是q，

:.pnq，反之則不能，

/.I1>2，

當。=0時，q：0<Wl,滿足〃的必要不充分條件是心

11□

當時，q：-<x<滿足〃的必要不充分條件是依

2?

故選：D.

8.全稱量詞命題的真假判斷

【知識點的認識】

全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞.符號：V

應熟練掌握全稱命題的判定方法

全稱量詞：對應日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個”等詞，用符

號“V”表示.

含有全稱量詞的命題.“對任意一個在M,有〃(x)成立”簡記成“VxEM,〃(x)”.

命題全稱命題V.iWW,p(x)

表述方①所有的xWM，使〃(x)成立

法②對一切xWM,使〃(x)成立

③對每一個xWM,使〃(x)成立

④對任給一個使〃(X)成立

⑤若xWM,則〃(x)成立

【解題方法點撥】判斷全稱量詞命題的真假時，可以從反例入手，尋找一個使得命題不成立的例子.例如，

要判斷“所有奇數(shù)都是質數(shù)”是否為真，只需找到一個奇數(shù)不是質數(shù)(如9)即可證明該命題為假.

【命題方向】全稱量詞命題的真假判斷常見于代數(shù)和幾何性質的判定.例如，判斷一個數(shù)列的全稱性質是

否成立，或判斷幾何圖形的某個性質是否對所有相關對象成立.這類題型要求學生能夠靈活應用定義和性

質進行驗證.

判斷下列全稱量詞命題的真假：

(I)所有素數(shù)都是奇數(shù)；

(2)VxeR,|x|+l>h

(3)對任意一個無理數(shù)x,,也是無理數(shù).

解：（1）2是素數(shù)，但2不是奇數(shù)，，所有素數(shù)都是奇數(shù)是假命題；

（2）VxWR,總有因20,，國+121,

AVXGR,IM+121是真命題；

（3）四是無理數(shù)，但（&）2=2是有理數(shù)，

???全稱量詞命題“對每?個無理數(shù)x,』也是無理數(shù)”是假命題.

9.全稱量詞命題真假的應用

【知識點的認識】

全稱量詞：短語''對所有的”“對任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞.符號：V

應熟練掌握全稱命題的判定方法

全稱量詞：對應日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個”等詞，用符

號“V”表示.

含有全稱量詞的命題.“對任意一個有〃（A）成立”簡記成，在M,p（x）”.

命題全稱命題VxWM.p（x）

表述方①所有的使〃（X）成立

法②對一切xEM,使p（x）成立

③對每一個使〃（x）成立

④對任給一個KWM,使〃（x）成立

⑤若.隹M,則〃（文）成立

【解題方法點撥】在應用全稱量詞命題時，首先要準確判斷命題的真假，然后根據(jù)判斷結果進行推理.例

如，在證明幾何命題時，可以先驗證全稱量詞命題的真假，然后根據(jù)真假性進行相應的幾何推理和計算.

【命題方向】全稱量詞命題真假的應用在代數(shù)和幾何題中廣泛存在.例如，利用全稱量詞命題的真假來推

導數(shù)的整除性、代數(shù)式的恒等關系，或幾何圖形的某些性質.這類題型要求學生具備扎實的基礎知識和邏

輯推理能力.

若命題3],av2-為真命題，則〃的最小值為.

解：V.rG[l,3],aJ-x+a，。，則aN，

人IA

%111

當x6[l,3]時，21=1--r==當且僅當X=1時，等號成立，

mix+-2rr2

N*

故Q共

所以實數(shù)。的最小值為

故答案為:\

10.存在量詞命題的真假判斷

【知識點的認識】

存在量詞：對應日常語言中的“存在一個”、“至少有一個“、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用

符號"于’表示.

特稱命題：含有存在量詞的命題.“玉0WM,有〃（.w）成立”簡記成“孔oWM,p（刈）”.

“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞.

命題特稱命題曲06朋，p（A0）

表述方①存在xoWM,使〃（xo）成立

法

②至少有一個使〃（X0）成立

③某些使〃（x）成立

④存在某一個A06M,使〃（xo）成立

⑤有一個X0WM,使"（.￥0）成立

【解題方法點撥】判斷存在審詞命題的真假時，可以通過具體實例來驗證.例如，要判斷“存在一個數(shù)是

3的倍數(shù)”是否為真，只需找到一個3的倍數(shù)（如6）即可證明該命題為真.如果無法找到任何一個符合

條件的對象，則命題為假.

【命題方向】存在量詞命題的真假判斷常見于代數(shù)和幾何性質的判定.例如，判斷一個方程是否有解，或

判斷幾何圖形的某個性質是否對某些對象成立.這類題型要求學生能夠靈活應用定義和性質進行驗證.

下列存在量詞命題中，為真命題的是（）

A.S.vez,.v2-2A-3=0

B.至少有一個使x能同時被2和3整除

C.3.vGR,|.v|<0

D.有些自然數(shù)是偶數(shù)

解：選項A：因為方程』-2.3=。的兩根為3和-1,所以xEZ,故A正確；

選項8：因為6能同時被2和3整除，且6EZ,故B正確：

選項C：根據(jù)絕對值的意義可得320恒成立，不存在x滿足E<0,故C錯誤；

選項。：2,4等既是自然數(shù)又是偶數(shù)，故。正確；

故選：ABD.

11.存在量詞命題真假的應用

【知識點的認識】

存在量詞：對應日常語言中的“存在一個”、“至少有一個”、“有個”、“某個”、“有些”、“有的”等詞，用

符號"于’表示.

特稱命題：含有存在量詞的命題.“女0EW,有〃(刈)成立”簡記成p(刈)”.

“存在一個”，“至少有一個”叫做存在量詞.

命題特稱命題mxoW/W,〃(xo)

表述方①存在使p(xo)成立

法②至少有一個AO￡M,使〃(xo)成立

③某些xWM,使〃(x)成立

④存在某一個.roWM,使〃(xo)成立

⑤有一個wWM,使〃(刈)成立

【解題方法點撥】在應用存在量詞命題時，首先要準確判斷命題的真假，然后根據(jù)判斷結果進行推理.例

如，在解決代數(shù)問題時，可以先驗證存在量詞命題的真假，然后根據(jù)真假性進行相應的計算和推導.

【命題方向】存在量詞命題真假的應用在代數(shù)和幾何題中廣泛存在.例如，利用存在量詞命題的真假來推

導方程的解的存在性、幾何圖形的某些特性.這類題型要求學生具備扎實的基礎知識和邏輯推理能力.

若命題u3we[-1,2],燦-。>0”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

解：“八網(wǎng)?1,2]?.ro-a>0"是假命題，

則它的否定命題：1,2],x-cWO”是真命題;

所以2]?恒成立，所以a22,

即實數(shù)。的取值范圍是[2,+8).

故答案為：|2,+°°).

12.全稱量詞命題的否定

【知識點的認識】

一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：

全稱命題p：V.vEW,p(x)它的否命題BAOGM,(xo).

【解題方法點撥】

寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”：(2)

將結論否定，比如將改為“W”.值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題.

【