第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年北京市通州區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知⊙O的半徑為4cm,點P到圓心O的距離為3cm,則點P（）A.在圓內(nèi) B.在圓上 C.在圓外 D.在圓O上或圓O外2.如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，若∠D=70°，則∠B的度數(shù)為（）A.100°

B.110°

C.70°

D.109°3.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=5，BC=4，則tanA的值為（）A.

B.

C.

D.4.如圖，AB是河堤橫斷面的迎水坡，堤高BC=10m,坡比是，則坡面AB的長度為（）A.

B.

C.20m

D.5.在△ABC中，∠A，∠B都是銳角，且，則△ABC的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形6.已知反比例函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.函數(shù)圖象分布在第二、四象限 B.圖象經(jīng)過點（-1，3）

C.若x＞1，則y＞3 D.在各自象限內(nèi)，y的值隨x的增大而減小7.如圖，點P是圓形舞臺上的一點，舞臺的圓心為O，在P點安裝的一臺某種型號的燈光裝置，其照亮的區(qū)域如圖中陰影所示，該裝置可以繞著P點轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動過程中，邊界的兩條光線分別與圓交于A、B兩點，并且夾角保持不變，該裝置轉(zhuǎn)動的過程中，以下判斷正確的是（）

A.弦AB的長度隨著裝置的轉(zhuǎn)動而變化 B.線段PA與PB的長度之和不變

C.圖中陰影部分的面積不變 D.點P到弦AB所在直線的距離存在最大值8.如圖，在“探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的系數(shù)a,b,c對函數(shù)圖象的影響”活動中，老師給出了坐標系中的四個點：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）.同學們分別畫出了經(jīng)過這四個點中的三個點的若干個二次函數(shù)圖象，當a+b+c取得最大值時，圖象經(jīng)過這四個點中的（）

A.ABC B.ABD C.ACD D.BCD二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.拋物線y=3x2-2的頂點坐標是______．10.如圖是一架人字梯圖片及其側(cè)面示意圖，已知AB∥CD∥EF，AC=5，CE=3，BD=4，則DF=

.11.如圖，E是?ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，圖中

對相似三角形.12.如圖，P是反比例函數(shù)圖象上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點A，則△PAO的面積為

.

13.中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標志.如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角α為60°.若圓曲線的半徑OA=1.5km,則這段圓曲線的長為

km.

14.如圖，拋物線y=ax2與直線y=bx+c的兩個交點坐標分別為A（-2，4），B（1，1），則關(guān)于x的方程ax2-bx-c=0的解為

.

15.四邊形具有不穩(wěn)定性，如圖，將面積為5的矩形“推”成面積為4的平行四邊形，則tanα的值為

.16.如圖，以N（0，3）為圓心，半徑為6的圓與x軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于點C，點M為⊙N上一動點，連結(jié)AM，過點C作CH垂直直線AM于點H，連結(jié)NH，則弦AB的長度為

，點M在運動過程中，線段NH的長度的最大值為

.

三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題4分)

計算：cos60°+sin245°-3tan30°.18.(本小題5分)

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，cosA=.求BC的長和sinA的值.19.(本小題5分)

下面是某同學設(shè)計的“過圓上一點作這個圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：⊙O及A重上一點A.

求作：直線AB，使得AB為⊙O的切線，A為切點.作法：如圖，

（1）連結(jié)OA并延長到點C；

（2）分別以點A，C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點D（點D在直線AC上方）；

（3）連結(jié)DA，以點D為圓心，DA長為半徑作⊙D；

（4）連結(jié)CD并延長，交OD于點B，作直線AB.

直線AB就是所求作的直線.

根據(jù)該同學設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下面的證明.

證明：∵分別以點A，C為圓心，大于的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點D.

∴①______=AD，

∴點C在⊙D上.

∵連結(jié)CD并延長，交⊙D于點B，

∴CB是⊙D的直徑.

∴②______=90°.（③______）

∴AB⊥④______.

∵OA是⊙O的半徑，

∴AB是⊙O的切線.（⑤______）20.(本小題5分)

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4，，求BD的長.21.(本小題5分)

在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（2，3）.

（1）求該函數(shù)的表達式；

（2）當x＞2時，對于x的每一個值，函數(shù)的值都小于y=mx（m≠0）的值，直接寫出m的取值范圍.22.(本小題6分)

如表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上部分點的橫坐標x和對應的縱坐標y.x…-1012345…y…830-10m8…（1）依據(jù)表格中的信息，則m=______；

（2）求此二次函數(shù)的表達式，并畫出該函數(shù)的圖象；

（3）該二次函數(shù)的圖象與直線y=n有兩個交點A，B，若AB≤6，直接寫出n的取值范圍.23.(本小題6分)

港珠澳大橋是連接香港、珠海、澳門的跨海橋隧工程，全長55千米，2018年通車，以“三地三檢”模式助力粵港澳大灣區(qū)互聯(lián)互通，創(chuàng)下多項世界之最.港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”，某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為60°，在距B處160米的C處看塔頂A，仰角為30°，求該主塔的高度.

24.(本小題6分)

如圖，點F在平行四邊形ABCD的對角線AC上，EF∥AB，BE∥AC，連結(jié)FB，使得FB平分∠AFE.

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若BE=5，AD=9，sin∠CBE=，求AC的長.25.(本小題6分)

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，連結(jié)AC，BC，過點O作OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線交OD的延長線于點E.

（1）求證：∠E=∠B；

（2）連結(jié)AD，若，求AD的長.26.(本小題6分)

平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2-2mx+m2-1與y軸的交點為P，過點P作直線l垂直于y軸.

（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；

（2）若點（m-1，y1），（m,y2），（m+3，y3）都在拋物線y=x2-2mx+m2-1上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為______；（用“＜”連接）

（3）將拋物線在y軸右側(cè)的部分沿直線l翻折，其余部分保持不變，組成圖形G.點M（x1，y1），N（x2，y2）為圖形G上任意兩點.

①當m=0時，畫出圖形G，并結(jié)合圖形判斷，當x1＜x2時，y1與y2的大小關(guān)系；

②若對于x1=m-2，x2=m+2，都有y1＞y2，直接寫出m的取值范圍.27.(本小題7分)

如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，點B關(guān)于直線AC的對稱點為P，連結(jié)CP，Q為線段CP上一點（不與點P重合），且滿足∠AQP=∠ABC.

（1）用等式表示線段BD，PQ的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）連結(jié)BQ，取BQ的中點E，連結(jié)DE.判斷DE與AC的位置關(guān)系，并證明.28.(本小題7分)

在平面直角坐標系xOy中，對于線段PQ，直線m和圖形M給出如下定義：線段PQ關(guān)于直線m的對稱線段為P1Q1（P1，Q1分別是P，Q的對應點）.若PQ與P1Q1均與圖形M（包括內(nèi)部和邊界）有公共點，則稱線段PQ為圖形M關(guān)于直線m的“像一關(guān)聯(lián)線段”.

（1）如圖1，已知⊙O的半徑是3，點A，B，C，D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段AB，CD，EF中，⊙O關(guān)于直線y=1的“像一關(guān)聯(lián)線段”的是______；

（2）如圖2，已知點P（0，1），，，C（0，2），若線段OP是△ABC關(guān)于直線y=kx+2的“像一關(guān)聯(lián)線段”，求k的取值范圍；

（3）已知⊙O的半徑為r,點P（2，0），線段PQ的長度為1.若對于任意過點C（0，2）的直線m,都存在線段PQ為⊙O關(guān)于直線m的“像一關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出r的取值范圍.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】（0，-2）

10.【答案】

11.【答案】三

12.【答案】2

13.【答案】π

14.【答案】x1=-2，x2=1

15.【答案】

16.【答案】63+3

17.【答案】．

18.【答案】；

19.【答案】CD

∠CAB

直徑所對的圓周角等于90°

OA

經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

20.【答案】解：∵在Rt△ABC中，，

∴，

∴，

∵∠DBC=∠A，

∴cos∠DBC=cosA=，

∴，

∴BD的長度為．

21.【答案】y=

m≥

22.【答案】3

該拋物線解析式為y=（x-2）2-1=x2-4x+3．

該二次函數(shù)的圖象如圖，

-1＜n≤8

23.【答案】80米．

24.【答案】∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵EF∥AB，

∴∠EFB=∠FBA，

∵FB平分∠AFE，

∴∠EFB=∠BFA，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴平行四邊形ABEF是菱形

6+4

25.【答案】∵點C在⊙O上，EC是⊙O的切線，

∴根據(jù)弦切角定理得：∠BCE=∠BAC，

∵OD⊥BC于點D，

∴△ECD是直角三角形，

在Rt△ECD中，∠E+∠BCE=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴△ACB是直角三角形，

在Rt△ACB中，∠B+∠BAC=90°，

又∵∠BCE=∠BAC，

∴∠E=∠B

26.【答案】（m，-1）

y2＜y1＜y3

①y1＞y2；

②-2＜m＜2

27.【答案】PQ=2BD，理由如下：

連接AP，過A作AH⊥PQ于H，

由軸對稱可知，PA=BA，CP=CB，∠ABC=∠APC，

∵∠AQP=∠ABC，

∴∠APC=∠AQP，

∴AP=AQ，

∴△APQ是等腰三角形，

∵AH