山東省濟(jì)南市長清第一中學(xué)大學(xué)科技園校區(qū)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.53．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)的和為A.15 B.C.6 D.34．九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個(gè)數(shù).在某種玩法中，用表示解開n（，）個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，若數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，則解開5個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A.10 B.16C.21 D.225．拋物線的準(zhǔn)線方程是A. B.C. D.6．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）（ⅰ）命題“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實(shí)根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)7．設(shè)兩個(gè)變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號(hào)相同 B.與符號(hào)相同C.與符號(hào)相反 D.與符號(hào)相反8．已知隨圓與雙曲線相同的焦點(diǎn)，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.9．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.10．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④.A.1 B.2C.3 D.411．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.12．“，”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的焦距是10，曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為__________.14．分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是________15．如圖所示的是一個(gè)正方體的平面展開圖，，則在原來的正方體中，直線與平面所成角的正弦值為___________.16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是其一條漸近線上的一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求證：.18．（12分）立德中學(xué)舉行冬令營活動(dòng)期間，對(duì)位參加活動(dòng)的學(xué)生進(jìn)行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績?cè)谡J(rèn)定為“一般”，成績?cè)谡J(rèn)定為“良好”，成績?cè)谡J(rèn)定為“優(yōu)秀”．成績統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學(xué)生有2人（1）若從這位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有一個(gè)人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）19．（12分）已知雙曲線C：(a>0，b>0）的離心率為，且雙曲線的實(shí)軸長為2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線x－y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)在圓x2＋y2=17上，求m的值20．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門科目中自選3門參加考試．下面是某校高一200名學(xué)生在一次檢測中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績，以組距20分成7組：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，畫出頻率分布直方圖如下圖所示（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績的第60百分位數(shù)；（3）若小明決定從“物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)”五門學(xué)科中選擇三門作為自己的選考科目，求小明選中“技術(shù)”的概率21．（12分）在等差數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在數(shù)列中，，，(1)設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.2、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.3、C【解析】利用成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d＝2，將其整體代入{an}前6項(xiàng)的和公式中即可求出結(jié)果【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，∴，1，成等差數(shù)列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6項(xiàng)的和為2a1+5d）=故選C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用4、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得.故選：D.5、C【解析】根據(jù)拋物線的概念，可得準(zhǔn)線方程為6、B【解析】根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)特征可判斷（?。áぃ┑恼`，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據(jù)判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（ⅰ）錯(cuò)誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當(dāng)時(shí)，，故有實(shí)根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯(cuò)誤.故選：B7、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號(hào)相同故選：A8、B【解析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，推導(dǎo)出，可得出，進(jìn)而可求得、的值.【詳解】設(shè)公共焦點(diǎn)為，則，則，即，故，即，，故選：B9、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A10、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式計(jì)算后即可判斷【詳解】解：①，故錯(cuò)誤；②，故正確；③，故錯(cuò)誤；④，故錯(cuò)誤.所以求導(dǎo)運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)為1.故選：A.11、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B12、A【解析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由，可知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；反之，若表示雙曲線，則，即，或，所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或10.【解析】對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為；若曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，所以，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的上半支，上下焦點(diǎn)分別為，因?yàn)閷?shí)半軸長為4，容易判斷點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為2，則它到下焦點(diǎn)的距離.故答案為：或10.14、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即，即，，即.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.15、【解析】將展開圖還原成正方體，通過建系利用空間向量的知識(shí)求解.【詳解】將展開圖還原成正方體，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，.則.設(shè)平面的法向量為，由令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：16、【解析】先得出漸近線方程和圓的方程，然后解出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出面積.【詳解】由題意，漸近線方程為：，，圓的方程為：，聯(lián)立：，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)作差即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可得到，再令，利用錯(cuò)位相減法求出，即可得證；【小問1詳解】解：因?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，則，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問2詳解】解：由（1）可知，，因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以，所以，即，所以，即；18、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設(shè)可得求參數(shù)a，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及已知總學(xué)生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.（3）應(yīng)用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對(duì)應(yīng)的值.【小問1詳解】設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學(xué)生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優(yōu)秀的人記為從文化成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人的樣本空間，設(shè)事件：至少有一個(gè)人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，至少有一個(gè)人文化成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設(shè)知：體能測試成績，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，，}，對(duì)應(yīng)平均分為{100,120,140}，所以體能測試平均成績，所以，而所以當(dāng)時(shí)最小.19、（1）；（2）【解析】（1）由實(shí)軸長求得，再由離心率得，從而求得得雙曲線方程；（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理求得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程可求得值【小問1詳解】由已知，，又，所以，，所以雙曲線方程為；【小問2詳解】由，得，恒成立，設(shè)，，中點(diǎn)為，所以，，，又在圓x2＋y2=17上，所以，20、（1）=0.005（2）232（3）【解析】（1）由頻率和為1列方程求解即可，（2）由于前3組的頻率和小于0.6，前4組的頻率和大于0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在第4組內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，從而可求得結(jié)果，（3）利用列舉法求解即可【小問1詳解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小問2詳解】因?yàn)?0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科總分成績的第60百分位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)第60百分位數(shù)為，則0.45+0.0125×(?220)=0.6，解得=232，即第60百分位數(shù)為232【小問3詳解】將物理、化學(xué)、生物、政治、技術(shù)5門學(xué)科分別記作．則事件A表示小明選中“技術(shù)”，則，所以P(A)=21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和的方程組，求解方程組，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.（2）對(duì)數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)情況進(jìn)行討論，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可