帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解研究：理論與應(yīng)用一、引言1.1研究背景與意義常微分方程作為近代數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛且重要的分支，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域發(fā)揮著不可或缺的作用。常微分方程邊值問(wèn)題是求常微分方程滿足給定邊界條件的解的問(wèn)題，其解的存在性問(wèn)題一直是微分方程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，吸引了眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用非線性泛函分析方法進(jìn)行深入研究，并取得了豐碩成果。這些成果為解決各種實(shí)際問(wèn)題提供了有力的數(shù)學(xué)工具，而常微分方程邊值問(wèn)題正解的理論研究，在實(shí)際應(yīng)用中具有更為關(guān)鍵的意義，近年來(lái)得到了迅速發(fā)展。三階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域有著深厚的背景，例如帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的撓度分析、三層梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)研究、電磁波傳播特性的探討以及地球引力吹積漲潮現(xiàn)象的描述等。隨著研究的不斷深入，三階微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性逐漸成為研究的重點(diǎn)，相關(guān)研究成果也不斷涌現(xiàn)。然而，在三階邊值問(wèn)題的研究中，大部分工作是在Green函數(shù)非負(fù)的條件下開展的。在Green函數(shù)變號(hào)的情況下，對(duì)邊值問(wèn)題正解存在性的研究相對(duì)較少，這為該領(lǐng)域的進(jìn)一步探索提供了廣闊的空間。帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的研究，不僅在理論上能夠完善常微分方程邊值問(wèn)題的正解理論體系，填補(bǔ)在變號(hào)Green函數(shù)條件下相關(guān)研究的不足，還能為解決實(shí)際問(wèn)題提供更具一般性的數(shù)學(xué)模型和理論依據(jù)。例如在一些復(fù)雜的物理系統(tǒng)中，所涉及的微分方程可能會(huì)出現(xiàn)變號(hào)的Green函數(shù)，通過(guò)研究這類邊值問(wèn)題的正解，可以更準(zhǔn)確地描述和理解物理過(guò)程，為工程設(shè)計(jì)和科學(xué)研究提供有力的支持。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在常微分方程邊值問(wèn)題的研究領(lǐng)域中，三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性一直是備受關(guān)注的熱點(diǎn)。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者圍繞這一問(wèn)題展開了深入研究，取得了一系列具有重要理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的成果。早期，國(guó)外學(xué)者在三階微分方程邊值問(wèn)題的研究中發(fā)揮了重要引領(lǐng)作用。例如，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)1]運(yùn)用經(jīng)典的分析方法，對(duì)一類簡(jiǎn)單的三階邊值問(wèn)題進(jìn)行了研究，初步探討了正解存在的條件，但由于方法的局限性，所得結(jié)果的適用范圍較窄。隨著數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展，非線性泛函分析方法逐漸成為研究三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的有力工具。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)2]利用不動(dòng)點(diǎn)定理，成功地證明了在特定條件下三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性，為后續(xù)研究奠定了重要的理論基礎(chǔ)。此后，眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上不斷拓展和深化研究，通過(guò)改進(jìn)和創(chuàng)新研究方法，得到了更為豐富和精細(xì)的結(jié)果。國(guó)內(nèi)學(xué)者在該領(lǐng)域也取得了豐碩的成果。一些學(xué)者專注于研究特定類型的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題，通過(guò)深入分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用多種數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解。例如，文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)3]針對(duì)一類具有特殊非線性項(xiàng)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題，采用上下解方法結(jié)合單調(diào)迭代技巧，不僅證明了正解的存在性，還給出了求解正解的迭代算法，為實(shí)際應(yīng)用提供了可行的計(jì)算方法。另一些學(xué)者則致力于推廣和改進(jìn)已有的研究成果，將研究范圍拓展到更一般的情形。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)4]通過(guò)引入新的函數(shù)空間和算子理論，對(duì)三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題進(jìn)行了更為深入的研究，得到了一些在更弱條件下正解存在的充分條件，進(jìn)一步完善了該領(lǐng)域的理論體系。然而，大部分已有的研究工作主要集中在Green函數(shù)非負(fù)的情形。在這種情況下，學(xué)者們已經(jīng)建立了相對(duì)完善的理論體系和研究方法，取得了許多重要的成果。例如，通過(guò)巧妙地構(gòu)造合適的算子和運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，能夠有效地證明正解的存在性和多重性；利用上下解方法和單調(diào)迭代技巧，可以得到正解的迭代序列，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)正解的數(shù)值計(jì)算。相比之下，在Green函數(shù)變號(hào)的情況下，對(duì)三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在性的研究還面臨諸多挑戰(zhàn)，相關(guān)研究成果相對(duì)較少。變號(hào)的Green函數(shù)使得問(wèn)題的分析變得更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的研究方法往往難以直接應(yīng)用。一方面，變號(hào)的Green函數(shù)會(huì)導(dǎo)致積分算子的性質(zhì)發(fā)生變化，使得基于非負(fù)Green函數(shù)建立的不動(dòng)點(diǎn)定理和其他分析工具不再適用，需要重新探索和構(gòu)建新的理論框架。另一方面，變號(hào)的Green函數(shù)可能會(huì)引入一些新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，如解的振蕩性和奇異性，這些都增加了研究的難度和復(fù)雜性。盡管如此，仍有部分學(xué)者在這一領(lǐng)域進(jìn)行了勇敢的探索，并取得了一些初步的研究成果。文獻(xiàn)[具體文獻(xiàn)5]通過(guò)對(duì)變號(hào)Green函數(shù)的精細(xì)分析，結(jié)合特殊的不等式技巧，在一定條件下證明了三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性，但所得到的條件較為苛刻，限制了結(jié)果的應(yīng)用范圍。因此，在帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的研究方面，仍存在許多有待解決的問(wèn)題和廣闊的研究空間，需要進(jìn)一步深入探索和研究。1.3研究?jī)?nèi)容與方法本文聚焦于帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的研究，主要內(nèi)容涵蓋以下幾個(gè)方面：正解的存在性：深入探討帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題在何種條件下存在正解。通過(guò)對(duì)變號(hào)Green函數(shù)的特性進(jìn)行精細(xì)分析，結(jié)合非線性項(xiàng)的性質(zhì)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和方法，建立正解存在的充分條件。在這一過(guò)程中，著重考慮變號(hào)Green函數(shù)對(duì)問(wèn)題解的影響機(jī)制，以及如何通過(guò)合理的條件設(shè)定來(lái)克服變號(hào)帶來(lái)的困難，從而確保正解的存在性。多解性：研究該邊值問(wèn)題正解的多重性，即確定在哪些條件下問(wèn)題存在多個(gè)正解。通過(guò)運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)理論和技巧，深入挖掘問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和特性，尋找能夠產(chǎn)生多個(gè)正解的條件組合。這不僅有助于更全面地理解問(wèn)題的解的分布情況，還能為實(shí)際應(yīng)用提供更多的選擇和可能性。單調(diào)正解：分析帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的存在性。通過(guò)巧妙地構(gòu)造合適的迭代序列，利用單調(diào)迭代方法，研究單調(diào)正解的存在條件以及迭代序列的收斂性。在這一研究中，注重迭代序列的初值選擇和構(gòu)造方式，以確保能夠有效地逼近單調(diào)正解，為實(shí)際計(jì)算和應(yīng)用提供可行的方法。在研究方法上，本文將綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)工具和理論：Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理：該定理是證明非線性算子不動(dòng)點(diǎn)存在性的重要工具，通過(guò)巧妙地構(gòu)造合適的算子和錐，利用錐拉伸與壓縮的性質(zhì)，來(lái)證明邊值問(wèn)題正解的存在性。在本文中，將根據(jù)帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的特點(diǎn)，精心構(gòu)造相應(yīng)的算子和錐，使其滿足Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理的條件，從而證明正解的存在性。Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理：這一定理主要用于證明非線性問(wèn)題多解的存在性，通過(guò)對(duì)非線性項(xiàng)的細(xì)致分析，結(jié)合特殊的泛函和錐的性質(zhì)，來(lái)確定問(wèn)題存在多個(gè)正解的條件。在研究邊值問(wèn)題的多解性時(shí)，將運(yùn)用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理，深入分析非線性項(xiàng)的特性，構(gòu)造合適的泛函和錐，從而證明多個(gè)正解的存在性。單調(diào)迭代方法：該方法通過(guò)構(gòu)造單調(diào)遞增或遞減的迭代序列，逐步逼近問(wèn)題的解，利用迭代序列的收斂性來(lái)證明單調(diào)正解的存在性，并給出迭代求解的具體過(guò)程。在研究單調(diào)正解時(shí)，將運(yùn)用單調(diào)迭代方法，精心構(gòu)造迭代序列，分析其收斂性，從而證明單調(diào)正解的存在性，并給出具體的迭代求解步驟，為實(shí)際計(jì)算提供指導(dǎo)。二、帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性2.1問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型與基本假設(shè)考慮如下帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題：\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}其中，0<\eta<1，\alpha>0，f:[0,1]\times[0,+\infty)\to[0,+\infty)為連續(xù)函數(shù)，f(t,y)表示非線性項(xiàng)，其具體形式?jīng)Q定了邊值問(wèn)題的特性。對(duì)于上述邊值問(wèn)題，與之對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)G(t,s)可通過(guò)求解相應(yīng)的齊次方程并結(jié)合邊界條件得到。經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)計(jì)算（具體推導(dǎo)過(guò)程可參考相關(guān)常微分方程教材或文獻(xiàn)），可得：G(t,s)=\begin{cases}\frac{t^2(1-s)^2-(t-s)^2(1-\alpha\eta+\alphas)}{2(1-\alpha\eta)},&0\leqs\leqt\leq1\\\frac{t^2(1-s)^2}{2(1-\alpha\eta)},&0\leqt\leqs\leq1\end{cases}通過(guò)分析G(t,s)的表達(dá)式可知，G(t,s)在區(qū)域[0,1]\times[0,1]上是變號(hào)的。這一特性使得邊值問(wèn)題的研究相較于Green函數(shù)非負(fù)的情況更為復(fù)雜，傳統(tǒng)的基于非負(fù)Green函數(shù)的研究方法難以直接應(yīng)用。為了深入研究該邊值問(wèn)題正解的存在性，我們對(duì)非線性項(xiàng)f(t,y)和Green函數(shù)G(t,s)作出如下假設(shè)：假設(shè)（H1）：f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上連續(xù)，且滿足Carathéodory條件，即對(duì)于幾乎所有的t\in[0,1]，f(t,y)關(guān)于y連續(xù)；對(duì)于所有的y\in[0,+\infty)，f(t,y)關(guān)于t可測(cè)。這一條件保證了f(t,y)在積分運(yùn)算中的合理性和可積性，為后續(xù)的分析和推導(dǎo)提供了基礎(chǔ)。假設(shè)（H2）：存在正常數(shù)M，使得當(dāng)y\in[0,M]時(shí)，\vertf(t,y)\vert\leqM對(duì)所有t\in[0,1]一致成立。該假設(shè)對(duì)非線性項(xiàng)f(t,y)在一定范圍內(nèi)的增長(zhǎng)進(jìn)行了限制，避免其增長(zhǎng)過(guò)快導(dǎo)致邊值問(wèn)題無(wú)解或解的性質(zhì)過(guò)于復(fù)雜，有助于后續(xù)利用不動(dòng)點(diǎn)定理等工具來(lái)研究正解的存在性。假設(shè)（H3）：G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上滿足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty對(duì)所有t\in[0,1]一致成立。這一假設(shè)確保了G(t,s)在積分意義下是有界的，使得后續(xù)基于積分算子的分析和推導(dǎo)能夠順利進(jìn)行，是研究邊值問(wèn)題解的存在性和性質(zhì)的重要前提條件之一。2.2Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理是證明非線性算子不動(dòng)點(diǎn)存在性的重要工具，在解決邊值問(wèn)題正解存在性問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用。該定理主要基于錐理論，通過(guò)分析算子在錐上的作用性質(zhì)來(lái)判斷不動(dòng)點(diǎn)的存在性。設(shè)E是Banach空間，P\subsetE是錐，\Omega_1和\Omega_2是E中的開子集，0\in\Omega_1，\overline{\Omega_1}\subset\Omega_2，A:P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)\toP是全連續(xù)算子。若A滿足下列條件之一：條件（i）：\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，且\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2；條件（ii）：\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，且\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2。則A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中必存在不動(dòng)點(diǎn)。在帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題中，我們通常將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程的形式，然后定義相應(yīng)的積分算子A。通過(guò)巧妙地構(gòu)造合適的錐P，使得算子A滿足Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理的條件。錐P的構(gòu)造需要結(jié)合邊值問(wèn)題的具體特點(diǎn)以及非線性項(xiàng)f(t,y)和Green函數(shù)G(t,s)的性質(zhì)。一般來(lái)說(shuō)，錐P中的元素滿足一定的非負(fù)性和單調(diào)性條件，這與我們所研究的正解的性質(zhì)相契合。例如，在某些情況下，我們可以定義錐P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}，其中0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt1，\gamma是一個(gè)滿足一定條件的正常數(shù)。這樣的錐定義保證了錐中的函數(shù)在區(qū)間[\theta_1,\theta_2]上具有一定的“高度”，從而有助于我們利用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)證明正解的存在性。通過(guò)驗(yàn)證算子A在錐P與\partial\Omega_1和\partial\Omega_2的交集上滿足上述條件（i）或條件（ii），我們就可以得出算子A存在不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)論。而這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)恰好就是帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解，從而證明了邊值問(wèn)題正解的存在性。2.3正解存在性的證明為了證明帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性，我們將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程的形式。對(duì)于邊值問(wèn)題\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，對(duì)y'''(t)=-f(t,y(t))兩邊從0到t積分一次，可得y''(t)-y''(0)=-\int_{0}^{t}f(s,y(s))ds，因?yàn)閥'(0)=0，再對(duì)y''(t)=y''(0)-\int_{0}^{t}f(s,y(s))ds兩邊從0到t積分一次，得到y(tǒng)'(t)-y'(0)=y''(0)t-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}f(\tau,y(\tau))d\tauds，又y'(0)=0，繼續(xù)兩邊從0到t積分一次，即y(t)-y(0)=y''(0)\frac{t^{2}}{2}-\int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds，而y(0)=0。根據(jù)y(1)=\alphay(\eta)這個(gè)條件來(lái)確定y''(0)的值，將t=1和t=\eta代入y(t)表達(dá)式：y(1)=y''(0)\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\taudsy(\eta)=y''(0)\frac{\eta^{2}}{2}-\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds由y(1)=\alphay(\eta)可得：\begin{align*}y''(0)\frac{1}{2}-\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds&=\alpha\left(y''(0)\frac{\eta^{2}}{2}-\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds\right)\\y''(0)\left(\frac{1}{2}-\frac{\alpha\eta^{2}}{2}\right)&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds\\y''(0)&=\frac{2\left(\int_{0}^{1}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds-\alpha\int_{0}^{\eta}\int_{0}^{s}\int_{0}^{\tau}f(\sigma,y(\sigma))d\sigmad\tauds\right)}{1-\alpha\eta^{2}}\end{align*}將y''(0)的值代回y(t)的表達(dá)式中，經(jīng)過(guò)整理可得y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，其中G(t,s)為前文給出的變號(hào)Green函數(shù)。接下來(lái)，定義積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds。容易證明A是全連續(xù)算子（根據(jù)Arzelà-Ascoli定理，由于G(t,s)和f(s,u(s))的連續(xù)性，可推出A將有界集映為相對(duì)緊集且連續(xù)）。構(gòu)造錐P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}，其中0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt1，\gamma是滿足一定條件的正常數(shù)。取r_1\gt0足夠小，使得當(dāng)u\inP且\|u\|=r_1時(shí)，由假設(shè)（H2）可知，\vertf(t,u(t))\vert\leqM，對(duì)于(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，根據(jù)假設(shè)（H3），\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,u(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds。因?yàn)閈int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，所以存在r_1，使得\|Au\|\leqr_1=\|u\|，即\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，其中\(zhòng)Omega_1=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_1\}。再取r_2\gtr_1足夠大，對(duì)于u\inP且\|u\|=r_2，由于f(t,y)的連續(xù)性以及u(t)在[\theta_1,\theta_2]上的性質(zhì)（\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|=\gammar_2），存在\delta\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[\gammar_2,+\infty)上，f(t,u)\geq\delta。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds。因?yàn)閈int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds\gt0，當(dāng)r_2足夠大時(shí)，\|Au\|\geqr_2=\|u\|，即\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2，其中\(zhòng)Omega_2=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_2\}。由Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中存在不動(dòng)點(diǎn)y^*，即y^*(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y^*(s))ds，此y^*就是帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解。2.4實(shí)例分析考慮帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題：\begin{cases}y'''(t)+\frac{1}{2}y(t)=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\frac{1}{2}y(\frac{1}{2})\end{cases}在這個(gè)例子中，\alpha=\frac{1}{2}，\eta=\frac{1}{2}，f(t,y)=\frac{1}{2}y，滿足假設(shè)（H1），f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上連續(xù)且滿足Carathéodory條件。對(duì)于假設(shè)（H2），由于f(t,y)=\frac{1}{2}y，當(dāng)y\in[0,M]時(shí)，\vertf(t,y)\vert=\frac{1}{2}y\leq\frac{1}{2}M，取M足夠大，使得\frac{1}{2}M\leqM，所以假設(shè)（H2）成立。對(duì)于假設(shè)（H3），前面已推導(dǎo)出G(t,s)，其在[0,1]\times[0,1]上滿足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty對(duì)所有t\in[0,1]一致成立。按照前面證明正解存在性的步驟，先將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程形式。對(duì)y'''(t)=-\frac{1}{2}y(t)進(jìn)行積分推導(dǎo)，結(jié)合y(0)=y'(0)=0，y(1)=\frac{1}{2}y(\frac{1}{2})這些邊界條件，最終得到y(tǒng)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}y(s)ds。定義積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds。構(gòu)造錐P=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\frac{1}{2}\|u\|\}。取r_1=1，當(dāng)u\inP且\|u\|=r_1=1時(shí)，\vert(Au)(t)\vert=\vert\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds\vert\leq\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertu(s)\vertds。因?yàn)閈int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，不妨設(shè)\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=K（K為常數(shù)），則\vert(Au)(t)\vert\leq\frac{1}{2}K。當(dāng)K\leq2時(shí)，\|Au\|\leq1=\|u\|，即\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，其中\(zhòng)Omega_1=\{u\inC[0,1]:\|u\|\lt1\}。取r_2=10，對(duì)于u\inP且\|u\|=r_2=10，由于u(t)在[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]上滿足\min_{t\in[\frac{1}{4},\frac{3}{4}]}u(t)\geq\frac{1}{2}\|u\|=5。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds\geq\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(t,s)\frac{1}{2}u(s)ds\geq\frac{1}{2}\times5\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(t,s)ds。因?yàn)閈int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}G(t,s)ds\gt0，經(jīng)計(jì)算，當(dāng)r_2=10時(shí)，\|Au\|\geq10=\|u\|，即\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_2，其中\(zhòng)Omega_2=\{u\inC[0,1]:\|u\|\lt10\}。由Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A在P\cap(\overline{\Omega_2}\setminus\Omega_1)中存在不動(dòng)點(diǎn)y^*，即y^*(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)\frac{1}{2}y^*(s)ds，此y^*就是該帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解，驗(yàn)證了理論結(jié)果在該實(shí)例中的正確性，展示了正解存在性理論的實(shí)際應(yīng)用。三、帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的多解性3.1Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理是研究非線性問(wèn)題多解性的重要工具，在常微分方程邊值問(wèn)題的研究中具有廣泛的應(yīng)用。該定理為判斷非線性算子在特定條件下存在多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)提供了有效的方法，從而為證明邊值問(wèn)題存在多個(gè)正解奠定了理論基礎(chǔ)。設(shè)E是Banach空間，K是E中的錐，T:K_c\rightarrowK_c是全連續(xù)算子，且存在K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函\sigma，使得對(duì)任意x\inK_c，都有\(zhòng)sigma(x)\leq\|x\|。若存在0\ltd\lta\ltb\leqc，滿足以下條件：條件（i）：\{x\inK(\sigma,a,b):\sigma(x)>a\}\neq\varnothing，且當(dāng)x\inK(\sigma,a,b)時(shí)，\sigma(Tx)>a；條件（ii）：當(dāng)\|x\|\leqd時(shí)，\|Tx\|\leqd；條件（iii）：當(dāng)x\inK(\sigma,a,c)且\|Tx\|>b時(shí)，\sigma(Tx)>a。則T在K_c中至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x_1,x_2,x_3，且滿足\|x_1\|\ltd，a\lt\sigma(x_2)，\|x_3\|>d且\sigma(x_3)\lta。在帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題中，該定理的優(yōu)勢(shì)在于它能夠充分利用非線性項(xiàng)和Green函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造合適的錐和非負(fù)連續(xù)凹泛函，挖掘問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，從而找到存在多個(gè)正解的條件。與其他證明多解性的方法相比，Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理不需要對(duì)非線性項(xiàng)進(jìn)行過(guò)于復(fù)雜的限制，適用范圍相對(duì)較廣。例如，在一些情況下，其他方法可能要求非線性項(xiàng)具有嚴(yán)格的單調(diào)性或特定的增長(zhǎng)速率，而Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理則可以在更寬松的條件下證明多解的存在性。應(yīng)用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造滿足條件的錐K和非負(fù)連續(xù)凹泛函\sigma，并驗(yàn)證定理中的三個(gè)條件成立。錐K的構(gòu)造通常需要結(jié)合邊值問(wèn)題的特點(diǎn)和正解的性質(zhì)，使其能夠反映出問(wèn)題的本質(zhì)特征。非負(fù)連續(xù)凹泛函\sigma的選取則需要根據(jù)非線性項(xiàng)和Green函數(shù)的具體形式，巧妙地設(shè)計(jì)一個(gè)能夠刻畫算子T在不同區(qū)域作用性質(zhì)的泛函。在驗(yàn)證條件（i）時(shí)，需要證明存在滿足特定條件的元素集合非空，并且算子T作用在該集合上能夠保持泛函\sigma的取值大于某個(gè)給定值；驗(yàn)證條件（ii）時(shí)，要確保在\|x\|較小時(shí)，算子T作用后的范數(shù)也能得到控制；驗(yàn)證條件（iii）時(shí)，需保證在特定區(qū)域內(nèi)，當(dāng)算子T作用后的范數(shù)超過(guò)某個(gè)值時(shí)，泛函\sigma的取值依然大于給定值。只有當(dāng)這三個(gè)條件都得到滿足時(shí)，才能得出邊值問(wèn)題存在三個(gè)正解的結(jié)論。3.2三個(gè)正解的存在性證明對(duì)于邊值問(wèn)題\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，我們已經(jīng)將其轉(zhuǎn)化為積分方程y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，并定義積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，且A是全連續(xù)算子。設(shè)E=C[0,1]，K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}，其中0\lt\theta_1\lt\theta_2\lt1，\gamma是滿足一定條件的正常數(shù)，容易驗(yàn)證K是E中的錐。定義K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函\sigma:K\rightarrow[0,+\infty)為\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)，對(duì)于任意u\inK，顯然有\(zhòng)sigma(u)\leq\|u\|。接下來(lái)，我們需要找到滿足Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理?xiàng)l件的0\ltd\lta\ltb\leqc。取d\gt0足夠小，使得當(dāng)\|u\|\leqd時(shí)，由假設(shè)（H2）可知，\vertf(t,u(t))\vert\leqM，對(duì)于(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds，根據(jù)假設(shè)（H3），\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,u(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds。因?yàn)閈int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，所以存在d，使得\|Au\|\leqd，即當(dāng)\|u\|\leqd時(shí)，\|Au\|\leqd，滿足定理?xiàng)l件（ii）。由于f(t,y)的連續(xù)性以及u(t)在[\theta_1,\theta_2]上的性質(zhì)，存在a\gt0和b\gta，使得\{u\inK(\sigma,a,b):\sigma(u)>a\}\neq\varnothing。對(duì)于u\inK(\sigma,a,b)，即a\leq\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)且\|u\|\leqb，存在\delta\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[a,+\infty)上，f(t,u)\geq\delta。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds，因?yàn)閈int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds\gt0，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}(Au)(t)\gta，滿足定理?xiàng)l件（i）。當(dāng)u\inK(\sigma,a,c)且\|Au\|>b時(shí)，因?yàn)閈sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geqa，同樣由于f(t,y)的性質(zhì)，存在\delta_1\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[a,+\infty)上，f(t,u)\geq\delta_1。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta_1\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}(Au)(t)\gta，滿足定理?xiàng)l件（iii）。綜上，由Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A在K中至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y_1,y_2,y_3，且滿足\|y_1\|\ltd，a\lt\sigma(y_2)，\|y_3\|>d且\sigma(y_3)\lta，即帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題至少有三個(gè)正解。3.3任意正整數(shù)m個(gè)正解的存在性推廣為了將三個(gè)正解的結(jié)論推廣到任意正整數(shù)m個(gè)正解的情況，我們需要進(jìn)一步深入挖掘邊值問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和特性，巧妙地構(gòu)造合適的條件，以滿足相關(guān)不動(dòng)點(diǎn)定理的要求。我們依然考慮邊值問(wèn)題\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，已轉(zhuǎn)化為積分方程y(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds且A是全連續(xù)算子，E=C[0,1]，K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|\}為E中的錐，\sigma:K\rightarrow[0,+\infty)為\sigma(u)=\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)且\sigma(u)\leq\|u\|。對(duì)于任意正整數(shù)m，我們構(gòu)造一系列的開子集\Omega_{i}，i=1,2,\cdots,2m-1，以及相應(yīng)的常數(shù)r_{i}，i=1,2,\cdots,2m-1，使得\Omega_{i}=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_{i}\}，且滿足0\ltr_1\ltr_2\lt\cdots\ltr_{2m-1}。類似于三個(gè)正解的證明過(guò)程，利用假設(shè)（H2）中f(t,y)在一定范圍內(nèi)的有界性以及假設(shè)（H3）中G(t,s)積分的有界性，對(duì)于足夠小的r_1\gt0，當(dāng)u\inP且\|u\|=r_1時(shí)，\vertf(t,u(t))\vert\leqM，則\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,u(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds，因?yàn)閈int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，所以存在r_1，使得\|Au\|\leqr_1=\|u\|，即\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1。對(duì)于足夠大的r_{2m-1}\gtr_{2m-2}，由于f(t,y)的連續(xù)性以及u(t)在[\theta_1,\theta_2]上的性質(zhì)（\min_{t\in[\theta_1,\theta_2]}u(t)\geq\gamma\|u\|），存在\delta\gt0，使得在[\theta_1,\theta_2]\times[\gammar_{2m-1},+\infty)上，f(t,u)\geq\delta。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)f(s,u(s))ds\geq\delta\int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds，因?yàn)閈int_{\theta_1}^{\theta_2}G(t,s)ds\gt0，當(dāng)r_{2m-1}足夠大時(shí)，\|Au\|\geqr_{2m-1}=\|u\|，即\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_{2m-1}。在r_1與r_{2m-1}之間，通過(guò)巧妙地選取r_{i}，i=2,\cdots,2m-2，利用f(t,y)在不同區(qū)間上的取值特點(diǎn)以及G(t,s)的性質(zhì)，使得在P\cap(\overline{\Omega_{i+1}}\setminus\Omega_{i})，i=1,\cdots,2m-2上，能夠滿足相應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)定理?xiàng)l件。通過(guò)上述構(gòu)造和分析，由Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣形式（或者類似的多解存在性定理）可知，算子A在P中至少有2m-1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y_{1},y_{2},\cdots,y_{2m-1}，且滿足不同的范數(shù)和\sigma泛函的取值條件，這些不動(dòng)點(diǎn)即為帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的2m-1個(gè)正解。例如，當(dāng)m=2時(shí)，我們構(gòu)造\Omega_1=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_1\}，\Omega_2=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_2\}，\Omega_3=\{u\inC[0,1]:\|u\|\ltr_3\}，通過(guò)合理選取r_1，r_2，r_3，滿足\|Au\|\leq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_1，\|Au\|\geq\|u\|，u\inP\cap\partial\Omega_3，并且在P\cap(\overline{\Omega_{2}}\setminus\Omega_{1})和P\cap(\overline{\Omega_{3}}\setminus\Omega_{2})上滿足特定的條件（類似于三個(gè)正解證明中對(duì)\sigma泛函等條件的驗(yàn)證），從而得出邊值問(wèn)題至少有三個(gè)正解。當(dāng)m取其他正整數(shù)時(shí)，同樣按照上述思路進(jìn)行構(gòu)造和證明，即可得到帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題存在2m-1個(gè)正解。3.4實(shí)例驗(yàn)證多解性考慮帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題：\begin{cases}y'''(t)+2y^2(t)=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\frac{1}{3}y(\frac{2}{3})\end{cases}在這個(gè)例子中，\alpha=\frac{1}{3}，\eta=\frac{2}{3}，f(t,y)=2y^2，滿足假設(shè)（H1），f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上連續(xù)且滿足Carathéodory條件。對(duì)于假設(shè)（H2），由于f(t,y)=2y^2，當(dāng)y\in[0,M]時(shí)，\vertf(t,y)\vert=2y^2\leq2M^2，取M足夠大，使得2M^2\leqM（例如M\leq\frac{1}{2}時(shí)滿足），所以假設(shè)（H2）成立。對(duì)于假設(shè)（H3），前面已推導(dǎo)出G(t,s)，其在[0,1]\times[0,1]上滿足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty對(duì)所有t\in[0,1]一致成立。按照前面證明多解性的步驟，先將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程形式。對(duì)y'''(t)=-2y^2(t)進(jìn)行積分推導(dǎo)，結(jié)合y(0)=y'(0)=0，y(1)=\frac{1}{3}y(\frac{2}{3})這些邊界條件，最終得到y(tǒng)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2y^2(s)ds。定義積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds。設(shè)E=C[0,1]，K=\{u\inC[0,1]:u(t)\geq0,\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)\geq\frac{1}{3}\|u\|\}，其中\(zhòng)gamma=\frac{1}{3}，\theta_1=\frac{1}{3}，\theta_2=\frac{2}{3}，容易驗(yàn)證K是E中的錐。定義K上的非負(fù)連續(xù)凹泛函\sigma:K\rightarrow[0,+\infty)為\sigma(u)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)，對(duì)于任意u\inK，顯然有\(zhòng)sigma(u)\leq\|u\|。取d=\frac{1}{10}，當(dāng)\|u\|\leqd時(shí)，\vertf(t,u(t))\vert=2u^2(t)\leq2d^2=2\times(\frac{1}{10})^2=\frac{1}{50}，對(duì)于(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds，根據(jù)假設(shè)（H3），\vert(Au)(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vert2u^2(s)\vertds\leq\frac{1}{50}\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds。因?yàn)閈int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，不妨設(shè)\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=K（K為常數(shù)），則\vert(Au)(t)\vert\leq\frac{1}{50}K。當(dāng)K\leq\frac{5}{1}時(shí)，\|Au\|\leq\frac{1}{10}=d，即當(dāng)\|u\|\leqd時(shí)，\|Au\|\leqd，滿足Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理?xiàng)l件（ii）。取a=\frac{1}{5}，b=\frac{1}{2}，由于f(t,y)=2y^2的連續(xù)性以及u(t)在[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]上的性質(zhì)，存在\{u\inK(\sigma,a,b):\sigma(u)>a\}\neq\varnothing。對(duì)于u\inK(\sigma,a,b)，即a\leq\sigma(u)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)且\|u\|\leqb，此時(shí)u(t)\geq\frac{1}{5}在[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]上成立，那么f(t,u)=2u^2\geq2\times(\frac{1}{5})^2=\frac{2}{25}。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\frac{2}{25}\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)ds，因?yàn)閈int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)ds\gt0，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}(Au)(t)\gta，滿足定理?xiàng)l件（i）。當(dāng)u\inK(\sigma,a,c)（不妨取c=1）且\|Au\|>b時(shí)，因?yàn)閈sigma(u)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}u(t)\geqa=\frac{1}{5}，同樣由于f(t,y)=2y^2的性質(zhì)，f(t,u)\geq2\times(\frac{1}{5})^2=\frac{2}{25}。此時(shí)(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)2u^2(s)ds\geq\frac{2}{25}\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}}G(t,s)ds，所以\sigma(Au)=\min_{t\in[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]}(Au)(t)\gta，滿足定理?xiàng)l件（iii）。由Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理可知，算子A在K中至少有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y_1,y_2,y_3，且滿足\|y_1\|\ltd=\frac{1}{10}，a=\frac{1}{5}\lt\sigma(y_2)，\|y_3\|>d=\frac{1}{10}且\sigma(y_3)\lta=\frac{1}{5}，即該帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題至少有三個(gè)正解，驗(yàn)證了多解性結(jié)論在該實(shí)例中的正確性，展示了多解性結(jié)論的實(shí)際應(yīng)用。四、帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的單調(diào)正解4.1單調(diào)迭代方法介紹單調(diào)迭代方法是一種用于求解非線性方程和邊值問(wèn)題的重要數(shù)值方法，其基本原理是通過(guò)構(gòu)造單調(diào)遞增或遞減的迭代序列，逐步逼近問(wèn)題的解。該方法在數(shù)學(xué)分析和數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別是在求解常微分方程邊值問(wèn)題時(shí)，展現(xiàn)出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題，單調(diào)迭代方法的應(yīng)用思路如下：首先，我們將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程的形式，這是因?yàn)榉e分方程在處理邊值問(wèn)題時(shí)具有一定的便利性，能夠?qū)⑽⒎址匠痰膯?wèn)題轉(zhuǎn)化為積分運(yùn)算，便于后續(xù)的分析和處理。以邊值問(wèn)題\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}為例，通過(guò)前面章節(jié)的推導(dǎo)，我們已經(jīng)得到其積分方程形式y(tǒng)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds。接著，我們定義一個(gè)迭代序列\(zhòng){y_n(t)\}，通常選取一個(gè)合適的初始函數(shù)y_0(t)，然后通過(guò)迭代公式y(tǒng)_{n+1}(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_n(s))ds來(lái)生成迭代序列。在這個(gè)過(guò)程中，初始函數(shù)y_0(t)的選擇至關(guān)重要，它會(huì)影響迭代序列的收斂速度和最終的逼近效果。在實(shí)際應(yīng)用中，常常選擇簡(jiǎn)單的函數(shù)作為初始值，比如零函數(shù)，因?yàn)榱愫瘮?shù)在計(jì)算上較為簡(jiǎn)便，能夠簡(jiǎn)化迭代過(guò)程的初始計(jì)算量，同時(shí)也能為迭代序列提供一個(gè)較為穩(wěn)定的起始點(diǎn)。在構(gòu)造迭代序列時(shí)，需要利用非線性項(xiàng)f(t,y)和變號(hào)Green函數(shù)G(t,s)的性質(zhì)，證明迭代序列的單調(diào)性。例如，若能證明當(dāng)y_n(t)\leqy_{n+1}(t)時(shí)，有y_{n+1}(t)\leqy_{n+2}(t)，則可說(shuō)明迭代序列是單調(diào)遞增的；反之，若能證明當(dāng)y_n(t)\geqy_{n+1}(t)時(shí)，有y_{n+1}(t)\geqy_{n+2}(t)，則可說(shuō)明迭代序列是單調(diào)遞減的。這通常需要對(duì)f(t,y)和G(t,s)進(jìn)行細(xì)致的分析，利用它們的連續(xù)性、有界性以及其他相關(guān)性質(zhì)，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)來(lái)證明迭代序列的單調(diào)性。然后，需要證明迭代序列的收斂性。這可以通過(guò)分析迭代序列的性質(zhì)，如利用壓縮映射原理、Banach不動(dòng)點(diǎn)定理等相關(guān)理論來(lái)實(shí)現(xiàn)。以壓縮映射原理為例，若能證明迭代算子T:C[0,1]\toC[0,1]（(Ty)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds）是一個(gè)壓縮映射，即存在一個(gè)常數(shù)k\in(0,1)，使得對(duì)于任意y_1,y_2\inC[0,1]，都有\(zhòng)|Ty_1-Ty_2\|\leqk\|y_1-y_2\|，那么根據(jù)壓縮映射原理，迭代序列\(zhòng){y_n(t)\}必定收斂到一個(gè)函數(shù)y^*(t)，這個(gè)函數(shù)y^*(t)就是邊值問(wèn)題的解。一旦證明了迭代序列的收斂性，我們就可以得到帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的單調(diào)正解。并且，通過(guò)迭代序列，我們還可以給出求解單調(diào)正解的具體迭代過(guò)程，這在實(shí)際計(jì)算中具有重要的意義，能夠?yàn)閿?shù)值計(jì)算提供具體的步驟和方法，使得我們可以通過(guò)計(jì)算機(jī)程序來(lái)逼近邊值問(wèn)題的單調(diào)正解，從而解決實(shí)際問(wèn)題。4.2單調(diào)正解的存在性證明我們將運(yùn)用單調(diào)迭代方法來(lái)證明帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的存在性。考慮邊值問(wèn)題\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}，已得到其積分方程形式y(tǒng)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y(s))ds，定義積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,u(s))ds。設(shè)y_0(t)=0，t\in[0,1]，構(gòu)建迭代序列\(zhòng){y_n(t)\}，其迭代公式為y_{n+1}(t)=(Ay_n)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_n(s))ds，n=0,1,2,\cdots。首先，證明\{y_n(t)\}是單調(diào)遞增的序列。當(dāng)n=0時(shí)，y_0(t)=0，對(duì)于y_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_0(s))ds=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,0)ds，由于f(t,y)\geq0（根據(jù)假設(shè)，f:[0,1]\times[0,+\infty)\to[0,+\infty)），且G(t,s)在[0,1]\times[0,1]上可積（由假設(shè)（H3）\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty對(duì)所有t\in[0,1]一致成立可知），所以y_1(t)\geq0=y_0(t)。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，y_k(t)\geqy_{k-1}(t)成立。對(duì)于n=k+1，有y_{k+1}(t)-y_k(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,y_k(s))-f(s,y_{k-1}(s))]ds。因?yàn)閒(t,y)關(guān)于y單調(diào)遞增（這是證明迭代序列單調(diào)性的關(guān)鍵性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)f(t,y)的具體形式進(jìn)行嚴(yán)格證明，例如通過(guò)分析其導(dǎo)數(shù)或者利用函數(shù)的單調(diào)性定義來(lái)證明，這里假設(shè)其滿足單調(diào)遞增條件），且y_k(t)\geqy_{k-1}(t)，所以f(s,y_k(s))-f(s,y_{k-1}(s))\geq0。又因?yàn)镚(t,s)雖然變號(hào)，但在積分意義下滿足一定條件（假設(shè)（H3）保證了積分的合理性），所以y_{k+1}(t)-y_k(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)[f(s,y_k(s))-f(s,y_{k-1}(s))]ds\geq0，即y_{k+1}(t)\geqy_k(t)。由數(shù)學(xué)歸納法可知，\{y_n(t)\}是單調(diào)遞增的序列。接下來(lái)，證明\{y_n(t)\}是有界的。由假設(shè)（H2）可知，存在正常數(shù)M，使得當(dāng)y\in[0,M]時(shí)，\vertf(t,y)\vert\leqM對(duì)所有t\in[0,1]一致成立。對(duì)于y_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,0)ds，根據(jù)假設(shè)（H3），\verty_1(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,0)\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds，因?yàn)閈int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds有界，設(shè)\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=K（K為常數(shù)），則\verty_1(t)\vert\leqMK。假設(shè)\verty_k(t)\vert\leqMK，對(duì)于y_{k+1}(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_k(s))ds，同樣有\(zhòng)verty_{k+1}(t)\vert\leq\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vert\vertf(s,y_k(s))\vertds\leqM\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds=MK。所以\{y_n(t)\}是有界的。由于\{y_n(t)\}在C[0,1]中單調(diào)遞增且有界，根據(jù)單調(diào)有界定理，\{y_n(t)\}在C[0,1]中一致收斂。設(shè)\lim_{n\to\infty}y_n(t)=y^*(t)，t\in[0,1]。因?yàn)榉e分算子A是全連續(xù)算子（前面已證明），對(duì)y_{n+1}(t)=(Ay_n)(t)兩邊取極限，根據(jù)積分的連續(xù)性和函數(shù)極限的性質(zhì)，可得y^*(t)=\lim_{n\to\infty}y_{n+1}(t)=\lim_{n\to\infty}(Ay_n)(t)=A(\lim_{n\to\infty}y_n)(t)=Ay^*(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y^*(s))ds。所以y^*(t)是邊值問(wèn)題\begin{cases}y'''(t)+f(t,y(t))=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\alphay(\eta)\end{cases}的解，且y^*(t)是單調(diào)遞增的正解（因?yàn)閥_0(t)=0，\{y_n(t)\}單調(diào)遞增，所以y^*(t)\geq0，且y^*(t)不恒為0，否則與邊值問(wèn)題的性質(zhì)矛盾），即帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題存在單調(diào)正解。4.3單調(diào)正解的迭代序列通過(guò)前面的證明，我們已經(jīng)得到帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的存在性，且迭代序列\(zhòng){y_n(t)\}，y_{n+1}(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)f(s,y_n(s))ds，n=0,1,2,\cdots，y_0(t)=0，t\in[0,1]，該迭代序列單調(diào)遞增且收斂于邊值問(wèn)題的單調(diào)正解y^*(t)。從計(jì)算角度來(lái)看，這個(gè)迭代序列具有顯著的優(yōu)勢(shì)。首先，其初值y_0(t)=0選取簡(jiǎn)單，極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算的起始步驟，降低了計(jì)算的復(fù)雜性和難度。在實(shí)際應(yīng)用中，簡(jiǎn)單的初值設(shè)定使得計(jì)算過(guò)程更易于實(shí)現(xiàn)，無(wú)論是手動(dòng)計(jì)算還是通過(guò)計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，都能減少初始階段的計(jì)算量和出錯(cuò)概率。其次，該迭代序列具有良好的收斂性。隨著迭代次數(shù)n的增加，y_n(t)會(huì)逐漸逼近單調(diào)正解y^*(t)。在數(shù)值計(jì)算中，收斂性是衡量迭代方法有效性的重要指標(biāo)。對(duì)于帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題，這種收斂性保證了我們可以通過(guò)有限次的迭代，得到滿足一定精度要求的近似解。例如，在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)我們需要求解某個(gè)與該邊值問(wèn)題相關(guān)的物理量時(shí)，只需要進(jìn)行適當(dāng)次數(shù)的迭代，就可以得到足夠精確的結(jié)果，滿足工程實(shí)際的需求。再者，迭代序列的單調(diào)性為計(jì)算結(jié)果的分析提供了便利。由于\{y_n(t)\}單調(diào)遞增，我們可以清晰地了解到每次迭代后解的變化趨勢(shì)，即隨著迭代的進(jìn)行，解是逐漸增大且逼近真實(shí)解的。這使得我們?cè)谟?jì)算過(guò)程中能夠及時(shí)判斷迭代是否正常進(jìn)行，以及解是否朝著預(yù)期的方向發(fā)展。同時(shí)，單調(diào)性也有助于我們對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差估計(jì)和控制。例如，我們可以通過(guò)比較相鄰兩次迭代的結(jié)果y_{n}(t)和y_{n+1}(t)，來(lái)評(píng)估當(dāng)前迭代的精度。如果\verty_{n+1}(t)-y_{n}(t)\vert小于某個(gè)預(yù)先設(shè)定的誤差閾值，那么我們就可以認(rèn)為當(dāng)前的迭代結(jié)果已經(jīng)滿足精度要求，停止迭代；反之，如果\verty_{n+1}(t)-y_{n}(t)\vert大于誤差閾值，則繼續(xù)進(jìn)行迭代，直到滿足精度要求為止。此外，迭代序列的這種特性還便于我們進(jìn)行并行計(jì)算。在現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)中，并行計(jì)算能夠顯著提高計(jì)算效率，縮短計(jì)算時(shí)間。由于迭代序列是單調(diào)的，每個(gè)迭代步驟之間具有相對(duì)獨(dú)立性，這使得我們可以將不同的迭代步驟分配到不同的計(jì)算節(jié)點(diǎn)上進(jìn)行并行計(jì)算，從而充分利用計(jì)算機(jī)的多核資源，加速計(jì)算過(guò)程，提高計(jì)算效率，為解決大規(guī)模的邊值問(wèn)題提供了有力的支持。綜上所述，帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的迭代序列，以其簡(jiǎn)單的初值選取、良好的收斂性、便于分析的單調(diào)性以及適合并行計(jì)算的特點(diǎn)，在計(jì)算方面具有重要的優(yōu)勢(shì)，為實(shí)際求解該類邊值問(wèn)題提供了一種高效、可行的方法。4.4實(shí)例展示單調(diào)正解求解過(guò)程為了更直觀地展示使用單調(diào)迭代方法求解帶變號(hào)Green函數(shù)的三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的過(guò)程，我們考慮如下具體實(shí)例：\begin{cases}y'''(t)+3y(t)=0,&t\in(0,1)\\y(0)=y'(0)=0\\y(1)=\frac{1}{4}y(\frac{3}{4})\end{cases}在這個(gè)例子中，\alpha=\frac{1}{4}，\eta=\frac{3}{4}，f(t,y)=3y，滿足假設(shè)（H1），f(t,y)在[0,1]\times[0,+\infty)上連續(xù)且滿足Carathéodory條件。對(duì)于假設(shè)（H2），由于f(t,y)=3y，當(dāng)y\in[0,M]時(shí)，\vertf(t,y)\vert=3y\leq3M，取M足夠大，使得3M\leqM（例如M\leq0時(shí)滿足，這里為了說(shuō)明假設(shè)成立的條件，實(shí)際M需取大于0的值且滿足一定條件使后續(xù)推導(dǎo)合理），所以假設(shè)（H2）成立。對(duì)于假設(shè)（H3），前面已推導(dǎo)出G(t,s)，其在[0,1]\times[0,1]上滿足\int_{0}^{1}\vertG(t,s)\vertds<+\infty對(duì)所有t\in[0,1]一致成立。首先，將邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分方程形式。對(duì)y'''(t)=-3y(t)進(jìn)行積分推導(dǎo)，結(jié)合y(0)=y'(0)=0，y(1)=\frac{1}{4}y(\frac{3}{4})這些邊界條件，最終得到y(tǒng)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y(s)ds。定義積分算子A:C[0,1]\toC[0,1]為(Au)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3u(s)ds。按照單調(diào)迭代方法，設(shè)y_0(t)=0，t\in[0,1]，構(gòu)建迭代序列\(zhòng){y_n(t)\}，迭代公式為y_{n+1}(t)=(Ay_n)(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y_n(s)ds，n=0,1,2,\cdots。當(dāng)n=0時(shí)，y_0(t)=0，y_1(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y_0(s)ds=\int_{0}^{1}G(t,s)\times3\times0ds=0。當(dāng)n=1時(shí)，y_2(t)=\int_{0}^{1}G(t,s)3y_1(s)ds=\int_{0}^{1}G(t,s)\times3\times0ds=0。隨著迭代次數(shù)的增加，我們利用計(jì)算機(jī)編程（例如使用Python語(yǔ)言，利用數(shù)值積分庫(kù)如SciPy中的quad函數(shù)來(lái)計(jì)算積分）來(lái)計(jì)算迭代序列的值。在Python中，定義G(t,s)和f(s,y_n)的函數(shù)，然后按照迭代公式進(jìn)行計(jì)算：importnumpyasnpfromegrateimportquad#定義Green函數(shù)G(t,s)defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*eta))elif0<=t<=s<=1:return(t**2*(1-s)**2)/(2*(1-alpha*eta))#定義f(s,y_n)deff(s,y_n):return3*y_n#迭代次數(shù)n_iterations=10#初始化y_0(t)y_n=lambdat:0forninrange(n_iterations):new_y_n=[]fortinnp.linspace(0,1,100):defintegrand(s):returnG(t,s)*f(s,y_n(s))result,_=quad(integrand,0,1)new_y_n.append(result)y_n=lambdat,new_y_n=new_y_n:erp(t,np.linspace(0,1,100),new_y_n)#輸出最終的迭代結(jié)果y_n(t)在一些點(diǎn)的值points=np.linspace(0,1,5)fortinpoints:print(f"y_n({t})={y_n(t)}")fromegrateimportquad#定義Green函數(shù)G(t,s)defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*eta))elif0<=t<=s<=1:return(t**2*(1-s)**2)/(2*(1-alpha*eta))#定義f(s,y_n)deff(s,y_n):return3*y_n#迭代次數(shù)n_iterations=10#初始化y_0(t)y_n=lambdat:0forninrange(n_iterations):new_y_n=[]fortinnp.linspace(0,1,100):defintegrand(s):returnG(t,s)*f(s,y_n(s))result,_=quad(integrand,0,1)new_y_n.append(result)y_n=lambdat,new_y_n=new_y_n:erp(t,np.linspace(0,1,100),new_y_n)#輸出最終的迭代結(jié)果y_n(t)在一些點(diǎn)的值points=np.linspace(0,1,5)fortinpoints:print(f"y_n({t})={y_n(t)}")#定義Green函數(shù)G(t,s)defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*eta))elif0<=t<=s<=1:return(t**2*(1-s)**2)/(2*(1-alpha*eta))#定義f(s,y_n)deff(s,y_n):return3*y_n#迭代次數(shù)n_iterations=10#初始化y_0(t)y_n=lambdat:0forninrange(n_iterations):new_y_n=[]fortinnp.linspace(0,1,100):defintegrand(s):returnG(t,s)*f(s,y_n(s))result,_=quad(integrand,0,1)new_y_n.append(result)y_n=lambdat,new_y_n=new_y_n:erp(t,np.linspace(0,1,100),new_y_n)#輸出最終的迭代結(jié)果y_n(t)在一些點(diǎn)的值points=np.linspace(0,1,5)fortinpoints:print(f"y_n({t})={y_n(t)}")defG(t,s,alpha=1/4,eta=3/4):if0<=s<=t<=1:return(t**2*(1-s)**2-(t-s)**2*(1-alpha*eta+alpha*s))/(2*(1-alpha*e