2025年精算師風(fēng)險(xiǎn)模型速記練習(xí)題及答案單項(xiàng)選擇題1.已知在某風(fēng)險(xiǎn)模型中，損失隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的指數(shù)分布。則\(P(X>3)\)的值為（）A.\(e^{6}\)B.\(e^{3}\)C.\(e^{2}\)D.\(1e^{6}\)E.\(1e^{3}\)答案：A解答：若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{\lambdax},x>0\)，分布函數(shù)為\(F(x)=1e^{\lambdax},x>0\)。已知\(\lambda=2\)，則\(P(X>3)=1P(X\leq3)\)，根據(jù)分布函數(shù)\(P(X\leq3)=F(3)=1e^{2\times3}=1e^{6}\)，所以\(P(X>3)=e^{6}\)。2.設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)模型中，個(gè)體損失金額\(Y\)的分布為\(P(Y=1)=0.3\)，\(P(Y=2)=0.5\)，\(P(Y=3)=0.2\)。則\(E(Y)\)為（）A.1.5B.1.7C.1.9D.2.1E.2.3答案：C解答：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式為\(E(Y)=\sum_{i}y_{i}P(Y=y_{i})\)。這里\(y_1=1,y_2=2,y_3=3\)，\(P(Y=1)=0.3\)，\(P(Y=2)=0.5\)，\(P(Y=3)=0.2\)，則\(E(Y)=1\times0.3+2\times0.5+3\times0.2=0.3+1+0.6=1.9\)。多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)模型中風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)\(VaR\)（在險(xiǎn)價(jià)值）的說(shuō)法，正確的有（）A.\(VaR\)是一種分位數(shù)度量B.\(VaR\)考慮了尾部損失的嚴(yán)重程度C.不同的置信水平下，\(VaR\)的值不同D.\(VaR\)具有次可加性E.\(VaR\)可以用于衡量單個(gè)資產(chǎn)或投資組合的風(fēng)險(xiǎn)答案：ACE解答：A選項(xiàng)：\(VaR\)本質(zhì)上是在給定的置信水平下，衡量在一定時(shí)間內(nèi)可能出現(xiàn)的最大損失，是一種分位數(shù)度量，所以A正確。B選項(xiàng)：\(VaR\)只給出了在一定置信水平下的最大損失，沒(méi)有考慮到超過(guò)這個(gè)最大損失的尾部損失的嚴(yán)重程度，所以B錯(cuò)誤。C選項(xiàng)：置信水平不同，對(duì)應(yīng)的分位數(shù)不同，\(VaR\)的值也就不同。例如，95%置信水平下的\(VaR\)和99%置信水平下的\(VaR\)通常是不一樣的，所以C正確。D選項(xiàng)：\(VaR\)不具有次可加性，即組合的\(VaR\)可能大于單個(gè)資產(chǎn)\(VaR\)之和，這使得它在衡量投資組合風(fēng)險(xiǎn)時(shí)存在一定缺陷，所以D錯(cuò)誤。E選項(xiàng)：\(VaR\)既可以用于衡量單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，也可以用于衡量投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)，所以E正確。2.在復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型中，以下哪些性質(zhì)是正確的（）A.理賠次數(shù)\(N\)服從泊松分布B.個(gè)體理賠額\(X_i\)相互獨(dú)立且同分布C.理賠次數(shù)\(N\)與個(gè)體理賠額\(X_i\)相互獨(dú)立D.總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的矩母函數(shù)為\(M_S(t)=E\left[e^{tS}\right]=\exp\left\{\lambda\left(M_X(t)1\right)\right\}\)，其中\(zhòng)(\lambda\)是泊松分布的參數(shù)，\(M_X(t)\)是個(gè)體理賠額的矩母函數(shù)E.總損失\(S\)的均值為\(E(S)=\lambdaE(X)\)，方差為\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)答案：ABCDE解答：A選項(xiàng)：復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的定義中，理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，所以A正確。B選項(xiàng)：個(gè)體理賠額\(X_i\)相互獨(dú)立且同分布，這是復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的基本假設(shè)，所以B正確。C選項(xiàng)：理賠次數(shù)\(N\)與個(gè)體理賠額\(X_i\)相互獨(dú)立，這保證了模型的獨(dú)立性假設(shè)，便于進(jìn)行分析和計(jì)算，所以C正確。D選項(xiàng)：通過(guò)矩母函數(shù)的定義和計(jì)算，可推導(dǎo)出總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的矩母函數(shù)為\(M_S(t)=E\left[e^{tS}\right]=\exp\left\{\lambda\left(M_X(t)1\right)\right\}\)，所以D正確。E選項(xiàng)：根據(jù)期望和方差的性質(zhì)以及復(fù)合泊松分布的特點(diǎn)，可計(jì)算出\(E(S)=\lambdaE(X)\)，\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)，所以E正確。解答題1.某保險(xiǎn)公司的理賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，個(gè)體理賠額\(X\)服從參數(shù)為\(a=2,b=1\)的帕累托分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{ab^a}{(b+x)^{a+1}},x>0\)。求總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的均值和方差。解答：首先求個(gè)體理賠額\(X\)的均值\(E(X)\)和\(E(X^2)\)。對(duì)于帕累托分布\(f(x)=\frac{ab^a}{(b+x)^{a+1}},x>0\)，其均值\(E(X)=\frac{a1}\)（\(a>1\)），方差\(Var(X)=\frac{ab^2}{(a1)^2(a2)}\)（\(a>2\)）。已知\(a=2,b=1\)，則\(E(X)=\frac{1}{21}=1\)。\(E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2\)，對(duì)于\(a=2,b=1\)的帕累托分布，先求\(Var(X)\)，\(Var(X)=\frac{2\times1^2}{(21)^2(22)}\)此時(shí)方差公式不適用，直接用積分求\(E(X^2)\)：\(E(X^2)=\int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{2\times1^2}{(1+x)^{3}}dx\)令\(t=x+1\)，\(x=t1\)，\(dx=dt\)，則\(E(X^2)=2\int_{1}^{\infty}\frac{(t1)^{2}}{t^{3}}dt=2\int_{1}^{\infty}\frac{t^{2}2t+1}{t^{3}}dt=2\int_{1}^{\infty}(t^{1}2t^{2}+t^{3})dt\)\(=2\left[\lnt+\frac{2}{t}\frac{1}{2t^{2}}\right]_1^{\infty}=2\left(0+00(0+2\frac{1}{2})\right)=3\)因?yàn)槔碣r次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，根據(jù)復(fù)合泊松分布總損失\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的性質(zhì)：總損失的均值\(E(S)=\lambdaE(X)\)，將\(\lambda=3\)，\(E(X)=1\)代入得\(E(S)=3\times1=3\)?？倱p失的方差\(Var(S)=\lambdaE(X^2)\)，將\(\lambda=3\)，\(E(X^2)=3\)代入得\(Var(S)=3\times3=9\)。2.假設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)模型中，損失隨機(jī)變量\(X\)服從威布爾分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{\gamma}{\theta}(\frac{x}{\theta})^{\gamma1}e^{(\frac{x}{\theta})^{\gamma}},x>0\)，其中\(zhòng)(\gamma=2,\theta=3\)。計(jì)算\(P(1<X<5)\)。解答：威布爾分布的分布函數(shù)為\(F(x)=1e^{(\frac{x}{\theta})^{\gamma}},x>0\)。已知\(\gamma=2,\theta=3\)，則\(P(1<X<5)=F(5)F(1)\)。\(F(5)=1e^{(\frac{5}{3})^{2}}=1e^{\frac{25}{9}}\)\(F(1)=1