2026控制理論筆試題及答案1.單選題（每題2分，共20分）1.1對(duì)于離散系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，若存在狀態(tài)反饋u(k)=Kx(k)使閉環(huán)極點(diǎn)全部位于以原點(diǎn)為中心、半徑0.5的圓內(nèi)，則下列說法一定正確的是A.原系統(tǒng)必完全能控B.矩陣A的譜半徑必小于0.5C.矩陣(A+BK)的譜半徑必小于0.5D.矩陣(A+BK)的所有特征值實(shí)部必小于0答案：C。極點(diǎn)配置后閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為A+BK，其譜半徑小于0.5即滿足要求，與開環(huán)能控性無(wú)必然聯(lián)系，A、B、D均不一定成立。1.2考慮連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)?=Ax+Bu，y=Cx，若采用采樣周期T的零階保持器離散化，則離散系統(tǒng)能控性矩陣的秩與下列哪一項(xiàng)無(wú)關(guān)A.T的取值B.矩陣B的秩C.矩陣A的特征值分布D.矩陣C的秩答案：D。能控性僅與A、B、T有關(guān)，與輸出矩陣C無(wú)關(guān)。1.3給定傳遞函數(shù)G(s)=(s+2)/(s2+3s+2)，其最小實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)維數(shù)為A.1B.2C.3D.4答案：B。分母階次為2，且無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，最小實(shí)現(xiàn)維數(shù)等于分母階次。1.4對(duì)于最優(yōu)控制問題J=∫?^∞(x?Qx+u?Ru)dt，若Q半正定、R正定，則代數(shù)Riccati方程的解P必滿足A.P正定B.P負(fù)定C.P半正定D.P可能不定答案：A。在標(biāo)準(zhǔn)LQR條件下，P唯一且正定。1.5考慮非線性系統(tǒng)?=f(x)+g(x)u，若采用反饋線性化得到的新控制變量v與u的關(guān)系為A.u=α(x)+β(x)vB.u=vC.u=α(x)?β(x)vD.u=β(x)v答案：A。反饋線性化標(biāo)準(zhǔn)形式為u=α(x)+β(x)v。1.6對(duì)于離散系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)，若A為冪零矩陣，則系統(tǒng)狀態(tài)x(k)在有限步內(nèi)必收斂到A.原點(diǎn)B.單位圓C.無(wú)窮遠(yuǎn)D.周期軌道答案：A。冪零矩陣存在正整數(shù)m使A?=0，故k≥m時(shí)x(k)=0。1.7在H∞控制中，若被控對(duì)象P(s)具有右半平面零點(diǎn)，則設(shè)計(jì)控制器K(s)時(shí)通常需要A.提高環(huán)路增益B.引入非最小相位補(bǔ)償C.降低帶寬D.采用高階積分答案：B。RHP零點(diǎn)限制帶寬，需特殊補(bǔ)償策略。1.8對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)?(t)=Ax(t)+A_dx(t?τ)，若采用Lyapunov-Krasovskii泛函，其導(dǎo)數(shù)負(fù)定的充分條件通常表示為A.線性矩陣不等式B.代數(shù)Riccati方程C.微分Riccati方程D.傳遞函數(shù)范數(shù)答案：A。時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性常通過LMI求解。1.9在模型預(yù)測(cè)控制中，若預(yù)測(cè)時(shí)域N_p→∞，且終端代價(jià)等于無(wú)窮時(shí)域最優(yōu)代價(jià)，則MPC穩(wěn)定性A.無(wú)法保證B.等價(jià)于LQR穩(wěn)定性C.僅對(duì)線性系統(tǒng)成立D.需要額外終端約束答案：B。此時(shí)MPC與LQR等價(jià)，穩(wěn)定性由LQR保證。1.10對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)dx=Axdt+BdW_t，若存在矩陣P>0使A?P+PA+BQB?=0，則系統(tǒng)狀態(tài)方差A(yù).指數(shù)增長(zhǎng)B.指數(shù)衰減C.有界D.為零答案：C。該方程為L(zhǎng)yapunov型方程，保證狀態(tài)方差有界。2.多選題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）2.1關(guān)于線性系統(tǒng)能觀性，下列說法正確的是A.能觀性矩陣滿秩是充要條件B.能觀性在坐標(biāo)變換下保持不變C.能觀性蘊(yùn)含能檢測(cè)性D.能觀性要求所有模態(tài)可觀測(cè)答案：ABCD。四項(xiàng)均正確。2.2對(duì)于離散系統(tǒng)x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，若采用Deadbeat控制，則A.閉環(huán)極點(diǎn)全部位于原點(diǎn)B.任意初始狀態(tài)可在n步內(nèi)歸零C.要求系統(tǒng)完全能控D.控制器增益唯一答案：ABC。Deadbeat需能控，極點(diǎn)全零，n步歸零，但增益不唯一。2.3在魯棒控制中，μ綜合相比H∞控制的優(yōu)勢(shì)包括A.可處理結(jié)構(gòu)化不確定性B.降低保守性C.計(jì)算復(fù)雜度更低D.可處理時(shí)變不確定性答案：AB。μ綜合針對(duì)結(jié)構(gòu)化不確定性，保守性低，但計(jì)算更復(fù)雜，C、D錯(cuò)誤。2.4關(guān)于非線性系統(tǒng)滑?？刂疲铝姓f法正確的是A.滑模面設(shè)計(jì)需保證相對(duì)階為1B.控制律包含等效項(xiàng)與切換項(xiàng)C.切換增益越大抖振越弱D.高階滑?？上魅醵墩翊鸢福篈BD。切換增益越大抖振越強(qiáng)，C錯(cuò)誤。2.5對(duì)于分布式系統(tǒng)?_i=A_ix_i+∑_{j≠i}A_{ij}x_j+B_iu_i，若采用一致性協(xié)議，需滿足A.通信拓?fù)溥B通B.存在共同Lyapunov函數(shù)C.所有A_i相同D.協(xié)議增益需滿足LMI答案：ABD。A_i可不同，C錯(cuò)誤。3.填空題（每空2分，共20分）3.1連續(xù)系統(tǒng)?=[[0,1],[-2,-3]]x+[[0],[1]]u，其能控性矩陣為________，秩為________。答案：[[0,1],[1,-3]]，2。3.2離散系統(tǒng)x(k+1)=0.8x(k)+u(k)，最優(yōu)二次型代價(jià)J=∑[x2(k)+u2(k)]，使閉環(huán)極點(diǎn)位于0.5的反饋增益K=________。答案：0.3。解Riccati得P=2.5，K=(0.8?0.5)2.5/(1+2.5)=0.3。3.3對(duì)于傳遞函數(shù)G(s)=1/(s2+ω2)，其最小實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)矩陣A=________。答案：[[0,1],[-ω2,0]]。3.4若系統(tǒng)?=Ax+Bu，y=Cx，采用觀測(cè)器估計(jì)狀態(tài)，觀測(cè)器極點(diǎn)配置在?5,?6，則觀測(cè)器增益L需滿足特征多項(xiàng)式為________。答案：λ2+11λ+30。3.5在H∞控制中，若被控對(duì)象P(s)=[A|B;C|0]，則Riccati方程中的Hamiltonian矩陣H=________。答案：[[A,?BR?1B?],[?C?C,?A?]]。3.6對(duì)于時(shí)滯系統(tǒng)?(t)=?2x(t)+x(t?1)，若采用Lyapunov函數(shù)V=x2(t)+∫_{t?1}^tx2(s)ds，則其導(dǎo)數(shù)V?=________。答案：?2x2(t)+2x(t)x(t?1)+x2(t)?x2(t?1)=?x2(t)+2x(t)x(t?1)?x2(t?1)=?(x(t)?x(t?1))2≤0。3.7非線性系統(tǒng)?=?x3+u，采用反饋線性化，令v=?x3+u，則閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)開_______。答案：?=v。3.8模型預(yù)測(cè)控制中，若終端約束集為Ω，則Ω需滿足________條件。答案：正向不變且包含原點(diǎn)。3.9對(duì)于隨機(jī)系統(tǒng)dx=?xdt+dW_t，其穩(wěn)態(tài)方差為________。答案：0.5。解Lyapunov方程?2P+1=0得P=0.5。3.10分布式系統(tǒng)一致性協(xié)議u_i=?∑_{j∈N_i}(x_i?x_j)，其拉普拉斯矩陣L的特征值需滿足________。答案：除一個(gè)零特征值外其余實(shí)部為正。4.計(jì)算題（共30分）4.1（10分）給定連續(xù)系統(tǒng)?=[[?2,1],[0,?1]]x+[[1],[1]]u，y=[1,0]x(1)判斷能控性與能觀性；(2)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)為?3,?4；(3)設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器使觀測(cè)器極點(diǎn)為?5,?6；(4)寫出復(fù)合系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。答案：(1)能控性矩陣[[1,?1],[1,?1]]秩1，不完全能控；能觀性矩陣[[1,0],[?2,1]]秩2，完全能觀。(2)因不能控，先作能控分解。取T=[[1,0],[1,1]]，得?_c=?x_c+u，?_{uc}=?x_{uc}，僅能控子系統(tǒng)可配置。令u=?k_cx_c+v，期望極點(diǎn)?3，得k_c=2。原狀態(tài)反饋K=[2,0]T?1=[2,0]。(3)觀測(cè)器增益L需滿足det(λI?A+LC)=(λ+5)(λ+6)。設(shè)L=[l1;l2]，解得l1=9，l2=20，即L=[9;20]。(4)復(fù)合系統(tǒng)[?;ê]=[[A?BK,BK],[0,A?LC]][x;ê]+[[B],[0]]r，y=[C,0][x;ê]。4.2（10分）離散系統(tǒng)x(k+1)=[[0.5,1],[0,0.8]]x(k)+[[1],[0.5]]u(k)，代價(jià)J=∑[x?Qx+u?Ru]，Q=I?，R=1。(1)求無(wú)窮時(shí)域最優(yōu)反饋增益K；(2)計(jì)算閉環(huán)極點(diǎn)；(3)若采用滾動(dòng)時(shí)域N=3的MPC，寫出優(yōu)化問題。答案：(1)解離散Riccati方程P=A?PA?A?PB(R+B?PB)?1B?PA+Q，迭代得P=[[2.81,1.42],[1.42,3.05]]，K=(R+B?PB)?1B?PA=[0.46,0.89]。(2)閉環(huán)矩陣A?BK=[[0.04,0.11],[?0.23,0.36]]，特征值0.21±0.18i，模0.28<1。(3)MPC優(yōu)化min_{u_0,u_1,u_2}∑_{i=0}^2[x_i?Qx_i+u_i?Ru_i]+x_??Px_?s.t.x_{i+1}=Ax_i+Bu_i，x_0=x(k)，u_i∈?。4.3（10分）非線性系統(tǒng)??=x???=?x?+(1?x?2)x?+uy=x?(1)驗(yàn)證系統(tǒng)相對(duì)階；(2)設(shè)計(jì)反饋線性化控制律使y跟蹤參考r(t)=sint；(3)分析零動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。答案：(1)?=??=??=?x?+(1?x?2)x?+u，顯含u，相對(duì)階2。(2)令v=?x?+(1?x?2)x?+u，則?=v。取v=???e+?，e=y?r，得誤差方程?+?+e=0，指數(shù)穩(wěn)定。故u=x??(1?x?2)x????e+cost。(3)零動(dòng)態(tài)令y≡0，則x?=0，??=0，零動(dòng)態(tài)為??=0，不穩(wěn)定。需修改輸出或采用輸出重定義。5.綜合設(shè)計(jì)題（15分）考慮車輛橫向動(dòng)力學(xué)模型?=[0,1;0,?a/v]x+[0;b/v]u其中x=[y,ψ]?，y為橫向誤差，ψ為橫擺角，v=20m/s，a=12，b=20。傳感器僅測(cè)y，且存在±0.05m量化誤差。要求：(1)設(shè)計(jì)輸出反饋控制器使橫向誤差穩(wěn)態(tài)絕對(duì)值<0.02m；(2)抑制量化引起的極限環(huán)，給出Lyapunov證明；(3)在Simulink框架下給出離散實(shí)現(xiàn)步驟（T=0.01s）。答案：(1)采用線性二次高斯-環(huán)路傳遞恢復(fù)(LQG/LTR)設(shè)計(jì)。取Q=diag([100,1])，R=0.1，得Kalman增益L=[14.1;48.5]，LQR增益K=[50,12.5]。環(huán)路傳遞恢復(fù)濾波器Q?=100I，恢復(fù)因子q=103，開環(huán)傳遞函數(shù)恢復(fù)至?20dB帶寬8rad/s，穩(wěn)態(tài)誤差<0.02m。(2)考慮量化非線性φ(y)=round(y/0.05)0.05，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V=x?Px+σ∫_0^yφ(s)ds，其中P