高二數(shù)學

(試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指

定位置。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將

答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，請將答題卡上交。

4.本卷主要命題范圍：選擇性必修第一冊、選擇性必修第二冊第四章。

一、選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.直線√3x—y+4=0的傾斜角為

A.—30°B.120°C.150°D.60°

2.在等差數(shù)列{an)中，若a?+a=10,則a?=

A.3B.4C.5D.6

3.已知空間向量a=(1,-1,y)與b=(-2,r,4)共線，則y+x=

A.0B.6C.-4D.4

4.以C(2,2)為圓心，且過點B(6,—1)的圓的標準方程為

A.(x—2)2+(y-2)2=5B.(x+2)2+(y+2)2=25

C.(x-2)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y+2)2=10

5.如圖，在長方體ABCD-A?B?C?D?中，BD+BA?+BC?=

A.2DBB.2D?B

C.2BDD.2D?B?

6.已知橢圓E:)的上、下頂點與左、右焦點分別為A,B,F?,F?,且四邊形

AF,BF?是正方形，則E的離心率為

ABCD

【高二數(shù)學第1頁(共4頁)】6183B

7.已知數(shù)列{an}的通項公式為,前n項和為S,則S,取得最小值時，n的值等于

A.9B.10C.8D.1

8.已知橢圓C?)和雙曲線C?:(a?>0,b?>0)有公共的焦點，

其中F?為左焦點，P是Ci與C?在第一象限的公共點.線段PF?的垂直平分線經(jīng)過坐標原

點，若C?的離心率為,則C2的漸近線方程為

AB

D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.數(shù)列2,0,2,0,…的一個可能的通項公式是

A.an=1+(一1)n+1B

C.a?=2sinnπD.a?=1+cosnπ

10.過點P(0,2)且與拋物線y2=12x恰有一個公共點的直線方程可能為

A.y=2B.x=0

C.2x-3y+6=0D.3x-2y+4=0

11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E,F分別為棱B?C?,CC?的中點，點

P是線段A?D上的一動點，則下列說法正確的是

A.三棱錐E-APF的體積為定值

B.存在點P,使得PB?⊥PC

C.△PEF的周長的最小值為2√5+√2

D.直線PC?與平面ADD?A?所成角的正弦值的最大值為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在等比數(shù)列{an}中，a?=1,公比q=2.若an=32,則n的值為·

13.已知向量a=(1,x,2),b=(0,1,2),c=(1,0,0),若向量a,b,c共面，則x=

14.已知橢圓的左、右焦點分別為F?,F?,P,Q是橢圓C上關于坐標原點對稱的

兩點，且PQ|=|F?F?|,則四邊形PF?QF?的面積為

【高二數(shù)學第2頁(共4頁6183B

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(1,2).

(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；

(2)過該拋物線的焦點作斜率為1的直線，交拋物線于A,B兩點，求線段AB的長度.

16.(本小題滿分15分)

已知點A(1,2),B(5,6),線段AB是圓C的直徑.

(1)求圓C的標準方程；

(2)若過圓心C的直線l在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，△PAB是等邊三角形，且平面PAB⊥平

面ABCD,點E為棱AD的中點.

(1)求證：PE⊥AC;

(2)若,求平面PCD與平面PBE的夾角的余弦值.

【高二數(shù)學第3頁(共，4頁)】6183B

18.(本小題滿分17分)

已知數(shù)列{an}滿足a?=2,且,在數(shù)列{bn}中，b?=2,點P(bn,

bn+1)在函數(shù)y=x+2的圖象上.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)將數(shù)列{bn}和的所有公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn},求數(shù)列{cn}的前n項

和T..

19.(本小題滿分17分)

若橢圓C的兩個焦點分別為F?(-1,0),F?(1,0),且橢圓C過點,若直線l經(jīng)過點

F?且交橢圓C于A,B兩點，交直線x=4于點M,直線PA,PB,PM的斜率分別為k,

kz,k?.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線PA,PB關于直線PF?對稱，求k?;

(3)探究k?,kz,k?的數(shù)量關系.

【高二數(shù)學第4頁(共4.頁)】

高二數(shù)學

參考答案、提示及評分細則

題號12345678

答案DCACCDAB

題號91011

答案ABABDACD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.【答案】D

【解析】直線√3x-y+4=0的斜率k=√3,設直線的傾斜角為a,則tana=√3,因為0°≤a<180°,所以α=60°,

故選D.

2.【答案】C

【解析】在等差數(shù)列{aπ}中，a?+a?=2a?=10,解得a7=5.故選C.

3.【答案】A

【解析】因為空間向量a=(1,-1,y)與b=(-2,x,4)共線，所,解得x=2,y=-2,所以y

十x=0.故選A.

4.【答案】C

【解析】|CB|=√(2-6)2+(2+1)2=5,所以圓的半徑r=5,又以C(2,2)為圓心，所以圓的標準方程為：(x

—2)2+(y-2)2=25,故選C.

5.【答案】C

【解析】因為在長方體ABCD-A?B?C?D?中，以BA,BC,BB?為基底，則BD=BA+BC,BA?=BA+BB?,BC?

=BC+BB?,所以BD+BA?+BC?=2(BA+BC+BB?)=2(BA+AD+DD?)=2BD?,故選C.

6.【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得，橢圓的短軸長和焦距相等，即2c=2b,則離心率故選D.

7.【答案】A

【解析】令,解得n≤4或,所以當n≤4或n≥10時，a?≥0,所以S。取得最小值時n的值為

9.故選A.

8.【答案】B

【解析】記e?,e?分別為C?,C?的離心率，設F?為右焦點，半焦距為c,|PF?I=x,|PF?I=y,由題意PF?I

PF?,所以x2+y2=4c2,x+y=2a?,x-y=2a?,所以(2a1)2+(2az)2=2·4c2,即,所以

=2,解得,所以C?的漸近線方程為.故選B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得

6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】AB

【解析】分別檢驗前4項的值，易知選項AB正確，故選AB.

【高二數(shù)學參考答案第1頁(共5頁)】6183B

10.【答案】ABD

【解析】顯然直線y=2與拋物線y2=12x恰有一個公共點，故A正確；

當直線的斜率不存在時，過點P(0,2)的直線方程為x=0,符合題意，故B正確；

當直線的斜率存在且不為0時，設過點P(0,2)的直線方程為y=kx+2,由得

0,所以,所以直線方程為,即3x-2y+4=0,故D正確.故

選ABD.

11.【答案】ACD

【解析】連接B?C,則EF//B?C,又B?C//A?D,所以EF//A?D,EFC平面AEF,A?DC平面AEF,所以A?D//

平面AEF,又P是線段A?D上的一個動點，所以點P到平面AEF的距離為定值，又△AEF的面積為定

值，所以三棱錐A-PEF的體積為定值，故A正確；

在矩形A?B?CD中，A?B?=CD=2,A?D=B?C=2√2,若B?P⊥PC,此時△B?A?P△PDC,所以

,貝,則PD2-2√2PD+4=0,因為△=(-2√2)2-4×4=-8<0,所以方程無解，故B

錯誤；

因為EF=√12+12=√2,如圖所示，在四邊形A?DFE中，EF=√2,A?D=

2√2,A?E=DF=√12+22=√5,作點F關于A?D的對稱點F′,連接F′E

交A?D于點P,此時PE+PF取得最小值，最小值為線段EF′的長度，又

,所以

FF′=2FM=3√2,所以EF′=√(√2)2+(3√2)2=2√5,所以△PEF的

周長的最小值為2√5+√2,故C正確；

連接PD?,又C?D?⊥平面ADD?A?,所以∠C?PD是直線PC?與平面ADD?A?所成的角，所以sin∠C?PD

,又因為△C?A?D是邊長為2√2的等邊三角形，所以C?P的最小值即該等邊三角形的高，即

(C?,所以,故D正確.故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【答案】6

【解析】因為an=a?q“?1且a?=1,q=2,所以32=2?=1×2”-1,所以n=6.

13.【答案】1

【解析】因為b,c不共線，且向量a,b,c共面，所以存在λ,μ使得a=λb+μc,則有,解得x=λ=μ=1.

14.【答案】8

【解析】由已知及對稱性得：四邊形PF?QF?為矩形，所以PF?⊥PF?,所以

【高二數(shù)學參考答案第2頁(共5頁)】6183B

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.(教材原題)

【答案】(1)y2=4x,x=-1(2)8

【解析】(1)∵y2=2px(p>0)過點M(1,2),∴2p=4,解得p=2,4分

∴拋物線C:y2=4x,準線方程為x=-1;5分

(2)由(1)知，拋物線焦點為(1,0),…………6分

設直線AB:y=x-1,A(x?,y1),B(x?,y?),8分

由得x2—6x+1=0,則x?+x?=6,……………11分

則|AB|=|x?+x?+pl=|6+2|=8.……………………13分

16.【答案】(1)(x-3)2+(y-4)2=8(2)x+y-7=0或4x-3y=0

【解析】(1)∵線段AB是圓C的直徑，A(1,2),B(5,6),

∴C的坐標為,即(3,4),………………………2分

圓C的半徑r=√(3-1)2+(4-2)2=2√2,………………5分

所以圓C的標準方程為(x-3)2+(y-4)2=8;7分

(2)顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為y-4=k(x-3),令x=0,解得y=4-3k,令y=0,解得x=3

,又過圓心C的直線l在x軸，y軸上的截距相等，所以…………12分

解得k=-1或,所以直線l的方程為x+y-7=0或4x-3y=0.………………15分

17.【答案】(1)詳見解析②

【解析】(1)取AB中點O,連接PO,OE,BD,如圖所示，又△PAB是等邊三角形，所以PO⊥AB,又平面PAB

上平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD,2分

又ACC平面ABCD,所以PO⊥AC,3分

在△ABD中，因為O,E分別是AB,AD中點，所以OE//BD,

又底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以AC⊥OE,4分

又PONOE=0,PO,OEC平面POE,所以AC⊥平面POE,5分

又PEC平面POE,所以PE⊥AC;6分

(2),所以△ABC為正三角形，又O是AB的中點，所以AB⊥OC,由(1)知PO⊥平面ABC,以O

為坐標原點，OB,OC,OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.不防設AB=

2,所以A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-2,√3,0),P(0,0,√3),),設平面PCD的法

向量為n=(x,y,z),又PC=(0,3,一√3),CD=(-2,0,0),所以,令y=1,解得x

=0,z=1,所以平面PCD的法向量n=(0,1,1),9分

設平面PBE的法向量為m=(a,b,c),又BP=(-1,0,√3),BE=

),所以,令a=√3,解得b=5,

c=1,所以平面PBE的法向量為m=(√3,5,1)12分

設平面PCD與平面PBE的夾角為θ,

【高二數(shù)學參考答案第3頁(共5頁)】6183B

即平面PCD與平面PBE的夾角的余弦值……………………15分

18.【答案】(1)a?=2”,b?=2n(2)

【解析】(1)因為,所以當n≥2時，

……………………………2分

,所以2an=nan+1-2(n-1)an,所以an+1=2an(n≥2),又a?=2,az=

2a?,所以{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以a?=2”,5分

因為點P(bπ,bn+1)在函數(shù)y=x+2的圖象上，所以bπ+1=b?+2,即bπ+1-b=2,又b?=2,所以{ba}是首項

為2,公差為2的等差數(shù)列，所以bn=b?+2(n-1)=2n;8分

(2)因為b?=2n是所有的正偶數(shù)，又,所以cn=22#+2n,………………12分

所以T?=c?+c?+c?+…十cn=22+2+2?+4+2?+6+…+22n+2n=22+2?+2?+…+22n+2+4+6+…

………17分

19.【答案】(1)1(2)0(3)k?+k?=2k?或

【解析】(1)由題意可知，c=1,1分

,即a=2,…………3分

所以b2=a2—c2=3,所以橢圓C的標準方程………………4分

(2)直線PF?的方程為：x=1,因為直線PA,PB關于直線PF?對稱，所以分

由題意可知，直線l的斜率存在，設直線l的方程為：y=k(x-1),

聯(lián)立方程組