一、基礎(chǔ)概念再梳理：從定義到本質(zhì)的深度理解演講人CONTENTS基礎(chǔ)概念再梳理：從定義到本質(zhì)的深度理解典型題型精練：從“會(huì)做”到“做對(duì)”的能力躍升|69易錯(cuò)點(diǎn)突破：從“陷阱”到“經(jīng)驗(yàn)”的轉(zhuǎn)化綜合應(yīng)用提升：從“解題”到“用數(shù)學(xué)”的跨越總結(jié)與展望：夯實(shí)基礎(chǔ)，靜待花開目錄2025小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)因數(shù)倍數(shù)練習(xí)鞏固課件作為深耕小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)十余年的一線教師，我始終記得第一次教授“因數(shù)與倍數(shù)”單元時(shí)的場(chǎng)景——孩子們盯著“一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身”的結(jié)論眨著眼睛問：“老師，那0是不是任何數(shù)的倍數(shù)？”“為什么1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)？”這些充滿童真的疑問，讓我深刻意識(shí)到：因數(shù)與倍數(shù)作為數(shù)論知識(shí)的啟蒙，既是打開數(shù)學(xué)抽象思維的第一把鑰匙，也是學(xué)生建立“數(shù)感”的關(guān)鍵基石。今天，我們就通過系統(tǒng)的練習(xí)鞏固，一起筑牢這一重要知識(shí)板塊。01基礎(chǔ)概念再梳理：從定義到本質(zhì)的深度理解1核心概念的“雙向錨定”因數(shù)與倍數(shù)是一對(duì)“共生”概念，必須在整數(shù)除法（被除數(shù)、除數(shù)、商均為非零自然數(shù)）的框架下理解。我常對(duì)學(xué)生說：“如果把數(shù)比作一個(gè)大家庭，因數(shù)就是能‘整除’它的‘小成員’，倍數(shù)則是它能‘整除’的‘大成員’?！崩?，12÷3=4，我們就說3和4是12的因數(shù)，12是3和4的倍數(shù)。這里需要特別強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：非零限定：研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，討論范圍是“非零自然數(shù)”（教材明確說明），因此0不能作為因數(shù)或倍數(shù)；相互依存：不能單獨(dú)說“3是因數(shù)”或“12是倍數(shù)”，必須表述為“3是12的因數(shù)”“12是3的倍數(shù)”；范圍擴(kuò)展：一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的（最小1，最大本身），倍數(shù)個(gè)數(shù)是無限的（最小本身，無最大）。去年班級(jí)里有位學(xué)生曾錯(cuò)誤地認(rèn)為“6的倍數(shù)只有6、12、18”，后來通過列舉到100以內(nèi)的倍數(shù)并觀察規(guī)律，才真正理解“無限性”的本質(zhì)。2質(zhì)數(shù)與合數(shù)：分類標(biāo)準(zhǔn)的“精準(zhǔn)拿捏”質(zhì)數(shù)與合數(shù)是基于“因數(shù)個(gè)數(shù)”的分類，這是學(xué)生最易混淆的概念之一。我通常會(huì)帶學(xué)生用“因數(shù)體檢表”來區(qū)分：質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)（如2、3、5、7）；合數(shù)：除了1和它本身還有其他因數(shù)（如4、6、8、9）；特殊數(shù)1：只有1個(gè)因數(shù)，既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。記得有次練習(xí)中，學(xué)生小萌把9歸為質(zhì)數(shù)，追問原因才發(fā)現(xiàn)她只關(guān)注了“個(gè)位是奇數(shù)”，卻忽略了“9=3×3”有3個(gè)因數(shù)的事實(shí)。這提醒我們：判斷質(zhì)數(shù)合數(shù)時(shí)，必須嚴(yán)格檢查因數(shù)個(gè)數(shù)，而非依賴表面特征（如奇偶性、個(gè)位數(shù)字）。3公因數(shù)與公倍數(shù)：從“個(gè)體”到“群體”的延伸公因數(shù)是兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)共有的因數(shù)，最大公因數(shù)是其中最大的那個(gè)；公倍數(shù)是共有的倍數(shù)，最小公倍數(shù)是其中最小的那個(gè)。這部分需要結(jié)合“集合圈”幫助學(xué)生直觀理解。例如，6和8的因數(shù)集合分別是{1,2,3,6}和{1,2,4,8}，交集{1,2}就是公因數(shù)，最大公因數(shù)是2；倍數(shù)集合分別是{6,12,18,24,…}和{8,16,24,32,…}，交集{24,48,…}就是公倍數(shù)，最小公倍數(shù)是24。教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生?；煜白畲蟆迸c“最小”，可以通過“分糖果”的生活場(chǎng)景強(qiáng)化：如果有24顆奶糖和36顆水果糖，要分給若干組同學(xué)，每組兩種糖數(shù)量相同且最多，這就是求最大公因數(shù)（12組，每組2顆奶糖、3顆水果糖）；如果找6天和8天去一次圖書館的共同日期，就是求最小公倍數(shù)（24天后）。02典型題型精練：從“會(huì)做”到“做對(duì)”的能力躍升1找因數(shù)與倍數(shù)的“工具包”找因數(shù)的“配對(duì)法”找一個(gè)數(shù)的因數(shù)時(shí)，從1開始，按順序找能整除它的數(shù)，成對(duì)記錄。例如找24的因數(shù)：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24，因此因數(shù)有1,2,3,4,6,8,12,24。需要注意：①避免重復(fù)（如找到4×6后，下一對(duì)是6×4，與前面重復(fù)，停止）；②書寫時(shí)按從小到大排列。1找因數(shù)與倍數(shù)的“工具包”找倍數(shù)的“列舉法”找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，用這個(gè)數(shù)依次乘1,2,3,…，例如找5的倍數(shù)：5×1=5，5×2=10，5×3=15，…，因此倍數(shù)有5,10,15,20,…（無限延伸）。學(xué)生常犯的錯(cuò)誤是遺漏“本身”（如認(rèn)為5的倍數(shù)從10開始），可以通過“5的1倍就是它自己”來糾正。2質(zhì)數(shù)與合數(shù)的“判斷題技巧”（1）20以內(nèi)質(zhì)數(shù)的“記憶口訣”：2,3,5,7,11,13,17,19（共8個(gè)），其中2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，其余都是奇數(shù)。（2）快速判斷法：①看是否為2、3、5的倍數(shù)（除了2、3、5本身），例如4（2的倍數(shù)）、9（3的倍數(shù)）、15（3和5的倍數(shù)）都是合數(shù)；②大于2的偶數(shù)一定是合數(shù)（因?yàn)槟鼙?整除）；③1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。去年期末測(cè)試中，有一道題是“最小的質(zhì)數(shù)是（），最小的合數(shù)是（）”，全班90%的學(xué)生能正確填“2”和“4”，但仍有5%的學(xué)生誤將“1”當(dāng)作最小質(zhì)數(shù)，這說明基礎(chǔ)概念的反復(fù)強(qiáng)化至關(guān)重要。3最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的“三種算法”（1）列舉法：分別列出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)（或倍數(shù)），找公共部分的最大（或最?。┲怠＿m合較小的數(shù)，如求12和18的最大公因數(shù)：12的因數(shù){1,2,3,4,6,12}，18的因數(shù){1,2,3,6,9,18}，公共因數(shù)最大是6。（2）分解質(zhì)因數(shù)法：把兩個(gè)數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，公共質(zhì)因數(shù)的乘積是最大公因數(shù)，所有質(zhì)因數(shù)（重復(fù)的取最多）的乘積是最小公倍數(shù)。例如12=2×2×3，18=2×3×3，公共質(zhì)因數(shù)2×3=6（最大公因數(shù)），所有質(zhì)因數(shù)2×2×3×3=36（最小公倍數(shù)）。（3）短除法：用兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)依次去除，直到商互質(zhì)，所有除數(shù)的乘積是最大公因數(shù)，除數(shù)與最后的商的乘積是最小公倍數(shù)。以12和18為例：2|121803|69|69|23最大公因數(shù)=2×3=6，最小公倍數(shù)=2×3×2×3=36。學(xué)生使用短除法時(shí)常忘記“除到商互質(zhì)”，例如對(duì)12和18只除一次2，得到商6和9，就錯(cuò)誤地認(rèn)為最大公因數(shù)是2，這需要強(qiáng)調(diào)“必須除到兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止”。04易錯(cuò)點(diǎn)突破：從“陷阱”到“經(jīng)驗(yàn)”的轉(zhuǎn)化1常見誤區(qū)1：“倍數(shù)一定比原數(shù)大”糾正：一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)是它本身（如5的最小倍數(shù)是5），因此倍數(shù)可以等于原數(shù)，不能說“倍數(shù)一定比原數(shù)大”。例如，當(dāng)學(xué)生說“10的倍數(shù)是20、30、40…”時(shí)，要引導(dǎo)其補(bǔ)充“10本身也是10的倍數(shù)”。3.2常見誤區(qū)2：“所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)，所有偶數(shù)都是合數(shù)”糾正：9是奇數(shù)但不是質(zhì)數(shù)（9=3×3），2是偶數(shù)但不是合數(shù)（只有1和2兩個(gè)因數(shù)）?？梢酝ㄟ^“舉反例”的方法強(qiáng)化：“能找到一個(gè)奇數(shù)是合數(shù)嗎？”“能找到一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)嗎？”學(xué)生通過思考9和2，就能深刻理解這一結(jié)論。1常見誤區(qū)1：“倍數(shù)一定比原數(shù)大”3.3常見誤區(qū)3：“最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的和，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)的積”糾正：這是對(duì)概念的根本性誤解。例如，6和8的最大公因數(shù)是2（不是6+8=14），最小公倍數(shù)是24（不是6×8=48）；而當(dāng)兩個(gè)數(shù)互質(zhì)時(shí)（如5和7），最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是35（恰好是5×7），這是特殊情況，不能推廣到所有數(shù)。教學(xué)中可以通過對(duì)比互質(zhì)數(shù)與非互質(zhì)數(shù)的例子，幫助學(xué)生區(qū)分一般與特殊。05綜合應(yīng)用提升：從“解題”到“用數(shù)學(xué)”的跨越1生活中的因數(shù)問題：分物與分組例1：王老師買了48支鉛筆和36本練習(xí)本，要平均分給若干個(gè)進(jìn)步學(xué)生，要求每位學(xué)生分到的鉛筆和練習(xí)本數(shù)量相同，且沒有剩余。最多可以分給多少個(gè)學(xué)生？每人分到幾支鉛筆和幾本練習(xí)本？分析：這是求48和36的最大公因數(shù)。通過短除法可得最大公因數(shù)是12，因此最多分給12個(gè)學(xué)生，每人分到48÷12=4支鉛筆，36÷12=3本練習(xí)本。2生活中的倍數(shù)問題：周期與重合例2：小明每6天去一次圖書館，小紅每8天去一次圖書館。如果他們7月1日同時(shí)去了圖書館，下一次同時(shí)去圖書館是幾月幾日？分析：這是求6和8的最小公倍數(shù)（24），因此24天后（7月25日）他們會(huì)再次同時(shí)去圖書館。教學(xué)時(shí)可以結(jié)合日歷表，讓學(xué)生直觀看到日期的推移，理解“最小公倍數(shù)”在周期問題中的應(yīng)用。3拓展挑戰(zhàn)：質(zhì)數(shù)的“特殊組合”例3：兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是18，積是65，這兩個(gè)質(zhì)數(shù)分別是多少？分析：先列出和為18的質(zhì)數(shù)對(duì)（5和13，7和11），再計(jì)算積：5×13=65，7×11=77，因此符合條件的是5和13。這類題目需要學(xué)生熟練掌握質(zhì)數(shù)表，并靈活運(yùn)用“和與積”的關(guān)系，是對(duì)質(zhì)數(shù)概念的深度考查。06總結(jié)與展望：夯實(shí)基礎(chǔ)，靜待花開總結(jié)與展望：夯實(shí)基礎(chǔ)，靜待花開回顧今天的練習(xí)鞏固，我們從基礎(chǔ)概念出發(fā)，通過典型題型強(qiáng)化了應(yīng)用能力，突破了易錯(cuò)點(diǎn)，最后在生活場(chǎng)景中體會(huì)了數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。因數(shù)與倍數(shù)不僅是五年級(jí)的重點(diǎn)，更是六年級(jí)分?jǐn)?shù)約分、通分的基礎(chǔ)，是初中學(xué)習(xí)因式分解的前奏。正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！毕Ｍ瑢W(xué)們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中，繼續(xù)用“列舉法”“短除法”等工具筑牢基礎(chǔ)，用“舉反例”“找聯(lián)系”的