一、知識回顧：構建清晰的概念網(wǎng)絡演講人知識回顧：構建清晰的概念網(wǎng)絡總結與展望：讓因數(shù)倍數(shù)成為思維的“腳手架”綜合應用：在挑戰(zhàn)中實現(xiàn)升華能力提升：在變式中發(fā)展思維基礎鞏固：在辨析中深化理解目錄2025小學五年級數(shù)學下冊因數(shù)倍數(shù)拓展練習課件各位老師、同學們：大家好！作為一名深耕小學數(shù)學教學十余年的一線教師，我始終認為，“因數(shù)與倍數(shù)”是小學數(shù)學數(shù)論模塊的核心內容，它不僅是后續(xù)學習分數(shù)約分、通分、分數(shù)四則運算的重要基礎，更是培養(yǎng)學生邏輯思維、數(shù)感和問題解決能力的關鍵載體。今天，我們將圍繞“因數(shù)倍數(shù)”這一主題，通過“知識梳理—基礎鞏固—能力提升—綜合應用”的遞進式設計，展開一場深入的拓展練習。希望通過這節(jié)課，同學們不僅能夯實概念，更能學會用數(shù)學的眼光觀察生活，用數(shù)學的思維解決問題。01知識回顧：構建清晰的概念網(wǎng)絡知識回顧：構建清晰的概念網(wǎng)絡要高效完成拓展練習，首先需要我們對“因數(shù)與倍數(shù)”的核心概念和內在聯(lián)系有清晰的理解。讓我先帶大家“溫故知新”，通過“概念樹”的形式梳理關鍵知識點。1基礎概念：定義與本質因數(shù)與倍數(shù)：若整數(shù)(a)能被整數(shù)(b)（(b\neq0)）整除，即(a\divb=c)（(c)為整數(shù)），則稱(b)是(a)的因數(shù)，(a)是(b)的倍數(shù)。需注意：因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的關系，不能單獨說“某個數(shù)是因數(shù)”或“某個數(shù)是倍數(shù)”。例如，(12\div3=4)，只能說“3是12的因數(shù)，12是3的倍數(shù)”，而不能說“3是因數(shù)，12是倍數(shù)”。公因數(shù)與最大公因數(shù)：兩個或多個整數(shù)公有的因數(shù)，稱為它們的公因數(shù)；其中最大的一個，稱為最大公因數(shù)（GCD）。例如，12和18的公因數(shù)有1、2、3、6，最大公因數(shù)是6。1基礎概念：定義與本質公倍數(shù)與最小公倍數(shù)：兩個或多個整數(shù)公有的倍數(shù)，稱為它們的公倍數(shù)；其中最小的一個（非零），稱為最小公倍數(shù)（LCM）。例如，4和6的公倍數(shù)有12、24、36…，最小公倍數(shù)是12。2關鍵性質：規(guī)律與特例因數(shù)的有限性與倍數(shù)的無限性：一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)是有限的，最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)是無限的，最小倍數(shù)是它本身，沒有最大倍數(shù)。例如，15的因數(shù)有1、3、5、15（共4個），而15的倍數(shù)有15、30、45…（無限個）。特殊數(shù)的因數(shù)與倍數(shù)：1的因數(shù)只有1；質數(shù)（如2、3、5）的因數(shù)只有1和它本身；合數(shù)（如4、6、8）的因數(shù)至少有3個；0是任何非零整數(shù)的倍數(shù)（但討論因數(shù)時一般不涉及0）。2關鍵性質：規(guī)律與特例最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關系：對于兩個非零整數(shù)(a)和(b)，有(a\timesb=\text{GCD}(a,b)\times\text{LCM}(a,b))。例如，(12\times18=6\times36=216)，驗證了這一性質。3常用方法：工具與技巧找因數(shù)的方法：列舉法（成對列舉，如找24的因數(shù)：1×24，2×12，3×8，4×6，故因數(shù)為1、2、3、4、6、8、12、24）；分解質因數(shù)法（將數(shù)分解為質數(shù)相乘的形式，如(24=2^3\times3^1)，則因數(shù)個數(shù)為((3+1)\times(1+1)=8)個）。找最大公因數(shù)的方法：列舉法（分別列出兩個數(shù)的因數(shù)，找公共最大的）；分解質因數(shù)法（取公共質因數(shù)的最低次冪相乘，如(12=2^2\times3^1)，(18=2^1\times3^2)，則GCD為(2^1\times3^1=6)）；短除法（用公共質因數(shù)連續(xù)除，直到商互質，所有除數(shù)的乘積即為GCD）。3常用方法：工具與技巧找最小公倍數(shù)的方法：列舉法（分別列出兩個數(shù)的倍數(shù)，找公共最小的）；分解質因數(shù)法（取所有質因數(shù)的最高次冪相乘，如(12=2^2\times3^1)，(18=2^1\times3^2)，則LCM為(2^2\times3^2=36)）；短除法（用公共質因數(shù)連續(xù)除，直到商互質，所有除數(shù)和最后的商的乘積即為LCM）。（設計意圖：通過系統(tǒng)梳理，幫助學生構建“概念—性質—方法”的知識網(wǎng)絡，為后續(xù)拓展練習奠定堅實基礎。）02基礎鞏固：在辨析中深化理解基礎鞏固：在辨析中深化理解拓展練習的第一步是“打牢地基”。以下題目聚焦概念辨析與基礎應用，旨在通過“易錯題”“對比題”幫助同學們避免常見誤區(qū)，強化對核心概念的精準把握。1概念辨析題：破除認知誤區(qū)題目1：判斷對錯，并說明理由。（1）因為(2.4\div0.6=4)，所以0.6是2.4的因數(shù)，2.4是0.6的倍數(shù)。（）（2）一個數(shù)的倍數(shù)一定比它的因數(shù)大。（）（3）兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定是它們的最大公因數(shù)的倍數(shù)。（）解析與關鍵點：（1）錯誤。因數(shù)與倍數(shù)的定義僅適用于整數(shù)范圍，0.6和2.4是小數(shù)，因此不成立。這題考查對“整數(shù)”這一前提條件的理解。（2）錯誤。一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，最大因數(shù)也是它本身，因此可能相等（如5的最小倍數(shù)是5，最大因數(shù)也是5）。這題糾正“倍數(shù)一定更大”的錯誤直覺。1概念辨析題：破除認知誤區(qū)（3）正確。根據(jù)(a\timesb=\text{GCD}\times\text{LCM})，可知(\text{LCM}=\frac{a\timesb}{\text{GCD}})，因此LCM是GCD的倍數(shù)（如12和18的GCD=6，LCM=36，36÷6=6）。這題強化對“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)關系”的理解。教學反思：在實際教學中，我發(fā)現(xiàn)學生常因忽略“整數(shù)范圍”“自身情況”等細節(jié)犯錯。通過這類題目，能有效培養(yǎng)學生“咬文嚼字”的審題習慣。2基礎應用題：強化方法應用題目2：按要求填空。（1）36的因數(shù)有（），其中質數(shù)有（），合數(shù)有（）。（2）a和b是兩個互質的數(shù)（(a>b>1)），它們的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。（3）一個數(shù)既是15的因數(shù)，又是15的倍數(shù)，這個數(shù)是（）。解析與關鍵點：（1）36的因數(shù)需成對列舉：1×36，2×18，3×12，4×9，6×6，故因數(shù)為1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中質數(shù)是2、3（只有1和自身兩個因數(shù)），合數(shù)是4、6、9、12、18、36（至少3個因數(shù)）。這題綜合考查因數(shù)、質數(shù)、合數(shù)的概念。2基礎應用題：強化方法應用（3）一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身，因此答案是15。這題深化對“因數(shù)與倍數(shù)自我同一性”的理解。（設計意圖：通過“概念辨析+基礎應用”的組合練習，幫助學生在“糾錯—應用”中鞏固核心知識，避免“眼高手低”。）（2）互質數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積（如5和7的GCD=1，LCM=35）。這題強化“互質數(shù)”的特殊性質。在右側編輯區(qū)輸入內容03能力提升：在變式中發(fā)展思維能力提升：在變式中發(fā)展思維當同學們能熟練運用基礎概念后，我們需要提升難度，通過“變式題”“開放題”“生活應用題”培養(yǎng)靈活思維和問題解決能力。這部分題目需要同學們跳出“套公式”的慣性，學會“具體問題具體分析”。1變式拓展題：打破思維定式題目3：已知(m)和(n)是兩個非零自然數(shù)，且(m=5n)，則(m)和(n)的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。解析與思維引導：題目中(m=5n)，說明(m)是(n)的5倍（如(n=2)，則(m=10)）。此時，較小的數(shù)(n)是它們的最大公因數(shù)（因為(n)的因數(shù)都是(m)的因數(shù)），較大的數(shù)(m)是它們的最小公倍數(shù)（因為(m)的倍數(shù)包含(n)的倍數(shù)）。因此，答案是(n)和(m)。延伸思考：若(m=kn)（(k)為自然數(shù)），則GCD為(n)，LCM為(m)。這一規(guī)律可推廣到“倍數(shù)關系”的兩數(shù)中。1變式拓展題：打破思維定式教學案例：曾有學生認為“兩數(shù)的最大公因數(shù)一定小于兩數(shù)”，但通過這題（如(m=10)，(n=2)，GCD=2，等于(n)），學生意識到“當兩數(shù)成倍數(shù)關系時，最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)”，有效打破了思維定式。2生活應用題：感受數(shù)學價值題目4：學校要將48本故事書和36本科技書分給若干個小組，要求每個小組分到的故事書和科技書數(shù)量相同，且沒有剩余。最多可以分給多少個小組？每個小組分到多少本故事書和科技書？解析與步驟分解：問題本質：求48和36的最大公因數(shù)（GCD），因為小組數(shù)需同時整除48和36，最大小組數(shù)即最大公因數(shù)。計算GCD：用短除法，48和36的公共質因數(shù)有2、2、3，故GCD=(2\times2\times3=12)，即最多分12個小組。每組數(shù)量：故事書(48\div12=4)本，科技書(36\div12=3)本。2生活應用題：感受數(shù)學價值驗證：12個小組，每組4本故事書、3本科技書，總數(shù)(12\times4=48)，(12\times3=36)，符合要求。數(shù)學價值：這題將“最大公因數(shù)”與“分配問題”結合，體現(xiàn)了數(shù)學在生活中的實際應用。類似的問題還有“鋪正方形地磚（求長和寬的最大公因數(shù)確定地磚邊長）”“排隊分組（求人數(shù)的最大公因數(shù)確定每組人數(shù)）”等。3開放探究題：培養(yǎng)創(chuàng)新思維題目5：找出兩個數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是3，最小公倍數(shù)是30。這樣的數(shù)有幾組？解析與探究過程：設兩數(shù)為(a)和(b)，根據(jù)(a\timesb=\text{GCD}\times\text{LCM})，得(a\timesb=3\times30=90)。需滿足(a)和(b)的最大公因數(shù)是3，即(a=3m)，(b=3n)（(m)和(n)互質）。代入得(3m\times3n=90)，即(m\timesn=10)。找互質的(m)和(n)（(m\leqn)）：3開放探究題：培養(yǎng)創(chuàng)新思維(m=1)，(n=10)（互質），對應(a=3)，(b=30)；(m=2)，(n=5)（互質），對應(a=6)，(b=15)；(m=5)，(n=2)（與上一組重復）；(m=10)，(n=1)（與第一組重復）。因此，共有2組：（3,30）和（6,15）。思維提升：這題需要逆向運用“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的關系”，并結合“互質數(shù)”的性質，培養(yǎng)學生的逆向思維和分類討論能力。（設計意圖：通過變式、生活、開放三類題目，引導學生從“學知識”轉向“用知識”，在解決問題中發(fā)展邏輯思維、創(chuàng)新思維和應用意識。）04綜合應用：在挑戰(zhàn)中實現(xiàn)升華綜合應用：在挑戰(zhàn)中實現(xiàn)升華數(shù)學的魅力在于“舉一反三”和“觸類旁通”。最后，我們將通過“跨知識點綜合題”和“復雜生活問題”，檢驗同學們對“因數(shù)倍數(shù)”的深度理解，以及綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。1跨知識點綜合題：融合質數(shù)與分解質因數(shù)題目6：一個兩位數(shù)是質數(shù)，它的兩個數(shù)字的和是10，差是4。這個兩位數(shù)是多少？解析與步驟：設十位數(shù)字為(a)，個位數(shù)字為(b)，則(a+b=10)，(|a-b|=4)。解方程組：若(a-b=4)，則(a=b+4)，代入(a+b=10)，得(b+4+b=10)，(2b=6)，(b=3)，(a=7)，兩位數(shù)為73；若(b-a=4)，則(b=a+4)，代入(a+b=10)，得(a+a+4=10)，(2a=6)，(a=3)，(b=7)，兩位數(shù)為37。1跨知識點綜合題：融合質數(shù)與分解質因數(shù)驗證質數(shù)：73和37都是質數(shù)（73的因數(shù)只有1和73，37同理）。因此，這個兩位數(shù)是37或73。知識融合：此題融合了“質數(shù)概念”“數(shù)位表示”“和差問題”，需要學生綜合運用多知識點解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學知識的關聯(lián)性。2復雜生活問題：周期與公倍數(shù)的結合題目7：甲、乙、丙三輛公交車分別每隔6分鐘、8分鐘、12分鐘從起點站發(fā)車一次。早上6:00三輛車同時發(fā)車，下一次三輛車同時發(fā)車是幾時幾分？解析與數(shù)學建模：問題本質：求6、8、12的最小公倍數(shù)（LCM），因為同時發(fā)車的時間間隔是三輛車發(fā)車周期的公倍數(shù)，最小間隔即最小公倍數(shù)。計算LCM：用分解質因數(shù)法，(6=2\times3)，(8=2^3)，(12=2^2\times3)，取最高次冪得(2^3\times3=24)，即最小公倍數(shù)是24分鐘。時間計算：6:00+24分鐘=6:24。因此，下一次同時發(fā)車是6:24。延伸思考：若題目改為“至少經過多少分鐘三輛車再次同時發(fā)車”，答案同樣是24分鐘。這類問題在生活中常見，如路燈閃爍、音樂節(jié)拍同步等，都可通過“最小公倍數(shù)”解決。3競賽挑戰(zhàn)題：拓展思維邊界題目8：已知(A=2^3\times3^2\times5)，(B=2^2\times3\times7)，求(A)和(B)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。解析與高階技巧：最大公因數(shù)（GCD）：取公共質因數(shù)的最低次冪，公共質因數(shù)為2和3，最低次冪分別為(2^2)和(3^1)，故GCD=(2^2\times3=12)。最小公倍數(shù)（LCM）：取所有質因數(shù)的最高次冪，質因數(shù)有2、3、5、7，最高次冪分別為(2^3)、(3^2)、(5^1)、(7^1)，故LCM=(2^3\times3^2\times5\times7=8\times9\times5\times7=2520)。3競賽挑戰(zhàn)題：拓展思維邊界思維價值：這題直接考查“分解質因數(shù)法”求GCD和LCM的高階應用，適合學有余力的同學挑戰(zhàn)，為后續(xù)學習“分數(shù)運算”“約分通分”打下堅實基礎。（設計意圖：通過跨知識點、復雜生活、競賽挑戰(zhàn)三類題目，引導學生從“解決單一問題”轉向“綜合運用知識”，實現(xiàn)思維從“線性”到“網(wǎng)狀”的升級。）05總結與展望：讓因數(shù)倍數(shù)成為思維的“腳手架”總結與展望：讓因數(shù)倍數(shù)成為思維的“腳手架”回顧本節(jié)課的學習，我們從“知識梳理”出發(fā)，通過“基礎鞏固—能力提升—綜合應用”的遞進式練習，深入理解了因數(shù)倍數(shù)的概念、性質和方法，并學會了用它們解決生活中的實際問題。1核心知識總結概念網(wǎng)絡：因數(shù)與倍數(shù)（依存關系）→公因數(shù)與最大公因數(shù)（公共因數(shù)的最大值）→