復(fù)習(xí)任務(wù)群一現(xiàn)代文閱讀Ⅰ把握共性之“新”打通應(yīng)考之“脈”第二章等式與不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，理解不等式的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解實(shí)數(shù)比較大小的基本事實(shí)，初步學(xué)會用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。?邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．認(rèn)識并證明不等式的性質(zhì)及推論，能利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)如圖，在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志：必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知其含義分別為①最低限速：限制行駛速度v不得低于50km/h．②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量m不得超過10t．③限制高度：裝載高度h不得超過3.5m．④限制寬度：裝載寬度a不得超過3m．⑤時(shí)間范圍：t∈[7.5，10]．問題你能用含不等號的數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？知識點(diǎn)1不等關(guān)系與不等式1．不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些______的式子，稱為不等式．不等號2．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小作差法的理論依據(jù)：a－b＜0?______；a－b＝0?______；a－b＞0?______．a(chǎn)<ba＝ba>b3．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法方法依據(jù)結(jié)論畫數(shù)軸比較法實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；如果點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，則稱x為點(diǎn)P的坐標(biāo)，并記作P(x)數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動時(shí)，它所對應(yīng)的實(shí)數(shù)會變大作差比較法如果a－b>0，那么______；如果a－b<0，那么a<b；如果a－b＝0，那么______確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系a>ba＝b提醒比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號，變形的常用方法有配方、分解因式等．知識點(diǎn)2不等式的性質(zhì)與推論項(xiàng)目別名內(nèi)容注意性質(zhì)1可加性a>b?a＋c__b＋c可逆性質(zhì)2可乘性c的符號性質(zhì)3性質(zhì)4傳遞性a>b，b>c?______同向性質(zhì)5對稱性a>b?______可逆>

>

<

a>cb<a項(xiàng)目別名內(nèi)容注意推論1移項(xiàng)法則a＋b>c?a__c－b可逆推論2同向可加性同向推論3同向同正可乘性同向同正推論4可乘方性a>b>0?an__bn(n∈N，n>1)同正推論5可開方性同正>

>

>

>

>

提醒(1)推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：幾個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．推論2是同向不等式相加法則的依據(jù)．(2)同向不等式可以相加但不能相減，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d．思考

如果性質(zhì)4中的不等式帶有等號，那么結(jié)論是否仍然成立？[提示]

(1)如果性質(zhì)4中的兩個(gè)不等式只有一個(gè)帶有等號，那么等號是傳遞不過去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c．(2)如果兩個(gè)不等式都帶有等號，那么有：若a≥b且b≥c，則a≥c．其中a＝c時(shí)，必有a＝b且b＝c．知識點(diǎn)3證明問題的常用方法方法定義綜合法從________出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法分析法從要證明的____出發(fā)，________使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止反證法首先假設(shè)結(jié)論的____成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立．反證法是一種間接證明的方法已知條件結(jié)論逐步尋求否定提醒反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、定理、公理、事實(shí)等矛盾．

×√√√×(6)綜合法的推理過程實(shí)際上是尋找它的必要條件的過程．分析法的推理過程實(shí)際上是尋求使結(jié)論成立的充分條件的過程． (

)(7)用反證法證明結(jié)論“a＞b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a≤b”． (

)(8)用反證法證明時(shí)，推出的矛盾不能與假設(shè)矛盾． (

)√√×

√√3．用不等號“<”或“>”填空：(1)如果a>b，c>0，則d＋ac________d＋bc；(2)如果a>b，c<0，則c(d－a)________c(d－b)；(3)如果a>b，d>e，c<0，則d－ac________e－bc．>>>(1)>

(2)>

(3)>

[(1)因?yàn)閍>b，c>0，所以ac>bc，所以d＋ac>d＋bc．(2)因?yàn)閍>b，所以－a<－b，所以d－a<d－b，因?yàn)閏<0，所以c(d－a)>c(d－b)．(3)因?yàn)閍>b，c<0，所以ac<bc，所以－ac>－bc，因?yàn)閐>e，所以d－ac>e－bc．]類型1作差法比較兩數(shù)(式)的大小【例1】

【鏈接教材P63例1】(1)設(shè)m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比較x與y的大?。?2)已知x>1，比較x3－1與2x2－2x的大?。P(guān)鍵能力·合作探究釋疑難

【教材原題·P63例1】例1比較x2－x和x－2的大?。甗解]

因?yàn)?x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，又因?yàn)?x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1>0，從而(x2－x)－(x－2)>0，因此x2－x>x－2．發(fā)現(xiàn)規(guī)律

作差比較法的步驟及作差變形的方法(1)作差法比較大小的步驟：作差→____→____→結(jié)論．(2)變形的方法：①________；②____；③通分；④平方差、立方差(和)公式；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論．變形定號因式分解配方

①②④

反思領(lǐng)悟

利用不等式性質(zhì)判斷命題真假的注意點(diǎn)(1)運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解有關(guān)不等式的選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算．

√B

[選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>b>0，c<0<d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D，如a＝－1，b＝0時(shí)不成立，故選B．]

反思領(lǐng)悟

1．分析綜合法的解題思路根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證．2．反證法證明問題的3個(gè)步驟(1)假設(shè)結(jié)論的否定成立．(2)推理得到矛盾．(3)得出假設(shè)不成立．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．設(shè)a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．(請用分析法和綜合法兩種方法證明)[證明]

(法一：綜合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．(法二：分析法)要證3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需證3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需證(3a2－2b2)(a－b)≥0，因?yàn)閍≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>2a2－2b2≥0，所以(3a2－2b2)(a－b)≥0成立，所以原不等式得證．1．設(shè)M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(a－2)，則(

)A．M＞N

B．M≥NC．M＜N D．M≤N學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)√C

[N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，即M＜N，故選C．]2．用反證法證明某命題時(shí)，對結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(

)A．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)B．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)D．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)√B

[反證法證明命題時(shí)，反設(shè)是設(shè)結(jié)論的反面成立，即否定結(jié)論，故B正確．]

√ABD

[由不等式的性質(zhì)可知選項(xiàng)ABD不正確．]√√4．若－1＜α＜β＜1，則下列各式中恒成立的是(

)A．－2＜α－β＜0B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0D．－1＜α－β＜1√A

[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1．所以－2＜α－β＜2，但α＜β．故知－2＜α－β＜0．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．作差比較法的四個(gè)步驟是什么？[提示]

(1)作差：對要比較大小的兩個(gè)式子作差．(2)變形：對差式通過通分、因式分解、配方、有理化等方法進(jìn)行變形．(3)判斷符號：對變形后的結(jié)果結(jié)合題設(shè)條件判斷出差的符號．(4)作出結(jié)論．上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．2．利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假有哪兩種方法？[提示]

(1)直接法：對于真命題，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于假命題只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特殊值法：對于假命題常采用特殊值法舉反例．3．證明不等式的常用方法有哪些？[提示]證明不等式常用的方法有：作差(商)比較法、綜合法、分析法、反證法．章末綜合測評(一)動量守恒定律題號13524687910111213√1415一、選擇題1．(多選)若a>b，則下列各式不正確的是(

)A．a(chǎn)－2>b－2

B．2－a>2－bC．－2a>－2b D．a(chǎn)2>b2課時(shí)分層作業(yè)(十三)不等式及其性質(zhì)√√BCD

[因?yàn)閍>b，所以a－2>b－2，故選項(xiàng)A正確；2－a<2－b，故選項(xiàng)B錯誤；－2a<－2b，故選項(xiàng)C錯誤；a2，b2無法比較大小，故選項(xiàng)D錯誤．故選BCD．]題號135246879101112131415題號21345687910111213√14152．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，則p與q的大小關(guān)系為(

)A．p≤q B．p≥qC．p<q D．p>qD

[因?yàn)閜－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q．故選D．]3．設(shè)x<a<0，則下列不等式成立的是(

)A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax√題號213456879101112131415B

[因?yàn)閤<a<0，所以x2>a2．因?yàn)閤2－ax＝x(x－a)>0，所以x2>ax．又ax－a2＝a(x－a)>0，所以ax>a2．所以x2>ax>a2．故選B．]√

題號213456879101112131415

題號213456879101112131415√

題號213456879101112131415C

[事實(shí)上本題的“∧”和“∨”運(yùn)算就是取最小值和最大值運(yùn)算，而ab≥4，則a，b中至少有一個(gè)大于或等于2，否則ab＜4，∴a∨b≥2；同理，c＋d≤4，則c，d中至少有一個(gè)小于或等于2，∴c∧d≤2．故選C．]題號213456879101112131415二、填空題6．用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程可以歸納為以下三個(gè)步驟．①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角；③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°．其正確順序?yàn)開_______．題號213456879101112131415③①②③①②

[用反證法證明命題的步驟是：先假設(shè)命題不成立，然后通過推理得出矛盾，最后否定假設(shè)，從而得到正確的命題．故填③①②．]題號213456879101112131415

題號213456879101112131415a＝－1，b＝2(答案不唯一)

[容易發(fā)現(xiàn)，若將①式轉(zhuǎn)化為②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b與ab異號，顯然應(yīng)使a＋b>0，ab<0．當(dāng)a<0，b>0時(shí)，需使a＋b>0，則|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；當(dāng)a>0，b<0時(shí)，需使a＋b>0，則|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1．綜上，取任意異號兩數(shù)，且正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值皆為合理答案．]a＝－1，b＝2(答案不唯一)8．若x>1，－1<y<0，則x，y，－y，－xy由小到大的順序是________________(用“<”連接)．題號213456879101112131415y<－y<－xy<x

[因?yàn)閤>1，－1<y<0，所以0<－y<x，因?yàn)椋瓂－(－xy)＝y(tǒng)(x－1)<0，所以－y<－xy，因?yàn)閤－(－xy)＝x(1＋y)>0，所以－xy<x，所以y<－y<－xy<x．]y<－y<－xy<x

題號213456879101112131415

√10．有外表一樣，質(zhì)量不同的四個(gè)小球，它們的質(zhì)量分別是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，則這四個(gè)小球由重到輕的排列順序是(

)A．d>b>a>c B．b>c>d>aC．d>b>c>a D．c>a>d>b題號213456879101112131415A

[因?yàn)閍＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，所以2a>2c，即a>c．因此b<d．因?yàn)閍＋c<b，c>0，所以a<b，綜上可得：c<a<b<d．]√

題號213456879101112131415√

題號213456879101112131415∴a≠b，不妨設(shè)a>b>0．∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2