試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁渭南市2026屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（I）數(shù)學(xué)試題命題人：韓黎波劉增峰王建龍考生注意：1、本試題滿分150分，時(shí)間120分鐘.2、答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3、將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號(hào)完成在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi).第I卷選擇題（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．8 B．12 C．16 D．204．拋物線的準(zhǔn)線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．15．函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則（

）A． B． C． D．7．如果一個(gè)圓錐和一個(gè)半球有公共底面，圓錐的體積恰好等于半球的體積，那么這個(gè)圓錐軸截面頂角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．若，對(duì)，都有成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分.9．下列命題為真的是（

）A．設(shè)，若，則B．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心C．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1D．一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則10．已知圓：，直線：，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為C．圓與圓有四條公切線D．當(dāng)時(shí)，圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于111．設(shè)函數(shù)，則（

）A．點(diǎn)是圖像的對(duì)稱中心B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，直線不是曲線的切線D．若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則第II卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，若，則.13．已知函數(shù)，則.14．已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，滿足，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，求的面積.16．如圖1，在等邊三角形中，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，連接，，，將沿折到的位置，如圖2，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.17．已知雙曲線：的離心率為，的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)是雙曲線上的點(diǎn)，，兩點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限，若，，求面積的取值范圍.18．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為和，且.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：.19．為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有1臺(tái)玩具車和2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的1臺(tái)玩具車和2個(gè)不同的玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換．(1)兩人進(jìn)行一次交換后，設(shè)小明手中玩具車的臺(tái)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)兩人進(jìn)行次交換后，記小明手中恰有1個(gè)玩具車的概率為．①求；②求．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)已知中集合，結(jié)合集合的并集和補(bǔ)集運(yùn)算的定義，可得答案．【詳解】∵集合，，∴，又∵全集，∴，故選：D2．C【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，則，故選：C.3．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，故，因此，故選：C4．B【分析】由題可得拋物線的準(zhǔn)線為，將代入橢圓方程求得答案.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，將代入，得，所以.故選：B.5．D【分析】利用整體法求解函數(shù)的對(duì)稱中心，即可得解.【詳解】令,則，故的對(duì)稱中心為，取，則其中一個(gè)對(duì)稱中心為，故選：D6．B【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】令，則，令，則，令，則，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，則函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，

由圖可知，.故選：B.7．C【分析】由條件得到半球的底面半徑和圓錐的高之間的關(guān)系，進(jìn)而求出圓錐的母線長(zhǎng)，再利用余弦定理即可求出圓錐軸截面頂角的余弦值.【詳解】

設(shè)圓錐與半球的底面半徑為，圓錐的高為，母線長(zhǎng)為，軸截面的頂角為.則由可得，即.所以圓錐的母線長(zhǎng)，則由余弦定理可得，所以圓錐軸截面頂角的余弦值是.故選：C8．A【分析】先構(gòu)造函數(shù)，，其周期為，由周期性與，可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，令，由的存在性，再結(jié)合三角函數(shù)定義結(jié)合對(duì)應(yīng)三點(diǎn)在單位圓中的分布求即可.【詳解】令函數(shù)，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且周期，要使對(duì)任意成立，則.令，由題意，，成立，則只需.下面結(jié)合三角函數(shù)定義求解.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，作以原點(diǎn)為圓心的單位圓，設(shè)點(diǎn)，，，

則向量?jī)蓛蓨A角為，即三個(gè)點(diǎn)均勻分布在單位圓上.故即三點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值，如圖可知，要使取最小值，只需三點(diǎn)中最左側(cè)點(diǎn)位于單位圓最左端即處即可，故，所以，即的最小值為.

因此實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A.9．BCD【分析】A選項(xiàng)，利用二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到方程，求出答案；B選項(xiàng)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)的定義作出判斷；C選項(xiàng)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義作出判斷；D選項(xiàng)，由超幾何分布的定義得到D答案．【詳解】對(duì)于A，，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故B正確；對(duì)于C，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，C正確；對(duì)于D，由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，且，故D正確．故選：BCD．10．AB【分析】對(duì)A，將直線含參部分合并同類項(xiàng)列出方程組求解直線恒過的定點(diǎn)即可；對(duì)B，先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)最小時(shí)即為定點(diǎn)與圓心的連線與已知直線垂直時(shí)取得，再運(yùn)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可；對(duì)C，利用兩個(gè)圓心的距離與半徑判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系；對(duì)D，當(dāng)時(shí)直線確定，先求出圓心到直線的距離，再結(jié)合半徑長(zhǎng)度進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，直線的方程可變形為，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，則經(jīng)過兩點(diǎn)的直線與直線垂直時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小，此時(shí)圓心到直線的距離為，所以最小弦長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為3，滿足，所以兩圓外切，共有三條公切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓，則圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，因?yàn)?，所以圓上只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11．ABD【分析】對(duì)于A計(jì)算即可判斷，對(duì)于B由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征即可判斷，求切線方程即可判斷C，結(jié)合零點(diǎn)的定義代入計(jì)算，即可判斷D，【詳解】對(duì)于A：由，所以是圖像的對(duì)稱中心，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以，令，得或，由有：或，由有：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，所以，由，，所以在處的切線方程為：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，所以，對(duì)比項(xiàng)的系數(shù)有：，故D正確；故選：ABD.12．【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，所以，所以，故答案為：.13．1【分析】由函數(shù)解析式可知時(shí)，其周期為2，利用周期化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其周期為2，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：114．35【分析】設(shè)（為正整數(shù)），由得，然后從1開始依次取正整數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，得到，即，進(jìn)而求出，分別令，3，求出，推理得到，即可得解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以設(shè)（為正整數(shù)），由得.若，則，與矛盾；若，即，而，與數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾；若（為正整數(shù)），即，而，都與數(shù)列是遞增數(shù)列矛盾；故只能，即，所以.令，則，令，則.因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，且，所以.所以.故答案為：3515．(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為，.(2)【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.（2）先求出角，再用余弦定理求出邊長(zhǎng)，最后用三角形面積公式求出面積即可.【詳解】（1），，所以的最小正周期，令，，解得，，所以的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）已知，則，即；因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以，則，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，解得，依據(jù)余弦定理，可得，即，解得或；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，不符合題干銳角三角形的條件，舍去這種情況；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為銳角，符合題干銳角三角形的條件，且，∠C也為銳角，故△ABC為銳角三角形，符合題干條件;根據(jù)三角形面積公式，可得，所以的面積為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)已知條件證明平面，最后結(jié)合面面垂直的判定即可求證；（2）根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量求法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，分別為等邊三角形的，邊的中點(diǎn)，所以是等邊三角形，且.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因?yàn)?，所以與平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，所以.易知，所以，又，平面，所以平面.（2）設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，取的中點(diǎn)，連接，由題設(shè)知，由（1）知平面，又平面，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，得，令，則，，此時(shí).易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，所以，則平面與平面夾角的余弦值為.17．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)離心率以及焦點(diǎn)到漸近線的距離表達(dá)出對(duì)應(yīng)的關(guān)系再求解即可.(2)由雙曲線方程與漸近線方程可設(shè)，再利用求得，再代入雙曲線方程求解化簡(jiǎn)，再代入面積公式求解即可.【詳解】（1）由題意，一條漸近線方程，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，故雙曲線的方程：.（2）

由題，漸近線方程為，故設(shè)，因?yàn)?，故，將點(diǎn)代入雙曲線方程，則，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，則，故.因?yàn)?，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，故.18．(1)(2)（i）（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意求解即可；（2）（i）由題意得是方程的兩個(gè)正根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間和極值分析求解即可；（ii）由（i）可知，由得，則可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和最值，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，求導(dǎo)得，則，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）（i），且定義域.因?yàn)槿粲袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)正根，即令，則，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（ii）由（i）可知，且時(shí)，，又，所以，令，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，?19．(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)①；②；【分析】（1）首先分析得X的可能取值為0，1，2，再列出其分布列，計(jì)算其數(shù)學(xué)期望即可；（2）①：分兩次都交換玩具車、兩次都交換玩偶以及一次交換玩具車，一次交換玩偶討論即可；②：記小明