2.1

LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型與傳輸算子2.1.1建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型有兩類建立系統(tǒng)模型的方法，

一是輸入輸出描述法，

二是狀態(tài)變量描述法。上式是一個微、積分方程，對方程兩邊求導，并代入系數(shù)，整理為這是二階系統(tǒng)的數(shù)學模型——二階線性微分方程。例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC

串聯(lián)電路，

e(t)為激勵信號，響應為i(t),

試寫出其微分方程。解這是有兩個獨立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，利用KVL定理列回路方程，可得圖2.1-1-RLC串聯(lián)電路一般有n個獨立動態(tài)元件組成的系統(tǒng)是n階系統(tǒng)，可以由n

階微分方程描述(或n

個一階微分方程組描述)。還可以從另一個角度判斷一般電路系統(tǒng)的階數(shù)：系統(tǒng)的階數(shù)等于獨

立的電容電壓vc(t)與獨立的電感電流i(t)的個數(shù)之和。其中

獨立vc(t)是不能用其他vc(t)(可含電源)表示的；獨立i(t)是不

能用其他i(t)(可含電源)表示的。例2.1-2如圖2.1-2所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。解

(1)列電路(a)的KVL

方程：R?i?(t)+Vc?(t)+vc?(t)=e(t),c?(t)=VR?(t),

有兩個獨立的vc(t),

所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。(2)列電路(b)

的KVL方

程：Vc?(t)=vc?(t)+Vc?(t),是

通

過

其他vc(t)表示的，是非獨立的vc(t);但

vc?(t)≠Vvc?(t),

有

兩

個

獨立的vc(t),所以該系統(tǒng)也是二階系統(tǒng)。圖2.1-2-例2.1-2電路(2.1-1)式(2.1-1)的一般形式書寫起來不方便，為了形式上簡潔，

可以將微、積分方程中的微、積分運算用算子符號p

與1/p表示，由此得到的方程稱為算子方程。2.1.2用算子符號表示微分方程n階

LTI

系統(tǒng)的數(shù)學模型是n階線性常系數(shù)微分方程，一般表示為(2.1-2)(2.1-3)(2.1-4)這樣，例2.1-1電路的微分方程可以表示為p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)微分算子積分算子式(2.1-1)的n

階線性微分方程可以用算子表示為p"y(t)+an-1p"?1y(t)+…+a?py(t)+aoy(t)=bmp"f(t)+bm-1P"?1f(t)+…+b?pf(t)+b?f(t)

(2.1-5)式(2.1-5)是算子方程。算子方程中的每一項表示的是運算關系，而不是代數(shù)運算。不過模仿代數(shù)運算，可以將式(2.1-5)

寫為(p"+a-1p"?1+…+a?p+a?)y(t)=(bm2"+b-1p"?1+…+b?p+b?)f(t)(2.1-6)式(2.1-6)是n

階線性微分方程的算子方程。在這里，利用了提取公因子的代數(shù)運算規(guī)則。若再令D(p)=p”+am-1p”?1+…+a?p+an(2.1-7a)N(p)=bp”+bn-1p"-1+…+b?p+b?

(2.1-7b)稱D(p)、N(p)分別為分母、分子算子多項式，則式(2.1-6)可簡化為D(p)y(t)=N(p)f(t)

(2.1-8)式中，分母多項式D(p)

表示對輸出y(t)的運算關系，分子多項式N(p)

表示對輸入f(t)的運算關系，而不是兩個多項式相

除的簡單代數(shù)關系。式(2.1-8)還可以進一步改寫為(2.1-9)=[p2+(a+b)p+ab]x這樣例2.

1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)

還可以表示為

(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(p+a)(p+b)x=[p2+(a+b)p+ab]x證(1)可進行類似代數(shù)運算的因式分解或因式相乘展開。(2.1-10)(2)算子方程左、右兩端的算子符號p

不能隨便消去。由

解出x=y+C

而不是x=y,

兩者相差一個任意常數(shù)

C,

所以不能由px=py得到x=y,

即px=py,

但x≠y。這一結論可推廣到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y,

但

x≠y(3)p、1/p

位置不能互換。因為所以

(2.1-11)而因此(2.1-12)2.1.3用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學模型利用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學模型比較方便，這種方法簡

稱算子法。它是先將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示，

得到算子電路；再利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方

程；最后將算子方程轉換為微分方程。電感的算子表示可由

其電壓電流關系得到，因為式中，Lp

是電感算子符號，若理解為廣義的電感感抗，則式(2.

1-13)滿足廣義歐姆定律。(2.1-13)同理，由電容上的電壓電流關系得到(2.1-14)例2.1-3如圖2.1-1所示RLC

串聯(lián)電路，輸入為e(t),輸出為電流i(t),用算子法列出算子方程與微分方程。圖2.1-3-例2.1-3的算子電路兩邊同時作微分運算(“前乘”p),

得算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)由上面的算子方程寫出微分方程為解將圖2.1-1中的電感、電容用算子符號表示，得到算子電路如圖2.1-3所示，利用廣義的KVL,列出算子方程式結果與例2.1-1相同。例2.

1-4

如圖2.

1-4(a)電路

，f(t)為

激

勵

信

號

，

響

應

為i?(t),試用算子法求其算子方程與微分方程。1Ω

2Hi?(1)

1H3(a)圖2.1-4-例2.1-4電路與算子電路1Ωi?(t)十

f(t)20(b)由式(2.

1-7)與式(2.

1-8),可寫成(p2+5p+3/2)i?(t)=0.5pf(t)列出兩個算子方程利用克萊姆法則，解出解將圖2

.

1

-

4(a)

中的電感用算子符號表示，如圖2.

1-4(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法微分方程為也可以寫成例2.1-5

如圖2.1-5(a)所示電路輸入為e(t),

輸出為i?

(t)、i?

(t),

用算子法求其算子方程與微分方程。已知L?=1H,L?=2H,R?=2Ω,R?=1Ω,C=1F。圖2.1-5-例2.1-5電路與算子電路為避免在運算過程中出現(xiàn)p/p因子，可先在上面的方程組兩邊同時作微分運算，即“前乘”p(當分子分母同時出現(xiàn)p

時可

約),得到解將圖2.1-5(a)中的電感、電容分別用算子符號表示如圖2.1-5(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法，列算子方程組由式(2

.

1-

7)與式(2

.

1-8),可得(2p3+5p2+5p+3)i?(t)=(2p2+p+1)e(t)微分方程為利用克萊姆法則，解出(2p3+5p2+5p+3)i?(t)=e(t)微分方程為用相同的方法，可以得到這樣，系統(tǒng)的輸出可以表示為y(t)=H(p)f(t)(2.1-15)(2.1-16)我們定義傳輸(轉移)算子H(p)

為2.1.4傳輸(轉移)算子H(p)由式(2.1-9)有例2.1-6求例2.1-1激勵為e(t),響應為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子

H(p)。解

例2.1-1的算子方程為(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)則由得到例2.1-7

求例2.1-4激勵為f(t),響應為i?

(t)的系統(tǒng)傳輸算子

H(p)。解

例2.1-2的算子方程為則由得到例2.1-8求例2.1-5激勵為e(t),響應為i?(t)

時的系統(tǒng)傳輸算子H?(p);激勵為f(t),響應為i?(t)

時的系統(tǒng)傳輸算子

H?(p)。解

由可得2.2

LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應2.2.1零輸入響應零輸入響應與激勵無關，其數(shù)學模型是齊次微分方程。

將f(t)=0

代入式(2.1-8)的算子方程，得到式(2.2-1)中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式，D(p)=0是系統(tǒng)的特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為系統(tǒng)的特征根。D(p)y(t)=0

(2.2-1)一般n

階齊次微分方程所給的初始條件是零輸入響應的標準初始條件y;(0),

(0)。該標準初始條件可簡記為

(0)(k=0,1,2,…,n-1)或。為強調零輸入響應是由系統(tǒng)換路前儲能引起的換路后系統(tǒng)響應，初始條件中的0可加下標用

0+表示為yzi

。為了減少符號，書寫簡便，零輸入響應的初始條件還可記為{yk(0)}或

,且

(k=0,1,2,…,n—1)

(2.2-2)式(2.2-2)表明，除非特別說明，本書所給初始條件是零輸入初始條件。下面，先討論一階系統(tǒng)零輸入響應求解的一般方法，再討論二階系統(tǒng)零輸入響應求解的一般方法，最后是n

階系統(tǒng)零輸入響應求解的一般方法。一階齊次微分方程為y(t)=y(0)et>0

(2.2-4)由式(2.2-4)可知，此時解的一般模式取決于特征根λ,而解的系數(shù)由初始條件確定。

二階齊次微分方程的一般算子形式為得特征根p=λ,

其解(零輸入響應)的一般形式為由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0,(2.2-3)(2.2-5)由

p2+a?p+a

。=(p一λ?)(p一

λ2)=0,得到二階系統(tǒng)的兩個特征根λ?

、λ2。與一階齊次微分方程相同，二階齊次微分方程解的模式取決于兩個特征根λ?

、λ2,其表達式為y(t)=C?e1?+C?e^2t>0(2.2-6)式中，系數(shù)C?

、C?

由兩個初始條件y(0)

、y'(O)確定。

(2.2-7)解此方程組，求出C?

、C?,從而確定了二階系統(tǒng)的零輸入響應。以上是二階系統(tǒng)特征根不同的情況，如果p2+a?p+ao=(p一λ)2=0,特征根相同，則是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為y(t)=C?e+C?te

t>0

(2.2-8)系數(shù)C?

、C?

仍由兩個初始條件y(0),y'(0)

確定n

階齊次微分方程的算子形式為(2.2-9)由特征方程D(p)=p”+an-1p”?1+…+a?p+ao=(p

一

λ?)(p—λ2)…(p一

λn)=0(2.2-10)可以得到n

個特征根λ?、λ2、…、λn,n階齊次方程解的模式取決于這n個各不相同的特征

根，表達式為 t>0

(2.2-11)

n

個系數(shù)C?

、C?

、

…

、C,由

n個初始條件y(0)

、y'(O)

、y"(0)

、

…

、y”-1)(0)確定。(2.2-12)常數(shù)C?

、.

…

.

、Cn

可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為式(2.2-12)可用矩陣形式表示為(2.2-

14)(2.2-13)若n階系統(tǒng)的特征方程為D(p)=(p—λ?)*(p—λ+1)…(p—λ)=0(2.2-15)則此時λ?為k

重根，其余均為單根。重根λ1_對應齊次解的一般形式為(C?+C?t+…+C.t-

1)e1?

(2.2-16)當只有一個特征根λ1為k

重根時，齊次通解y?;(t)的一般形式為(2.2-17)例2.2-1

已知系統(tǒng)的傳輸算子

初始條件y;(0)=1,,試求系統(tǒng)的零輸入響應。解

特征根λ?=-3,λ?=-4由式(2.2-6),零輸入響應形式為y;(t)=C?e?3+C?e?“t>0將特征根及初始條件y(0)=1,y'(0)=2代入式(2.2-7)

解出

最后

y,;(t)=6e?3-5e?

t>0例2.2-2已知電路如圖2.2-1所示，開關K在t=0時閉合，初始條件i?(O)=0,i'?(O)=-1A/s。求零輸入響應i?(t)。1Ht=0X

Ke(t)

i?(t)

12

i?(t)

1F圖2.2-1-例2.2-2電路解先

求e(t)→i?(t)

時的H(p)解出則代初始條件t>02.2.2初始條件標準化n

階電路系統(tǒng)的儲能情況，通常由n

個獨立儲能元件的

初始狀態(tài){x(0)}

表示。在求零輸入響應時，需要把這樣的

初始狀態(tài)，即非標準初始條件轉變?yōu)樗枰牧爿斎腠憫獦?/p>

準初始條件y?(i)(0+)(k=0,1,2,..,n-1),

這個過程就叫

做零輸入響應初始條件標準化，簡稱初始條件標準化。例2.2-3

已知電路如圖2.2-2,且i(0)=1A,vc(0)=10V,求

i(t)。R=5Ω

L=1H

i(0_)十f(t)

i(t)

6F

vc(0_)圖2.2-2-例2.2-3電路D(p)=(p+2)(p+3),λ1=-2,λ2=-3i;(t)=C?e?2+C?e-3t>0解先

求f(t)→i(t)

的H(p)。(p2+5p+6)i(t)=pf(t)標準初始條件應為i(0+)與,這就需要將兩個已知的非標準初始條件i(0_)

、vc(0_)

轉變?yōu)闃藴食跏紬l件i;(0+)

、。此電路中的電感電流及電容電壓不會突變，即有vc(0_)=vc(0+)=10V

、i(0_)=i(0+)

。又因為

i(t)=i?(t),所以可得到i?(0+)=i?(0+)=1A(標準初始條件之一);而

就需要由0+電路及非標準初始

條件解出。列電路方程為將i;(0+)=1、vc(0+)=10代入上式，有5+i;(0+)+10=0由上式解得i;(0+)=-15A/s(標準初始條件之二)。由標準初始條件得到方程組將t=0+

及

f(t)=0代入上式，得5i?(0+)+i:(0+)+vc(0+)=0代入i;(t)

得到iz;(t)=-12e?2+13e?3

t>0解出例2.2-4

電路如圖2.2-3所示，已知i(0)=1A,vc(0)=1V,求

i?;(0+),i'2z;(0+),i2zi(t)。i(1)

L=1Ht=0X

KR?1Ω

i2(t)圖2.2-3-例2.2-4電路C=1Fvc(t)i?(t)e(t)將e(t)=

0、t=0+、i?=i

以及R、L、C

參數(shù)值代入，得到

(A)-i?(0+)+i?(0+)+vc(0+)=0

(B)

由式(B),i?(0+)=i?(0+)-vc(0+)=0,代入式(A)i(0+)+i?(0+)=0→i(0+)=-i?(0+)=-1

A/s對式(B)求導-i?(0+)+i?(0+)+v.(0+)=0因為

,代入上式得到標準化初始條件：,與例2.2-2的標準化初始條件相同，解得結果相同，

不再重復。解

此題也有非標準化初始條件轉化為標準化初始條件的問題。由網(wǎng)孔KVL

方程組：2.3

LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應2.3.1單位沖激響應h(t)輸入為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應定義為單位沖激響應，簡稱沖激響應，記為h(t),如圖2.3-1所示。δ(t)

H(p)

h(t)圖2.3-1-單位沖激響應h(t)=H(p)δ(t)δ(t)→h(t)n

階線性系統(tǒng)的傳輸算子為h(t)由傳輸算子表示為(2.3-1a)(2.3-1b)或記為(2.3-2)為分析簡便，更突出求解單位沖激響應的基本方法，假設H(p)的分母多項式D(p)

均為單根，將分母多項式D(p)分解，并代入式(2.3-1a),

得到(2.3-3a)(2.3-3b)(2.3-3c)將其展開為部分分式之和式中式(2.3-3a)中的系數(shù)A?~A,由待定系數(shù)法確定，上式表明一個n

階系統(tǒng)可以分解為n

個一階子系統(tǒng)之和。首先討論一階系統(tǒng)的單位沖激響應的一般表示，再將結果推廣至高

階系統(tǒng)。式(2.3-3c)是一階子系統(tǒng)的單位沖激響應的算子表示。由式(2.3-3c)分別得到一

階系統(tǒng)的算子方程及微分方程為(p一λ;)h;(t)=A;δ(t)

(2.3-4a)

(2.3-4b)對式(2.3-4b)的微分方程求解，先在式(2.3-4b)的等式兩邊同時乘以e?i,即e?ith;(z)I_=A;u(t)e?i'h;(t)—h;(0_)=A;u(t)上式左邊正是h;(t)e?i

的全微分，即對上式兩邊同時積分代入式(2.3-3b),

得

到n

階系統(tǒng)的單位沖激響應為由于因果系統(tǒng)的hi(O)=0,

因此一階子系統(tǒng)沖激響應的一般項為(2.3-5)(2.3-6)利用式(2.3-5),可得h(t)=(3e3—2e-2t)u(t)例2.3-1求例2.1-6系統(tǒng)單位沖激響應h(t)。解

例2.1-6的傳輸函數(shù)由待定系數(shù)法分解為例2.3-2

如圖2.3-2所示電路，輸入為電流源i(t),輸出為電容電壓vc(t),試求系統(tǒng)的沖激響應h(t)。十C=0.1F:

c(t)ic(1)一7Ωi(②)L=1H圖2.3-2-例2.3-2電路i(t)解

由廣義

KCL

列算子節(jié)點方程i(t)+ic(t)=i(t)H;(p)A/(p—λ)ApAA??/(p-

λ)2h;(t)Ae“u(t)A8'(t)Aδ(t)A??

teu(t)表2-1列出了部分

H(p)與其對應的h(t),可以直接應用。表

2

-

1

H(p)

所對應的h(t)2.3.2系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y(t)當系統(tǒng)的初始狀態(tài)(儲能)為零時，僅由激勵f(t)引起的響

應是零狀態(tài)響應yz(t)。利用系統(tǒng)的單位沖激響應以及LTI

系

統(tǒng)的時不變性、比例性以及積分特性，我們可以得到因果系

統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)。根

據(jù)

LTI

系統(tǒng)的時不變性，當輸入移位時，δ(t)→h(t)

輸

出也移位t,可以得到δ(t—t)→h(t

一τ)(2.3-7)f(z)δ(t—t)→f(z)h(t—t)

(2.3-8)再利用LTI

系統(tǒng)的積分特性，若輸入信號是原信號的積分，輸出信號亦是原信號的積分，最后得到即

(2.3-9)根據(jù)LTI

系統(tǒng)的比例性，當輸入乘以強度因子f(z)時，輸出也乘以強度因子f(τ),

又得到例2.3-3如圖2.3-3所示電路，已知激勵f(t)=u(t),用時域法

求i(t)。圖2.3-3-例2.3-3電路(t)將f(t)、h(t)代入式(2.3-9)得解年

(pL+R)i(t)=f(t)h(t)=e?1u(t)2.4卷積及其性質2.4.1卷積卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的

函

數(shù)f?(t)與f?(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)y()。這個關系表示

為(2.4-1)此式與式(2.3-9)相同，是在因果系統(tǒng)條件下卷積的特例。最后設f?(t)

、f?(t)均為因果信號，即

f?(t)=f?(t)u(t),f?(t)=f?(t)u(t),將上面的結果代入式(2.4-1),不難得到 t>0

(2.4-3)式(2.4-3)是在因果信號、因果系統(tǒng)條件下卷積公式的特例。此式是在因果信號條件下卷積的特例。再設f?(t)為因果信號，即f?(t)=f?(t)u(t),但

f?(t)不受此限，則設

f?(t)為因果信號，即f?(t)=f?(t)u(t),而

f?(t)不受此限，則有(2.4-2)=f(t—t?)由式(2.4-5)可知，任意函數(shù)與

δ(t-t?)卷積，相當于該信號通過一個延時(移位)器，

如圖2.4-

1所示。2.4.2任意函數(shù)與δ(t)、u(t)卷

積(1)f(t)*δ(t)=f(t)

(2.4-4)從

f(t)與

δ(t)

卷積結果可知δ(t)是卷積的單位元。(2)f(t)*δ(t-t?)=f(t-t?)

(2.4-5)f(t)

δ(t-t)

→f(t

一t?)

延

時t?

→

f(t

一t)圖2.4-1由式(2.4-7)可知，任意因果信號與u(t)卷積，相當于信號通過下限為0的積分器，如圖2.4-3所示。圖2.4-2特別的，若f(t)是因果信號，則由式(2.4-6)可知，任意函數(shù)與u(t)卷積，相當于信號通過一個積分器，如圖2.4-2所示。圖2.4-3

任意因果信號與u(t)卷積(2.4-6)(2.4-7)2.4.3卷積的性質1.

時

移f(t—to

一

t?)=f?(t-to)*f?(t-t?)=f?(t-t?)*f?(t-t?)=f?(t-to

一t?)*f?(t)=f?(t)*f?(t—t?一

t?)

(2.4-8)=f?(t)*f?(t-t一t?)同理可證式(2.4-8)的其他形式。當f?(t)

、f?(t)

、f?(t)分別滿足可積條件時，一些代數(shù)性質也適合卷積運算。令τ

-t?=x,代入上式，得2.交換律f?(t)*f?(t)=f?(t)*f?(t)

(2.4-9)f?

(t)*f?

(t)也稱為卷積的第二種形式，式(2.4-9)實際應用意義如圖2.4-4所示。證f?(t)*(令t-t=x,dz=-dx)(再令

x=t)f?(t)

一

f?()

y(t)

f?(1)

f?(t)

y(t)圖2.4-4-交換律的實用意義(激勵與系統(tǒng)的作用可互換)3.分配律f?(t)*[f?(t)+f?(t)]=f?(t)*f?(t)+f?(t)*f?(t)(2.4-10)證=f?(t)*f?(t)+f?(t)*f?(t)式(2.4-10)實際應用意義如圖2.4-5所示。f?(t)f?(t)

一

f?(t)+f?(t)

f?(t)

·

y(t)f?(t)圖2.4-5-分配律的實用意義(并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應之和)4.結合律f?(t)*[f?(t)*f?(t)]=[f?(t)*f?(t)]*

f?(t)

(2.4-11)證,τ=λ+x,dt=dx,代入上式式(2.4-11)實際應用意義如圖2.4-6所示。f?(t)f?(t)

f?(t)y(t)

f?(t)

f?(1)*f?(1)y(t)圖2.4-6-結合律的實用意義(級聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應的卷積)2.4.4卷積的圖解法卷積的圖解法是計算卷積的基本方法，優(yōu)點是可以直觀

確定積分限、積分條件，并且作圖方便。圖解法具體步驟為(1)f(t)→f(z),

函數(shù)圖形不變，僅t→T。(2)h(t)→h(t-T),它包括兩部分運算：①折疊h(t)→h(τ)→h(-T);(3)將折疊移位后的h(t-T)與f(T)相

乘

。(4)求h(t-t)與f(T)相乘后其非零值區(qū)的積分(面積)。是

h(一τ)與h(t—t)

之間的“距離”。左移

,t右移②

移

位圖2.4-7例2.4-1的f(t)、h(t)解

具體計算如圖2.4-8所示。第2種計算方法，如圖2.4-9所示。例2.4-1f(t)、h(t)如圖2.4-7所示，求y(t)=f(t)*h(t)。(b)

當0<K1時

，h(t

一z)與ft)

非零值區(qū)不重疊，h(t一z)·ft)=0,

所

以ft)*h(t)(c)當1<K<2時，h(t

一t)

與f(t)

非零值區(qū)重疊的

區(qū)間為0～t,

所以th(t

一t)h(t一t)0y(1)E/2圖2.4-8例2.4-1圖解法示意圖f(z)h(一t)t=0(b)(c)(d)(e)(d)

當t>2

時，h(t一z)與ft)非零值區(qū)重疊的

區(qū)間為1～2,所以(a)

將h(一τ)(t=0)的端點0標注為t,

ft)*h(t)=0(a)

h(t-r)0<t<1(e)最后，得到()如圖所示。t>2E(a)將(一z)(t=0)

的兩個端點-2和-1

分別標注為t-2

與t-1。(b)當0<<1時，ft一z)與h(z)非零值區(qū)不重疊，

ft

一r)·h(z)=0,

所以f(t)*h(t)=0。(c)當1<1<2時，ft一t)與h(z)非零值區(qū)重疊的區(qū)間為0～t-1,

所以f(一z)t=0(a)(b)f(t一t)圖2.4-9例2.4-1第2種圖解法示意圖t-20<<1t-21<K2t-1t-1E(d)當>2時，ft-z)與h(t)非零值區(qū)重疊的

區(qū)間為t-2～t-1,所以t-2iy(1)ot-2(c)Eft一t)最后，得到(1)如圖2.4-9(e)所示，與第1種方法相同。t-1(d)2

(e)h(z)0E/2>22.4.5卷積的微分與積分性質(1)微分式(2.4-12)表示對兩個函數(shù)的卷積函數(shù)微分，等于對其中一個函數(shù)微分后再卷積。由卷積的第二種形式，同理可證(2.4-12)證由卷積的第二種形式同理可證(2)積分(2.4-13)證(3)微、積分性若y(t)=f?(t)*f?(t)則yi)(t)=fi(t)*f?i-j(t)(2.4-14)其中，i、j

取正整數(shù)時為導數(shù)的階次，

i、j取負整數(shù)時為重積分的階次。特別地，=f?(t)*f?(t)(2.4-15)證式中，g(t)是系統(tǒng)對單位階躍信號的零狀態(tài)響應，也簡稱單位階躍響應。利用式(2.4-15)的結果，可由f(t)與h(t)的卷積公式推出f(t)與階躍響應g(t)的卷積公式，即y(t)=f(t)*h(t)=f'(t)*(2.4-16)例2.4-2-f(t)、h(t)如圖2.4-7所示，用微、積分性質求y(t)=f(t)*h(t)。解

f'(t)=E[δ(t-1)

一

δ(t—2)]圖2.4-10例2.4-2的f(t)

和g(t)*y(t)=f(t)*h(t)=f'(t)*g(t)結果與例2.4-1相同。2.5

LTI因果系統(tǒng)的全響應及其經(jīng)典方法求解2.5.1全響應由前兩節(jié)的分析可知，由系統(tǒng)的儲能及激勵可分別求出系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應，系統(tǒng)的全響應y(t)為兩者

之和，即y(t)=y(t)+y(t)

(2.5-1)y(t)對應的標準初始條件為{y(k)(0+)}。利用線性系統(tǒng)的可分解性，可以將標準全響應初始條件{y(k)(0+)}分解為標準零狀態(tài)初始條件及標準零輸入初始條件，

即其

中

，

分別是零狀態(tài)標準初始條件、零輸入標準初始條件。(2.5-2)若激勵為零，則零狀態(tài)響應yz(t)=0,此時式(2.5-2為

(2.5-3)為避免符號太多的困擾，再次約定在求解零輸入響應時

(2.5-4)即不特別指出的，本書微分方程所給定的初始條件均是用于求解零輸入響應的。例2.5-

1

已知某線性系統(tǒng)的傳輸算子為

,激勵f(t)=u(t),初始條件y?;(O)=1,,求系統(tǒng)的全響應y(t)。解

由特征根及初始條件y?(0)=1,y;(0)=2,求得零輸入響應為y?;(t)=(C

。+C?t)e?'u(t)yz;(0)=1=C。y?(0)=-C

。+C?=2,

得

C?=3y?;(t)=(1+3t)e?'u(t)在求零狀態(tài)響應時，傳輸算子的分子、分母相同項可以相約。因為即使不約，該項的系數(shù)一定為零，所以傳輸算子h(t)=e'u(t)得零狀態(tài)響應ys(t)=f(t)*h(t)=u(t)*e?'u(t)利用例2.3-3的結果yzs(t)=(1-e')u(t)全響應y(t)=yzi(t)+y(t)=(1+3t)e?u(t)+(1-e?1)u(t)

=(1+3te?1)u(t)2.5.2全響應的其他分解全響應可分解為零輸入響應與零狀態(tài)響應外，還可以從

其他角度出發(fā)，分解為不同分量。從響應與系統(tǒng)或激勵的關

系可分為自然(由)響應與受(強)迫響應。其中由系統(tǒng)特征根

決定模式的響應定義為自然(由)響應；與激勵模式相同的響

應定義為受(強)迫響應。顯然，零輸入響應是自然(由)響應；

零狀態(tài)響應是既有受(強)迫響應，也有自然(由)響應。由于系統(tǒng)的特征根與自然(由)響應的關系，因此系統(tǒng)的特征根還有一個專業(yè)名稱——系統(tǒng)的自然(由)頻率。由這個

定義可以比較自然(由)頻率與一般周期信號振蕩頻率的區(qū)別。從響應隨時間t趨于無窮是否消失，響應還可分為瞬(暫)

態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應。其中瞬(暫)態(tài)響應是響應中隨著時間增

長而消失的部分，穩(wěn)態(tài)響應是響應中隨時間增長不會消失的

部分。例如e-u(t)是瞬(暫)態(tài)響應，而3sinwt.u(t)、u(t)是穩(wěn)態(tài)

響

應

。例2.5-2試指出例2.3-3各響應分量及自然頻率。解i(t)=(1-e?1)u(t)=u(t)一e?'u(t)受迫、穩(wěn)態(tài)

自然、瞬(暫)態(tài)零狀態(tài)響應即例2.3-3響應i(t)是零狀態(tài)響應，其中的e-tu(t)是自然(由)響應、瞬(暫)態(tài)響應，

u(t)是受(強)迫響應、穩(wěn)態(tài)響應。自然

頻率=特征根λ=-1。零輸入響應

零狀態(tài)響應受迫、穩(wěn)態(tài)

自然、瞬(暫)態(tài)即例2.5-1全響應y(t)

中的零輸入響應yz;(t)=(1+3t)e?'u(t)零狀態(tài)響應yzs(t)=(1-e1)u(t)u(t)是受(強)迫響應、穩(wěn)態(tài)響應；3te?'u(t)是自然(由)響應、瞬(暫)態(tài)響應。

自

然

頻

率

=

特

征

根λ

=

-

1例2.5-3試指出例2.5-1各響應分量及自然頻率。十

3te?')u(t)2.5.3經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程一般n

階

LTI

系統(tǒng)的微分方程可由式(2.1-1)表示為初始條件為y(0+),y'(0+),…,y(n-1)(0+)。式(2.1-1)的特征方程為p”+an-1p"-1+…+a?p+ao=0(2.5-5)由特征方程，可求得特征根(p一λ1)(p一λ

2

)

…(p一

λn)=0

(2.5-6)假設特征根均為單根λ?,λ2,

…,λ,由其得到齊次通解

yn(t)

的一般形式：

(2.5-7)式中λ;為特征根。若λ?為

k

重根，其余均為單根，特征方程為(p一λ?)*(p

一λk+1)…(p

一

λn)=0(2.5-8)重根λ?對應的齊次通解一般形式為(C?+C?t+…+Ct-

1)e^1(2.5-9)當只有一個特征根λ?為

k

重根時，微分方程齊次通解yn(t)

的一般形式為

(2.5-10)若還有其他特征根是重根的，處理方法與λ為重根時相同。

微分方程特解的形式與激勵形式相同，如表2-2所示，代入原方程中得到具體系數(shù)。微分方程的完全解由齊次通解

與特解兩部分組成，即完全解為最后，由給定的n

個初始條{y(k)(0+)}可以確定n

個Ci

系數(shù)。(2.5-

11)激

勵特

解A(常數(shù))B(常數(shù))t"C?

t"+C?

t"?1+…+C,t+Cn+1e“Ce“coswtC?

coswt+C?

sinotsinott"e“coswt(C?

t"+C?

t"+…+C,t+Cn+1)e“cosot+(D?

t"+D?

t"?1+…+Dt+Da+1)e“sinwtt"e“sinot表

2

-

2

典型激勵對應的特解1.計算例2.3-1沖激響應clear;b=[010];a=[156];sys=tf(b,a);t=0:0.1:10;y=impulse(sys,t);plot(t,y);axis([—0.2,4,—0.2,1.1]);

line([-0.2,4],[0,0]);xlabel('時間(t)');ylabel('h(t)');10.8

0.6

0.4

0.20一0.2title('例2.3-1的單位沖激響應);波形如圖2.6-1所示。2.6.1求系統(tǒng)的沖激響應與階躍響應2.6基于MATLAB的時域分析圖2.6-1-例2.3-1沖激響應波形2.求例2.3-3系統(tǒng)階躍響應的

MATLAB

程序clear;b=[1];a=[11];sys=tf(b,a);t=0:0.1:10;y=step