第七章

隨機變量及其分布列

7.5正態(tài)分布人教A版

選擇性必修第三冊1.通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量；2.通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特點；3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義；（重點）4.了解3σ原則，會求隨機變量在特殊區(qū)間內(nèi)的概率.（難點）學(xué)習(xí)目標(biāo)創(chuàng)設(shè)背景

引入新知高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的研究成果多達110多個，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布曲線，這就傳達了一個信息：在高斯的科學(xué)貢獻中，對人類文明影響最大的是“正態(tài)分布”．那么,什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？印在錢幣上的數(shù)學(xué)家：探究新知問題自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差(實際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量).用X表示這種誤差，則X是離散型隨機變量嗎？如果不是，請說明理由。連續(xù)型隨機變量：隨機變量X的所有取值不可以逐個列舉出來，而是充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0。探究新知1.連續(xù)型隨機變量和離散型隨機變量有何區(qū)別？

離散型隨機變量的可能取值有限個或能一一列舉；連續(xù)型隨機變量的可能取值在一定區(qū)間內(nèi)，甚至整個實軸，取值是連續(xù)不斷的。2.生活中還有哪些隨機變量也是連續(xù)型隨機變量？在生產(chǎn)中：某電器的使用壽命；在測量中：同年齡人群的身高、體重等；小明上學(xué)途中等公交車的時間；在生物學(xué)中：一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；在氣象中：某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等；探究新知隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g)的觀測值如下：(1)如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)?最大值、最小值、極差、平均數(shù)、均值、方差等，也可以繪制頻率分布直方圖分析數(shù)據(jù)。頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.新知探究隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線。思考2：根據(jù)函數(shù)知識，這條曲線它是函數(shù)嗎？若是，這個函數(shù)是否存在解析式呢？探究新知

y012-1-2x-33μ=0σ=1

思考3：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點?由

X

的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點:(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線

x=μ

對稱；(2)曲線在x=μ處達到峰值；

(3)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近

x

軸.(4)x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.

思考4：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù)，陰影面積A、B有何含義?P（X≤x）只能通過數(shù)值積分近似計算?？梢圆檎龖B(tài)分布表或利用計算機軟件計算。探究新知思考6：一個正態(tài)分布由參數(shù)

μ和

σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征？探究新知

思考6：一個正態(tài)分布由參數(shù)

μ和

σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征？例1：李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,坐公交車平均用時30min，樣本方差為36;騎自行車平均用時34min,樣本方差為4；假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.（1）估計X,Y的分布中的參數(shù);（2）根據(jù)(1)中的估計結(jié)果,利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;（3）如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用,又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.分析：對于第（1）問，正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，根據(jù)正態(tài)分布參數(shù)的意義，可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計，對于第（3）問，這是一個概率決策問題，首先要明確決策的準(zhǔn)則，在給定的時間內(nèi)選擇不遲到概率大的交通工具；然后結(jié)合圖形，根據(jù)概率的表示，比較概率的大小，作出判斷。解:(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6;隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計參數(shù)μ.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計參數(shù)σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲線如圖所示：(3)應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知,Y的密度曲線X的密度曲線P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么騎自行車不遲到的概率大,應(yīng)選擇騎自行車;如果只有34min可用,那么坐公交車不遲到的概率大,應(yīng)選擇坐公交車.探究新知

上述結(jié)果可用圖表示.探究新知

能力提升題型一正態(tài)密度函數(shù)（正態(tài)曲線）解決均值和方差問題例題1AB

A能力提升題型二利用對稱性求概率例題2若X～N(1,σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_________；(2)P(X>0)=_________；(3)P(0<X<1)=_______；(4)P(X<2)=_________；(5)P(0<X<2)=_______.012-1-2xy-334μ=10.51-a0.5-a1-a1-2a總結(jié)能力提升題型三利用3σ原則求概率例題3能力提