第2課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應(yīng)用目標(biāo)定位1.進(jìn)一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.能根據(jù)實際問題特征，正確選擇原理解決實際問題.自主預(yù)習(xí)1.兩計數(shù)原理的聯(lián)系分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題.2.兩計數(shù)原理的區(qū)別分類加法計數(shù)原理針對的是分類問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分類要做到不重不漏；分步乘法計數(shù)原理針對的是分步問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事，分步要做到步驟完整.即時自測1.思考題(1)利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程是什么？提示(2)利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程是什么？提示2.高艷有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙.“五一”勞動節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則高艷不同的穿衣服的方式有()A.24種 B.14種 C.10種 D.9種解析穿衣服方式分兩類：一類是穿連衣裙，有2種方式；一類是穿襯衣和裙子，有12種方式.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知不同的穿衣方式共有2＋12＝14(種).答案B3.某體育場南側(cè)有4個大門，北側(cè)有3個大門，小李到體育場觀看比賽，則他進(jìn)、出門的方案有()A.12種 B.7種 C.14種 D.49種解析完成進(jìn)、出體育場門這件事，需要分兩步，第一步進(jìn)體育場，第二步出體育場.第一步進(jìn)門共有4＋3＝7種方法.第二步出門共有4＋3＝7種方法.由分步乘法計數(shù)原理知，進(jìn)、出門的方案有7×7＝49(種).答案D4.用1，2，3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一個數(shù)字不能相鄰出現(xiàn).這樣的四位數(shù)有________個.解析組成滿足條件的四位數(shù)分三步：第一步，確定個位數(shù)字，有3種方法；第二步，確定十位數(shù)字，有2種方法；第三步，確定百位與千位數(shù)字.分兩類：一類是百位數(shù)字與個位數(shù)字相同，有1種方法；一類是百位數(shù)字與個位數(shù)字不同有2種方法，所以不同的四位數(shù)共有3×2×(1＋2)＝18(個).答案18類型一兩個計數(shù)原理在排數(shù)中的應(yīng)用【例1】用0，1，…，9這十個數(shù)字，可以組成多少個：(1)三位整數(shù)？(2)無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？(3)小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？解由于0不可在最高位，因此應(yīng)對它進(jìn)行單獨考慮.(1)百位數(shù)字有9種選擇，十位數(shù)字和個位數(shù)字都各有10種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)共有9×10×10＝900(個).(2)由于數(shù)字不可重復(fù)，可知百位數(shù)字有9種選擇，十位數(shù)字也有9種選擇，但個位數(shù)字僅有8種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)共有9×9×8＝648(個).(3)百位數(shù)字只有4種選擇，十位數(shù)字有9種選擇，個位數(shù)字有8種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，適合題意的三位數(shù)共有4×9×8＝288(個).規(guī)律方法排數(shù)問題實際就是分步問題，需要用分步乘法計數(shù)原理解決.在解決相關(guān)的排數(shù)問題時，要注意兩個原理的綜合應(yīng)用.【訓(xùn)練1】數(shù)字不重復(fù)的四位偶數(shù)共有多少個？解(1)0在末位時，十、百、千分別有9，8，7種排法，共有9×8×7＝504(個).(2)0不在末位時，2，4，6，8中的一個在末位，有4種排法，首位有8種(0除外)，其余兩位分別有8，7兩種排法.∴共有4×8×8×7＝1792(個).由(1)(2)知，共有符合題意的偶數(shù)為504＋1792＝2296(個).類型二抽取(分配)問題(互動探究)【例2】高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A.16種 B.18種 C.37種 D.48種[思路探究]探究點一分配方案是分類還是分步？分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？提示先分類再分步，分類標(biāo)準(zhǔn)是甲工廠分配班的情況.探究點二如何使用間接法計算？提示去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù).解析法一(直接法)以甲工廠分配班級情況進(jìn)行分類，共分為三類：第一類，三個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第二類，有兩個班級去甲工廠，剩下的班級去另外三個工廠，其分配方案共有3×3＝9(種)；第三類，有一個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他三個工廠，其分配方案共有3×3×3＝27(種).綜上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(種).法二(間接法)先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即：4×4×4－3×3×3＝37(種)方案.答案C規(guī)律方法解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時，一般選用例舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件，計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.【訓(xùn)練2】3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有多少種方法？解法一(以小球為研究對象)分三步來完成：第一步：放第一個小球有5種選擇；第二步：放第二個小球有4種選擇；第三步：放第三個小球有3種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝5×4×3＝60(種).法二(以盒子為研究對象)盒子標(biāo)上序號1，2，3，4，5；分成以下10類：第一類：空盒子標(biāo)號為(1，2)，選法有3×2×1＝6(種)；第二類：空盒子標(biāo)號為(1，3)，選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標(biāo)號為(1，4)，選法有3×2×1＝6(種).分類還有以下幾種情況：(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)；共10類，每一類都有6種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60(種).類型三涂色問題【例3】一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.(1)如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a1，a2，a3，有多少種不同的種植方法？(2)如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a1，a2，a3，a4，有多少種不同的種植方法？解(1)如題圖1，先對a1部分種植，有3種不同的種植方法，再對a2，a3種植.因為a2，a3與a1不同顏色，a2，a3也不同，所以由分步乘法計數(shù)原理得3×2×1＝6(種).(2)如圖2，當(dāng)a1，a3不同色時，有3×2×1×1＝6(種)種植方法，當(dāng)a1，a3同色時，有3×2×2×1＝12(種)種植方法，由分類加法計數(shù)原理，共有6＋12＝18(種)種植方法.規(guī)律方法(1)涂色問題的基本要求是相鄰區(qū)域不同色，但是不相鄰的區(qū)域可以同色.因此一般以不相鄰區(qū)域同色、不同色為分類依據(jù)，相鄰區(qū)域可用分步涂色的辦法涂色.(2)涂色問題往往涉及兩計數(shù)原理的綜合應(yīng)用，因此，要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，兼顧條件的情況下分步涂色.【訓(xùn)練3】將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的5個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有________種不同的涂色方法.解析給出區(qū)域標(biāo)記號A，B，C，D，E(如圖所示)，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色，如果B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色相同，則有2種涂色方法；如果B區(qū)域與D區(qū)域所涂的顏色不相同，則只有1種涂色方法.因此應(yīng)先分類后分步.(1)當(dāng)B與D同色時，有4×3×2×2＝48(種).(2)當(dāng)B與D不同色時，有4×3×2×1×1＝24(種).故共有48＋24＝72(種)不同的涂色方法.答案72類型四種植問題【例4】從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同種植方法24－6＝18(種).規(guī)律方法按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生過程分步是計數(shù)問題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵，是驗證所提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都完成了這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進(jìn)了一步.【訓(xùn)練4】將3種作物種植在如圖所示的5塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一種作物，不同的種植方法共有________種(以數(shù)字作答).解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法：①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.答案42[課堂小結(jié)]1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最基本，也是最重要的原理.2.應(yīng)用分類加法計數(shù)原理要求分類的每一種方法都能把事件獨立完成；應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理要求各步均是完成事件必須經(jīng)過的若干彼此獨立的步驟.3.一般是先分類再分步，分類時要設(shè)計好標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計好分類方案，防止重復(fù)和遺漏.4.若正面分類，種類比較多，而問題的反面種類比較少時，則使用間接法會簡單一些.1.某小組有8名男生，6名女生，從中任選男生、女生各一人去參加座談會，則不同的選法有()A.48種 B.24種 C.14種 D.12種解析從8名男生中任意挑選一名參加座談會，共有8種不同的選法，從6名女生中任意挑選一名參加座談會，共有6種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法共有8×6＝48(種).答案A2.如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種，所以從E點到G點的最短路徑為6×3＝18種，故選B.答案B3.(a1＋a2)·(b1＋b2＋b3)·(c1＋c2＋c3＋c4)的展開式中有________項.解析要得到項數(shù)分三步：第一步，從第一個因式中取一個因子，有2種取法；第二步，從第二個因式中取一個因子，有3種取法；第三步，從第三個因式中取一個因子，有4種取法.由分步乘法計數(shù)原理知，共有2×3×4＝24(項).答案244.由0，1，2，3這四個數(shù)字，可組成多少個：(1)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)0不能做百位數(shù)字，所以百位數(shù)字有3種選擇，十位數(shù)字有3種選擇，個位數(shù)字有2種選擇，所以無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有3×3×2＝18(個).(2)百位數(shù)字有3種選擇，十位數(shù)字有4種選擇，個位數(shù)字也有4種選擇.由分步乘法計數(shù)原理知，可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有3×4×4＝48(個).基礎(chǔ)過關(guān)1.如圖，小圓點表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可沿不同的路徑同時傳遞，則單位時間傳遞的最大信息量是()A.26 B.24 C.20 D.19解析單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19，故選D.答案D2.從0，1，2，…，9這10個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系中點(a，b)的坐標(biāo)，能夠確定不在x軸上的點的個數(shù)是()A.100 B.90 C.81 D.72解析分兩步：第一步選b，∵b≠0，所以有9種選法；第二步選a，因a≠b，所以有9種選法.由分步乘法計數(shù)原理知共有9×9＝81(個)點.答案C3.滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A.14 B.13 C.12 D.10解析①當(dāng)a＝0時，很顯然為垂直于x軸的直線方程，有解，此時b取4個值，故有4種有序數(shù)對；②當(dāng)a≠0時，需要Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1，顯然有3個實數(shù)對不滿足題意，分別為(1，2)，(2，1)，(2，2).∵(a，b)共有3×4＝12個實數(shù)對，此時(a，b)的取值為12－3＝9(個).∴(a，b)的個數(shù)為4＋9＝13.答案B4.五個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案有________種.解析完成承建任務(wù)可分五步：第一步，安排1號有4種；第二步，安排2號有4種；第三步，安排3號有3種；第四步，安排4號有2種；第五步，安排5號有1種.由分步乘法計數(shù)原理知，共有4×4×3×2×1＝96(種).答案965.有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有________種不同的取法.解析分三類，第一類：取數(shù)學(xué)書和語文書，有10×9＝90(種)；第二類：取數(shù)學(xué)書和英語書，有10×8＝80(種)；第三類：取語文書和英語書，有9×8＝72(種)，故共有90＋80＋72＝242(種).答案2426.有一項活動，需在3名老師、8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.(1)若只需一人參加，有多少種不同方法？(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加，有多少種不同選法？(3)若需一名老師、一名學(xué)生參加，有多少種不同選法？解(1)有三類選人的方法：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學(xué)中選一人，有8種方法；5名女同學(xué)中選一人，有5種方法.由分類加法計數(shù)原理，共有3＋8＋5＝16種選法.(2)分三步選人：第一步選老師，有3種方法；第二步選男同學(xué)，有8種方法；第三步選女同學(xué)，有5種方法.由分步乘法計數(shù)原理，共有3×8×5＝120種選法.(3)可分兩類，每一類分兩步.第一類：選一名老師再選一名男同學(xué)，有3×8＝24種選法；第二類：選一名老師再選一名女同學(xué)，共有3×5＝15種選法.由分類加法計數(shù)原理，共有24＋15＝39種選法.7.若把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有多少對？解把六棱錐的棱分成三類：第一類，底面上的六條棱所在的直線共面，則每兩條之間不能構(gòu)成異面直線.第二類，六條側(cè)棱所在的直線共點，每兩條之間也不能構(gòu)成異面直線.第三類，結(jié)合圖形可知，底面上的六條棱所在的直線中的每一條與之不相交的四條側(cè)棱所在的四條直線中的每一條才能構(gòu)成異面直線.再由分步乘法計數(shù)原理，可構(gòu)成異面直線6×4＝24(對).8.從{－3，－2，－1，0，1，2，3}中，任取3個不同的數(shù)作為拋物線方程y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，如果拋物線經(jīng)過原點，且頂點在第一象限，則這樣的拋物線共有多少條？解因為拋物線經(jīng)過原點，所以c＝0，從而知c只有1種取值.由c＝0解得a<0，b>0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1，2，3}，這樣要求的拋物線的條數(shù)可由a，b，c的取值來確定：第一步：確定a的值，有3種方法；第二步：確定b的值，有3種方法；第三步：確定c的值，有1種方法.由分步乘法計數(shù)原理知，表示的不同的拋物線有N＝3×3×1＝9(條).能力提升9.現(xiàn)有4種不同顏色對如圖所示的四個部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.24種 B.30種 C.36種 D.48種解析共有4×3×2×2＝48(種).答案D10.從集合{1，2，3，4，5}中任取2個不同的數(shù)，作為直線Ax＋By＝0的系數(shù)，則形成不同的直線最多有()A.18條 B.20條 C.25條 D.10條解析第一步取A的值，有5種取法，第二步取B的值有4種取法，其中當(dāng)A＝1，B＝2時，與A＝2，B＝4時是相同的；當(dāng)A＝2，B＝1時，與A＝4，B＝2時是相同的，故共有5×4－2＝18(條).答案A11.將三個分別標(biāo)有A，B，C的球隨機(jī)放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，1號盒中無球的不同方法種數(shù)為________；1號盒中有球的不同放法種數(shù)為_______.解析1號盒中無球即A，B，C三球只能放入2，3，4號盒子中，有33種放法；1號盒中有球可分三類：一類是1號盒中有一個球，共有3×32＝27種放法，一類是1號盒中有兩個球，共有3×3＝9種放法，一類是1號盒中有三個球，有1種放法.共有27＋9＋1＝37種放法.答案273712.春回大地，大肥羊?qū)W校的春季運動會正在如火如荼地進(jìn)行，喜羊羊、懶羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要爭奪5項比賽的冠軍，則有________種不同的的奪冠情況.解析不同的奪冠情況可分五步完成，第一步，確定第1項比賽的冠軍有4種方法；同理確定后4項比賽的冠軍也各有4種方