PAGE1專題04一元一次方程的應用內容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點01一元一次方程應用題解題一般步驟①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關系②設：設未知數(shù)（一般求什么，就設什么為x） ③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系④列：根據這個相等關系列出需要的代數(shù)式，進而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）知識點02用一元一次方程解決實際問題的常見類型（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×時間）；速度×時間=路程；相遇問題：S甲＋S乙=S總；追及問題：S快-S慢=S相距；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．【考點1一元一次方程的應用之古代問題】【例1】（24-25七年級上·北京朝陽·期末）列方程解答下面的問題．《孫子算經》是中國古代重要的數(shù)學著作之一．《孫子算經》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”譯文：“今有人坐一輛車，有輛車是空的；人坐一輛車，有個人需要步行．問人與車各多少？”【答案】共有人，輛車【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出等量關系，列出方程是解答本題的關鍵．設共有人，根據車的輛數(shù)不變列出方程解答即可．【詳解】解：設共有人，由題意，得，解得，所以，答：共有人，輛車．【變式1】（24-25六年級上·上?！て谀┱n本第三章《一元一次方程》的章首語里摘引了明代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中記錄著的一個問題：“巍巍古寺在山中，不知寺內幾多僧．三百六十四只碗，恰合用盡不差爭．三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹．請問先生能算者，都來寺內幾多僧？”其大意為：山上有一座古寺，在這座古寺里，每3個和尚合吃一碗飯，每4個和尚合分一碗湯，一共用了364只碗，問：寺里有多少個和尚？請解答這個中國古代數(shù)學問題．【答案】624個【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系、正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設寺里有x個和尚，根據“每3個和尚合吃一碗飯，每4個和尚合分一碗湯，一共用了364只碗”，可列出關于x的一元一次方程求解即可．【詳解】解：設寺里有x個和尚，根據題意得：，解得：．答：寺里有624個和尚．【變式2】（25-26七年級上·天津·期末）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房?。喝绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間客房．求該店客房有幾間？設該店有客房x間．(1)用含x的代數(shù)式填表：每間客房住的人數(shù)（人間）房間數(shù)/間房客總數(shù)/人第一種方案7x第二種方案9(2)列出方程并完成本題解答．【答案】(1)(2)，該店有8間客房，過程見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應用問題，理解題意、找到等量關系并正確列出方程是關鍵．（1）根據“如果每一間客房住7人，那么有7人無房住：如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房”填寫表格即可．（2）房客總數(shù)相同列方程即可解答．【詳解】（1）解：填表如下：每間客房住的人數(shù)（人間）房間數(shù)/間房客總數(shù)/人第一種方案7x第二種方案9故答案為：．（2）解：根據題意可得：，解得：，故該店有8間客房．【變式3】（24-25七年級上·河南鄭州·期末）隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．問：人、銀各幾何？（選自《算法統(tǒng)宗》）題目大意：幾個人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則差8兩．有多少個人？有多少兩銀子？(1)假設人數(shù)為，請先填寫下表，然后完成解答；有關量每人分7兩每人分9兩人數(shù)分銀子總量銀子總量(2)請你換一種方法解決這個問題．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）理解題意，先結合每人分9兩，得出每人分銀子總量，銀子總量為，再列出方程，進行計算，即可作答．（2）理解題意，設有兩銀子，再列出方程，進行計算，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，有關量每人分7兩每人分9兩人數(shù)分銀子總量銀子總量∴，∴，解得，∴∴有個人，有兩銀子．（2）解：設有兩銀子．根據題意得∴∴∴則∴有個人，有兩銀子．【考點2一元一次方程的應用之銷售問題】【例2】（24-25七年級上·四川成都·期末）某商場將某種服裝按照成本價提高40%后標價，又以八折優(yōu)惠賣出，結果每件仍然獲利15元．(1)這種服裝每件的成本是多少元？(2)本商場為了在新年前吸引更多的顧客，進一步推出如下優(yōu)惠活動：一、本商場所有商品一律按照標價進行八折優(yōu)惠；二、打八折以后，每滿1000再減100元，即若打八折后售價不足1000元就不再減價，打八折后大于等于1000元且小于2000就再減100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再減200元，以此類推．小聰、小慧兩位的媽媽，分別選中了標價1200和1500元的兩件商品．①若兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付，比兩人分開支付的總和便宜多少元？②請問小智的媽媽再選一件標價至少為多少元的商品和她們兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付，能比三人分別支付的總和便宜200元．【答案】(1)這種服裝每件的成本是125元(2)①若兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付，比兩人分開支付的總和便宜100元；②小智的媽媽再選一件標價至少為1050元的商品和她們兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付，能比三人分別支付的總和便宜200元【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．（1）設這種服裝每件的成本是x元，利用利潤=售價﹣進價，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）①根據給出的優(yōu)惠方案，可求出兩人分開支付時兩位媽媽分別支付的錢數(shù)及兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付時支付的錢數(shù)，再利用節(jié)省的錢數(shù)=兩人分開支付時兩位媽媽分別支付的錢數(shù)之和﹣兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付時支付的錢數(shù)，即可求出結論；②設小智的媽媽再選一件標價至少為y元的商品，根據一起參加優(yōu)惠活動并一起支付比三人分別支付的總和便宜200元（即三人分開支付時支付的費用之和為3000元），可列出關于y的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：設這種服裝每件的成本是x元，根據題意得：，解得：．答：這種服裝每件的成本是125元；（2）解：①∵（元），（元），（元），∴兩人分開支付時，小聰?shù)膵寢屝柚Ц?60元，小慧的媽媽需支付1100元，∵（元），（元），∴兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付時共需支付1960元，∴（元）．答：若兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付，比兩人分開支付的總和便宜100元；②設小智的媽媽再選一件標價至少為y元的商品，根據題意得：，解得：．答：小智的媽媽再選一件標價至少為1050元的商品和她們兩人一起參加優(yōu)惠活動并一起支付，能比三人分別支付的總和便宜200元．【變式1】（24-25七年級上·貴州銅仁·期末）為了適合不同人群的口味，萊蕪信譽樓超市購進了巧克力草莓和奶油草莓進行銷售．已知2箱巧克力草莓的進價與3箱奶油草莓的進價的和為357元，且每箱巧克力草莓的進價比每箱奶油草莓的進價貴16元．(1)求每箱巧克力草莓與每箱奶油草莓的進價分別是多少元；(2)若某天該超市購進了巧克力草莓20箱，且每箱價格提高出售，購進了奶油草莓箱，且每箱價格提高出售，這天該超市全部賣完獲得的利潤為元，求購進了奶油草莓多少箱．【答案】(1)每箱巧克力草莓的進價為元，每箱奶油草莓的進價為元(2)購進了奶油草莓35箱【分析】本題考查一元一次方程的實際應用，找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵，（1）設每箱巧克力草莓的進價為元，根據2箱巧克力草莓的進價與3箱奶油草莓的進價的和為357元，且每箱巧克力草莓的進價比每箱奶油草莓的進價貴16元，列出方程進行求解即可；（2）根據超市全部賣完獲得的利潤為元，列出方程進行求解即可．【詳解】（1）解：設每箱巧克力草莓的進價為元，由題意，得：，解得：，（元）；答：每箱巧克力草莓的進價為元，每箱奶油草莓的進價為元；（2）由題意，得：，解得：；答：購進了奶油草莓35箱．【變式2】（24-25七年級上·江蘇宿遷·期末）泗洲商場經銷甲、乙兩種商品，平時甲種商品每件售價80元，每件的利潤為30元；乙種商品每件進價40元，售價60元．在“元旦”期間，同時對甲、乙兩種商品進行如下的優(yōu)惠促銷活動：①購物總金額不超過300元的商品不優(yōu)惠；②購物總金額超過300元，但不超過500元的商品打九折；③購物總金額超過500元的商品打八折．(1)甲種商品每件的進價為______元，若活動期間一次性購物總金額是400元，實際應付______元；(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共60件，總進價用去2600元，求商場在平時可以盈利多少元？(3)按“元旦”期間優(yōu)惠條件，小明一次性購買了乙種商品，實際付款是432元，求商場實際利潤是多少元？【答案】(1)50，360；(2)商場在平時可以盈利1400元；(3)商場實際利潤是72或112元．【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．（1）利用甲種商品每件的進價=甲種商品每件的售價-每件的利潤，可求出甲種商品每件的進價，由，利用實際付款金額=一次性購物總金額，即可求出實際付款金額；（2）設該商場購進x件甲種商品，則購進件乙種商品，利用進貨總價=進貨單價購買數(shù)量，可列出關于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再將其代入中，即可求出結論；（3）設小明一次性購買了y件乙種商品，根據實際付款是432元，可列出關于y的一元一次方程，解之可得出值，再將其代入中，即可求出結論．【詳解】（1）解：根據題意得：甲種商品每件的進價為元，，活動期間一次性購物總金額是400元，實際應付元故答案為：50；360．（2）解：設該商場購進x件甲種商品，則購進件乙種商品，根據題意得：，解得：，元答：商場在平時可以盈利1400元．（3）解：設小明一次性購買了件乙種商品，根據題意得：或，解得：或，當時，元當時，元答：商場實際利潤是72或112元．【變式3】（24-25七年級上·浙江·期末）根據以下素材，回答問題：問題背景：2025年元旦期間，A，B兩個大型商場舉行糖果優(yōu)惠促銷活動．某班數(shù)學小組對A，B兩個大型商場進行調研后了解到如下信息：信息1A商場從廠家直接購進甲種糖果800千克，乙種糖果950千克，共支付77600元．已知每千克乙種糖果比每千克甲種糖果進價貴8元．信息2B商場從廠家直接購進甲，乙兩種糖果售賣，進價與A商場相同，并將乙種糖果按進價提高后標價，實際銷售時再打折售賣，此時乙種糖果每千克仍可獲利9.6元．問題解決：(1)設甲種糖果每千克進價x元，求甲，乙兩種糖果的進價．(2)求出B商場中乙種糖果是打幾折售賣的．如果甲種糖果也按照這個折扣售賣，每千克可獲利8元，求甲種糖果的標價．【答案】(1)甲種糖果每千克的進價為40元，乙種糖果每千克的進價為48元(2)B商場中乙種糖果是打八折售賣的，甲種糖果的標價為60元/千克【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．（1）根據A商場從廠家直接購進甲種糖果800千克，乙種糖果950千克，共支付77600元，列出方程進行求解即可；（2）設B商場中乙種糖果是打y折售賣的，根據乙種糖果按進價提高后標價，實際銷售時再打折售賣，此時乙種糖果每千克仍可獲利9.6元，可列出關于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再根據甲種糖果也按照這個折扣售賣，每千克可獲利8元，列出算式，求出甲種糖果的標價即可．【詳解】（1）解：根據題意得：，解得：，∴（元）．答：甲種糖果每千克的進價為40元，乙種糖果每千克的進價為48元；（2）設B商場中乙種糖果是打y折售賣的，根據題意得：，解得：，∴（元/千克）．答：B商場中乙種糖果是打八折售賣的，甲種糖果的標價為60元/千克．【考點3一元一次方程的應用之方案問題】【例3】（25-26七年級上·全國·期末）愛讀書是一種美德，快樂讀書吧為促進孩子們閱讀，特推出兩種付費借閱方式每借閱一本為一次方式一：先購買會員證，每張會員證50元，只限本人當年使用，憑證借閱每次再付費1元；方式二：不購買會員證，每次借閱付費3元．設小明一年內借閱x次為正整數(shù)(1)根據題意填空，表中：，；借閱次數(shù)1020…x方式一的總費用元6070…m方式二的總費用元3060…n(2)通過計算說明當和時，分別應選擇哪種付費方式更合算？(3)若小明計劃今年到該書吧借閱的總費用為100元，請說明他選擇哪種付費方式借閱次數(shù)比較多？【答案】(1)，3x(2)當時，方式二更合算；當時，方式一更合算(3)選擇方式一借閱次數(shù)比較多【分析】本題考查了代數(shù)式表示實際問題、代數(shù)式求值、一元一次方程的應用，解題關鍵在于理解題意、建立模型、代入比較求解．（1）從借閱10次，20次方式一、方式二總費用與次數(shù)的關系即可得到表示的；（2）根據求代數(shù)式的值的方法，求出兩種付費方式的費用，再比較即可；（3）根據不同借閱計費方式列出方程，求出次數(shù)，再比較即可【詳解】（1）由表格數(shù)據可知（費用單位為：元）：借閱10次，方式一的總費用為，方式二的總費用為；借閱20次，方式一的總費用為，方式二的總費用為；故借閱次，方式一的總費用為,方式二的總費用為.故答案為：；（2）當時，方式一：（元）,方式二：（元）,因為,所以方式二更合算；當時，方式一：（元）,方式二：（元）,因為,所以方式一更合算；（3）若小明計劃今年到該書吧借閱的總費用為100元，則方式一：,解得，方式二：，解得因為為正整數(shù)，所以取,因為,所以若小明計劃今年到該書吧借閱的總費用為100元，選擇方式一借閱次數(shù)比較多．【變式1】（25-26七年級上·全國·期末）五一假期期間，小明、小亮等同學隨家人一同到某景點游玩，下面是購票時，小明與爸爸的對話．(1)小明他們一共去了幾個成人？幾個學生？(2)請你幫小明算一算，哪種方式買票更省錢？并說明理由．【答案】(1)小明他們一共去了12個成人，6個學生(2)購買16張團體票，2張學生票更省錢【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）利用總價單價數(shù)量，求出各購票方式所需費用．（1）設小明他們一共去了個成人，則去了個學生，利用總價單價數(shù)量，即可得出關于的一元一次方程，解之即可得出去的成人數(shù)，再將其代入中即可求出去的學生數(shù)；（2）利用總價單價數(shù)量，可求出購買16張團體票、2張學生票所需費用以及購買18張團體票所需費用，將其與525比較后即可得出結論．【詳解】（1）解：設小明他們一共去了個成人，則去了個學生，依題意得：，解得：，．答：小明他們一共去了12個成人，6個學生．（2）解：購買16張團體票，2張學生票更省錢，理由如下：購買16張團體票，2張學生票所需費用為（元；購買18張團體票所需費用為（元．，購買16張團體票，2張學生票更省錢．【變式2】（25-26七年級上·北京·期末）某食品加工廠計劃到草莓種植基地購買一批草莓，種植基地對購買量在1200千克（含1200千克）以上的有兩種銷售方案，方案一：每千克25元，由基地送貨上門；方案二：每千克22元，由食品加工廠自己運回，已知該食品加工廠租車從基地到工廠的運輸費為4200元．(1)食品加工廠購買多少千克草莓時，選擇兩種購買方案所需的費用相同？(2)如果食品加工廠計劃購買2500千克草莓，選擇哪種方案省錢？為什么？【答案】(1)食品加工廠購買1400千克草莓時，選擇兩種購買方案所需的費用相同(2)方案二省錢，理由見解析【分析】本題考查一元一次方程的應用，理解題意得到等量關系是解題的關鍵．（1）設食品加工廠購買千克草莓，選擇兩種購買方案所需的費用相同，再根據題意列出一元一次方程并正確解出即為本題答案；（2）分別列式求出兩種方案分別多少錢，再比較大小即可得到本題答案．【詳解】（1）解：設食品加工廠購買千克草莓，選擇兩種購買方案所需的費用相同，方案一：費用為，方案二：費用為則由題意得：，解得：，答：食品加工廠購買1400千克草莓時，選擇兩種購買方案所需的費用相同．（2）解：食品加工廠計劃購買2500千克草莓，∴方案一：（元），方案二：（元），∵，∴方案二更省錢．【變式3】（25-26七年級上·全國·期末）光明學校組織七年級學生開展研學活動，已知研學基地的票價為每張20元，由各班班長負責買票，下面是一班班長與售票員咨詢的對話：班長：你好!我們每個班的學生人數(shù)都超過40人，請問購買團體票有優(yōu)惠嗎？售票員：你好!購票人數(shù)超過40人的團體票有兩種優(yōu)惠方案，如下：方案一：若每人都購票，每張門票打八折；方案二：若打九折，有5人可免票．(1)一班學生人數(shù)為50，選擇了方案一購票，那么一班購票需要多少元？(2)二班選擇了方案二，購票費用為702元，那么二班有多少人？(3)三班的學生人數(shù)為，三班班長思考了一會兒說：“我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的．”請問三班有多少人？【答案】(1)一班購票需要800元(2)二班有44人(3)三班有45人【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．（1）根據方案一列式計算即可；（2）設2班有x名學生，根據購票費用為702元，列出一元一次方程，解方程即可；（3）根據3班班長思考了一會兒說：“我們班無論選擇哪種方案要付的錢是一樣的．”列出一元一次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：由題意可知，，答：一班購票需要800元；（2）解：設二班有x人，由題意，得解得答：二班有44人；（3）解：由題意，得解得，答：三班有45人．【考點4一元一次方程的應用之配套問題】【例4】（24-25七年級上·甘肅武威·期末）某車間有66名工人，生產某種由1個螺栓套2個螺母的產品，每人每天生產螺母12個或螺栓5個．分配多少名工人生產螺栓多少名工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母剛好配套？【答案】分配36名工人生產螺栓，其他30名工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套．【分析】本題考查了一元一次方程的應用．設每天有x名工人生產螺栓，則生產螺母的工人為人，根據題意找出等量關系列出方程并解方程即可．【詳解】解：設生產螺栓的工人為x人，則生產螺母的工人為人，根據題意得：，解得：，∴，答：分配36名工人生產螺栓，其他30名工人生產螺母，恰好使每天生產的螺栓和螺母配套．【變式1】（24-25七年級上·甘肅平涼·期末）在手工制作課上，老師組織七年級（）班的學生用硬紙制作圓柱形茶葉筒．七年級（）班共有名學生，每名學生每小時可以剪筒身個或剪筒底個，要求個筒身配個筒底，為了使每小時剪出的筒身與筒底恰好配套，應該分配多少名學生剪筒身，多少名學生剪筒底？【答案】,【分析】本題考查的是一元一次方程的數(shù)學知識，在解答此類問題時一定要對相關的知識有一個明確的認識和把握，同時結合題設的已知條件就可以解答出問題的正確結論；通過設未知數(shù)，根據筒身和筒底的配套關系(個筒身配個筒底)來列方程求解．【詳解】解：設分配名學生剪筒身，那么剪筒底的學生有名，由題意得：，，，，剪筒底的學生人數(shù)為(名)，答：應該分配名學生剪筒身，名學生剪筒底．【變式2】（24-25七年級上·陜西咸陽·期末）某車間為提高生產總量，在原有14名工人的基礎上，新調入若干名工人．使得調整后車間的總人數(shù)比新調入工人人數(shù)的2倍多6人．(1)求新調入多少名工人？(2)若該車間每名工人每天可以生產240個螺栓或400個螺母，若1個螺栓需要2個螺母．在新調入工人后，應該安排多少名工人生產螺栓，才能使每天生產的螺栓和螺母剛好配套？【答案】(1)新調入8名工人(2)應該安排10名工人生產螺栓，才能使每天生產的螺栓和螺母剛好配套【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，讀懂題意，準確列出方程是解題的關鍵．（1）設調入x名工人，根據“調整后車間的總人數(shù)是調入工人人數(shù)的2倍多6人”列方程，解方程即可得到答案；（2）先求出工人總人數(shù)，設y名工人生產螺栓，則名工人生產螺母，再根據“每名工人每天可以生產240個螺栓或400個螺母，1個螺栓需要2個螺母”列方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設調入x名工人，由題意可得：，解得，答：新調入8名工人；（2）解：由（1）得工人總人數(shù)為（名），設y名工人生產螺栓，則名工人生產螺母，由題意可得，，解得：，答：應該安排10名工人生產螺栓，才能使每天生產的螺栓和螺母剛好配套．【變式3】（24-25六年級下·山東煙臺·期末）張老師準備購買A、B兩種品牌鋼筆，用于對表現(xiàn)優(yōu)秀的學生進行獎勵．已知A品牌鋼筆每支10元，B品牌鋼筆每支6元．經預算，張老師購買兩種鋼筆共需花費588元，且A品牌鋼筆的數(shù)量比B品牌鋼筆的數(shù)量少2支．(1)求預算中兩種品牌鋼筆的數(shù)量分別是多少？(2)張老師付款時，被告知文具店正推出“滿送”活動：每消費100元送1張兌換券，憑此券可兌換1支A品牌或2支B品牌鋼筆．張老師將所得兌換券全部兌換后，恰好使兩種品牌鋼筆的總數(shù)量相同．請求出用于兌換兩種品牌鋼筆的兌換券各是多少張？【答案】(1)A品牌36只，B品牌38只(2)A品牌4張，B品牌1張【分析】本題考查了一元一次方程的求解以及應用，解題的關鍵點在于先根據價格和總花費的關系求出兩種鋼筆原本的數(shù)量，再根據“滿送”活動和最終兩種鋼筆數(shù)量相同的條件來確定兌換券的使用情況．（1）先解設未知數(shù)，可通過A、B品牌鋼筆的單只價格以及花費總價格列式，再由A、B品牌鋼筆的數(shù)量關系列式，構造一元一次方程求解即可．（2）可先求出可兌換的兌換券的張數(shù)，再根據消費券的總數(shù)以及鋼筆數(shù)量相等列式即可，由一元一次方程的解法求解即可．【詳解】（1）解：設預算中購買A品牌鋼筆x只，因為A品牌鋼筆的數(shù)量比B品牌鋼筆的數(shù)量少2支，所以預算中購買B品牌鋼筆只，因為A品牌鋼筆每支10元，B品牌鋼筆每支6元，且共花費588元，則有，解得，所以預算中購買A品牌鋼筆36只，預算中購買B品牌鋼筆38只．（2）解：設用于兌換A品牌鋼筆的兌換券m張，因為總共花費588元，而每消費100元送1張兌換券，所以共兌換5張消費券，所以用于兌換B品牌鋼筆的兌換券張，又因為1張消費券可兌換1支A品牌或2支B品牌鋼筆，且兌換后兩種品牌鋼筆的總數(shù)量相同，則有，解得，所以用于兌換A品牌鋼筆的兌換券4張，用于兌換B品牌鋼筆的兌換券1張．【考點5一元一次方程的應用之工程問題】【例5】（24-25七年級上·甘肅武威·期末）一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需8天完成．現(xiàn)先由甲、乙合作，3天后乙有其他任務，剩下的工程由甲單獨完成，甲還需要做多少天完成剩余工程？【答案】甲單獨完成還需要4天半完成．【分析】本題考查了一元一次方程的應用．設甲單獨完成還需要x天，根據題意，列出一元一次方程，據此求解即可．【詳解】解：設甲單獨完成還需要x天，根據題意，得，解得，答：甲單獨完成還需要4天半．【變式1】（24-25七年級上·甘肅蘭州·期末）杭州亞運會期間，某工廠接到一批亞運會紀念品生產任務，組委會要求6天內完成．若工廠安排10位工人生產，則6天后剩余1200套紀念品未生產；若安排15位工人生產，則恰好提前一天完成紀念品生產任務，問每位工人每天生產多少套紀念品(要求列方程解答)？【答案】80【分析】本題考查一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程．設每位工人每天生產x套紀念品，根據紀念品的總量相等列方程即可．【詳解】解：設每位工人每天生產x套紀念品，由題意得，解得，答：每位工人每天生產80套紀念品．【變式2】（24-25七年級上·甘肅平涼·期末）為推進我國“碳達峰、碳中和”雙碳目標的實現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項目．某公司計劃建設一座小型光伏發(fā)電站，若由甲工程隊單獨施工需要3周，若由乙工程隊單獨施工需要6周．(1)若甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要幾周完成？(2)若由甲、乙兩工程隊先合作施工，剩下的由乙工程隊單獨完成，恰好用了4周完成建設任務，求甲工程隊施工了幾周？【答案】(1)甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要2周完成(2)甲工程隊施工了1周【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系建立方程是解題的關鍵．（1）設甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要x周完成，把工作總量看做單位“1”，求出兩個工程隊的工作效率，根據工作總量等于工作效率乘以工作時間建立方程求解即可．（2）設甲工程隊施工了y周，分別求出兩個施工隊的工作量，二者的和為1，據此建立方程求解即可．【詳解】（1）解；設甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要x周完成，由題意得，，解得，答：甲、乙兩工程隊全程合作施工，需要2周完成；（2）解；設甲工程隊施工了y周，由題意得，，解得：，答：甲工程隊施工了1周．【變式3】（24-25七年級上·全國·期末）某市道路改造工程，如果讓甲工程隊單獨工作，需要45天完成，如果讓乙工程隊單獨工作，需要90天完成．甲工程隊施工每天需付工費2.5萬元，乙工程隊施工每天需付費1.3萬元．(1)甲、乙兩個工程隊一起合作多少天就可以完成此項工程？(2)甲、乙兩個工程隊一起合作15天后，甲工程隊因另有任務調離，剩下的部分由乙工程隊單獨做，問共需多少天才能完成此項工程？(3)如果工程必需要在36天內（含36天）完成，如何安排兩個工程隊施工，才能使施工費最少？請說出你的安排方法，并求出所需要的施工費．【答案】(1)30天(2)60天(3)先由甲、乙合作18天，再由甲獨做18天，才能使工費最少．所需施工費為113.4萬元【分析】本題考查一元一次方程的應用，分析題意，找準等量關系列方程是解題的關鍵．（1）設甲、乙兩個工程隊一起合作，根據題意列一元一次方程解答即可；（2）設共需y天才能完成此項工程，根據“合作15天后，剩下的部分由乙工程隊單獨做”列方程解答即可；（3）分別計算甲、乙單獨完成所需費用，甲費用較少，應盡量讓甲多做．設甲、乙合作天，余下的工程由甲獨做，求出這種方案的費用，做比較解答即可．【詳解】（1）解：設甲、乙兩個工程隊一起合作天就可以完成此項工程，則，解得，答：甲、乙兩個工程隊一起合作30天就可以完成此項工程．（2）解：設共需y天才能完成此項工程，則．解得．答：共需60天才能完成此項工程．（3）解：甲完成工程所需費用為（萬元），乙完成工程所需費用為（萬元）．甲費用較少，應盡量讓甲多做．設甲、乙合作天，余下的工程由甲獨做，由題意得．解得．所需費用為：萬元．答：先由甲、乙合作18天，再由甲獨做18天，才能使工費最少．所需施工費為113.4萬元．【考點6一元一次方程的應用之行程問題】【例6】（25-26七年級上·甘肅·期末）甲地到乙地的高鐵開通后，運行時間由原來的縮短至，運行里程比原來縮短了．已知動車組列車的平均速度比普通列車的平均速度快，求動車組列車的平均速度．【答案】【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列方程．設動車組列車的平均速度為，則普通列車的平均速度為，根據運行里程比原來縮短了建立方程解答即可．【詳解】解：設動車組列車的平均速度為，則普通列車的平均速度為，由題意，得，解得，答：動車組列車的平均速度為．【變式1】（24-25七年級上·湖北黃石·期末）一列勻速前進的火車，從它開始進入米長的隧道到完全通過隧道共用了秒，隧道頂部一盞固定的小燈的燈光在火車上照射了秒鐘，求這列火車的長為多少米？【答案】這列火車的長為400米【分析】設這列火車的長為x米，根據題意表示出火車的速度：或者，根據速度的相等關系列出方程，解方程即可．【詳解】解：設這列火車的長為x米，由題意得：，解得：；答：這列火車的長為400米．【變式2】（24-25七年級上·全國·期末）列一元一次方程解決實際問題某船從碼頭順流航行到碼頭，然后逆流返行到碼頭，共行小時，已知船在靜水中的速度為千米每小時，水流速度為千米每小時，若與的距離比與的距離短千米，求與的距離【答案】千米或千米【分析】本題主要考查列一元一次方程解決實際問題；涉及到路程、速度和時間的關系．流水行船問題的速度公式：即順水速度靜水速度水流速度、逆水速度靜水速度水流速度；行程問題的基本數(shù)量關系：時間路程速度，且總時間等于各段行程所用時間之和，是列方程的關鍵依據；分類討論思想：由于碼頭相對于碼頭的位置不明確(可能在之間，也可能在的上游)，需分兩種情況分析并分別列方程求解，避免漏解．【詳解】解：設與的距離為千米，由題意可得：當在與之間時解之得：當在的上游時：解之得：答：與的距離是千米或千米．【變式3】（24-25七年級上·四川成都·期末）育紅學校七年級學生步行到郊外旅行，七（1）班學生組成前隊，步行速度為5千米/時，七（2）班學生組成后隊，步行速度為7千米/時，前隊出發(fā)1小時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡員騎自行車在兩隊之間不間斷進行聯(lián)絡，他騎車的速度為12千米/時，根據上面的事實回答問題．(1)后隊第一次追上前隊用了小時；后隊第一次追上前隊時聯(lián)絡員行了千米．(2)聯(lián)絡員第一次追上前隊用了多長時間？請你寫出求解過程．(3)聯(lián)絡員第一次與后隊相遇用了多長時間？請你寫出求解過程．【答案】(1)；30(2)聯(lián)絡員第一次追上前隊用了小時(3)聯(lián)絡員第一次與后隊相遇用了小時【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應用，一元一次方程的應用，根據題意列出方程，是解題的關鍵．（1）根據兩隊行駛的速度列出算式求出后隊第一次追上前隊所用時間即可；根據速度、路程和時間關系，求出聯(lián)絡員行駛的路程即可；（2）設聯(lián)絡員第一次追上前對用了x小時，根據聯(lián)絡員第一次追上前隊需要行駛的路程與前隊行駛的總路程相等，列出方程，解方程即可；（3）設聯(lián)絡員第一次與前隊相遇到與后隊相遇用了y小時，根據題意列出方程，求出y，最后求出結果即可．【詳解】（1）解：由題得：后隊第一次追上前隊用的時間為：（小時），后隊第一次追上前隊時聯(lián)絡員行駛的路程為：（千米），（2）解：設聯(lián)絡員第一次追上前隊用了x小時，根據題意得：，解得，，即聯(lián)絡員第一次追上前隊用了小時；（3）解：設聯(lián)絡員第一次與前隊相遇到與后隊相遇用了y小時，根據題意得：，解得：，∴，即聯(lián)絡員第一次與后隊相遇用了小時．【考點7一元一次方程的應用之數(shù)字問題】【例7】（25-26七年級上·全國·期末）“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮記》中，相傳大禹治水時，有只神龜從洛水中跳出來，背上負有洛書，洛書便是最早的幻方．三階幻方是最簡單的幻方，又叫九宮格，它是由九個數(shù)字組成的一個三行三列的矩陣．其對角線、橫行、縱列的數(shù)字之和均相等，這個和叫作幻和．如圖1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所組成的一個三階幻方，其幻和為．(1)①如圖2，設該三階幻方中間的數(shù)字是x(其中x為正整數(shù))，請用含x的代數(shù)式將圖中的幻方填充完整；②如圖3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所組成的一個三階幻方，求x的值．(2)如圖4，這是一個類似于幻方的“幻圓”，將，2，，0，1，，3，分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內、外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等．現(xiàn)已完成了部分填數(shù)．①求“幻圓”的幻和；②求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)①；②或3【分析】本題考查了整式加減的應用、一元一次方程的應用，理解題意是解題的關鍵．（1）①求出三階幻方的幻和為，再根據三階幻方的特點填充即可；②根據幻方的特點可得，即可求出x的值；（2）①求出所有數(shù)字的代數(shù)和，再除以2即可得出答案；②結合“幻圓”的幻和求出，，，再分類討論的值，即可求出的值．【詳解】（1）解：①三階幻方的幻和為，，，，填充幻方如下：②由題意得，，解得．（2）解：①，所以“幻圓”的幻和為；②由題意得，，，，解得，，，當時，；當時，；所以或，則或，所以的值為或3．【變式1】（25-26七年級上·湖南·期末）將連續(xù)的奇數(shù)，，，，，…，排列成如圖所示數(shù)表：13579111315171921232527293133353739414345474951535557596163…(1)十字框中的五個數(shù)的和與中間數(shù)有什么關系？(2)設中間數(shù)為，用式子表示十字框中五個數(shù)之和；(3)若將十字框上、下、左、右平移，可框住另外五個數(shù)，十字框中的五個數(shù)之和能等于嗎？若能，請寫出這五個數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)十字框中的五個數(shù)的和是中間數(shù)的倍(2)(3)能，，，，，【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及規(guī)律型中數(shù)字的變化，根據十字框中個數(shù)的特點找出十字框中的五個數(shù)的和是中間數(shù)的倍是解題的關鍵．（1）將十字框中的五個數(shù)相加即可得出結論；（2）設中間數(shù)為，則其他四個數(shù)字分別為，，，，將五個數(shù)相加可得出結論；（3）設中間的數(shù)為，其他個數(shù)分別為、、、，令其相加等于，算出的值，結合數(shù)陣數(shù)的特點即可得出結論．【詳解】（1）解：十字框中的五個數(shù)的和為：，，十字框中的五個數(shù)的和是中間數(shù)的倍；（2）解：設中間數(shù)為，則其他四個數(shù)字分別為，，，，這五個數(shù)的和為；（3）解：設中間的數(shù)為，其他個數(shù)分別為、、、，個數(shù)之和為，令，解得：，是奇數(shù)，，是第行第個數(shù)，符合題意，十字框中的五個數(shù)之和能等于，這五個數(shù)分別為：，，，，．【變式2】（24-25七年級上·河北滄州·期末）將連續(xù)的奇數(shù)按下表方式排列，用正方形任意圈出四個數(shù)，如圖，若圈出的四個數(shù)中，第一行第一列上的數(shù)表示為a，其余各數(shù)分別用b，c、d表示．(1)觀察與發(fā)現(xiàn)：分別用含a的代數(shù)式表示b、c、d三個數(shù)：______；_____；_____；(2)歸納與總結：求這四個數(shù)的和（用含a的代數(shù)式表示，并化簡）；(3)這四個數(shù)的和會等于112嗎？如果會，請求出a值，如果不能，請說明理由．（列方程解答）【答案】(1)；(2)，；(3)這四個數(shù)的和不會等于112，理由如下【分析】本題考查列代數(shù)式及一元一次方程的應用，解題的關鍵是觀察表格，得到表格中數(shù)的關系，再列方程解決問題．（1）觀察表格直接得到答案；（2）將四個數(shù)相加，合并同類項即可；（3）根據四個數(shù)的和等于112，列出方程，再檢驗即可．【詳解】（1）解：由圖可得：第一行第一列上的數(shù)表示為，則，，，故答案為：，，；（2）解：四個數(shù)的和是，（3）解：這四個數(shù)的和不會等于112，理由如下：，，解得，這四個數(shù)是22，24，32，34，表中的數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，故用正方形圈出的四個數(shù)的和不會等于112．【變式3】（24-25七年級下·廣東深圳·期末）信息1若一個兩位數(shù)十位、個位上的數(shù)字分別為和，我們可將這個兩位數(shù)記為，如；同理，一個三位數(shù)、四位數(shù)等也可以用此記法，如．信息2調換兩位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字，可以得到一個新的兩位數(shù)．【信息理解】（1）填空：①可表示為________；②若，則________．（2）的運算結果能被9整除，請說明其中的道理．【遷移運用】（3）小明利用運算程序設計了一個數(shù)學魔術，邀請小天參與體驗．步驟1：小明寫下一個兩位數(shù)；步驟2：小天將一個兩位數(shù)輸入如圖所示的運算程序，得到運算結果后，再將該結果減去；步驟三：小明在未運用運算程序的情況下，直接說出了最終結果為四位數(shù)．請推測兩位數(shù)與之間的數(shù)量關系．并簡要說明理由．【答案】（1）①；②2；（2）見解析；（3），見解析【分析】本題考查整式加減的實際應用，列代數(shù)式，一元一次方程的實際應用，熟練掌握數(shù)字的表示方法，是解題的關鍵：（1）①根據題意，列出代數(shù)式即可；②根據數(shù)字的表示方法，列出方程進行求解即可；（2）根據數(shù)字的表示方法，進行整式的加減運算，求出結果后，進行判斷即可；（3）根據流程圖和數(shù)字的表示方法進行計算即可．【詳解】解：（1）①可表示為②∵，∴，解得：；故答案為：2；（2）解：由信息1和信息2可知能被9整除．（3），理由如下：將輸入運算程序，得：減去得：而四位數(shù)可以表示為：．所以即所以即．【考點8一元一次方程的應用之比賽問題】【例8】（24-25七年級上·全國·期末）為響應河南省“2024全民閱讀”系列活動，某校開展“書香校園”文學閱讀與知識競賽活動．知識競賽為百分制，共設20道選擇題，各題分值相同，每題必答．A，B，C三位參賽者得分情況如下表所示，求參賽者C答對的題數(shù)．參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A200100B19194C58【答案】參賽者C答對的題數(shù)為13【分析】本題考查了一元一次方程的應用，先根據題意求出答對一道題得5分，錯一道扣1分，再設參賽者C答對的題數(shù)為x，列出方程進行求解即可．【詳解】解：由參賽者A可得，答對一題得（分），結合參賽者B可得，答錯一題扣（分）.設參賽者C答對的題數(shù)為x，根據題意，得，解得：．答：參賽者C答對的題數(shù)為13．【變式1】（24-25七年級上·廣東東莞·期末）某校組織黨史知識競賽，共設50道選擇題，各題分值相同，每題必答，答錯扣分，下表記錄的是其中3名參賽者的得分情況．參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A500100B49197C371361(1)由表格知，答對一題得______分，答錯一題扣______分；(2)某參賽者得73分，求該參賽者答對的題數(shù)；(3)參賽者的得分可能是90嗎？請說明理由．【答案】(1)2；1；(2)該參賽者答對的題數(shù)為41．(3)不可能，理由見解析【分析】本題考查讀表能力和一元一次方程應用或假設法應用，掌握這些方法是解題關鍵．（1）通過讀表格參賽者A即可得出答對一題得2分，通過參賽者B得知48×2=96，而實際只得94分，錯了兩個題扣了2分，所以答錯一題扣1分；（2）通過設未知數(shù)或假設全對再求答錯個數(shù)來求出實際答對個數(shù)；（3）通過（2）中的方法對答對題目個數(shù)進行求解，得到個數(shù)不是整數(shù)從而證明不可能得到90分．【詳解】（1）解：由表格知，答對一題得分，答錯一題扣分；故答案為：2；1；（2）設該參賽者答對的題數(shù)為x．依題意，．解得．所以，該參賽者答對的題數(shù)為41．（3）若某參賽者的得分為90，設其答對題數(shù)為m．則，解得．因為不是整數(shù)，參賽者的得分不可能是90．【變式2】（24-25七年級上·貴州黔東南·期末）學校組織數(shù)學知識競賽，共設計20道選擇題，各題的分值相同，每題必答．下表列出了5名參賽同學的得分情況．參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分A19194B14664C200100D101040E18288(1)同學F得76分，他答對了幾道題？(2)同學G說他得85分，你認為可能嗎？為什么？【答案】(1)他答對了16道題；(2)不可能，見解析【分析】本題考查一元一次方程的應用，根據題意列出等式是解題的關鍵．（1）根據題意得出答對一題得5分，答錯一題扣1分，設同學F答對了a道題，答錯了道題，根據題意列出方程求解即可；（2）假設他得85分可能，設答對了b道題，答錯了道題，根據答對的得分+答錯的得分分建立方程求出其解即可，注意b要為整數(shù)．【詳解】（1）解：根據題意得：答對一題得分，答錯一題扣分，設同學F答對了a道題，答錯了道題，由題意得：，解得：．答：他答對了16道題；（2）解：不可能，理由如下：假設他得85分可能，設答對了b道題，答錯了道題，由題意得，解得：，∵b為整數(shù)，而不是整數(shù)，∴同學G說他得85分，是不可能的．【變式3】（24-25七年級下·北京·期末）某校初一年級學生參加有理數(shù)計算闖關，闖關共設25道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表是部分參賽者的得分統(tǒng)計表：參賽者答對題數(shù)答錯題數(shù)得分小于250100小王21476小李151040…………(1)根據表格提供的數(shù)據，答對1題得分，答錯1題扣分：(2)參賽者小趙得了64分，求他答對了幾道題．【答案】(1)4，2(2)小趙答對了題【分析】本題主要考查一元一次方程的運用，理解表格信息，正確列出方程求解是關鍵．（1）設答對1題得分，根據小于的分數(shù)得到答對1題得分，結合小王的分數(shù)可得答錯1題扣分，由此即可求解；（2）設小趙答對了題，則答錯了題，由此列式求解即可．【詳解】（1）解：設答對1題得分，∴根據小于的成績得到，，解得，∴答對1題得分，∴根據小王的分數(shù)得到，，∴答錯1題扣分，故答案為：4，2；（2）解：設小趙答對了題，則答錯了題，∴，解得，，∴小趙答對了題．【考點9一元一次方程的應用之幾何問題】【例9】（24-25七年級下·河北邯鄲·期末）如圖，在長方形中，，點E是邊上的一點，分別長，滿足．動點P從B點出發(fā)，以的速度沿運動，最終到達點D．設運動時間為．(1)___________，__________．(2)把四邊形的周長平分，求t的值？(3)另有一點Q從點E出發(fā)，按照的路徑運動，且速度為，若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動．___________時，的面積等于．【答案】(1)6；6(2)(3)3或或10【分析】本題主要考查了矩形的性質、三角形的面積和絕對值與偶次方的非負性，解題關鍵是利用分類討論的數(shù)學思想解決問題．（1）根據偶次方和絕對值的非負性，列出關于a，b的方程，解方程求出a，b即可；（2）先根據已知條件求出，，再根據把四邊形的周長平分列出關于t的方程，解方程求出t即可；（3）分三種情況討論：①點P在上時，②相遇前，點P在上，③相遇后，點P與點D重合，Q都在上，分別畫出圖形，再根據面積公式進行解答即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，，∵運動時間為，∴，，∵把四邊形的周長平分，∴，，解得：；（3）解：分三種情況討論：①點P在上時，如圖所示：∵的面積，，解得：；②相遇前，點P在上，由題意得：，，∴，∴的面積，，解得：；③相遇后，點P與點D重合，P，Q都在上，如圖所示：由題意得：，，∴，∴，∴的面積，，解得：，∴或或10，故答案為：3或或10．【變式1】（24-25七年級下·安徽安慶·期末）如圖，長方形被分成六個大小不一的正方形，已知中間一個小正方形的面積為4，求長方形中最大的正方形與最小的正方形的面積之差．【答案】192【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，求解最小的正方形邊長為2，依次表示，，，可得，，再利用長方形的性質列方程求解即可．【詳解】解：由中間最小的正方形面積為4，得最小的正方形邊長為2，如圖其他正方形的邊長分別為a，b，c，d，由圖知，，，，，∵為長方形，∴，∴，解得，則，最大的正方形面積為，，故最大正方形的面積與最小正方形的面積之差為192．【變式2】（24-25七年級下·四川成都·期末）如圖，在中，，，，，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿方向運動，到達點時停止運動，連接（或）．設點運動的時間為，的面積為．(1)請寫出關于的關系式；(2)當?shù)拿娣e為4時，求點的運動時間．【答案】(1)(2)秒或6秒．【分析】本題考查三角形的面積，掌握三角形面積計算公式是解題的關鍵．（1）根據三角形面積公式，分別計算當點P在上、在上時S關于t的關系式即可；（2）當時，求出對應t的值即可．【詳解】（1）解：如圖，過點C作于點D．∵，∴，當時，，當時，，∴S關于t的關系式為．（2）解：當時，解得，當時，解得，∴當?shù)拿娣e為4時，點P的運動時間t為秒或6秒．【變式3】（24-25七年級下·吉林長春·期末）如圖，在長方形中，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿的方向運動；同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿的路徑運動，連結．當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設點Q的運動時間為t秒．(1)寫出的長（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當線段將長方形分割后，所得圖形中存在軸對稱圖形時，．(3)若點Q到達點A后，以原速度的2倍返回到點D，同時點P以原速度繼續(xù)向點C運動．在點Q的整個運動過程中：①當線段平分長方形的周長時，求的值；②作點Q關于點D的中心對稱點直接寫出．的面積是面積的時t的值．【答案】(1)；(2)；(3)①或；②的面積是面積的時t的值為或或．【分析】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應用等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）分兩種情況：當時，，當時，；（2）依題意可知，當線段將長方形分割后，所得圖形中存在軸對稱圖形，則，得到，即，求解即可；（3）①分兩種情況：當時，當時，分別求解即可；②分三種情況討論：當時，當時，當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形，，∴，∵動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿的方向運動；同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿的路徑運動，∴點到達點的時間為：，點到達點的時間為：，點到達點的時間為：，當時，，當時，，∴；（2）解：依題意可知，當線段將長方形分割后，所得圖形中存在軸對稱圖形，則，如圖：∴，∴，解得：，故答案為：；（3）解：①點Q到達點A后，以原速度的2倍返回到點D的時間為：，長方形的周長為：，當平分周長時，，當時，，解得：，當時，，解得：；②當時，，，如圖：∴，∴，，∵的面積是△PCD面積的，∴，解得：，當時，，，如圖：∴，∴，，∵的面積是面積的，∴，解得：，當時，，，如圖：∴，∴，，∵的面積是面積的，∴，解得：，綜上，的面積是面積的時t的值為或或．【考點10一元一次方程的應用之日歷問題】【例10】（24-25七年級上·甘肅平涼·期末）生活中常見的月歷中存在許多奧秘，你想知道嗎？如圖，這是2025年1月的月歷．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031(1)它的橫行、豎列上的相鄰兩數(shù)之間分別有什么關系？(2)如果一豎列上連續(xù)三個數(shù)的和為48，你能知道這三個數(shù)分別是多少嗎？(3)如果用一個正方形圈出四個數(shù)，這四個數(shù)的和能等于60嗎？若能，請求出圈出的四個數(shù)分別是多少；若不能，請說明理由．【答案】(1)橫行上的相鄰兩數(shù)之間的關系為：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為，豎列上的相鄰兩數(shù)之間的關系為：下一列的數(shù)與上一列的數(shù)的差是；(2)這三個數(shù)分別是、、(3)不能，理由見詳解【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出日歷中的規(guī)律是解題的關鍵．（1）觀察日歷即可求解；（2）設中間的數(shù)為，則有，即可求解；（3）設最左上角的數(shù)為，則有，即可求解．【詳解】（1）解：橫行上的相鄰兩數(shù)之間的關系為：后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為，豎列上的相鄰兩數(shù)之間的關系為：下面一行的數(shù)與上面一行的數(shù)的差是；（2）解：設中間的數(shù)為，則有，解得，所以，，故這三個數(shù)分別是、、；（3）解：不能；理由如下：設最左上角的數(shù)為，則有，解得，所以，，，所以四個數(shù)分別是、、、，由日歷得與不在同一列，與不在同一列，故不能用一個正方形圈出四個數(shù)，這四個數(shù)的和不能等于60．【變式1】（24-25七年級上·江西贛州·期末）如圖是某年9月的日歷，用形如型框，去框日歷中的日期數(shù)．每次同時框5個數(shù)．(1)設框最中間的數(shù)為a，則這5個數(shù)之和為______（用含a的代數(shù)式表示）；(2)這5個數(shù)的和能等于85嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)不能，見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應用及列代數(shù)式，能夠根據框最中間的數(shù)，表示出其余個數(shù)是解決問題的關鍵．（1）根據框最中間的數(shù)，表示出其余個數(shù)，再列出個數(shù)之和，計算后即可得出答案；（2）當時，，然后根據數(shù)的位置解答即可．【詳解】（1）解：解：∵框最中間的數(shù)為a，則其余4個數(shù)分別為，，，，∴這5個數(shù)之和為：，故答案為：；（2）解：不能，理由如下：當時，，結合日歷表，得出當正中間的數(shù)為17時，右上角、右下角的數(shù)不存在，所以這5個數(shù)的和不能等于85．【變式2】（24-25七年級上·浙江溫州·期末）如圖所示，將連續(xù)正偶數(shù)由小到大按順序排列，任意選取“U”型框中的5個數(shù)（如陰影部分所示），設“U”型框左上角的數(shù)為．(1)用含的代數(shù)式表示“U”型框中的5個數(shù)的和．(2)“U”型框中的5個數(shù)的和能等于758嗎？若能，求出的值；如不能，請說明理由．【答案】(1)(2)能，，理由見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應用、列代數(shù)式以及整式的加減，解題的關鍵是：根據各數(shù)量之間的關系，列代數(shù)式及找準等量關系，正確列出一元一次方程．（1）根據5個數(shù)的位置關系，可得出另外的4個數(shù)分別為，，，，將5個數(shù)相加，即可用含m的代數(shù)式表示“U”型框中，的5個數(shù)的和；（2）根據“U”型框中的5個數(shù)的和得等于758，可列出關于m的一元一次方程，解方程，檢驗后即可得結論．【詳解】（1）解：根據題意得：另外的4個數(shù)分別為，，，，“”型框中的5個數(shù)的和為；（2）解：能，理由如下根據題意得：，解得：，，，在第6列，符合題意，“”型框中的5個數(shù)的和能等于758，的值為140．【變式3】（24-25七年級上·河北邢臺·期末）數(shù)學活動??探究日歷中的數(shù)字規(guī)律．如圖，這是2025年1月的月歷表．在表中用對稱的型框“”框住七個數(shù)．(1)若型框中其中最小的數(shù)字為2，求型框中的七個數(shù)字之和．(2)在表中移動型框的位置，若型框框住的七個數(shù)字之和為147，求這七個數(shù)字中最大的數(shù)．(3)在表中移動型框的位置，請判斷型框框住的七個數(shù)字之和能否為168，若能，請直接寫出七個數(shù)字中最小的數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)70(2)29(3)不能，理由見解析【分析】題目主要考查一元一次方程的應用，理解題意，列出方程是解題關鍵．（1）根據題意列式計算即可；（2）設型框正中間的數(shù)字為，則另外6個數(shù)字分別為，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可；（3）設型框正中間的數(shù)字為．同（2）求解方程，結合日歷表即可求解【詳解】（1）解：根據題意得．（2）設型框正中間的數(shù)字為，則另外6個數(shù)字分別為，，，，，；所以這7個數(shù)字的和是．根據題意得，解得．所以．答：這七個數(shù)字中最大的數(shù)字是29．（3）不能．理由：設型框正中間的數(shù)字為．由（2）可知，這7個數(shù)字的和是．根據題意得，解得．因為，32不在月歷表中，所以型框框住的七個數(shù)字之和不能為168．【考點11一元一次方程的應用之電費和水費問題】【例11】（25-26七年級上·甘肅·期末）為了鼓勵節(jié)約用電，某地用電標準規(guī)定：如果每戶每月用電不超過度，那么每度按元繳納；超過部分則按每度元繳納．(1)某戶月份用電度，共交電費元，求．(2)若該戶月份的電費平均每度元，求月份共用電多少度？應交電費多少元？【答案】(1)150(2)180度，108元【分析】本題考查一元一次方程的實際應用：（1）先判斷200是否大于a，再根據計費規(guī)則列一元一次方程，即可求解；（2）設6月份共用電x度，則電費為元，根據計費規(guī)則列一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據題意可得：經驗算：若，則，∴，即有超過的部分，∴，解得：；（2）解：設6月份共用電x度，則，解得：，（元），即月份共用電180度，應交電費108元．【變式1】（25-26七年級上·天津·期末）某市有兩家出租車公司，收費標準不同．甲公司收費標準為：起步價9元，超過3千米后，超過的部分按照每千米元收費．乙公司收費標準為：起步價20元，超過8千米后，超過的部分按照每千米元收費．已知車輛行駛x千米．本題中x取整數(shù)，不足1千米的路程按1千米計費．(1)根據題意，填寫下表：車輛行駛的路程（千米）13581520…甲公司收費（元）9—17—…乙公司收費（元）202020——…(2)當車輛行駛路程超過8千米，且路程為整數(shù)時，甲、乙兩公司的收費分別是多少？（結果用化簡后的含x的式子表示）(3)當行駛路程為______千米時，兩家公司的費用相同．【答案】(1)見解析(2)甲公司的收費是：元；乙公司的收費是：元(3)18【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，列代數(shù)式，有理數(shù)四則混合計算的實際應用：（1）根據所給的收費標準列式計算即可；（2）根據所給的收費標準列式計算即可；（3）根據題意結合（2）所求可得方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，當時，甲公司收費9元；當，甲公司收費元；當時，乙公司收費元；當時，乙公司收費元；填表如下：車輛行駛的路程（千米）13581520…甲公司收費（元）9917…乙公司收費（元）20202020…（2）解：由題意得，甲公司的收費為元，乙公司的收費為元；（3）解：由題意得，，解得，∴當行駛路程為18千米時，兩家公司的費用相同，故答案為：18．【變式2】（25-26七年級上·全國·期末）為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費．下表是該市居民“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的部分信息：自來水銷售價格污水處理價格每戶每月用水量單價：元/噸單價：元/噸噸及以下超過噸但不超過噸的部分超過噸的部分（說明：①每戶的污水量等于該戶自來水用量；②水費自來水費用污水處理費．）已知小李家2021年7月用水16噸，交水費元，8月份用水25噸，交水費元．(1)求，的值；(2)如果小李家9月份上交水費元，則小李家這個月用水多少噸?【答案】(1)，(2)噸【分析】本題考查二元一次方程組的應用(求階梯水價單價)與分段計費問題(求用水量)，解題的關鍵是根據不同用水量對應的計費標準列方程，明確“水費(自來水單價污水處理單價)用水量”．（1）用7月噸噸)的水費列方程求，用8月噸的分段水費列方程求；（2）先算噸水的總費用，判斷元對應用水量超噸，設超量部分列方程求總噸數(shù)．【詳解】（1）解：

∵水費(自來水單價污水處理單價)用水量，

7月：，解得，；

8月：，即，

解得，∴，；（2）解：噸水費：(元)，

∵，∴用水量超噸，設總用水量為噸，

則，

，解得，.答：小李家這個月用水噸．【變式3】（24-25七年級上·湖北武漢·期末）根據以下素材，探索未完成的任務．水費、用水量是多少？素材1為增強公民節(jié)水意識，合理利用水資源，我市2023年采用“階梯收費”．素材2第一階梯（用水量噸）：水費為4元/噸，其中自來水為3元/噸，污水處理費為1元/噸．第二階梯（14噸<用水量噸）：水費為6元/噸，其中自來水為5元/噸，污水處理費為1元/噸．第三階梯（用水量噸）：水費為11元/噸，其中自來水為10元/噸，污水處理費為1元/噸．素材3如某用戶2023年2月份用水15噸，則各種費用如下：自來水費（元）污水處理費（元）水費（元）問題解決任務1確定污水處理費已知某用戶2023年12月份所繳水費中，自來水費為67元，求該用戶12月份需繳污水處理費多少元？任務2確定水費某用戶2023年11月用水a噸，則應繳水費多少元？任務3確定用水量如果該用戶2023年5、6月份共用水42噸（6月份用水量超過5月份用水量），共繳水費210元，則該用戶5、6月份各用水多少噸？【答案】任務1：該用戶12月份需繳污水處理費19元；任務2：應繳水費為元；任務3：該用戶5、6月份各用水、噸【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數(shù)式，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．任務1：設該用戶12月份的用水量為x噸，則該用戶12月份需繳污水處理費x元，根據該用戶2023年12月份所繳水費中自來水費為67元，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；任務2：利用總價=單價×數(shù)量，結合該市“階梯收費”的標準，即可用含a的代數(shù)式表示出應繳水費；任務3：設該用戶5月份的用水量為y噸，則該用戶6月份的用水量為噸，根據該用戶2023年5、6月份共繳水費210元，可列出關于y的一元一次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．【詳解】解：任務1：設該用戶12月份的用水量為x噸，則該用戶12月份需繳污水處理費x元，∵（元），（元），，∴．根據題意得：，解得：．答：該用戶12月份需繳污水處理費19元；任務2：根據題意得：當時，應繳水費元；當時，應繳水費元；當時，應繳水費元．答：應繳水費為元；任務3：設該用戶5月份的用水量為y噸，則該用戶6月份的用水量為噸，當時，，解得：（不符合題意，舍去）；當時，，解得：，∴（噸）．答：該用戶5、6月份各用水、噸．【考點12一元一次方程的應用之數(shù)軸上的動點問題】【例12】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，數(shù)軸上的線段，，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點C在數(shù)軸上表示的數(shù)是7，若線段以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動．(1)問運動多少秒時，點B與D重合？(2)問運動多少秒時，的長度為8？【答案】(1)秒(2)秒或秒【分析】本題考查數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程的應用；（1）設運動t秒時，根據點和點重合列方程解答即可；（2）設運動秒時，點B、C所表示的數(shù)分別為，根據列方程解答即可．【詳解】（1）解：設運動t秒時，點B與D重合．則．解得．答：當運動秒時，點B與D重合．（2）解：∵，點A表示的數(shù)是，∴點B表示的數(shù)是．設運動秒時，的長為8，這時點B、C所表示的數(shù)分別為．則．∵，．，或．解得或．答：運動秒或秒時，的長為8．【變式1】（24-25七年級上·全國·期末）如圖，點A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b．其中，式子是關于x的二次三項式，(1)點P為數(shù)軸上A點左邊一點，且，求點P在數(shù)軸上對應的數(shù)．(2)在（1）的條件下，若點P、A、B三點在數(shù)軸上同時向右運動，點P、A、B的速度分別是4個單位長度/秒、3個單位長度/秒、2個單位長度/秒，設點P運動的時間為t秒，當時，求t的值．(3)如圖（2），點C在數(shù)軸上對應的數(shù)是1，點A、C的速度分別是3個單位長度/秒、2個單位長度/秒，當點A向左運動，點C向右運動，試問是否存在一個常數(shù)k使得不隨運動時間t的改變而改變，若存在，請求出k；若不存在，請說明理由．【答案】(1)點P對應的數(shù)為(2)t=3(3)當時，，當時，【分析】本題主要考查了數(shù)軸動點問題、一元一次方程實際應用．（1）由二次三項式可求，，進而表示出和，建立方程求解即可；（2）先將動點用含t的式子表示出來，進而在表示兩點距離，這里有兩種方法一則是利用絕對值，再分類討論，二則是先分類討論，然后表示，最后利用建立方程求解即可；（3）和第二問一樣，先表示出動點，再分類討論，要與t無關，令t的系數(shù)為0即可得解．【詳解】（1）解：是關于x的二次三項式，，，，，點A表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為4，設P對應的數(shù)為，根據題意可得：，，，，解得：，答：點P對應的數(shù)為；（2）解：當運動的時間為t秒時，點P表示的數(shù)為：，點A表示的數(shù)為：，點B表示的數(shù)為：，，，，，或，當時，方程無解，當時，解得：，的值為3；（3）解：當運動t秒時，點A對應的數(shù)為：，點C對應的數(shù)為：，，，分以下兩種情況討論：①當時，，，，解得；②當時，，，，解得；綜上，當時，，當時，．【變式2】（24-25七年級上·遼寧大連·期末）數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，且a、b滿足．點M為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為m．(1)點A表示的數(shù)為；若點M為線段的中點，則點M對應的數(shù)為；(2)點M在移動的過程中，當點M到點A、點B的距離之和為10時，求點M對應的數(shù)m；(3)對于數(shù)軸上的三點，給出如下定義：若當其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍關系時，則稱該點是其他兩個點的“2倍點”．例如：在數(shù)軸上點C表示的數(shù)為，點D表示的數(shù)為2，原點O到點C，點D的距離分別為，，則，即原點O是點C，D的“2倍點”．點A、點B分別以每秒4個單位長度和每秒1個單位長度的速度同時向右運動，同時點M以每秒3個單位長度的速度從表示數(shù)5的點向左運動．設三個點的運動時間為t秒．①當點M恰好是點A，B的“2倍點”時，求t的值；②當點A恰好是點M，B的“2倍點”時，直接寫出t的值．【答案】(1)，1(2)此時點M對應的數(shù)是或6；(3)①的值為或或；②或或【分析】本題考查數(shù)軸定義與性質，涉及數(shù)軸表示數(shù)、非負式和為零的條件、兩點之間距離、數(shù)軸上中點表示方法、數(shù)軸動點問題等，根據題意，準確找到各個點表示的數(shù)，數(shù)形結合列式求解即可得到答案．（1）根據數(shù)軸的定義，由非負式和為零的條件得方程求解即可得到點、點表示的數(shù)，再由數(shù)軸上中點表示方法代值求解即可得到點M對應的數(shù)；（2）根據題意，數(shù)形結合，分三種情況討論，列方程求解即可得到答案；（3）①根據題意，理解“2倍點”概念，數(shù)形結合，分情況討論，列方程求解即可得到答案；②根據題意，理解“2倍點”概念，數(shù)形結合，分情況討論，列方程求解即可得到答案．【詳解】（1）解：數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且滿足，，且，解得，點表示的數(shù)為；點表示的數(shù)為；點M為線段的中點，點M對應的數(shù)為，故答案為：，1；（2）解：根據題意，分三種情況討論：當時，，則，解得；當時，，不存在這樣的；當時，，則，解得；綜上所述，此時點M對應的數(shù)是或6；（3）解：①設出發(fā)后，表示的數(shù)是、表示的數(shù)是、M表示的數(shù)是，根據題意，分情況討論：當位置如圖所示：則、，由點M是點的“2倍點”，數(shù)形結合得，即，解得（負值，不合題意，舍去）；當位置如圖所示：則、，由點M是點的“2倍點”，數(shù)形結合，分兩種情況：若，即，解得；若，即，解得；當位置如圖所示：則、，由點M是點的“2倍點”，數(shù)形結合得，即，解得；當位置如圖所示：則、，由點M是點的“2倍點”，數(shù)形結合得，即，解得（負值，不合題意，舍去）；綜上所述，的值為或或；②設出發(fā)后，表示的數(shù)是、表示的數(shù)是、M表示的數(shù)是，根據題意，分情況討論：當位置如圖所示：則、，由點A是點M，B的“2倍點”，數(shù)形結合得，即，解得（負值，不合題意，舍去）；當位置如圖所示：則、，由點A是點M，B的“2倍點”，數(shù)形結合，分兩種情況：若，即，解得；當位置如圖所示：則、，由點A是點M，B的“2倍點”，數(shù)形結合，分兩種情況：若，即，解得；若，即，解得；當位置如圖所示：則、，由點A是點M，B的“2倍點”，數(shù)形結合得，即，解得（負值，不合題意，舍去）；綜上所述，的值為或或．【變式3】（24-25七年級上·江蘇揚州·期末）數(shù)軸是重要的數(shù)學學習工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結合．如圖1，數(shù)軸上的點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點B在點A的右側．已知a、b滿足．(1)a＝，b＝；(2)如圖2，動點P、Q分別從點A、B處同時向右移動，點P的速度為4個單位長度/秒，點Q的速度為2個單位長度/秒，設運動時間為t秒．①當s，點P、Q重合；②在運動過程中，點P、B、Q三點中恰有一點是另外兩點連線所得線段的中點，求運動時間t；(3)如圖3，點M是中點，動點P、Q分別從點A、B處同時向右移動，若點P的速度為m個單位長度/秒，點Q的速度為n個單位長度/秒，設運動時間為t秒．在運動過程中，試判斷的值能否是定值？如果是定值，求此時m、n的關系．【答案】(1)；16(2)①12②或8(3)【分析】（1）根據非負數(shù)的性質即可解答；（2）①由題意得：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，列方程求解即可；②由題意得：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，分情況討論，（Ⅰ）當為中點時，，（Ⅱ）當為中點時，，（Ⅲ）當為中點時，，列方程求解即可；（3）分情況討論，①當點在的左側時，②當點與重合時，③當點在的右側時，表示出即可解答．【詳解】（1）解：、滿足．，，，，故答案為：；16．（2）解：①由題意得：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，當點、重合時，即，解得，當，點、重合，故答案為：12；②由題意得：點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，（Ⅰ）當為中點時，，如圖，即，解得；（Ⅱ）當為中點時，，如圖，即，解得；（Ⅲ）當為中點時，，如圖，即，該方程無解；綜上，或8（3）解：，為中點，，點表示的數(shù)為：，①當點在的左側時，如圖，，，，代數(shù)式的值會隨的增大而增大，不可能為定值；②當點與重合時，，、的關系無法確定該代數(shù)式的值；③當點在的右側時，如圖，，當時，代數(shù)式的值與無關，綜上，當點運動到點右側且時，的值是定值48．一、單選題1．（24-25七年級上·浙江紹興·期末）某商店將某物品按進價提高后標價，再優(yōu)惠150元銷售，能獲得的毛利率（毛利率）．則銷售該物品所得的利潤為（

）A．200元 B．250元 C．300元 D．350元【答案】B【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，設該衣服的進價為x元，則售價為元，根據毛利率計算公式列出方程求出進價，進而求出售價即可求出對應的利潤．【詳解】解：設該衣服的進價為x元，則售價為元，由題意得，，解得，元，∴銷售該物品所得的利潤為250元，故選：B．2．（24-25七年級上·四川成都·期末）《算法統(tǒng)宗》中給出：牧童分杏各爭競，不知人數(shù)不知杏．三人五個多十枚，四人八枚兩個剩．問：有幾個牧童幾個杏？題目大意：牧童們要分一堆杏，不知道人數(shù)也不知道有多少個杏．若人一組，每組個杏，則多個杏；若人一組，每組個杏，則多個杏，有多少個牧童，多少個杏？若設共有個牧童，則依據題意可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是根據題意找相等關系，列出相應的方程．根據人一組，每組個杏，則多個杏，可知杏的總數(shù)為；若人一組，每組