21三角形第2課時(shí)核心概念與性質(zhì)深入?yún)R報(bào)人：XXXYOURYOUR三角形的高線01高的定義從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。由于三角形有三條邊，所以三角形有三條高。銳角三角形高銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，并且三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部，這體現(xiàn)了銳角三角形高的位置特點(diǎn)。直角三角形高直角三角形兩條直角邊分別為兩條高，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)正是直角的頂點(diǎn)，這是直角三角形高的獨(dú)特之處。鈍角三角形高鈍角三角形鈍角兩邊上的高在三角形外部，還有一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線的交點(diǎn)在三角形的外部。高的定義與類型作圖工具作三角形的高通常需要用到的工具是直尺和三角板，利用直尺來(lái)繪制直線，三角板的直角邊來(lái)確定垂直關(guān)系?；静襟E首先明確要作高對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和對(duì)邊，將三角板的一條直角邊與對(duì)邊重合，另一直角邊經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，沿直角邊作垂線即得高。注意事項(xiàng)作三角形的高時(shí)，要注意高線是頂點(diǎn)到對(duì)邊所在直線的垂線段。需用直角三角板的直角準(zhǔn)確匹配，使一條直角邊與對(duì)邊重合；另外，與垂線不同，且高線不一定在三角形內(nèi)部。練習(xí)實(shí)例在△ABC中，已知BC長(zhǎng)度，要求作BC邊上的高以及求解相關(guān)高與邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系；判斷給出的高的圖形是否正確；根據(jù)已知邊長(zhǎng)和高，計(jì)算三角形的面積相關(guān)問題。作三角形的高三條高關(guān)系任意三角形的三條高所在直線都會(huì)交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為垂心。銳角三角形三條高在內(nèi)部相交；直角三角形三條高相交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形三條高所在直線相交于外部一點(diǎn)。高與面積公式三角形面積等于底乘以高的一半。若已知不同邊上的高和對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，利用面積相等可建立等式。如已知兩邊及其對(duì)應(yīng)高，能求出未知的高或邊長(zhǎng)。特殊位置直角三角形兩條直角邊互為彼此的高，斜邊上的高在三角形內(nèi)部，三條高交點(diǎn)即直角頂點(diǎn)；鈍角三角形夾鈍角兩邊上的高在外部，另一條在內(nèi)部，三條高所在直線交于外部。實(shí)際應(yīng)用在建筑中計(jì)算房梁立柱與橫梁的高度，可借助三角形高的知識(shí)；跳遠(yuǎn)測(cè)量成績(jī)時(shí)，把落點(diǎn)與起跳線的垂直距離視為三角形的高來(lái)準(zhǔn)確測(cè)量。高的性質(zhì)YOUR三角形的角平分線02角平分線指的是從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等角的射線。在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與對(duì)邊交點(diǎn)之間的線段就叫做三角形的角平分線。角平分線定義角平分線具有使被平分的角的兩部分度數(shù)相等的性質(zhì)。在角的內(nèi)部平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。在三角形里，若一條線段是內(nèi)角平分線，能將該內(nèi)角精準(zhǔn)地二等分。平分角度性質(zhì)三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，它是三角形內(nèi)切圓的圓心。內(nèi)心在三角形內(nèi)部，在研究三角形的幾何性質(zhì)和相關(guān)計(jì)算時(shí)具有重要作用。內(nèi)心概念引入三角形的三條角平分線一定會(huì)交于一點(diǎn)，這是三角形角平分線的重要特性。此交點(diǎn)就是內(nèi)心，它體現(xiàn)了三角形角平分線之間內(nèi)在的幾何聯(lián)系，對(duì)于深入理解三角形的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)很有幫助。交于一點(diǎn)定義與性質(zhì)01020403尺規(guī)作圖法用尺規(guī)作角平分線的步驟如下：先以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑畫圓弧，交角兩邊于兩點(diǎn)；再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)間距離一半的長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩圓弧相交于一點(diǎn)；最后連接角的頂點(diǎn)和這個(gè)交點(diǎn)，所得射線即為角平分線。作圖演示在黑板或平面上展示角平分線的具體繪制過(guò)程。邊操作邊講解，強(qiáng)調(diào)每一步的關(guān)鍵要點(diǎn)，如確定圓心、半徑的選擇等，讓同學(xué)們清晰看到如何利用尺規(guī)準(zhǔn)確作出角平分線，加深其對(duì)作圖方法的理解。驗(yàn)證方法可通過(guò)測(cè)量角的度數(shù)來(lái)驗(yàn)證所作角平分線是否將角平分，也能在角平分線上任取一點(diǎn)，測(cè)量其到角兩邊的距離，若相等則符合角平分線性質(zhì)。典型例題已知在三角形ABC中，AD是角BAC的平分線，AB=6，AC=4，求BD與DC的比值，此類題需運(yùn)用角平分線定理求解。作角平分線01020403定理敘述角平分線定理指的是角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即若OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，則PD=PE。定理證明可通過(guò)全等三角形證明，因?yàn)镺C平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC，又因?yàn)椤螾DO=∠PEO=90°，OP為公共邊，根據(jù)AAS可證△OPD≌△OPE，得出PD=PE。逆定理說(shuō)明逆定理為角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，它是角平分線定理的反向推理，可用于判斷點(diǎn)是否在角平分線上。解題應(yīng)用在求解三角形中線段比例關(guān)系、證明線段相等問題時(shí)可運(yùn)用角平分線定理，通過(guò)構(gòu)建角平分線與邊的聯(lián)系來(lái)解決問題。角平分線定理YOUR三角形的中線與重心03中線概念三角形的中線是連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。每一個(gè)三角形都有三條中線，它們?cè)诖_定三角形的形狀和位置方面起著重要作用。作圖方法作三角形中線時(shí)，先找到三角形一邊的中點(diǎn)，可通過(guò)測(cè)量或尺規(guī)作圖確定。然后連接該中點(diǎn)與對(duì)邊頂點(diǎn)，這條線段就是三角形的一條中線，按此方法可作出另外兩條。交點(diǎn)特性三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)是三角形的一個(gè)重要幾何特征點(diǎn)。它將每條中線都分成特定的比例，在研究三角形的重心等性質(zhì)時(shí)具有關(guān)鍵意義。重心定義三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。它在物理和幾何中都有重要意義，例如在物理中可看作三角形的平衡點(diǎn)，在幾何中具有獨(dú)特的性質(zhì)和應(yīng)用。中線的定義重心分中線比重心將每條中線都分成2:1的兩段，即從頂點(diǎn)到重心的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1。這一比例關(guān)系在解決與三角形中線和重心相關(guān)的問題時(shí)非常有用。坐標(biāo)公式若三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為\((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)、\((x_3,y_3)\)，則其重心的坐標(biāo)為\((\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})\)，此公式方便我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中確定重心位置。物理意義當(dāng)三角形質(zhì)量分布均勻時(shí)，其重心就是物理意義上的重心。若用一根線從重心處吊起三角形，它能保持平衡，在實(shí)際的建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等場(chǎng)景有重要應(yīng)用。重心證明可依據(jù)燕尾定理，通過(guò)證明S(△AOB)=S(△AOC)且S(△AOB)=S(△BOC)，得出S(△AOC)=S(△BOC)，再套用燕尾定理證明AF=BF，從而證明重心性質(zhì)。重心性質(zhì)定理內(nèi)容中線長(zhǎng)定理表明，在三角形中，三角形三邊與其中線有特定關(guān)系。其描述了中線長(zhǎng)度與三角形各邊長(zhǎng)度之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，是解決三角形相關(guān)問題的重要定理。公式推導(dǎo)根據(jù)三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，通過(guò)構(gòu)建輔助線、利用線段之間的等量關(guān)系，一步步推導(dǎo)得出中線長(zhǎng)定理的公式，展現(xiàn)數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。適用條件中線長(zhǎng)定理適用于任意類型的三角形，只要明確三角形三邊的長(zhǎng)度等相關(guān)信息，就可使用該定理進(jìn)行中線長(zhǎng)度或其他相關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算。計(jì)算實(shí)例給出一個(gè)具體的三角形，已知其三邊長(zhǎng)度，運(yùn)用中線長(zhǎng)定理公式計(jì)算出某條中線的長(zhǎng)度，讓學(xué)生直觀感受定理在實(shí)際計(jì)算中的應(yīng)用過(guò)程。中線長(zhǎng)定理YOUR三角形內(nèi)角和定理04三角形內(nèi)角和定理揭示了三角形的一個(gè)重要特性，即三角形的三個(gè)內(nèi)角之和始終等于180°。這一定理為我們解決許多與三角形角度相關(guān)的問題提供了基礎(chǔ)。定理表述我們可通過(guò)折紙方法來(lái)驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理。把三角形的三個(gè)角往內(nèi)折，能使其剛好拼成一個(gè)平角，從而直觀地展示出三角形內(nèi)角和為180°。折紙驗(yàn)證拼圖驗(yàn)證就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來(lái)，然后嘗試將它們拼在一起，可發(fā)現(xiàn)能拼成一個(gè)平角，這樣更加清晰、形象地證明了三角形內(nèi)角和等于180°。拼圖驗(yàn)證從邏輯層面證明三角形內(nèi)角和定理，可以過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線，利用平行線的性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。邏輯證明定理探究01020403求未知內(nèi)角當(dāng)已知三角形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)時(shí)，借助三角形內(nèi)角和定理，用180°減去這兩個(gè)已知角的度數(shù)，就能算出未知內(nèi)角的度數(shù)。判斷三角形依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，通過(guò)分析三角形三個(gè)內(nèi)角的大小和關(guān)系，能夠判斷該三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形。多邊形內(nèi)角多邊形內(nèi)角和可通過(guò)公式(n-2)×180°來(lái)計(jì)算，其中n為多邊形的邊數(shù)。比如四邊形內(nèi)角和是(4-2)×180°=360°，這體現(xiàn)了多邊形邊數(shù)與內(nèi)角和的緊密關(guān)系。綜合應(yīng)用題綜合應(yīng)用題會(huì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與其他知識(shí)。例如已知三角形中兩角的關(guān)系及某個(gè)外角的度數(shù)，可利用內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)求出各角，培養(yǎng)綜合運(yùn)用能力。定理應(yīng)用01020403直角特殊性直角三角形的特殊性在于它有一個(gè)角為90°，另外兩個(gè)銳角互余。比如直角三角板中，除直角外的兩角之和一定是90°，這為解題提供了便利。角度范圍在三角形中，每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)大于0°且小于180°，三個(gè)內(nèi)角和固定為180°。這限制了角的取值，像若一個(gè)角為130°，那么另兩角和只能是50°且都小于90°。內(nèi)角和不變性無(wú)論三角形的形狀、大小如何改變，其內(nèi)角和始終保持180°不變。不管是等邊三角形、等腰三角形還是不等邊三角形，內(nèi)角和都遵循這一定理。反證法示例用反證法證明三角形內(nèi)角和為180°，可先假設(shè)三角形內(nèi)角和不是180°，然后通過(guò)推理得出與已知定理、公理矛盾的結(jié)果，從而證明原命題成立。推論與拓展YOUR三角形的外角05外角定義三角形的外角是指三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角。每個(gè)三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，所以一個(gè)三角形共有六個(gè)外角。外角作圖要作出三角形的外角，可先明確三角形的一條邊，然后將這條邊向三角形外部進(jìn)行延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線與相鄰邊所形成的角即為該三角形的一個(gè)外角。相鄰內(nèi)角三角形的外角與相鄰內(nèi)角緊密相關(guān)，它們之和為180°，構(gòu)成互補(bǔ)關(guān)系?？赏ㄟ^(guò)三角形內(nèi)角和定理以及外角性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)相關(guān)角度的數(shù)值。外角性質(zhì)三角形外角具有多種重要性質(zhì)，其頂點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，一邊是三角形的一邊，另一邊是一邊的延長(zhǎng)線；一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，且大于任一不相鄰內(nèi)角，外角和為360°。外角基本概念定理敘述三角形外角定理表明：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。利用這一定理，在已知部分內(nèi)角角度時(shí)，可求出對(duì)應(yīng)的外角角度。定理證明已知在三角形中，內(nèi)角和為180°，某一外角與相鄰內(nèi)角也為180°。通過(guò)等式的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)等量代換，可證明外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和。幾何解釋從幾何角度看，三角形外角與不相鄰內(nèi)角存在緊密聯(lián)系，外角可通過(guò)延長(zhǎng)一邊形成，其角度等于不相鄰兩內(nèi)角之和，可直觀用圖形大小對(duì)比體現(xiàn)。推論說(shuō)明基于三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和可得出諸多推論，如外角大于任一不相鄰內(nèi)角，這為判斷角大小關(guān)系及證明提供理論支持。外角定理求角度大小利用三角形外角定理求解角度，可結(jié)合已知內(nèi)角與外角關(guān)系，通過(guò)方程或等式運(yùn)算得出未知角的具體度數(shù)，是常見的解題思路。證明角不等借助三角形外角大于不相鄰內(nèi)角這一性質(zhì)，可在幾何圖形中找到對(duì)應(yīng)外角和內(nèi)角關(guān)系，從而證明角與角之間的不等關(guān)系，為推理提供依據(jù)。實(shí)際模型在實(shí)際生活中三角形外角知識(shí)應(yīng)用廣泛，如工程建筑結(jié)構(gòu)角度計(jì)算、機(jī)械零件設(shè)計(jì)等，能幫助解決現(xiàn)實(shí)中涉及角度的問題。易錯(cuò)點(diǎn)分析在運(yùn)用三角形外角知識(shí)時(shí)，易混淆內(nèi)角與外角關(guān)系，或在多角圖形中錯(cuò)判不相鄰內(nèi)角，需仔細(xì)觀察圖形，避免此類錯(cuò)誤。外角應(yīng)用YOUR綜合應(yīng)用與例題解析06高線是從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足間線段；中線是連接頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段。高線可在形內(nèi)、外或?yàn)檫?，中線都在形內(nèi)，二者作用和性質(zhì)有明顯差異。高線中線區(qū)別角平分線一般是將內(nèi)角平分，但在等腰三角形中，頂角平分線與底邊上的中線、高線重合；等邊三角形三邊的角平分線都有此特性，這些特例在解題中有重要應(yīng)用。角平分線特例重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，一定在三角形內(nèi)部。它分每條中線為2:1的兩段，在物理上可看作三角形的平衡點(diǎn)，其位置與三角形的形狀有關(guān)。重心位置三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，且大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。利用此關(guān)系，可由內(nèi)角求外角，或由外角和部分內(nèi)角求其他內(nèi)角。內(nèi)外角關(guān)系概念辨析01020403求線段長(zhǎng)度求三角形中線段長(zhǎng)度，常利用三邊關(guān)系、中線長(zhǎng)定理等。如已知兩邊及中線長(zhǎng)可借助中線長(zhǎng)定理計(jì)算；也可結(jié)合全等三角形、相似三角形性質(zhì)，通過(guò)等量代換求解。證明角度等證明三角形中角度相等，可依據(jù)角平分線性質(zhì)、內(nèi)角和定理、外角定理等。利用角平分線得角相等，或通過(guò)內(nèi)角和及外角與內(nèi)角關(guān)系建立等式來(lái)證明。實(shí)際應(yīng)用題實(shí)際應(yīng)用題常結(jié)合生活場(chǎng)景，如測(cè)量建筑物高度、計(jì)算土地面積等，需運(yùn)用三角形高、中線、角平分線等知識(shí)建模求解，注重邏輯與步驟。存在性問題存在性問題探究三角形中滿足特定條件的元素是否存在，比如是否有特定邊長(zhǎng)、角度的三角形，要結(jié)合定理推理，判斷有無(wú)符合要求的可能。經(jīng)典例題01020403數(shù)形