1.2空間向量基本定理【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．考點(diǎn)二：空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．考點(diǎn)三：證明平行、共線(xiàn)、共面問(wèn)題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.考點(diǎn)三：求夾角、證明垂直問(wèn)題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.知識(shí)點(diǎn)三：求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．【題型歸納】題型一：空間向量基底概念1．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若a,b,A．a(chǎn)+b,a?b,a 2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知a,b,c是空間的一個(gè)基底，若p=a+b，A．r=2b?3C．r=a+23．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若e1,e2,e3A．83 B．52 C．?1題型二：空間基底表示向量4．（2022秋·北京·高二北京十五中校考期中）已知三棱錐O?ABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，

A．12b+C．12a?5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在四面體O?ABC中，PA=2OP，Q是BC的中點(diǎn)，且M為PQ的中點(diǎn)，若OA=a，OB=b，A．16a+C．13a+6．（2023秋·高二單元測(cè)試）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段OM上，點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示A．14OA+C．14OA?題型三：空間向量基本定理及其推論

7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是線(xiàn)段ACA．34 B．1 C．54 8．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)O?ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG=3GG1，若OGA．1 B．43 C．349．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高二普寧市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線(xiàn)段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若OD=kOA,OE=mA．29 B．23 C．32題型四：空間向量基本定理的綜合應(yīng)用10．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2AC=2

(1)試用a，b，c表示BM；(2)求異面直線(xiàn)BM與A111．（2023春·甘肅白銀·高二?？计谥校┤鐖D，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B,B(1)試用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CA12．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M是線(xiàn)段A1

(1)求滿(mǎn)足MN=xAB+yAD+zAA(2)求MN的長(zhǎng)．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2023秋·全國(guó)·高二）已知a,b,A．a(chǎn)+b,C．2a+b14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCD?A'B'C'D'，點(diǎn)E是A'C'A．AA'+C．12AA15．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐P?ABCD為陽(yáng)馬，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若DE=xAB+yAC+zA．1 B．2C．13 D．16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA

A．QP=310C．QP=31017．（2023春·云南楚雄·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC1與B1C相交于點(diǎn)O，∠A1AB=∠A．472 B．C．382 D．18．（2024秋·高二課前預(yù)習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若向量a、b共線(xiàn)，則向量a、b所在的直線(xiàn)平行．B．若a、b、c是空間三個(gè)向量，則對(duì)空間任一向量p，總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p=xC．若向量a、b所在的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，則向量a、b一定不共線(xiàn)．D．若三個(gè)向量a、b、c兩兩共面，則三個(gè)向量a、b、c一定共面．19．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn)，O為空間一點(diǎn)，滿(mǎn)足OA=12OB+xOC+yOD，A．56 B．76 C．5320．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E,G分別是AB,CD的中點(diǎn)．設(shè)AB=a,

21．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐P?OABC的底面OABC是矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)OA=a，OC=b，OP=c，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，試用{a

【高分突破】22．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=1A．1 B．2 C．3 D．223．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.524．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體ABCD?A'B'C'D'中，AB=1，AD=2，AAA．5 B．23 C．5 D．1325．（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則BM=（

A．34 B．34 C．3326．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱錐O?ABC中，點(diǎn)G為底面△ABC的重心，點(diǎn)M是線(xiàn)段OG上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面分別交棱OA，OB，OC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32二、多選題27．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a,b,A．a(chǎn)，b，c兩兩不共線(xiàn)，但兩兩共面B．對(duì)空間任一向量p，總存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pC．a(chǎn)，a?c，D．若xa+yb+zc=028．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC與BD交于O點(diǎn)，且A．AC1⊥BDC．BD1=29．（2023秋·江蘇常州·高二常州市第一中學(xué)?？计谀┫铝忻}中，正確的命題有（

）A．a(chǎn)+b=a?B．對(duì)空間中任意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C，若OP=2OA?4OB+3OC，則P，C．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λD．若a,b,30．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM=2A1M，C1A．MN=13C．AB1⊥31．（2023秋·全國(guó)·高二階段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BCB．“a?b=C．若a,b共線(xiàn)，則a與D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x、y、z∈R)，則P、32．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A1C1A．AC1=C．AA1?三、填空題33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b，c是三個(gè)不共面的向量，現(xiàn)在從①a+b；②a?b；③a+c；④b+c；⑤34．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）在如圖所示的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，

35．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考期中）如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=4

36．（2023春·四川德陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P為棱長(zhǎng)等于1的正方體ABCD?A1B1C1D1內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且PA=137．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，E、F、G分別是正方體ABCD?A1B1C1D1的棱AD、AB、CD的中點(diǎn)，H是AC1四、解答題38．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？计谥校┢叫辛骟wABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1=2，且∠A1AD=∠A

(1)用向量a，b，c表示向量PM；(2)求線(xiàn)段PM的長(zhǎng)度．39．（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖，空間四邊形OABC中，OA=OB=OC=2，∠AOC=∠BOC=π2，∠AOB=π3，點(diǎn)