1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.空間中點(diǎn)的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來(lái)表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．2.空間中直線的向量表示式直線l的方向向量為a，且過(guò)點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．3.空間中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們稱為空間平面ABC的向量表示式．考點(diǎn)二：空間中平面的法向量平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過(guò)點(diǎn)A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．考點(diǎn)三：空間中直線、平面的平行1.線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2.線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.面面平行的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.考點(diǎn)四：空間中直線、平面的垂直1.線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2.線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識(shí)點(diǎn)三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.【題型歸納】題型一：平面的法向量的求法1．（2023春·江西贛州·高二校考）已如點(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出法向量，利用向量垂直得到方程組，取求出，與共線的向量也是法向量，得到答案.【詳解】由，，，得，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即,取，則，故，則與共線的向量也是法向量，經(jīng)驗(yàn)證，只有C正確..故選：C．2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀┮阎蛄浚瑒t平面的一個(gè)法向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)法向量的定義逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，可得，所以可以是平面的一個(gè)法向量，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，可得與不垂直，所以不是平面的一個(gè)法向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，可得與不垂直，所以不是平面的一個(gè)法向量，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，可得與不垂直，所以不是平面的一個(gè)法向量，故D錯(cuò)誤；故選：A.3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得、、的坐標(biāo)，由此可得向量、的坐標(biāo)，由此可得關(guān)于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，可得，則.故選：B．題型二：空間中直線、平面的平行4．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線平面，且的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或 B． C．3 D．或3【答案】A【分析】由直線平面，所以求解.【詳解】因?yàn)橹本€平面，所以或，故選：A.5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFC的一個(gè)法向量為，設(shè)，得，根據(jù)平面EFC，即可求解.【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫鍱FC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為棱的中點(diǎn)，若平面，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的運(yùn)算，求解法向量即可由，解得的值，即可得解的值．或者，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得線線平行，根據(jù)相似即可求解.【詳解】方法1：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，可得，，，，，，設(shè)，，可得,,，可得,,，可得,,，,設(shè)平面法向量為，，，可得，可得，令，可得，由于平面，則，可得，解得，即．方法2：連接,交于點(diǎn),則,連接,延長(zhǎng)DP交B1D1于G,由于平面，平面,且平面平面,所以,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則,故直角三角形中，,所以，所以,由,所以四邊形為平行四邊形，所以根據(jù),故故選：A題型三：空間中直線、平面的垂直7．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線的方向向量，平面的法向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)關(guān)系即得.【詳解】由題可得，所以可設(shè)，所以，所以.故選：C.8．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知，，，若，且平面，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)、的值，由此可得出向量的坐標(biāo).【詳解】，，，則，解得，，平面，、平面，所以，，，則，解得，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直、線面垂直求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對(duì)角線上的一點(diǎn)，且,若平面，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸的空間直角坐標(biāo)系，則有，,由平面,可得,從而有,代入計(jì)算即可得答案.【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,所以，由,可得，所以,平面,所以,所以,即，解得，當(dāng)為線段上靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，平面.故選:.題型四：空間向量研究直線、平面的位置綜合問(wèn)題10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，.

求證：(1)平面；(2)平面⊥平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用，得到，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到，從而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，,，，，∴，，，，，，.，，即，又?平面，平面，∴平面.（2），，∴，即又平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面⊥平面.11．（2023秋·高二單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：

(1)；(2)平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)空間向量法證明兩個(gè)向量垂直.（2）利用空間向量法結(jié)合線面平行的判定定理得出結(jié)果.【詳解】（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，，因?yàn)椋?

∴兩兩垂直．如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.（2）設(shè)與的交點(diǎn)為E，則.，，.平面.平面，∴平面.12．（2023秋·高二單元測(cè)試）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，且，二面角是直二面角．

(1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）證明兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證法，即可證明結(jié)論；（2）求出平面的法向量，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證法，即可證明結(jié)論；【詳解】（1）證明：由二面角是直二面角，四邊形為正方形，則，平面，平面平面,可得平面ABC.又因?yàn)椋?，所以，即，所以兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則知點(diǎn)，，，，由于兩兩垂直，平面，即平面，故平面的一個(gè)法向量可取為，而，即，所以平面.（2）證明：由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則的值是（

）A．－3 B．－4C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)兩平面平行得到兩法向量平行，進(jìn)而得到方程組，求出，得到答案.【詳解】∵，∴，故存在實(shí)數(shù)，使得，即，故，解得，∴.故選：A14．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用法向量的定義、求法進(jìn)行計(jì)算.【詳解】顯然與不平行，設(shè)該平面的一個(gè)法向量為，則有，即，令，得，所以，故A,B錯(cuò)誤，令，得，則此時(shí)法向量為，故D錯(cuò)誤.故選：C.15．（2023秋·吉林通化·高二?？茧A段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．與是共線向量B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是【答案】D【分析】根據(jù)共線向量、單位向量、空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，，，所以與不共線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的單位向量為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量是，則，將，，代入驗(yàn)證滿足方程組，所以D正確．故選：D16．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，求證：平面．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求面的法向量、的坐標(biāo)，判斷、的位置關(guān)系，即可證結(jié)論.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，所以．設(shè)面法向量為，則，令，則．由于，因此，平面，所以．17．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，P，Q分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，平面ABCD.

(1)求證：∥平面CEP；(2)求證：平面平面DEP.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）建系，利用空間向量可得∥，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）利用空間向量可得，進(jìn)而結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理分析證明.【詳解】（1）因?yàn)镻，Q均為AB，DC的中點(diǎn)，則∥，所以，且平面ABCD，故以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以PA、PQ、PE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．

設(shè)，，則，因?yàn)?，則，所以∥，即∥，且平面EPC，平面EPC，所以∥平面EPC.（2）因?yàn)?，則，則，，可得，且，平面EPD，所以平面EPD.又因?yàn)槠矫鍭EQ，所以平面平面DEP.【高分突破】一、單選題18．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求平面的法向量，根據(jù)線面平行可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，即，由，且，可得，又因?yàn)?，則，由∥平面，可得，解得.故選：C.19．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，平面，底面是矩形，分別為的中點(diǎn)，，，若平面，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，又平面，，，解得：.故選：C.20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并求出面PBC的法向量，結(jié)合線面平行及向量共線定理求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，△為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以為原點(diǎn)，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實(shí)數(shù)，，故.故選：D21．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，則下列結(jié)論中正確的是（

）①平面平面

②

③

④平面A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】對(duì)于①，根據(jù)題意得，，平面，得，得平面，又由，對(duì)于②③，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，根據(jù)空間向量法即可解決；對(duì)于④，由①中得，，，得，即可解決.【詳解】由題知，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，如圖，連接，所以，，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)樵谥?，分別為中點(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?，故①正確，由題知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，因?yàn)榉謩e為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，所以，所以，因?yàn)?，所以成立，不成立；故②正確，③錯(cuò)誤；又由①中得，，，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故④正確，故選：B22．（2023春·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)題意，以正八面體的中心為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及法向量，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】以正八面體的中心為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正八面體的邊長(zhǎng)為,則所以，,設(shè)面的法向量為，則，解得，取，即又，所以，面，即面，①正確；因?yàn)?，所以，又，面，面，則面，由，平面，所以平面平面，②正確；因?yàn)?，則，所以，③正確；易知平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以平面平面，④正確；故選：D23．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，，分別是棱，，上的點(diǎn)，且，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（

）A． B．17 C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面MPN的法向量，設(shè)出，根據(jù)求出，計(jì)算出，得到最小值.【詳解】以D作坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面MPN的法向量為，則，令，則，故，設(shè)，則，因?yàn)橹本€與平面平行，所以，，因?yàn)椋?，故，故?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：A二、多選題24．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式以及法向量的性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】，由為平面的一個(gè)法向量，得得解得故B，D錯(cuò)誤.故選：AC.25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】，由為平面的一個(gè)法向量，得，解得.故選：AC.26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把和折成互相垂直的兩個(gè)平面后，得出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）

A．B．C．D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直【答案】ABC【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，建系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB、DC、DA所在直線為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)斜邊，則，

可得，對(duì)于選項(xiàng)A：，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槠矫鍭DC的一個(gè)法向量為向量，設(shè)平面ABC的法向量為，則，令，則，可得，則，平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不是互相垂直，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.27．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．為定值C．的最小值為D．當(dāng)直線平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡被以為球心，為半徑的球截得長(zhǎng)度為1【答案】ABD【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和直線的方向向量可判斷A；利用等體積法即可判斷B；由兩點(diǎn)間的距離公式求出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；根據(jù)面面平行的判定定理知點(diǎn)軌跡為線段，即可求出的軌跡被以為球心，為半徑的球截得長(zhǎng)度即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，以為原點(diǎn)，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，，，，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,取，則，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)槠矫?，所以平面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

則所以，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，又因?yàn)闉槎ㄖ?，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，所以，所以，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，由正方體的性質(zhì)知，，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，當(dāng)，則平面，則平面，則點(diǎn)軌跡為線段，取中點(diǎn)，連接，而△為等邊三角形，則，以A為球心，為半徑的球截的長(zhǎng)度為，故D正確；

故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題：①幾何法：根據(jù)圖形特征，尋找兩點(diǎn)之間的距離的范圍；②坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求范圍.三、填空題28．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是．【答案】或【分析】由，可得，即可得出直線l與平面的位置關(guān)系．【詳解】因?yàn)椋?所以或.故答案為：或．29．（2023秋·高二單元測(cè)試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，若平面的一個(gè)法向量為，則直線的一個(gè)方向向量為．【答案】【分析】由已知求出，再由平面的一個(gè)法向量為，可得，求出，從而可求出直線的一個(gè)方向向量.【詳解】，又平面的一個(gè)法向量為，，解得，∴直線的一個(gè)方向向量為．故答案為：30．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點(diǎn)P在線段上，且平面平面，則．

【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，，由已知可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面與平面的一個(gè)法向量，可求得結(jié)論．【詳解】側(cè)面底面，則點(diǎn)在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長(zhǎng)均為2，是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，平面平面，∴，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取中點(diǎn)，證明，，兩兩垂直，是解決本題的關(guān)鍵.31．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上，且，動(dòng)點(diǎn)滿足為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值為.

【答案】/【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，由可得點(diǎn)在正方體內(nèi)部且以為球心，2為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值為動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值的，求解即可.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，解得，點(diǎn)在正方體內(nèi)部且以為球心，2為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值即為動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值的，，，，，，所以，，即，，又，平面，所以平面，為線段的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求出點(diǎn)的軌跡，由題意可證得平面則可知?jiǎng)狱c(diǎn)到平面距離的最小值即為動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值的，求出，即可得解.四、解答題32．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）如圖所示的幾何體中，平面平