1．4.2用空間向量研究距離、夾角問題【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間向量中的距離問題1.點(diǎn)P到直線l的距離已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)2.點(diǎn)P到平面α的距離設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．考點(diǎn)二：空間向量中的夾角問題角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型歸納】題型一：點(diǎn)到直線平面的距離的向量求法1．（2023春·江蘇徐州·高二徐州高級中學(xué)）空間中有三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）在三棱錐中，底面，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．3．（2023春·高二單元測試）如圖，在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，.

(1)求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)P到平面DEF的距離；(3)求點(diǎn)P到直線EF的距離．題型二：平行平面的距離的向量求法4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在邊長為1的正方體中．平面與平面之間的距離為（

）A． B．1 C． D．5．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，則平面AMN與平面EFBD的距離為.6．（2022·高二單元測試）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．題型三：異面直線夾角的向量求法7．（2023春·廣東深圳·高二深圳外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，E為AP的中點(diǎn)，則異面直線PC與DE所成的角的余弦值為（

）

A． B． C． D．9．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考階）如圖，設(shè)在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)依次為的中點(diǎn)．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到平面AEF的距離．題型四：線面角的向量求法10．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為中點(diǎn)且．

(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．11．（2023春·黑龍江雙鴨山·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：∥平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由.12．（2023秋·河南·高二長葛市第二高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，點(diǎn)M，N分別在線段，上．

(1)當(dāng)M，N分別是，的中點(diǎn)時(shí)，證明：．(2)當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，求直線與平面所成角的大?。}型五：面面角的向量求法13．（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，則平面與平面所成的角為（）

A． B． C． D．14．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)）如圖，在五面體中，平面，，，．

(1)求證：平面平面；(2)若，五面體的體積為，求平面與面所成角的正弦值．15．（2023秋·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考開學(xué)考試）如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，.

(1)若P是棱的中點(diǎn)，求證：平面平面；(2)若P是棱上的點(diǎn)，直線BP與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.題型六：空間向量的存在性問題16．（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，動點(diǎn)在底面正方形內(nèi)(包括邊界)，若平面，則長度的最大值為.17．（2023秋·江西新余·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱臺中，若平面，，，，為中點(diǎn)，為棱上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．

(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由．18．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？计谥校┤鐖D在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為的中點(diǎn)．

(1)求二面角的正弦值；(2)線段上是否存在，使得它到平面的距離為?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【雙基達(dá)標(biāo)】單選題19．（2023秋·高二）已知直線過點(diǎn)，直線的一個方向向量為，則到直線的距離等于（

）A． B．C． D．520．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，則直線到平面的距離是（

）A．5 B．8 C． D．21．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┤鐖D，直四棱柱的底面為菱形，且，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面．(2)求平面和平面的夾角的余弦值．22．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在多面體中，平面，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，．

(1)求點(diǎn)B到平面ECD的距離；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值．23．（2023秋·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.

(1)證明：平面；(2)若，三棱錐的體積是，求直線與平面所成角的大小.【高分突破】一、單選題24．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，則銳二面角的大小為（

）A．30° B．45°C．60° D．75°25．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）如圖，在直三棱柱中，，，，取的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．26．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，平面平面是的中點(diǎn).，則二面角的余弦值為（

）

A． B． C． D．27．（2023秋·高二單元測試）已知平面與平面的法向量分別為與，平面與平面相交，形成四個二面角，約定：在這四個二面角中不大于的二面角稱為兩個平面的夾角，用表示這兩個平面的夾角，且，如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．二、多選題28．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（

）A． B．C．異面直線與所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到直線的距離是29．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若將正方形沿對角線折成直二面角，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．與所成的角為B．與所成的角為C．與平面所成角的正弦值為D．平面與平面的夾角的正切值是30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，則（

）

A．//平面B．C．直線與平面所成角的正弦值為D．直線與平面所成角的正弦值為31．（2023春·云南臨滄·高二校考期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段運(yùn)動，則（

）

A．三棱錐的體積為定值B．異面直線與所成的角的取值范圍為C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為D．過作直線，則32．（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）如圖，正方體的棱長為2，是的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的一個動點(diǎn)（含邊界），且平面，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面截正方體所得截面的面積為B．動點(diǎn)的軌跡長度為C．的最小值為D．與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直三棱柱中，，，則點(diǎn)B到直線的距離為．34．（2023秋·高二單元測試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，．

35．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）古代城池中的“甕城”，又叫“曲池”，是加裝在城門前面或里面的又一層門，若敵人攻入甕城中，可形成“甕中捉鱉”之勢.如下圖的“曲池”是上?下底面均為半圓形的柱體，平面為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為.

36．（2023·全國·高二專題）三棱錐中，，，記二面角的大小為，當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值的取值范圍是.四、解答題37．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，四邊形為梯形，，.(1)若為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.38．（2023秋·高二單元測試）在直角梯形ABCD中，，，，如圖①把沿BD翻折，使得平面平面（如圖②）.

(1)求證：；(2)若點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面ACD的距離；(3)在線段BC上是否存在點(diǎn)N，使得AN與平面ACD所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．39．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校）如圖，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，且平面.

(1)求證：面；(2)求棱的長度；(3)若，且的面積，求二面角的正弦值.40．（2023春·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)在上，滿足．

(1)求證：平面；(2)求平面BAF與平面CAF的夾角的余弦值．41．（2023秋·新疆烏魯