2.2直線的方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程類(lèi)別點(diǎn)斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線l與y軸交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距考點(diǎn)二：直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程名稱(chēng)兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)考點(diǎn)三：直線的一般式方程關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)一般式．(1)若直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程．(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0.考點(diǎn)四：直線的五種形式的方程形式方程局限點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0無(wú)考點(diǎn)五：直線各種形式方程的互化【題型歸納】題型一：與直線點(diǎn)斜式方程有關(guān)的問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高二）過(guò)點(diǎn)且傾斜角為150°的直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)傾斜角求出直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解.【詳解】依題意，直線l的斜率，故直線l的方程為，即，故選：B.2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為3；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接將點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率代入點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果；（2）利用傾斜角計(jì)算出直線斜率，再代入點(diǎn)斜式方程即可；（3）利用傾斜角是可得直線斜率為，代入點(diǎn)斜式方程求出結(jié)果；【詳解】（1）由題意可知，將和斜率3直接代入直線點(diǎn)斜式方程可得，直線的點(diǎn)斜式方程為；（2）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點(diǎn)斜式方程即為（3）由傾斜角是可得直線斜率，將代入點(diǎn)斜式方程即為3．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）的三個(gè)頂點(diǎn)為．求：(1)所在直線的方程；(2)邊上的中線所在直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式以及點(diǎn)斜式即可求解，（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)以及斜截式即可求解.【詳解】（1）依題意，直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以邊上的中線所在直線的斜率為，故直線方程為題型二：直線的兩點(diǎn)式方程有關(guān)問(wèn)題4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)（1，2），（5，3）的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求解即可.【詳解】因?yàn)樗笾本€過(guò)點(diǎn)（1．2），（5，3），所以直線方程為，即．故選：B5．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作直線，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（

），A．條 B．條 C．條 D．無(wú)數(shù)條【答案】B【分析】假設(shè)直線截距式方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得之間關(guān)系，根據(jù)為正整數(shù)可分析得到結(jié)果.【詳解】均為正整數(shù)，可設(shè)直線，將代入直線方程得：，當(dāng)時(shí)，，方程無(wú)解，，，，，或，或，即滿足題意的直線方程有條.故選：B.6．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，求它的對(duì)角線AC，BD所在直線的方程.【答案】，【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)求解對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線斜率及直線方程.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，設(shè)，因?yàn)锳C和BD的中點(diǎn)重合，所以，解得，所以，所以對(duì)角線AC所在直線的斜率為，對(duì)角線BD所在直線的斜率為，所以對(duì)角線AC所在直線的方程為，即，對(duì)角線BD所在直線的方程為，即.題型三：直線的一般式方程問(wèn)題7．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應(yīng)滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別令、得直線在y軸、x軸上的截距，再由在x軸的截距大于在y軸的截距可得答案.【詳解】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)、是軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且，若直線PA的方程為，則直線PB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線PA的方程，確定出的傾斜角，利用且、在軸上，可得的傾斜角，求出的坐標(biāo)，然后求出直線的方程．【詳解】解：由于直線的方程為，故其傾斜角為，又，且、是軸上兩點(diǎn)，故直線的傾斜角為，又當(dāng)時(shí)，，即，直線的方程為，即．故選：A．9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）以下關(guān)于直線的說(shuō)法中，不正確的是（

）A．直線一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．直線一定不經(jīng)過(guò)第三象限C．直線一定經(jīng)過(guò)第二象限D(zhuǎn)．直線可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線【答案】B【分析】首先求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A、D，再分、、三種情況討論，分別判斷直線所過(guò)象限，即可判斷B、C；【詳解】對(duì)于直線，令，解得，故直線恒過(guò)點(diǎn)，一定不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A正確；當(dāng)時(shí)直線即為，直線過(guò)二、三象限，當(dāng)時(shí)直線即為，若，則，，直線過(guò)一、二、三象限，若，則，，直線過(guò)二、三、四象限，所以直線一定過(guò)二、三象限，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，所以直線可表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有直線，故選：B題型四：由一般方程判斷直線的平行問(wèn)題10．（2023秋·高二）若直線與直線平行，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線的平行可列出方程，求得m的值，驗(yàn)證直線是否重合，即得答案.【詳解】由題意知直線與直線平行，而直線的斜率為，則直線必有斜率，即，則，故，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，符合題意，故，故選：B11．（2022秋·湖南郴州·高二?？茧A段練習(xí)）若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示（

）A．過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線 B．過(guò)點(diǎn)且與平行的直線C．不過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線 D．不過(guò)點(diǎn)且與平行的直線【答案】B【分析】由題意可推出，由此可判斷直線與平行，將代入方程，看是否成立，判斷直線是否過(guò)點(diǎn)P，可得答案.【詳解】由題意可知點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，故且為常數(shù)，所以方程中，且為常數(shù)，則直線與平行，將代入中，即，即點(diǎn)P在該方程表示的直線上，故方程表示過(guò)點(diǎn)且與平行的直線，故選：B12．（2021秋·遼寧·高二期中）直線：與直線：（實(shí)數(shù)a為參數(shù)）的位置關(guān)系是（

）A．與相交 B．與平行C．與重合 D．與的位置關(guān)系與a的取值有關(guān)【答案】B【分析】根據(jù)直線平行的充要條件判定即可.【詳解】由：，可得，因?yàn)榍?，所以與平行故選：B題型五：由一般方程判斷直線的垂直問(wèn)題13．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線與直線垂直，則的值為（

）A． B．1 C． D．9【答案】B【分析】利用直線的一般式方程判定直線垂直的條件進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，解得.故選：B.14．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）“”是“直線與直線相互垂直”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】直線與直線相互垂直得到，再利用充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以.所以時(shí)，直線與直線相互垂直，所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分條件；當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“”是“直線與直線相互垂直”的非必要條件.所以“”是“直線與直線相互垂直”的充分非必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉(zhuǎn)化法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.15．（2022秋·安徽馬鞍山·高二?？计谥校┮阎本€與直線分別過(guò)定點(diǎn)，B，且交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．5 C．8 D．10【答案】D【解析】先根據(jù)直線方程求出的坐標(biāo)，再根據(jù)兩條直線垂直得到，利用基本不等式可求的最大值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故選：D.題型六：由直線平行或者垂直求直線方程16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與直線平行，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過(guò)平行可設(shè)直線l的方程為，再把點(diǎn)代入即可解得即可求出結(jié)果【詳解】設(shè)與直線即平行的直線l的方程為，把點(diǎn)代入可得，解得．因此直線l的方程為故選：D17．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）中，，，，則邊上的高所在的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)邊上的高所在的直線為，求出直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.【詳解】設(shè)邊上的高所在的直線為，由已知可得，，所以直線l的斜率.又過(guò)，所以的方程為，整理可得，.故選：A.18．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線l的方程為，求直線的方程，使?jié)M足：(1)過(guò)點(diǎn)，且與l平行；(2)過(guò)點(diǎn)，且與l垂直；(3)與l垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為4.【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線平行斜率滿足的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可求解，（2）根據(jù)直線垂直斜率滿足的關(guān)系，結(jié)合經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可求解，（3）根據(jù)直線垂直關(guān)系，可設(shè)直線的方程，根據(jù)面積即可求解.【詳解】（1）方法一l的方程可化為，∴l(xiāng)的斜率為.∵與l平行，∴的斜率為.又過(guò)點(diǎn)，∴由點(diǎn)斜式得直線的方程為，即.方法二由與l平行，可設(shè)的方程為（），將代入得.∴所求直線方程為.方法三由與l平行，且過(guò)點(diǎn)，則的方程為，即.（2）方法一l的方程可化為，∴l(xiāng)的斜率為，由與l垂直，得的斜率為.又過(guò)點(diǎn)，∴由點(diǎn)斜式得直線的方程為，即.方法二由與l垂直，可設(shè)的方程為，將代入得.∴所求直線方程為.（3）方法一l的方程可化為，∴l(xiāng)的斜率為.∵，∴.設(shè)在y軸上的截距為b，則直線的方程為，令，可得在x軸上的截距為，由題意可知，圍成的三角形面積，∴.∴直線的方程為或.即或.方法二由與l垂直，可設(shè)直線的方程為，則在x軸上的截距為，在y軸上的截距為，由題意可知，圍成的三角形面積，得.∴直線的方程為或.題型七：直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題19．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）無(wú)論取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線方程可化為，再解方程組即可.【詳解】直線方程可化為，解方程組，得，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.20．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)直線為，得到直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合直線與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.【詳解】將直線轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與該直線垂直時(shí)，點(diǎn)到該直線的距離取得最大值，此時(shí)，解得.故選：C.21．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，則的最大值（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】由動(dòng)直線的方程可得動(dòng)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，并且可得兩條直線互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．【詳解】對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)A（0，0），對(duì)于直線，即x+k（2+y）＝0，則，可得x＝，y＝﹣2，故定點(diǎn)B（，﹣2），直線與直線中，∵，∴l(xiāng)1⊥l2，∵l1與l2的交點(diǎn)為C，∴|CA|2+|CB|2＝|AB|2＝2+4＝6，∴≤（|CA|2+|CB|2）＝3，∴≤，∴|CA|+|CB|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)|CA|＝|CB|時(shí)，|CA|+|CB|的最大值為2，故選：D．題型八：直線方程的綜合性問(wèn)題22．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出滿足下列條件的直線的方程，并把它化成一般式：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是直線的傾斜角的2倍；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸；(4)在x軸，y軸上的截距分別為，．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）根據(jù)給定條件，求出所求直線的斜率，再利用直線點(diǎn)斜式求出方程作答.（4）根據(jù)給定條件，利用直線方程的截距式方程求解作答.【詳解】（1）直線的斜率為，其傾斜角為，因此所求直線的傾斜角為，斜率為，所以所求直線的方程為，即.（2）直線的斜率，所以直線的方程為，即.（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸的直線斜率為0，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)，平行于x軸的直線方程為.（4）在x軸，y軸上的截距分別為，的直線方程為，即.23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，，分別求的取值范圍，使得：(1)與相交；(2)；(3)與重合.【答案】(1)且(2)(3)【分析】（1）由題意可得，運(yùn)算求解即可；（2）（3）由題意可得，運(yùn)算求解并檢驗(yàn)即可.【詳解】（1）若與相交，等價(jià)于，即，解得且，所以當(dāng)且時(shí)，與相交.（2）若，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，，即，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，即與重合，不合題意；綜上所述：.（3）由（2）可得：.24．（2023秋·高二）如圖，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，，．

(1)求邊所在直線的方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）由直線兩點(diǎn)式方程可整理得到邊所在直線方程；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線兩點(diǎn)式方程可整理得到結(jié)果.【詳解】（1），的直線的兩點(diǎn)式方程為：，整理得：，即邊所在直線方程為：.（2）中點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)，的直線的兩點(diǎn)式方程為：，整理得：，即邊上的中線所在直線方程為：.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題25．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進(jìn)行考慮，截距為零，直線過(guò)原點(diǎn)，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設(shè)出方程求解即可；也可以設(shè)出方程，求出截距，進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解法一

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)直線方程為.故選：解法二

易知直線斜率不存在或直線斜率為0時(shí)不符合題意.設(shè)直線方程為，則時(shí)，，時(shí)，，由題意知，解得或，即直線方程為或.故選：26．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．0或1 D．或1【答案】C【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】，即，解得或.故選：C.27．（2023秋·河北邯鄲·高二武安市第三中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若直線過(guò)點(diǎn)，其中，是正實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】由點(diǎn)在直線上可知，結(jié)合均值不等式即可求解．【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，由和都是正實(shí)數(shù)，所以，，．所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.故選:B．28．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線為l1，.若，則的值為（

）A． B．C．0 D．8【答案】A【分析】由平行、垂直直線的斜率關(guān)系得出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，又，所以，解?所以.故選：A.29．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出滿足下列條件的直線的方程，并畫(huà)圖：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)斜率為，在y軸上的截距為4；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；(4)在x軸，y軸上的截距分別是5，.【答案】(1)，圖象見(jiàn)詳解(2)，圖象見(jiàn)詳解(3)，圖象見(jiàn)詳解(4)，圖象見(jiàn)詳解【分析】（1）利用點(diǎn)斜式可得直線方程；（2）利用斜截式可得答案；（3）利用兩點(diǎn)式可得答案；（4）利用截距式可得答案；【詳解】（1）由點(diǎn)斜式得，即，所以直線方程為.其圖象為：

（2）因?yàn)樾甭蕿?，在軸上的截距為4，所以，所以直線方程為.其圖象為：

（3）由直線的兩點(diǎn)式方程可知，所求直線方程為，化為一般式方程為；其圖象為：

（4）由截距式可得，直線方程為，即，所以直線方程為.其圖象為：

30．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線的方程是，在下列條件下，分別求實(shí)數(shù)、、的取值范圍.(1)與軸、軸均相交；(2)與軸相交，與軸不相交.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）直線與軸、軸均相交，則斜率存在，且不為0.（2）與軸相交，與軸不相交，則與軸平行，且不重合.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，斜率為存在，且，這時(shí)直線與兩坐標(biāo)軸都相交.（2）令，則，此時(shí)，當(dāng)，，時(shí)，直線只與軸相交，與軸不相交.【高分突破】一、單選題31．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)直線的斜截式方程的特征得到直線的斜率，直線在y軸上的截距為（），再逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】由直線，得：，直線的斜率，直線在y軸上的截距為，當(dāng)時(shí)，，則直線經(jīng)過(guò)第一象限和第三象限，且與軸相交于軸下方；當(dāng)時(shí)，，則直線經(jīng)過(guò)第二象限和第四象限，且與軸相交于軸上方；只有B選項(xiàng)的圖象符合題意，故選：B.32．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l的斜率與直線的斜率相等，且l和兩坐標(biāo)軸在第一象限內(nèi)所圍成三角形面積是24，則直線l的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意設(shè)，則，解方程再結(jié)合題意可求出，即可得出答案.【詳解】直線的斜率為，可設(shè)l的方程為.令，得，由題可知:，得，由于在第一象限與坐標(biāo)軸圍成三角形，所以，所以選C項(xiàng)．故選：C.33．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系判定即可.【詳解】由題意得，，所以為鈍角，為銳角，所以．故選：A．34．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，令，解得，即直線恒過(guò)點(diǎn).又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線上，則，可得，且，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以的最大值為.故選：B.35．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結(jié)合圖形求解作答.【詳解】直線過(guò)點(diǎn).如圖，

由題意，直線與線段總有公共點(diǎn)，即直線以直線為起始位置，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.36．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知三條直線為，則下列結(jié)論中正確的一個(gè)是（

）A．三條直線的傾斜角之和為B．三條直線在y軸上的截距滿足C．三條直線的傾斜角滿足D．三條直線在x軸上的截距之和為．【答案】C【分析】根據(jù)直線方程的斜率、傾斜角、截距的概念逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)三條直線的傾斜角，且則，所以所以，且為銳角，所以三條直線的傾斜角之和大于，故A不正確；對(duì)于直線，令，得縱截距，同理，所以，故B不正確；由于，且為銳角，所以，由，故，故C正確；直線在x軸上的截距分別為，截距之和為，故D不正確.故選：C.二、多選題37．（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知直線過(guò)點(diǎn)，且直線在坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)，直線截距相等，直線截距互為相反數(shù)三種情況設(shè)直線分別為，結(jié)合過(guò)點(diǎn)可得答案.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為，即，故A正確；當(dāng)直線截距相等時(shí)，設(shè)直線方程為，因過(guò)點(diǎn)，則，則直線的方程為，故C正確；當(dāng)直線截距互為相反數(shù)時(shí)，設(shè)直線方程為，因過(guò)點(diǎn)，則，則直線的方程為，故B正確．故選：ABC．38．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高二校考開(kāi)學(xué)考試）關(guān)于直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．傾斜角為 B．斜率為C．在y軸上的截距為 D．在x軸上的截距為【答案】BD【分析】將直線一般式轉(zhuǎn)化為斜截式，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】直線，即，所以直線的斜率為，傾斜角為，在y軸上的截距為，故A錯(cuò)誤，B正確，C錯(cuò)誤，令，得，所以直線在x軸上的截距為，故D正確.故選：BD.39．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為90°的直線方程為B．過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程為【答案】AD【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合截距的定義、直線的兩點(diǎn)式方程進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】A：直線的傾斜角為90°，所以該直線與橫軸垂直，所以直線方程為，故本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上截距都為零時(shí)，方程設(shè)為，過(guò)點(diǎn)，所以有，所以本選項(xiàng)不正確；C：當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，沒(méi)有意義，所以本選項(xiàng)不正確；D：直線過(guò)兩點(diǎn)，所以有，因此本選項(xiàng)正確，故選：AD40．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角為120°B．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在x，y軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C．直線l：恒過(guò)定點(diǎn)D．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn)，則△AOB面積的最小值為4【答案】ACD【分析】對(duì)于A：先求斜率，進(jìn)而可得傾斜角；對(duì)于C：整理得，令，運(yùn)算求解即可；對(duì)于B、D：設(shè)直線l：，進(jìn)而可得截距，根據(jù)題意結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的斜率，傾斜角為120°，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，整理得，令，解得，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B、D：可知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l：，令，解得，即直線l在y軸上的截距為；令，解得，即直線l在x軸上的截距為；對(duì)于B：若在x，y軸上截距互為相反數(shù)，則，解得或，所以直線方程為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線l與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A?B兩點(diǎn)，則，可知，可得面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以△AOB面積的最小值為4，故D正確；故選：ACD.41．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）在平面直角坐標(biāo)系中，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．每一條直線都有點(diǎn)斜式方程B．方程與方程可表示同一條直線C．直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，則其方程為D．直線恒過(guò)點(diǎn)【答案】CD【分析】根據(jù)直線方程各種形式的意義求解即可.【詳解】直線的點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的直線，所以A錯(cuò)誤；點(diǎn)不在方程所表示的直線上，所以B錯(cuò)誤；傾斜角為的直線，過(guò)，直線方程為，C正確；由直線的點(diǎn)斜式方程知，不論k為何值，直線恒過(guò)點(diǎn)，故D正確.故選：CD三、填空題42．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線與直線平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【分析】運(yùn)用直線平行的性質(zhì)可求得直線l的斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以直線l的方程為，即.故答案為：.43．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線l的方程為，若直線不過(guò)第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】分兩種情況討論，斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可，斜率存在時(shí)利用斜率和截距的限制條件可得答案.【詳解】①當(dāng)，即時(shí)，直線為.該直線不過(guò)第三象限，符合；②當(dāng)，即時(shí)，直線化為斜截式