2.5.1：直線與圓的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0考點(diǎn)二：直線與圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題仔細(xì)讀題(審題)→建立數(shù)學(xué)模型→解答數(shù)學(xué)模型→檢驗(yàn)，給出實(shí)際問(wèn)題的答案．【題型歸納】題型一：判斷直線與圓的位置關(guān)系1．（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期末）圓：與直線：的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相離 C．相交 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】由圓心到直線的距離等于半徑可判斷相切.【詳解】由得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，由得，圓心到直線的距離為：，故圓與直線相切，故選：A2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線，則圓C與直線l（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過(guò)圓C的圓心【答案】B【分析】根據(jù)題意只需判斷圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷．【詳解】由可得，故圓心，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓C相切．故選：B3．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）圓上到直線距離為的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】B【分析】求出圓心到直線的距離，再結(jié)合圖象分析可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榛癁闃?biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，圓的半徑，又因?yàn)閳A心C到直線的距離為，所以，所以過(guò)圓心平行于直線的直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，另一條與直線的距離為的平行線與圓相切，只有1個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，所以圓C上到直線的距離為的點(diǎn)共有3個(gè).故選：B.題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）“”是“直線與圓相離”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓相離求得參數(shù)a的取值范圍，比較該范圍和的關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】將配方，即，表示圓需滿(mǎn)足，所以或，其圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相離，故圓心到直線的距離，解得，結(jié)合或可得或，（）則成立推不出直線與圓相離；反之成立，故“”是“直線與圓相離”的必要不充分條件，故選：B5．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得：為恒過(guò)定點(diǎn)的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意得為恒過(guò)定點(diǎn)的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．6．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）若對(duì)圓上任意一點(diǎn)，的取值與，無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，數(shù)形結(jié)合，可求出的取值范圍.【詳解】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和的5倍．因?yàn)檫@個(gè)距離之和與x，y無(wú)關(guān)，故兩條平行直線和在圓的兩側(cè)，如圖所示，故圓心到直線的距離，解得或.當(dāng)時(shí)，直線在圓的右下方，不滿(mǎn)足題意，所以舍去.所以.故選：A

題型三：圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題7．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則等于（

）A．0 B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】求出到圓心的距離和圓心到直線的距離，即可求出的值.【詳解】由題意，∵，∴到圓心的距離為，∴圓心到直線的距離為：，即.解得：或，故選：D.8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦最短時(shí)直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】

當(dāng)最短時(shí)，直線，所以.又，所以，所以的方程為，即.故選：D9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓：，則過(guò)點(diǎn)的最短弦所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，分析出圓心和連線的直線垂直于直線時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短.【詳解】

由于，故點(diǎn)在圓內(nèi)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：.如圖，設(shè)，垂足為，設(shè)直線和圓的交點(diǎn)是，根據(jù)垂徑定理，，為使得最小，必須最大，顯然，重合的時(shí)候取得等號(hào)，此時(shí)，由于，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即.故選：C題型四：圓的弦長(zhǎng)求參數(shù)或者切線方程10．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線被圓所截得的最短弦的長(zhǎng)度為2，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】求出圓心和半徑，由幾何關(guān)系得到當(dāng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與垂直時(shí)，被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，由垂徑定理列出方程，求出答案.【詳解】整理得，故圓心為，半徑為，當(dāng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與垂直時(shí)，被圓所截得的弦長(zhǎng)最短，

其中，由垂徑定理得，即，解得，故選：D11．（2023秋·高二單元測(cè)試）設(shè)，均為正實(shí)數(shù)，若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系及基本不等式，結(jié)合一元二次不等式的解法即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由題意可知，圓心到直線的距離為，兩邊平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，于是有或,的取值范圍是.故選：C.12．（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知圓，直線與交于兩點(diǎn)，則當(dāng)最小時(shí)，實(shí)數(shù)的值是（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】由直線方程得直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何性質(zhì)知當(dāng)與直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，由斜率關(guān)系可得．【詳解】直線方程為知直線過(guò)定點(diǎn)，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為5，，在圓內(nèi)部，因此當(dāng)直線與垂直時(shí)，最小，，∴，．故選：C．題型五：直線與圓的應(yīng)用13．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，解得答案.【詳解】小島到航線的距離為，解得.故選：C14．（2022秋·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校┡_(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)的速度向西北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正西方向處，則城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合求直線與圓相交的弦長(zhǎng)，進(jìn)而可得城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)長(zhǎng).【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，當(dāng)臺(tái)風(fēng)進(jìn)入圓內(nèi)，則城市處于危險(xiǎn)區(qū)，又臺(tái)風(fēng)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，圓心到直線的距離，則，所以時(shí)間，故選：C.15．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知在某濱海城市A附近的海面出現(xiàn)臺(tái)風(fēng)活動(dòng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，目前臺(tái)風(fēng)中心位于城市A的東偏南60°方向，距城市A300km的海面點(diǎn)P處，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移動(dòng)．已知該臺(tái)風(fēng)影響的范圍是以臺(tái)風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為km．則城市A受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為（

）A．5h B．h C．h D．4h【答案】B【分析】先求得臺(tái)風(fēng)中心距離城市A的最短距離，再利用直線截圓的弦長(zhǎng)即可求得城市A受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間【詳解】如圖，，，臺(tái)風(fēng)中心沿方向以的速度移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)中心距離城市A的最短距離為又臺(tái)風(fēng)中心為圓心的圓形區(qū)域，半徑為km．則臺(tái)風(fēng)中心在以城市A為圓心半徑為km的圓內(nèi)時(shí)，城市A受臺(tái)風(fēng)影響以城市A為圓心半徑為km的圓截直線所得弦長(zhǎng)為km則城市A受臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為故選：B題型六：直線與圓的位置求距離的最值問(wèn)題16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，動(dòng)直線：和：交于點(diǎn)P，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所過(guò)定點(diǎn)和位置關(guān)系可得點(diǎn)P軌跡方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式可得面積最小值.【詳解】根據(jù)題意可知，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線：，即過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以無(wú)論m取何值，都有，所以點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B

17．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．18．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（1）如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，求的最大值和最小值；（2）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程，求的取值范圍．【答案】（1）最大值、最小值分別為；（2）【分析】（1）解法一：如圖，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓相切于上方時(shí)最大，相切于下方時(shí)最小，結(jié)合圖形求出直線的傾斜角可得答案，解法二：令，將與聯(lián)立，化簡(jiǎn)后由可求出結(jié)果，（2）可以看成圓上的點(diǎn)到的距離，然后結(jié)合圖形可求得結(jié)果.【詳解】（1）解法一：如圖，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓相切于上方時(shí)最大，過(guò)圓心作切線l的垂線交于B，

在中，．∴切線l的傾斜角為，∴的最大值為．同理可得的最小值為．解法二：令，將與聯(lián)立，消去y得，，即，∴，即的最大值、最小值分別為．（2）可以看成圓上的點(diǎn)到的距離．圓心到的距離為．由圖可知，圓上的點(diǎn)到的距離的范圍是，則的取值范圍是．

題型七：直線與圓的位置定點(diǎn)定值問(wèn)題綜合應(yīng)用19．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓M方程為，直線的方程為，點(diǎn)在直線上，過(guò)P作圓M的切線、，切點(diǎn)為A、B．(1)若P點(diǎn)坐標(biāo)為，求(2)經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過(guò)異于點(diǎn)的定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)是，【分析】（1）利用特殊角的三角函數(shù)和對(duì)稱(chēng)性即可得到答案；（2）設(shè)，計(jì)算出中點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程，整理，利用方程恒成立得到方程組，解出即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又因?yàn)?，所?故.（2）設(shè)的中點(diǎn)，因?yàn)闉閳A的切線，所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓是以為圓心，為半徑的圓，故其方程為化簡(jiǎn)得，由，解得（舍）或所以經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓經(jīng)過(guò)異于點(diǎn)的定點(diǎn).

20．（2022秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線過(guò)定點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率的取值范圍；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率分別為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)定值【分析】（1）法一：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與圓相切，不合乎題意，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由求解；法二：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與圓相切，不合乎題意，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與圓的聯(lián)立，根據(jù)直線與圓相交，由求解.（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）解：法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即由題意可得，解得．

因此，直線的斜率的取值范圍是．法二：若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與圓相切，不合乎題意．所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，其中因?yàn)橹本€與圓相交，所以，解得，

因此，直線的斜率的取值范圍是．（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，得，其中，所以，，則，所以為定值．21．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)詳解【分析】（1）設(shè)圓心，半徑為，根據(jù)題意列出方程，求出圓心和半徑，進(jìn)而求出圓的方程；（2）先將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化為一般方程，設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)題意分別求出，，進(jìn)而即可證明結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)圓心，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)，，所以直線的中垂線方程是，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是，由，解得，圓心，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）證明：由（1）知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其一般方程為，即，設(shè)點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則，，于是，為定值．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023·全國(guó)·高二）過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線交圓于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫(xiě)出直線的方程，求圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程為即又圓即，所以圓心，半徑則圓心到直線的距離直線被圓截得的弦故選：23．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）圓：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定【答案】A【分析】求出圓心坐標(biāo)與半徑，再將直線方程化為一般式，根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷.【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A24．（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】當(dāng)所求圓的直徑就是圓與直線相交的弦時(shí)，所求圓的面積最?。缓髮⒔Y(jié)合圖形求解圓心和半徑即可求解；【詳解】

由題可知，當(dāng)所求圓的直徑就是圓與直線相交的弦時(shí)，所求圓的面積最?。畧A，即圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為3，弦心距，弦長(zhǎng)為，則所求圓的半徑為2,接下來(lái)求解所求圓的圓心位置P：所以，過(guò)圓的圓心和直線垂直的直線方程為：，即．最小圓的圓心為與直線的交點(diǎn)，解方程組可得，所求面積最小的圓方程為．故選：C．25．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn).(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求線段中點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一：根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)題意利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解；（2）根據(jù)中的坐標(biāo)公式結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）方法一：圓的圓心，半徑為3，如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為M，根據(jù)垂徑定理可知，因此是個(gè)直角三角形.

由點(diǎn)到直線的距離公式可知，又因?yàn)槭菆A的半徑，因此，在中，有.因此.方法二：設(shè)，則.因?yàn)槎际侵本€上的點(diǎn)，所以?xún)墒较鄿p可得，因此，從而聯(lián)立方程，消去y整理可得，且是這個(gè)方程的兩個(gè)根，因此由韋達(dá)定理可知，所以，因此，從而可知.（2）設(shè)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則.由（1）中的方法二可知，又因?yàn)橹本€l的方程可以化為，所以，因此所求中點(diǎn)坐標(biāo)為.26．（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線和圓，(1)當(dāng)為何值時(shí)，截得的弦長(zhǎng)為2；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即可列式求解；（2）先利用平面幾何知識(shí)求出圓心到直線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即可列式求解.【詳解】（1）設(shè)為圓心到直線的距離，則由題意知，即，所以，又由于圓的圓心為，所以圓心到直線的距離，所以，即當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2.（2）由于，所以組成等腰直角三角形，

所以圓心到直線的距離，所以，所以，即當(dāng)時(shí)，直線和圓交于兩點(diǎn)，且.27．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C經(jīng)過(guò)?兩點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交于P?Q兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意利用待定系數(shù)法運(yùn)算求解；（2）利用數(shù)量積的定義及直角三角形求出圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式求解斜率，即可求解直線方程.【詳解】（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知其圓心為，由題意可得，解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交于P?Q兩點(diǎn)，且，則，所以，所以，所以圓心C到直線l的距離，由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線為，即，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，所以直線l的方程為或.

【高分突破】一、單選題28．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2【答案】C【分析】先判定直線過(guò)定點(diǎn)，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】由，，即過(guò)定點(diǎn)，由得，半徑，則當(dāng)時(shí)，C到的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)被圓截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為.故選：C

29．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】D【分析】設(shè)P、C到直線AB的距離分別為，根據(jù)題意結(jié)合垂徑定理可得，再根據(jù)結(jié)合幾何關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可知：圓C：的圓心，半徑，則，設(shè)P、C到直線AB的距離分別為，因?yàn)?，解得，分別過(guò)P、C作，垂足分別為，再過(guò)C作，垂足為，顯然當(dāng)P、C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離較大，

則，當(dāng)且僅當(dāng)，即直線AB與直線PC垂直時(shí)，等號(hào)成立，所以點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為7.故選：D.30．（2023春·江西吉安·高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期末）已知是圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求解的中點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)向量的運(yùn)算可得，再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，由圓的弦長(zhǎng)公式，可得，即，解得，設(shè)的中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，的軌跡方程為，因?yàn)?，又，，?即的取值范圍為.故選：C

31．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出與直線平行且到直線的距離為的直線的方程分別為、，由題意可知，這兩條直線與圓都相交，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，設(shè)與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.32．（2023春·山東青島·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)到，的距離之比為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，數(shù)形結(jié)合得到最小距離為圓心到直線的距離減去半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即，點(diǎn)到直線的距離最小值為.故選：A二、多選題33．（2023秋·廣西貴港·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）一個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西處，為確保輪船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)，則該輪船的行駛路線可以是（

）A．南偏西方向 B．南偏西方向C．北偏西方向 D．北偏西方向【答案】BCD【分析】以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，1km為單位長(zhǎng)度，建立直角坐標(biāo)系，再數(shù)形結(jié)合求解輪船航線所在直線的方程與受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程相切的臨界條件，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】如圖，以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，1km為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則輪船所在的位置為，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為，設(shè)輪船航線所在直線的方程為，即，

由，得或．因?yàn)?，所以該輪船的行駛路線可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向．故選：BCD34．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線與圓，若點(diǎn)為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線l與圓相交B．若點(diǎn)Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為C．與直線l平行且截圓的弦長(zhǎng)為2的直線為或D．圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為【答案】BD【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可求解ABD，由平行的斜率關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求解C.【詳解】對(duì)于A:圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故的取值范圍為，B正確，對(duì)于C，設(shè)與平行的直線為，由于圓心到直線的距離為，所以，故直線為或，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由于圓上的點(diǎn)到直線的最小距離為，最大距離為，而，故圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，D正確，故選：BD35．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓直線：，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與圓切于點(diǎn)A，B．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為 B．|PA|最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為C．|PA|最短時(shí)，弦AB直線方程為 D．直線AB過(guò)定點(diǎn)【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，又因切線長(zhǎng)定理可知，當(dāng)最短時(shí)，面積最?。瓸選項(xiàng)，由圓的弦長(zhǎng)公式結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解．C選項(xiàng)，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等．D選項(xiàng)，由向量積公式求定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】對(duì)于A，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即，最短時(shí)，面積最小，故當(dāng)時(shí)，最短，即，，故A正確．

由上述可知，時(shí)，最短，故最小，且最小值為，所以,故B正確，當(dāng)|PA|最短時(shí)，則，又，所以，，，可設(shè)的直線方程為，圓心到直線的距離，解得，，由于直線在圓心的右側(cè)，且在直線的左側(cè)，所以，所以，（舍去）即直線的方程為．故C錯(cuò)誤．設(shè)圓上一點(diǎn)為,，,，,，,，,，,，易知，由于，所以同理，．，，將代入得等號(hào)成立，故直線過(guò)定點(diǎn)為，故D正確．故選：ABD．36．（2023春·河南信陽(yáng)·高二信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：，和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線：交于點(diǎn)，是圓：上的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．直線與圓相切時(shí)B．到距離的最大值是C．直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)為D．的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)直線與圓相切判定，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)圓上點(diǎn)到圓外直線最值問(wèn)題，作圖，根據(jù)圖中幾何性質(zhì)，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)點(diǎn)到過(guò)定點(diǎn)直線的距離問(wèn)題，作圖，利用弦長(zhǎng)公式，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)直線的方程明確直線的位置關(guān)系，利用基本不等式，可得答案.【詳解】對(duì)于A，由圓，則圓心，半徑，圓心到直線的距離為，由圓與直線相切，則，化簡(jiǎn)可得：，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)到的距離最大，如下圖：

最大值為，此時(shí)到距離的最大值為，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A所得：圓心，半徑，由直線，整理可得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)所得弦長(zhǎng)最短，如下圖：

則到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為，故C正確；對(duì)于D，由，，當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，的斜率為零，則；當(dāng)時(shí)，的斜率為，的斜率為，由，則.所以，如下圖：

在中，，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：BCD.37．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為【答案】BD【分析】由表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，可判定A錯(cuò)誤；由表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出不等式，可判定B正確；由表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，進(jìn)而可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)點(diǎn)在圓上，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】由圓可化為，可得圓心，半徑為，對(duì)于A中，由表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，所以它的最大值為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，設(shè)，即，由圓心到直線的距離，解得，所以的最大值為，所以B正確；對(duì)于C中，由表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足圓的方程，即點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)與圓心連線的斜率為，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得過(guò)點(diǎn)作圓的切線的斜率為，所以切線方程為，即，所以D正確.故選：BD.三、填空題38．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓C與直線相切于點(diǎn)，且圓心C在直線上．過(guò)原點(diǎn)引圓C的切線，則切線長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)出圓心的坐標(biāo)，用兩種角度表示出半徑的表達(dá)式，列方程即可求出圓心坐標(biāo)還有半徑，然后求切線長(zhǎng)即可.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，由題意，圓心到的距離為，即，又圓心到的距離也是，即，故，整理得，即，則圓心坐標(biāo)為，半徑為，原點(diǎn)到圓心的距離是，于是過(guò)原點(diǎn)作圓的切線長(zhǎng)為：.故答案為：39．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】，即過(guò)定點(diǎn)，，即曲線為原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，如圖所示，設(shè)與曲線切于點(diǎn)C，曲線與橫軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，

則，，故.故答案為：.40．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如果圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則圓的圓心坐標(biāo)為．【答案】【分析】由題意圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可知圓心在直線上，只需將圓心坐標(biāo)代入直線方程即可求解.【詳解】由題意圓的圓心為，由分析可知圓心在直線上，將圓心坐標(biāo)代入即得，解得，所以圓心坐標(biāo)為.故答案為：.41．（2023秋·高二單元測(cè)試）從直線上的任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，則弦長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【詳解】設(shè)，易知的極線方程為，即可得弦必過(guò)，易得圓上，過(guò)的最短的弦長(zhǎng)為．42．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)P，使，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，由可知點(diǎn)在圓上，又點(diǎn)P在直線上，則直線和圓有公共點(diǎn)，可知弦心距小于等于半徑，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求.【詳解】設(shè)，點(diǎn)，，且，，化簡(jiǎn)可得，可知點(diǎn)在圓上，又點(diǎn)在直線上，可知直線與圓相交，則到的距離，解得.故答案為：.四、解答題43．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且被軸截得的弦長(zhǎng)為.經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)若點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，分別記直線、直線的斜率為，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解即可；（2）設(shè)，由解方程組的方法用的