3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：橢圓的定義1．定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2.3．焦距：兩焦點(diǎn)間的距離|F1F2|.4．幾何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常數(shù))且2a>|F1F2|.考點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系b2＝a2－c2考點(diǎn)三：求軌跡方程的方法直譯法——“四步一回頭”，四步：（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）寫出適合條件的點(diǎn)M的集合；

（3）將“翻譯”成代數(shù)方程；（4）化簡(jiǎn)代數(shù)方程為最簡(jiǎn)形式.【題型歸納】題型一：利用橢圓的定義求方程1．（2023·江蘇·高二）若點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)距離公式的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義即可得解.【詳解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足關(guān)系式，所以該等式表示點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的和為12，而，即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，即，又，，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.故選：C.2．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為6，則動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義即可求出答案.【詳解】根據(jù)橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，，，，即動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為.故選：D.3．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓M于點(diǎn)A，B.若的周長(zhǎng)為20，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義列出方程，求出a＝5，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出c＝3，，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為20，由橢圓定義可知：4a＝20，即a＝5，又因?yàn)閏＝3，所以，所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.題型二：橢圓的焦點(diǎn)三角形問題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．16 C．20 D．不能確定【答案】C【分析】由圖形結(jié)合橢圓定義可得答案.【詳解】設(shè)橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)為，由題可得，則與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)為.故選：C5．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是橢圓上的點(diǎn)，?分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件根據(jù)向量夾角公式求，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，短半軸為，半焦距為，則，，即.設(shè)，所以由橢圓的定義可得：①.因?yàn)?，所以由?shù)量積的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故選：A.題型三：根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)問題7．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）“”是“方程表示橢圓”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由方程表示橢圓求出參數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得且，因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：A8．（2023秋·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，方程表示橢圓，則，解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B9．（2023春·四川南充·高二校考期中）對(duì)于常數(shù)，“”是“方程的曲線是橢圓”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】運(yùn)用橢圓方程的一般形式求得m、n的范圍，結(jié)合兩集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)椤胺匠痰那€是橢圓”，則，又因?yàn)?，但，所以“”是“方程的曲線是橢圓”的必要不充分條件.故選：B.題型四：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法10．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若橢圓的中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，則這個(gè)橢圓的方程為（

）A． B．或C． D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】由短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成個(gè)正三角形可得，由焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，結(jié)合可得.【詳解】

由題意，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為：，由題意，，所以，，，，所以橢圓方程為：，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可得：，故選：B11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，M為C上一點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，且的周長(zhǎng)為，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的周長(zhǎng)可得，由的中點(diǎn)坐標(biāo)求得M坐標(biāo)，代入橢圓方程可得關(guān)系式，解方程可得的值，即可求得答案【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，則，又,的中點(diǎn)為，所以M的坐標(biāo)為，故，則，結(jié)合，，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義可求，，結(jié)合條件可求.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為，則，由橢圓定義可得，，又，所以.故選：D.題型五：與橢圓有關(guān)的軌跡問題13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，并且在圓B：的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.【詳解】由圓，則其圓心，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，由圓在圓的內(nèi)部與其相切，則，由圓過點(diǎn)，則，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，則，，，所以其軌跡方程為.故選：D.14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，,，利用為線段的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，將點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后代入圓的方程即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【詳解】設(shè)，,，則,．為線段的中點(diǎn)，，即，．又點(diǎn)在圓上，，即．故點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：（圓心為），點(diǎn)，點(diǎn)Р在圓A上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義求得正確答案.【詳解】圓：的圓心，半徑.由于，所以在圓內(nèi)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，所以，所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，且，所以點(diǎn)的軌跡方程是.故選：C題型六：橢圓的最值問題16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由橢圓的定義可得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，所以，又由橢圓的定義可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D.17．（2018秋·河北衡水·高二河北阜城中學(xué)階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)在橢圓上，且，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合勾股定理以及等面積法，可得答案.【詳解】由題意作圖，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d，則|PF1|·|PF2|=|F1F2|·d，故2b2=2cd，故，故選：D．18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，，分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最小值、最大值分別為（

）A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11【答案】C【分析】求出兩圓圓心和半徑，得到圓心和剛好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，從而利用橢圓定義求出，可得的最大值為，的最小值為，求出答案.【詳解】的圓心為，的圓心為，兩圓半徑均為，由于，，所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，由橢圓定義可知：，所以的最大值為，的最小值為.故選：C題型七：橢圓方程的綜合問題19．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓C：，左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P使得，求的面積．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由題意可知，，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則，可求出，根據(jù)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C經(jīng)過，．則，解得，．所以橢圓C的方程為．（2）由（1）知，，假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)，使得，則，即，聯(lián)立，解得，．∴橢圓C上存在點(diǎn)P使得．∴．20．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，；(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10；(3)焦點(diǎn)在x軸上，，且經(jīng)過點(diǎn)；(4)，且經(jīng)過點(diǎn).【答案】(1)或(2)(3)(4)或【分析】(1)直接聯(lián)立方程組，求出、的值，再利用橢圓的基本性質(zhì)求出的值，然后分別討論焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，直接寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可；(2)由橢圓的定義，直接寫出、的值，并可判斷焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，再利用橢圓的基本性質(zhì)求出的值，即可直接寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再把點(diǎn)代入求解即可；(4)由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)，可列出、的關(guān)系式，再設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后把點(diǎn)代入求解即可.【詳解】（1）由題意，聯(lián)立，解得：，則由橢圓的性質(zhì)得：，所以當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)落在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)落在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.（2）由題意可得，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，即，又橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，且焦點(diǎn)落在軸上，所以由橢圓的性質(zhì)得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（3）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（4）因?yàn)椋蓹E圓的性質(zhì)得，則，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以或，解得：或，所以，當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)落在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)落在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.21．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．(1)若，求；(2)若的面積為9，求的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓的定義、三角形面積公式、余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）中三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)，設(shè)，由，則，所以有，由余弦定理可知：，所以有，即（2）由（1）可知：，因?yàn)?，所以，因此，?【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到方程組，解得答案.【詳解】方程表示橢圓，則，解得.故選：B23．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，則的周長(zhǎng)等于（

）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】由橢圓的定義求解．【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，根據(jù)橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為，故選：C24．（2023秋·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)校考期末）如果橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（

）．A．4 B．14 C．12 D．8【答案】B【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程確定，再結(jié)合橢圓的定義可得答案.【詳解】橢圓中，所以由橢圓的定義可得，又，所以.即點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是.故選：B.25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)；(2)焦點(diǎn)在軸上的橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為.(3)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，并且經(jīng)過點(diǎn).(4)已知橢圓中，且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)(3)(4)或.【分析】（1）（2）（3）（4）由已知，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征分別求解．【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題可得，將代入到方程中得，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題可得，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（3）易知，焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，將代入標(biāo)準(zhǔn)方程解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（4）因?yàn)椋?，解得：，又因?yàn)?，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.26．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且過點(diǎn)，焦距為，設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，求：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；利用橢圓定義以及余弦定理、面積公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得解得，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如圖，由橢圓的定義可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．【高分突破】一、單選題27．（2023·江蘇·高二）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由橢圓的面積和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形求解即可.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A．28．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．不存在【答案】B【分析】設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得坐標(biāo)關(guān)系，即可得最值.【詳解】

設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為3．故選：B．29．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)P，同時(shí)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】A【分析】代入點(diǎn)的坐標(biāo)，以及聯(lián)立條件，結(jié)合，即可求解橢圓方程.【詳解】由已知，可設(shè)橢圓的方程為，則，又，由橢圓定義得，，即，因?yàn)?，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A.30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點(diǎn)分別為M，N，若直線AM，AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)，則，依題意，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B

31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，由橢圓定義得，由余弦定理求出，從而利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓，得，，.

設(shè)，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故選：C.32．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為.若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上，且直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)求法求出點(diǎn)，再根據(jù)距離公式可得，從而判斷出為直角，再根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理計(jì)算得出，從而得解．【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由，得．

可知，又知，所以，則為直角，由題意，點(diǎn)恰好在上，根據(jù)橢圓定義，得，，設(shè)，則，在直角三角形中，，解得，從而，所以.故選：D．二、多選題33．（2023秋·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校考開學(xué)考試）若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)說法中正確的是（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C為橢圓C．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則D．若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則【答案】AD【分析】根據(jù)方程為圓列式求解判斷A，排除B，根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征列不等式求解范圍即可判斷CD.【詳解】當(dāng)即時(shí)，方程為，表示圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在x軸上，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若C為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.34．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．P到最小的距離是2C．面積的最大值為6D．P到最大的距離是9【答案】AD【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)運(yùn)算分析即可.【詳解】由橢圓方程可得：，則，對(duì)A：根據(jù)橢圓的定義可得，A正確；對(duì)B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，P到的距離最小，最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，P到的距離最大，最小值為，D正確.故選：AD.35．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)），是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，A是橢圓上一點(diǎn)，是直角三角形，則的面積為（

）A．9 B．C． D．【答案】AB【分析】對(duì)的直角進(jìn)行分類討論，結(jié)合橢圓的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.【詳解】由得，不妨，，則，當(dāng)時(shí)，則①平方減去②得，∴，當(dāng)(或者)時(shí)，，令，則，解得，則，.故選：AB.

36．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知點(diǎn)，直線l：，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半．若某直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)P的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D．點(diǎn)P的軌跡與圓C：沒有交點(diǎn)【答案】ABC【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意列方程化簡(jiǎn)可得方程，可判斷A；判斷直線與點(diǎn)P的軌跡方程是否有交點(diǎn)可判斷B；將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形可判斷C；結(jié)合圖形可直接判斷D.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線l的距離的一半，所以，化簡(jiǎn)得，故A正確；由可得，解得，故存在，所以直線是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B正確；過P作PB垂直直線l：，垂足為B，則由題可得，則，則由圖可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線l：的距離，距離為5，故C正確；由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓C交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.

三、填空題37．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓定義可得答案.【詳解】由題可知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，其坐標(biāo)分別為，，故，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.

38．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則的最大值為.【答案】11【分析】先確定焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化，結(jié)合線段差的特點(diǎn)可得答案.【詳解】由題意可得，，所以,因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故答案為：11.

39．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，，在中，由余弦定理，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，則，因?yàn)?，可得，，在中，由余弦定理得，因?yàn)椋?故答案為：40．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知分別是橢圓的左、右