第第頁廣西南寧市2024-2025學年高二上學期期末教學調(diào)研數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1．若一條直線的斜率等于3，則該直線的傾斜角是（）A．π6 B．π4 C．π32．已知an是等比數(shù)列，若a1=?2,A．2 B．?2 C．4 D．?43．若直線a+2x?y+1=0和直線ax?y?1=0垂直，則aA．?1 B．1 C．?124．已知雙曲線E:x24?y216=1，設(shè)M是雙曲線E上的一點，A．5 B．7 C．9 D．115．在等差數(shù)列an中，Sn為其前n項的和，若S4A．42 B．48 C．60 D．726．在平行六面體ABCD?A'B'C'DA．10 B．12 C．22 D．27．直線y=kx?2+4與曲線y=1+4?A．0,512 B．512,348．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點分別為F1,A．52 B．355 C．6二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有錯選的得0分.9．下列命題中，正確的是（）A．如果AB>0且BC<0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過第三象限.B．若直線l1:x?2y+1=0與l2:2x+ay?2=0平行，則l1C．圓C：(x+1)2+(y?1)2=4D．點Ax,y為圓(x?3)2+10．橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為F1,F2A．△ABF2的周長為8 B．橢圓CC．BF2的長為125 D．11．如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD?AA．當點P在平面BCC1BB．當點P在線段AC上運動時，D1P與AC．使直線AP與平面ABCD所成角為45°的動點P的軌跡長度為D．若F是A1B1的中點，當點P在底面ABCD上運動，且滿足PF//平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．拋物線y2=4x上一點M到焦點的距離為3，則點M的橫坐標x=13．已知數(shù)列an的前n項和公式為Sn=?3n2，則14．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q，P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為x2+y2=1，定點Q為x軸上一點，P?四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知線段PQ的端點P的坐標是4,3，端點Q在圓(x+1)2+y2=4（1）求點M的軌跡方程；（2）若點M的軌跡為曲線C，已知直線l的方程為2x?y+1=0，請判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，并說明理由.16．已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a2（1）求數(shù)列an（2）若bn=3n?1，令cn=a17．如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD滿足AB⊥AD,AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=1（1）求證：BC⊥平面SAB；（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.18．已知雙曲線C的中心為坐標原點，右焦點為7,0，且過點?4,3（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點A4,1，過點1,0的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于點M,N，直線AN與雙曲線C交于另一點P，設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k（i）求證：k1（ii）求證：直線MP過定點，并求出該定點的坐標．19．設(shè)F1,F2為橢圓Γ1:x2a12（1）求橢圓Γ1（2）過F2作斜率為1的直線與橢圓Γ1交于P,Q兩點，求（3）黃金分割的比例5?12被認為是最能引起美感的比例，在藝術(shù)和設(shè)計中廣泛應用.若橢圓上一動點到其焦點距離的最小值與最大值之比為黃金分割比的平方，即5?122，則稱此橢圓為“完美橢圓”.現(xiàn)有一簇橢圓Γn:x2an2+y2bn2=1an>bn>0

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ=又因為θ∈0,π，故故選：C.【分析】本題主要考查了直線的傾斜角和斜率的定義，根據(jù)題意，設(shè)直線的傾斜角為θ，得到tanθ=2．【答案】D【解析】【解答】解：因為a1=?2,a4=128，

故選：D.【分析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及其應用，根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的通項公式，列出關(guān)于公比q的方程，求得等比數(shù)列的公比，即可得到答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：由題意得aa+2+?1故選：A.【分析】本題主要考查了兩條直線的位置關(guān)系的應用，根據(jù)兩直線垂直，列出關(guān)于a的方程，求得a的值，即可得到答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：由雙曲線E:x24?y因為M是雙曲線E上的一點，且MF1=3即3?MF2=4，解得故選：B.【分析】本題主要考查了雙曲線的定義及其應用，根據(jù)雙曲線的標準方程，求得a=2，結(jié)合雙曲線的定義，得到MF1?5．【答案】A【解析】【解答】解：由數(shù)列an為等差數(shù)列，所以S因為S4所以S12所以S12故選：A.【分析】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)的應用，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得到S4,S8?6．【答案】C【解析】【解答】解：如圖所示，由AC所以A=4+4+2+2×2×2×12所以AC故選：C.

【分析】本題主要考查了空間向量的運算法則，以及加法的幾何意義，根據(jù)題意，利用空間向量的運算法則，得到AC'=7．【答案】B【解析】【解答】解：記曲線C:y=1+4?由題意，y=1+4?∴曲線C:y=1+4?x2表示以O(shè)'記直線l:y=kx?2+4，即kx?2?y+4=0，∴直線如圖所示：kAD當直線l與曲線C相切時，d=|0?1?2k+4|由圖可知，當直線l與曲線C有兩個相異的交點時，k∈5故選：B.【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合法的應用，根據(jù)y=kx?2+4是過定點A2,4的直線，曲線y=1+4?x8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，F(xiàn)1(?c,0),F2(c,0)則F1由F1A⊥解得x1=53c所以x12a2?即25e4?50e2故選：B.【分析】本題主要考查了雙曲線的離心率的求解，設(shè)A(x1,y19．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，當B≠0時，直線Ax+By+C=0等價于y=?A由于AB>0且BC<0，所以直線的斜率k=?AB<0，y即該直線經(jīng)過第一、第二、第四象限，故A正確；對于B，由直線l1:x?2y+1=0與l2此時可化簡直線l1:x?2y+1=0與d=1+1對于C，由圓C：(x+1)2+(y?1)設(shè)圓心C?1,1關(guān)于直線x?y?1=0的對稱圓心為C則m?12?n+1則對稱圓的方程為(x?2)2對于D，由于x2+y即可求圓心3，4到原點的距離為9+所以圓上的動點A到原點的最大距離是5+即x2+y故選：ABC．【分析】利用直線方程的性質(zhì)，可判斷A正確，利用平行線間的距離公式，可判斷B正確；利用點關(guān)于直線對稱點的研究，可判斷C正確，把x2+y10．【答案】A,D【解析】【解答】解：如圖，

由題意：△F1A故SΔF1AF△ABF2的周長為橢圓C的離心率e=c設(shè)BF1=x，則BF2由余弦定理：(4?x)2=4+xS△故選：AD.【分析】本題主要考查了橢圓的標準方程，以及幾何性質(zhì)的應用，根據(jù)題意，利用△F1AF2的面積計算出a,b,c的值，進而計算△ABF211．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：選項A：底面正方形ADD1A1的面積不變，點P到平面選項B：以D為原點，DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標系，可得設(shè)P(x,2?x,0),0≤x≤2，則D1設(shè)直線D1P與A1C1因為0≤x≤2，則0≤x?1當x?1=0時，可得cosθ=0，所以當0<x?1≤1時，當且僅當x?1=1，即x=0可知0<cosθ≤12，且所以異面直線D1P與A1對于C：因為直線AP與平面ABCD所成的角為45°若點P在平面DCC1D因為∠B在平面ADD1A1內(nèi)，點在平面ABB1A1內(nèi)，點在平面A1B1C1因為∠PAM=45°，所以又因為PM=AB，所以AM=AB，所以A1所以點P的軌跡是以A1所以點P的軌跡的長度為14綜上，點P的軌跡的總長度為π+4對于D，由B1設(shè)P(m,n,0),0≤m≤2,0≤n≤2，則C設(shè)平面CB1D1的一個法向量為取a=1，可得b=?1,c=?1，所以n=(1,?1,?1)因為PF//平面B1CD，所以FP?所以FP=(m?2)2故選：ABC.【分析】由底面正方形ADD1A1的面積不變，點P到平面AA1D1D的距離不變，可判定A正確；以D為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)P(x,2?x,0)，則D1P=(x,2?x,?2),A1C1=(?2,2,0)，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；由直線AP與平面ABCD12．【答案】2【解析】【解答】由拋物線y2=4x，得2p=4，p=2，∴p2∵M在拋物線y2=4x上，且|MF|=3，∴xM+1=3，即xM=2．故答案為：2．【分析】由拋物線的方程求出p213．【答案】-6n+3【解析】【解答】解：當n≥2時，an當n=1時，a1=S所以an故答案為：?6n+3.

【分析】本題考查了數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系，由數(shù)列an的前n根結(jié)合an14．【答案】10【解析】【解答】解：設(shè)Qa,0，Mx,y，所以MQ=x?a2+y因為MQMP=λ且λ=2，所以x?a2+y2x+所以4+2a3=0a2?13=1，解得a=?2，所以Q因為B1,1，所以2MP+MB的最小值為BQ=故答案為：10.【分析】先由動點M與兩定點Q，P的距離之比MQMP=λλ>0,λ≠1，求得阿波羅尼斯圓的方程，進而求得定點Q坐標，再由MQ=2MP15．【答案】（1）解：令M(m,n)為線段PQ的中點，又P4,3，則Q(2m?4,2n?3)又Q在圓(x+1)2+y所以(m?32)2+（2）解：如圖所示：由（1）知圓心C(32,所以圓心到2x?y+1=0的距離d=|3?所以直線l與曲線C相離.【解析】【分析】（1）設(shè)M(m,n)，根據(jù)中點坐標公式，求得Q(2m?4,2n?3)，再由Q在圓(x+1)2（2）有（1）得出圓的圓心和半徑，利用點線距離公式求圓心與直線距離，得出與圓的半徑的大小關(guān)系，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可判斷位置關(guān)系，得到答案.（1）令M(m,n)為線段PQ的中點，又P4,3，則Q(2m?4,2n?3)又Q在圓(x+1)2+y所以(m?32)2+（2）由（1）知圓心C(32,3所以圓心到2x?y+1=0的距離d=|3?所以直線l與曲線C相離.16．【答案】（1）解：由題意知：S4=4即：4a1+所以數(shù)列an的通項公式a（2）解：因為c所以T①①?2化簡得：Tn【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的前n項和公式與通項公式，列出方程組，求得a1、d，寫出數(shù)列（2）由（1）得到cn（1）由題意知：S4=4即：4a1+所以數(shù)列an的通項公式a（2）因為c所以T①①?2化簡得：Tn17．【答案】（1）證明：由SA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，則SA⊥BC，又AB⊥BC，且AB∩SA=A均在面SAB內(nèi)，則BC⊥平面SAB；（2）解：由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，則C(1,1,0),D(12,0,0),S(0,0,1)若m=(x,y,z)為面SCD的一個法向量，則m令x=2，則m=(2,?1,1)，而n=(1,0,0)是面所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為|cos【解析】【分析】（1）由SA⊥底面ABCD，得到SA⊥BC，再由AB⊥BC，利用線面垂直的判定定理，即可證得BC⊥平面SAB；（2）根據(jù)題意，空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，分別求得平面SCD和平面SAB的一個法向量m=(2,?1,1)和n（1）由SA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，則SA⊥BC，又AB⊥BC，且AB∩SA=A均在面SAB內(nèi)，則BC⊥平面SAB；（2）由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示空間直角坐標系A(chǔ)?xyz，則C(1,1,0),D(12,0,0),S(0,0,1)若m=(x,y,z)為面SCD的一個法向量，則m令x=2，則m=(2,?1,1)，而n=(1,0,0)是面所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為|cos18．【答案】（1）解：設(shè)雙曲線C的方程為x2因為雙曲線C的右焦點為7,0，且過點?4,3所以a2+b2雙曲線C的方程為x2（2）解：（i）設(shè)直線MN的方程為y=kx?1由y=kx?1,xx因為直線MN與雙曲線C的左、右支分別交于點M,N，所以3?4k2≠0,k==即k1（ii）設(shè)直線MP的方程為y=tx+m,Px由y=tx+m,x24x1由kAP=kk===由k1+k即m=?t，或m=?4t+9，當m=?t時，直線MP過點1,0，不符合題意，舍去，當m=?4t+9時，直線MP的方程為y=tx?4+9，過定點

【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2a2?y（2）（i）根據(jù)題意，設(shè)Mx1,y1Nx（ii）設(shè)直線MP的方程為y=tx+m，聯(lián)立方程組，得到x1+x3=8tm3?4t2（1）設(shè)雙曲線C的方程為x2因為雙曲線C的右焦點為7,0，且過點?4,3所以a2+b2雙曲線C的方程為x2（2）（i）設(shè)直線MN的方程為y=kx?1由y=kx?1,xx因為直線MN與雙曲線C的左、右支分別交于點M,N，所以3?4k2≠0,k==即k1（ii）設(shè)直線MP的方程為y=tx+m,Px由y=tx+m,x24x1由kAP=kk===由k1+k即m=?t，或m=?4t+9，當m=?t時，直線MP過點1,0，不符合題意，舍去，當m=?4t+9時，直線MP的方程為y=tx?4+9，過定點19．【答案】（1）解：由點M0,2在橢圓Γ1上，則由△NF1F2面積的最大值為2，則所以a12=（2）由（1）知F2(1,0)，則PQ:y=x?1，聯(lián)立所以x25+(x?1)2所以xP+xQ=由M0,2到PQ:y=x?1的距離d=所以△MPQ的面積S=1（3）令