3.3.1拋物線及其標準方程【考點梳理】考點一：拋物線的定義1．定義：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l(不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡．2．焦點：定點F.3．準線：定直線l.考點二：拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重難點技巧：p的幾何意義是焦點到準線的距離．【題型歸納】題型一：拋物線的定義求軌跡方程1．（2023·全國·高二）設圓與y軸交于A，B兩點（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點P到A的距離等于P到l的距離，則動點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意分別求得，的坐標與切線，再根據(jù)拋物線的定義即可求得動點的軌跡方程．【詳解】因為圓與軸交于，兩點（在的上方），所以，，又因為過作圓的切線，所以切線的方程為，因為動點到的距離等于到的距離，所以動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，所以的軌跡方程為．故選：A.2．（2023·全國·高二專題練習）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動點M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】設動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A3．（2022·江蘇·高二專題練習）已知圓C與過點且垂直于x軸的直線僅有1個公共點，且與圓外切，則點C的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)外切關(guān)系結(jié)合拋物線定義，分析得到的軌跡為拋物線，由此求解出拋物線的方程.【詳解】由題意得，直線，且圓，設點到直線的距離為，則點到與點到的距離相等，都是，故點的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線，故方程為.故選：A.題型二：拋物線的最值問題4．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，圓，為上一點，為上一點，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．3【答案】B【分析】先利用配方法求得到圓心的最小距離，從而求得到的最小距離.【詳解】由題意知，，設，則，所以，

故當時，，所以.故選：B.5．（2023秋·全國·高二期中）若點在焦點為的拋物線上，且，點為直線上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求得點的坐標，求得關(guān)于直線的對稱點，根據(jù)三點共線求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點，準線，，則，不妨設，關(guān)于直線的對稱點為，由于，所以當三點共線時最小，所以的最小值為.故選：A

6．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點到其準線的距離為是拋物線上一點，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】由拋物線的焦點坐標求得，設在準線上的射影為，利用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化后易得最小值．【詳解】由焦點到其準線的距離為得；設在準線上的射影為如圖,則，當且僅當共線時取得等號．所以所求最小值是4．故選：D．題型三：拋物線焦半徑的公式7．（2023春·福建福州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，點在上，若到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設點，根據(jù)已知條件求出的值，然后根據(jù)拋物線的定義可求得的值.【詳解】設點，拋物線的準線方程為，因為到直線的距離為，則，可得，所以，.故選：C.8．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上一點，過點P作PQ垂直于拋物線的準線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設點P的坐標為，由題意△PFQ為等邊三角形，求得點P的坐標及，從而可得．【詳解】拋物線的準線方程為y＝－1，焦點為，設點P的坐標為，則點Q的坐標為，，由拋物線的定義知，因為，所以△PFQ為等邊三角形，所以，又，所以，n＝3，所以點P的坐標為，所以，所以．故選：C．

9．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，若，則的中點到準線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．【解答】解：已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于、兩點，設拋物線的準線交軸于點，的中點為，過作準線的垂線使得，，，軸于，設，又，則，，則，又，則，又，則，即，則，故選：C．

題型四：拋物線的四種標準方程題型四：拋物線的四種標準方程10．（2023·全國·高二假期作業(yè)）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】由拋物線的準線方程,分類討論求參數(shù)的值.【詳解】當時，拋物線開口向上，準線方程，點到準線的距離為，解得，所以拋物線方程為；當時，拋物線開口向下，準線方程，點到準線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為．所以拋物線的方程為或．故選：C11．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．【詳解】如圖，連接，設準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.12．（2023·全國·高二專題練習）已知點在圓上，其橫坐標為，拋物線經(jīng)過點，則拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圓的方程可求得點坐標，代入拋物線方程可確定的值，進而確定準線方程.【詳解】將代入圓方程得：，解得：，或，在拋物線上，或，解得：（舍）或，拋物線方程為，拋物線的準線方程為：.故選：D.題型五：拋物線在生活中的實際應用13．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）某學習小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為圖2所示的拋物線形，在軸面內(nèi)的衛(wèi)星信號波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線的焦點到頂點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立適當直角坐標系，設出拋物線方程，代入點的坐標，即可求出答案.【詳解】如圖，設口徑的軸截面為.以點為坐標原點，以的垂直平分線為軸，過點作的平行線為軸，建立平面直角坐標系.則由已知可設拋物線的方程為，點坐標為，將點坐標代入拋物線方程可得，解得.所以拋物線的焦點到頂點的距離為.故選：D.14．（2023秋·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）如圖是一座拋物線形拱橋，當橋洞內(nèi)水面寬時，拱頂距離水面，當水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以拋物線的頂點為坐標原點，拋物線的對稱軸為軸，過原點且垂直于軸的直線為軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，分析可知點在該拋物線上，求出的值，可得出拋物線的方程，將代入拋物線方程，即可得出結(jié)果.【詳解】以拋物線的頂點為坐標原點，拋物線的對稱軸為軸，過原點且垂直于軸的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的方程為，由題意可知點在拋物線上，所以，，可得，所以，拋物線的方程為，當水面上升后，即當時，，可得，因此，當水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為.故選：C.15．（2022秋·湖南益陽·高二統(tǒng)考期中）黨的十八大報告指出，必須堅持在發(fā)展中保障和改善民生，不斷實現(xiàn)人民對美好生活的向往，為響應中央號召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場內(nèi)修建一個半徑為4m的圓形水池來規(guī)劃噴泉景觀.設計如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2m的噴水管（水管半徑忽略不計），它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為處達到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖建立平面直角坐標系，設拋物線方程為（），記最大高度為，依題意可得，在拋物線上，代入拋物線方程，求出，即可得解.【詳解】解：取一截面建系如圖，設拋物線方程為（），記最大高度為，依題意可知，在拋物線上，故，兩式相除有，解得.故選：C題型六：拋物線的方程綜合問題16．（2023秋·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標準方程：(1)頂點在原點，準線方程為；(2)頂點在原點，且過點；(3)頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在直線上；(4)焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5.【答案】(1)(2)或(3)(4)【分析】根據(jù)題意可確定拋物線焦點的位置，繼而求出焦準距p，即可得答案.【詳解】（1）由題意頂點在原點，準線方程為，可知拋物線焦點在y軸負半軸上，且，故拋物線標準方程為；（2）由題意頂點在原點，且過點，則拋物線焦點可能在y軸正半軸或x軸負半軸上，則設拋物線標準方程為或，分別將代入，求得，故拋物線標準方程為或；（3）由于直線與x軸的交點為，由題意可知拋物線焦點為，則，故拋物線標準方程為；（4）由題意拋物線焦點在x軸上，且拋物線上一點到焦點的距離為5，則設拋物線方程為，焦點為，準線為，故，故拋物線標準方程為.17．（2023春·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學?？计谥校膾佄锞€上各點向x軸作垂線段.(1)求垂線段的中點的軌跡方程，并說明它是什么曲線；(2)直線與拋物線交于A、B兩點，求證：原點O在以AB為直徑的圓上.【答案】(1)軌跡方程是，它是頂點在原點，焦點為，開口向右的拋物線(2)證明見解析【分析】（1）先設出垂線段的中點為，是拋物線上的點，把他們坐標之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得出，，求出即可得證.【詳解】（1）解：設拋物線上的點，過M作軸于Q，設線段MQ中點，于是有，而，即，從而得，

當M為拋物線頂點時，可視為過M作x軸垂線的垂足Q與點M重合，其中點P與M重合，坐標也滿足上述方程，所以垂線段的中點的軌跡方程是，它是頂點在原點，焦點為，開口向右的拋物線.（2）證明：由得，設，，則有，，，即，所以，

所以原點O在以AB為直徑的圓上.18．（2023秋·高二課時練習）（1）設P是拋物線上的一個動點.①求點P到點的距離與點P到直線的距離之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知拋物線，A點的坐標為.求拋物線上距離點A最近的點P的坐標及相應的距離.【答案】（1）①；②4；（2），【分析】（1）①根據(jù)拋物線定義，點P到準線的距離等于P到點的距離，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到的距離與P到的距離之和最小，數(shù)形結(jié)合得解；②同理可處理.（2）設拋物線上任一點P的坐標為，用兩點間距離公式求出轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最小值.【詳解】（1）①拋物線焦點為，準線方程為，

∵點P到準線的距離等于P到點的距離.∴問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到的距離與P到的距離之和最小.顯然P是的連線與拋物線的交點，最小值為.②同理與P點到準線的距離相等.如圖：

過B作準線于Q點，交拋物線于點.∵，∴.∴的最小值為4.（2）由題意設拋物線上任一點P的坐標為，則，因為，所以當時，.故距離點A最近的點P的坐標為，最短距離是.【雙基達標】一、單選題19．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線C：的頂點為O，經(jīng)過點，且F為拋物線C的焦點，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合可求得，然后將點的坐標代入拋物線方程可求出的值.【詳解】因為點在拋物線上，，所以，所以，所以，所以，解得.故選：C

20．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義求解．【詳解】由題意拋物線上任意一點到焦點F的距離與它到直線的距離相，因此，，拋物線方程為．故選：C．21．（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知點是拋物線上的一點，過點作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】利用拋物線定義，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合線段間的不等關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由拋物線可知其焦點為，準線方程為記拋物線的焦點為，

所以，當且僅當點在線段上時等號成立，所以的最小值為3．故選：A．22．（2023秋·高二課時練習）石拱橋是世界橋梁史上出現(xiàn)較早、形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)堅固的一種橋型.如圖，這是一座石拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點在坐標原點，焦點在y軸負半軸上的拋物線C的一部分，當水距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點到準線的距離是（

）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米【答案】B【分析】設拋物線C：，由題意可知點在拋物線C上，求得，即可得解.【詳解】設拋物線C：，由題意可知點在拋物線C上，則，解得，故拋物線C的焦點到準線的距離是2米.故選：B.23．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為是拋物線上一個動點，點，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點與拋物線有一個公共點的直線有3條C．連接并延長與拋物線交于點，若的中點，則D．點到直線的最短距離為【答案】BC【分析】根據(jù)拋物線的相關(guān)公式以及圖形找到幾何關(guān)系即可.【詳解】

解：由拋物線的方程可得焦點，準線方程A中，由拋物線的性質(zhì)，則，代入拋物線的方程可得，所以A不正確；中，將點的坐標代入：，可得點在拋物線的外面，所以過有兩條直線與拋物線相切，還有一條平行于軸的直線與拋物線有一個公共點，所以有3條直線與拋物線有一個公共點，正確；中，，所以正確；中，點到直線的距離，所以的最小值為不正確.故選：.24．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，則下列說法不正確的是（

）A．橢圓的焦距是2B．橢圓的離心率是C．拋物線的準線方程是D．拋物線的焦點到其準線的距離是4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程，求得，再結(jié)合橢圓和拋物線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】，所以橢圓的焦距為，離心率，故AB正確；拋物線的焦點坐標為，所以準線方程為，焦點到準線的距離，故C正確，D錯誤.故選：D25．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知F為拋物線的焦點，為拋物線C上第一象限的點，且.(1)求點A的坐標；(2)求過點A且與圓相切的直線方程.【答案】(1)(2)或，【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解，代入方程即可求解坐標，（2）根據(jù)點到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】（1）由于拋物線的焦點坐標為，故，所以，，將代入拋物線可得，故（2）由于點的圓心為，由于，故過點A的切線一定有斜率，設其方程為，由于直線與圓相切，所以圓心到直線的距離為，所以切線方程為，即或，26．（2023秋·全國·高二期中）已知是拋物線上的點．當時，．(1)求E的標準方程；(2)F是E的焦點，直線AF與E的另一交點為B，，求的值．【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）將點代入拋物線方程求解作答.（2）設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線定義結(jié)合韋達定理求出點B的橫坐標作答.【詳解】（1）依題意，拋物線過點，則，解得，所以E的標準方程為.（2）由（1）知，拋物線E的焦點，準線方程為，

顯然直線不垂直于軸且斜率不為0，設直線的方程為：，點，由消去并整理得：，則，，而，解得，于是，，所以.【高分突破】一、單選題27．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考期末）過拋物線的焦點且傾斜角為銳角的直線與交于兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析可得，，進而可得的傾斜角和斜率.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，如圖，過作準線的垂線交準線于，因為，所以，可知與軸的正方向的夾角為，則的斜率為，故選：A.

28．（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點，在軸的同側(cè)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知聯(lián)立方程組，利用設而不求法結(jié)合拋物線定義表示，并求其值.【詳解】由已知拋物線的焦點的坐標為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，設，則，所以，圓的圓心坐標為，半徑為1，由已知可得，所以

故選：A.29．（2023春·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）設拋物線的焦點為，準線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點作的垂線，垂足為，設，且為等邊三角形，的面積為，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意，由拋物線的性質(zhì)，分別表示出的長，然后結(jié)合的面積為列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】

過點，做軸于點，因為，，且為等邊三角形，則，，則，，，則.故選：A30．（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C的焦點F在x軸的正半軸上，且焦點到準線的距離為2，過點F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線方程衣直線方程，再聯(lián)立并結(jié)合拋物線定義求解作答.【詳解】設拋物線C的方程為，因為焦點到準線的距離為2，則，拋物線C為：，焦點，準線方程為，直線方程為，由消去y得：，設，則，所以.故選：B

31．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點離桌面的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標系，設出拋物線的方程，代入點，求得拋物線的方程，利用拋物線的定義，即可求解.【詳解】建立平面直角坐標系，如圖所示，設拋物線的方程為，其焦點為，碗口直徑為，碗深，所以拋物線過點，所以，解得，所以拋物線的方程為，設，過中點作軸，由拋物線的定義可得，解得，所以，所以筷子的中點離桌面的距離為.故選：B.

32．（2023秋·全國·高二期中）過拋物線的焦點，作傾斜角為的直線交于，兩點，交的準線于點，若（為坐標原點），則線段的長度為（

）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】將直線的方程與準線方程聯(lián)立，求得點的坐標，可求出，然后將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合拋物線的焦點弦長公式即可求解【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，

直線的方程為，聯(lián)立可得，即點，所以，因為，所以，所以直線的方程為，拋物線，設點，，聯(lián)立可得，由韋達定理可得，則故選：D33．（2023·全國·高二假期作業(yè)）設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則拋物線C的準線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合拋物線的定義，列出方程，即可求得結(jié)果.【詳解】設直線與軸交點為，由拋物線的對稱性，易知為直角三角形，且，，即，去絕對值，解得或，所以拋物線的準線方程為或.故選：C.34．（2023·全國·高二專題練習）設P為拋物線C：上的動點，關(guān)于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因為，且關(guān)于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，所以.當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.故選：A二、多選題35．（2023春·貴州黔西·高二校考階段練習）已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線C上，若，則（

）A．F的坐標為 B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的定義域標準方程，以及拋物線的幾何性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，則焦點，所以A錯誤；由拋物線的定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C正確；由，所以D正確．故選：BCD．36．（2023秋·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點為，頂點為，點在拋物線上，若，則下列各選項正確的是（

）A． B．以MF為直徑的圓與軸相切C． D．【答案】ABD【分析】對于AB，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知條件判斷，對于C，先求出點的坐標，再利用兩點間的距離公式可求得結(jié)果，對于D，根據(jù)拋物線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式求解.【詳解】對A：由題意可知，由，可得，故A正確；對B：∵的中點的橫坐標為，則到軸的距離∴以為直徑的圓與軸相切，故B正確；對C：當時，，解得，即則，故C錯誤；對D：，故D正確；故選：ABD．

37．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標為【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，利用拋物線的定義，求得點的坐標，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，因為點在拋物線上，且，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，又因為，所以，即，則.故選：ABC.38．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線，準線為，過焦點的直線與拋物線交于兩點，，垂足為，設，則（

）A．過點與拋物線有且僅有一個公共點的直線恰有2條B．已知曲線上的兩點到點的距離之和為10，則線段的中點的橫坐標是4C．的最小值為D．的最小值為4【答案】BCD【分析】由點在拋物線外從而判斷A；由拋物線的定義結(jié)合中點坐標公式判斷B；由拋物線的定義結(jié)合圖像判斷C；聯(lián)立直線和拋物線方程，由韋達定理結(jié)合基本不等式得出的最小值.【詳解】對于A，因為在拋物線外，顯然過與拋物線相切的直線有2條，當此直線與x軸平行時，與拋物線也是僅有一個公共點，所以過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條，故A錯誤；對于B，設，則，即，則線段的中點的橫坐標為，故B正確；對于C，，（當點在線段上時，取等號），故C正確；對于D，設，設直線的方程為，由，得，易得，則，，（當且僅當時，等號成立），故D正確；故選：BCD

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39．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，準線為為拋物線上任意一點，點為在上的射影，線段交軸于點為線段的中點，則（

）A．B．直線與拋物線相切C．點的軌跡方程為D．可以是直角【答案】ABC【分析】分別應用拋物線定義，直線與拋物線位置關(guān)系的判定，求軌跡方程的方法，向量法判斷垂直進行求解.【詳解】對于選項，設準線與軸交于點，由拋物線知原點為的中點，軸，所以為線段的中點，由拋物線的定義知，所以，故正確；對于B選項，由題意知，為線段的中點，從而設，則，直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直線與拋物線相切，故B正確；對于C選項，設點，則點，而是拋物線上任意一點，于是得，即，所以點的軌跡方程為，故C正確；對于D選項，因點的軌跡方程為，則設，令，有，，于是得為銳角，故錯誤.故選：ABC.

40．（2023秋·高二單元測試）若圓錐曲線，且的一個焦點與拋物線的焦點重合，則（

）A．B．的離心率C．為雙曲線，且漸近線方程為D．與的交點在直線上【答案】BD【分析】由題可得的焦點為.則圓錐曲線為雙曲線，可判斷各選項正誤.【詳解】A選項，拋物線的焦點為，則焦點為，則圓錐曲線為雙曲線，且，則.故A錯誤；B選項，由A分析可知，，故B正確；C選項，由A分析可知漸近線方程為：，故C錯誤；D選項，聯(lián)立，方程有，由可知，則，即與的交點在直線上，故D正確.故選：BD41．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線：的焦點到準線的距離為2，則（

）A．拋物線為B．若，為上的動點，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準線與軸交于點，點是拋物線上不同于其頂點的任意一點，，，則的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得可判斷A，根據(jù)拋物線的定義利用數(shù)形結(jié)合可判斷B，利用韋達定理法及弦長公式可判斷C，根據(jù)條件可得當直線與拋物線相切時最小，然后利用判別式即得.【詳解】因為拋物線：的焦點到準線的距離為2，所以，從而拋物線的方程是，所以A錯誤；設到準線的距離為，由題可知準線為，則，故B正確；拋物線的焦點為，直線過焦點，由，可得，設直線與拋物線交點為，則，所以直線與拋物線相為所得弦長，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，不妨設點在第一象限，過點向準線作垂線，垂足為，則，連接，在中，設，則，要求的最小值，即最小，即最小，所以當直線與拋物線相切時，角最小，設切線方程為存在，且，由，聯(lián)立得，令，得，所以或（舍），所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題42．（2023·全國·高二專題練習）已知點是曲線上任意一點，，連接并延長至，使得，求動點Q的軌跡方程．【答案】【分析】設出動點和相關(guān)點，再根據(jù)條件，，再代入即可得出結(jié)果.【詳解】設動點的坐標，點P坐標，，因為，所以，，可得，，代入，得，整理得，所以動點Q的軌跡方程為．故答案為：43．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線上有一動點，則與點距離的最小值為．【答案】【分析】設，根據(jù)兩點距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設，則，當時，取得最小值12，故．44．（20