3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：拋物線的定義1．定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡．2．焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.3．準(zhǔn)線：定直線l.考點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)重難點(diǎn)技巧：p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．【題型歸納】題型一：拋物線的定義求軌跡方程1．（2023·全國·高二）設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與過點(diǎn)且垂直于x軸的直線僅有1個公共點(diǎn)，且與圓外切，則點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B． C． D．題型二：拋物線的最值問題4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，圓，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C．2 D．35．（2023秋·全國·高二期中）若點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，且，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．46．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為是拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．5 D．4題型三：拋物線焦半徑的公式7．（2023春·福建福州·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為，則（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為Q，若，則△PFQ的面積為（

）A．4 B． C． D．9．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．題型四：拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程10．（2023·全國·高二）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．或C．或 D．11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓上，其橫坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．題型五：拋物線在生活中的實(shí)際應(yīng)用13．（2023秋·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）某學(xué)習(xí)小組研究一種如圖1所示的衛(wèi)星接收天線，發(fā)現(xiàn)其軸截面為圖2所示的拋物線形，在軸面內(nèi)的衛(wèi)星信號波束呈近似平行的狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處，已知衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該衛(wèi)星接收天線軸截面所在的拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．14．（2023秋·山東煙臺·高二統(tǒng)考期末）如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬時，拱頂距離水面，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為（

）A． B． C． D．15．（2022秋·湖南益陽·高二統(tǒng)考期中）黨的十八大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持在發(fā)展中保障和改善民生，不斷實(shí)現(xiàn)人民對美好生活的向往，為響應(yīng)中央號召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場內(nèi)修建一個半徑為4m的圓形水池來規(guī)劃噴泉景觀.設(shè)計(jì)如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2m的噴水管（水管半徑忽略不計(jì)），它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為處達(dá)到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為（

）A． B． C． D．題型六：拋物線的方程綜合問題16．（2023秋·全國·高二期中）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.17．（2023春·云南大理·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)?？计谥校膾佄锞€上各點(diǎn)向x軸作垂線段.(1)求垂線段的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明它是什么曲線；(2)直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求證：原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上.18．（2023秋·高二課時練習(xí)）（1）設(shè)P是拋物線上的一個動點(diǎn).①求點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知拋物線，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線C：的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過點(diǎn)，且F為拋物線C的焦點(diǎn)，若，則p＝（

）A． B．1 C． D．220．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．21．（2023春·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．622．（2023秋·高二課時練習(xí)）石拱橋是世界橋梁史上出現(xiàn)較早、形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)堅(jiān)固的一種橋型.如圖，這是一座石拱橋，橋洞弧線可近似看成是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線C的一部分，當(dāng)水距離拱頂4米時，水面的寬度是8米，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）

A．1米 B．2米 C．4米 D．8米23．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為是拋物線上一個動點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．過點(diǎn)與拋物線有一個公共點(diǎn)的直線有3條C．連接并延長與拋物線交于點(diǎn)，若的中點(diǎn)，則D．點(diǎn)到直線的最短距離為24．（2023春·安徽宣城·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則下列說法不正確的是（

）A．橢圓的焦距是2B．橢圓的離心率是C．拋物線的準(zhǔn)線方程是D．拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是425．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線C上第一象限的點(diǎn)，且.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求過點(diǎn)A且與圓相切的直線方程.26．（2023秋·全國·高二期中）已知是拋物線上的點(diǎn)．當(dāng)時，．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)F是E的焦點(diǎn)，直線AF與E的另一交點(diǎn)為B，，求的值．【高分突破】一、單選題27．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與交于兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)且垂直于的直線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則的斜率為（

）A． B． C．1 D．228．（2023春·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，在軸的同側(cè)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．429．（2023春·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，且為等邊三角形，的面積為，則（

）A．1 B． C． D．230．（2023春·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．231．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長度為的筷子，筷子過瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為（

）

A． B． C． D．32．（2023秋·全國·高二期中）過拋物線的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則線段的長度為（

）A．8 B．16 C．24 D．3233．（2023·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：的焦點(diǎn)，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C．或 D．或34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)P為拋物線C：上的動點(diǎn)，關(guān)于P的對稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．二、多選題35．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線C上，若，則（

）A．F的坐標(biāo)為 B．C． D．36．（2023秋·海南省直轄縣級單位·高二嘉積中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A． B．以MF為直徑的圓與軸相切C． D．37．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為38．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，垂足為，設(shè)，則（

）A．過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)的直線恰有2條B．已知曲線上的兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和為10，則線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4C．的最小值為D．的最小值為439．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在上的射影，線段交軸于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（

）A．B．直線與拋物線相切C．點(diǎn)的軌跡方程為D．可以是直角40．（2023秋·高二單元測試）若圓錐曲線，且的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則（

）A．B．的離心率C．為雙曲線，且漸近線方程為D．與的交點(diǎn)在直線上41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則（

）A．拋物線為B．若，為上的動點(diǎn)，則的最小值為4C．直線與拋物線相交所得弦長最短為4D．若拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，，則的最小值為三、填空題42．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，，連接并延長至，使得，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．43．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上有一動點(diǎn)，則與點(diǎn)距離的最小值為．44．（2023秋·高二課時練習(xí)）拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線上有點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，為等邊三角形，則點(diǎn)坐標(biāo)為．45．（2023·全國·高二課堂例題）設(shè)直線l過拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，由P，Q分別向準(zhǔn)線引垂線PR，QS，垂足分別為R，S，設(shè)，，M為RS的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則．46．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知拋物線，過焦點(diǎn)F的弦交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且有，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C