廣義Jacobi有理譜方法：外部問(wèn)題與Neumann問(wèn)題的深度解析與應(yīng)用探索一、引言1.1研究背景與意義在過(guò)去的幾十年中，譜方法在科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用領(lǐng)域中愈發(fā)受到關(guān)注（參考文獻(xiàn)[3,6-8,12,25]及其相關(guān)文獻(xiàn)）。譜方法作為一種高精度的數(shù)值計(jì)算方法，旨在通過(guò)計(jì)算傅里葉系數(shù)來(lái)近似微分方程解的連續(xù)函數(shù)，它將求解微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算簡(jiǎn)單的傅里葉轉(zhuǎn)換，從而使解決微分方程的復(fù)雜度降低。因其優(yōu)越的精度和效率，被計(jì)算機(jī)科學(xué)家和工程師在設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)中廣泛使用，成為科學(xué)和工程計(jì)算的重要工具之一。傳統(tǒng)的譜方法常以三角多項(xiàng)式、Legendre多項(xiàng)式和Chebyshev多項(xiàng)式為基函數(shù)，用于計(jì)算周期問(wèn)題和直角區(qū)域上的問(wèn)題，并在各種二階和四階微分方程邊值和初邊值問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用。例如在計(jì)算流體力學(xué)中，對(duì)Navier-Stokes方程的求解，譜方法能夠精確地捕捉流場(chǎng)的細(xì)節(jié)信息，為研究流體的復(fù)雜流動(dòng)特性提供了有力支持。在量子力學(xué)中，對(duì)于薛定諤方程的數(shù)值求解，譜方法也展現(xiàn)出了高精度的優(yōu)勢(shì)，有助于準(zhǔn)確地計(jì)算量子系統(tǒng)的能量和波函數(shù)等物理量。近年來(lái)，譜方法在外部問(wèn)題數(shù)值求解方面的應(yīng)用研究不斷增多（參考文獻(xiàn)[10,11,18,20,27,31,32,35,36]）。外部問(wèn)題通常涉及無(wú)界區(qū)域，這給數(shù)值計(jì)算帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)。大多數(shù)現(xiàn)有的關(guān)于外部問(wèn)題的譜方法文獻(xiàn)主要基于Laguerre多項(xiàng)式函數(shù)逼近。例如，Guo、Shen和Xu以及Zhang和Guo開(kāi)發(fā)了基于Laguerre多項(xiàng)式作為基函數(shù)的二維/三維外部問(wèn)題的混合譜方法；而Zhang、Wang和Guo以及Wang、Guo和Zhang則研究了以Laguerre函數(shù)為基函數(shù)的二維/三維外部問(wèn)題的混合譜方法。此外，一些作者還考慮了將某些特定外部問(wèn)題的對(duì)稱解簡(jiǎn)化為半直線上的一維問(wèn)題的偽譜方法，見(jiàn)文獻(xiàn)[20,31]。這些基于Laguerre多項(xiàng)式的方法在一定程度上推動(dòng)了外部問(wèn)題數(shù)值求解的發(fā)展，但也存在一些局限性，比如在處理復(fù)雜邊界條件和高精度要求的問(wèn)題時(shí)，可能需要更多的計(jì)算資源和更復(fù)雜的處理技巧。另一方面，基于有理逼近的譜方法發(fā)展迅速，其在數(shù)值模擬各種偏微分方程（PDEs）時(shí)也非常有效。有理譜方法的一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是不需要添加任何人工邊界以及作任何變量變換就可以直接逼近微分方程，這使得計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)潔和直接。例如，在處理一些具有復(fù)雜幾何形狀的無(wú)界區(qū)域問(wèn)題時(shí)，傳統(tǒng)的方法可能需要通過(guò)復(fù)雜的坐標(biāo)變換將區(qū)域轉(zhuǎn)化為規(guī)則形狀，而有理譜方法則可以直接在原區(qū)域上進(jìn)行計(jì)算，避免了坐標(biāo)變換帶來(lái)的誤差和計(jì)算量的增加。此外，Jacobi有理譜方法還可以用來(lái)數(shù)值求解變系數(shù)的微分方程，如金融數(shù)學(xué)中的基本方程——Black-Scholes方程。該方程中項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)在處以不同的方式退化或趨于無(wú)窮大，Jacobi有理譜方法能夠有效地處理這種系數(shù)的特殊性質(zhì)，為金融衍生品定價(jià)等實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值求解提供了有效的手段。Neumann問(wèn)題作為一類重要的邊值問(wèn)題，在彈性力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在彈性力學(xué)中，Neumann邊界條件常用來(lái)描述物體表面受到的外力作用，通過(guò)求解相應(yīng)的Neumann問(wèn)題，可以得到物體內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變分布，為工程設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)分析提供重要依據(jù)。在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，Neumann邊界條件可以表示物體表面的熱流密度，求解Neumann問(wèn)題有助于研究熱量在物體中的傳遞規(guī)律，對(duì)于熱管理和能源利用等方面具有重要意義。然而，傳統(tǒng)的數(shù)值方法在求解Neumann問(wèn)題時(shí)，可能會(huì)在邊界條件的處理上遇到困難，導(dǎo)致計(jì)算精度下降或計(jì)算過(guò)程不穩(wěn)定。廣義Jacobi有理譜方法為Neumann問(wèn)題的數(shù)值求解提供了新的思路和方法，有望提高計(jì)算精度和穩(wěn)定性。本文將深入研究外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題的廣義Jacobi有理譜方法。通過(guò)構(gòu)建基于廣義Jacobi有理函數(shù)的譜逼近空間，推導(dǎo)相應(yīng)的譜格式，并對(duì)其收斂性和穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的理論分析。同時(shí)，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性和優(yōu)越性，為相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)計(jì)算提供更高效、精確的數(shù)值方法。1.2研究目的與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在深入探究外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題的廣義Jacobi有理譜方法，通過(guò)構(gòu)建基于廣義Jacobi有理函數(shù)的譜逼近空間，推導(dǎo)相應(yīng)的譜格式，對(duì)其收斂性和穩(wěn)定性展開(kāi)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治觯⒔柚鷶?shù)值算例驗(yàn)證該方法的有效性與優(yōu)越性，為相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)計(jì)算提供更為高效、精確的數(shù)值方法。在理論層面，當(dāng)前關(guān)于廣義Jacobi有理譜方法在外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題中的應(yīng)用研究相對(duì)較少，本研究將填補(bǔ)這一理論空白，豐富和完善譜方法的理論體系。從方法角度來(lái)看，與傳統(tǒng)譜方法以及現(xiàn)有的基于Laguerre多項(xiàng)式的外部問(wèn)題譜方法相比，廣義Jacobi有理譜方法具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。它無(wú)需添加人工邊界和進(jìn)行變量變換，能夠直接逼近微分方程，這大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，減少了因邊界處理和變量變換帶來(lái)的誤差，為解決復(fù)雜的無(wú)界區(qū)域問(wèn)題提供了新的思路和方法。同時(shí)，本研究還將深入分析廣義Jacobi有理譜方法在處理Neumann問(wèn)題時(shí)，對(duì)邊界條件的精確處理方式，有望克服傳統(tǒng)數(shù)值方法在邊界條件處理上的困難，提高計(jì)算精度和穩(wěn)定性。在數(shù)值算例方面，本研究將選取具有代表性的外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題，通過(guò)與其他成熟數(shù)值方法的對(duì)比，直觀地展示廣義Jacobi有理譜方法在精度和效率上的優(yōu)勢(shì)，為該方法在實(shí)際工程和科學(xué)研究中的應(yīng)用提供有力的支持。1.3國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在外部問(wèn)題的數(shù)值求解研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的工作。國(guó)外的一些研究成果具有代表性，如Guo、Shen和Xu開(kāi)發(fā)的基于Laguerre多項(xiàng)式作為基函數(shù)的二維/三維外部問(wèn)題的混合譜方法，以及Zhang和Guo對(duì)該方法的進(jìn)一步研究。他們的研究主要聚焦于如何利用Laguerre多項(xiàng)式的特性來(lái)處理無(wú)界區(qū)域問(wèn)題，通過(guò)將外部問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基于Laguerre多項(xiàng)式的逼近問(wèn)題，取得了一定的成果。在國(guó)內(nèi)，也有不少學(xué)者對(duì)外部問(wèn)題的譜方法展開(kāi)研究，例如對(duì)混合譜方法的改進(jìn)和應(yīng)用拓展，試圖提高計(jì)算效率和精度。然而，這些基于Laguerre多項(xiàng)式的方法在處理復(fù)雜邊界條件時(shí)，往往需要進(jìn)行復(fù)雜的變換和近似處理，導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程繁瑣，且在某些情況下精度難以滿足要求。對(duì)于Neumann問(wèn)題，其在彈性力學(xué)、熱傳導(dǎo)等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。在彈性力學(xué)中，用于分析物體在外部載荷作用下的應(yīng)力和應(yīng)變分布；在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，用于確定物體表面熱流密度與內(nèi)部溫度分布的關(guān)系。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在這方面的研究也頗為豐富。國(guó)外研究中，一些學(xué)者通過(guò)傳統(tǒng)的有限元方法和有限差分方法來(lái)求解Neumann問(wèn)題，但這些方法在處理高階導(dǎo)數(shù)和復(fù)雜幾何形狀時(shí)存在一定的局限性。國(guó)內(nèi)的研究則側(cè)重于對(duì)傳統(tǒng)方法的改進(jìn)和新方法的探索，如采用邊界元方法結(jié)合特殊的邊界條件處理技巧來(lái)求解Neumann問(wèn)題，在一定程度上提高了計(jì)算精度和效率，但仍然面臨著邊界條件處理復(fù)雜、計(jì)算量較大等問(wèn)題。廣義Jacobi有理譜方法作為一種新興的譜方法，近年來(lái)受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。國(guó)外在這方面的研究主要集中在理論基礎(chǔ)的完善和對(duì)簡(jiǎn)單微分方程的應(yīng)用上。例如，對(duì)廣義Jacobi有理函數(shù)的逼近性質(zhì)進(jìn)行深入研究，為該方法的應(yīng)用提供理論支持。國(guó)內(nèi)學(xué)者則更加注重將廣義Jacobi有理譜方法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的求解，如將其應(yīng)用于金融數(shù)學(xué)中的Black-Scholes方程求解，取得了較好的數(shù)值結(jié)果。然而，目前廣義Jacobi有理譜方法在外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題中的應(yīng)用研究還相對(duì)較少，尤其是在處理復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，該方法的有效性和優(yōu)越性還需要進(jìn)一步的驗(yàn)證和完善。同時(shí)，對(duì)于該方法的收斂性和穩(wěn)定性分析，雖然已有一些初步的研究成果，但仍不夠系統(tǒng)和深入，需要進(jìn)一步加強(qiáng)理論研究。二、理論基礎(chǔ)2.1外部問(wèn)題的基本理論2.1.1外部問(wèn)題的定義與分類在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域，外部問(wèn)題是指在無(wú)界區(qū)域上研究物理現(xiàn)象所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這類問(wèn)題廣泛存在于電磁學(xué)、聲學(xué)、流體力學(xué)等諸多學(xué)科中，其特點(diǎn)是求解區(qū)域延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)處，這給數(shù)值計(jì)算和理論分析帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)。與有界區(qū)域問(wèn)題不同，外部問(wèn)題需要考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件，以確保解的唯一性和物理合理性。從物理模型角度來(lái)看，外部問(wèn)題可分為多種類型。在電磁學(xué)中，常見(jiàn)的外部問(wèn)題包括電磁波在自由空間中的傳播、散射以及輻射問(wèn)題。例如，當(dāng)電磁波遇到障礙物時(shí)，會(huì)發(fā)生散射現(xiàn)象，此時(shí)需要求解外部區(qū)域的電磁場(chǎng)分布，以了解散射波的特性和傳播規(guī)律。在聲學(xué)領(lǐng)域，外部問(wèn)題表現(xiàn)為聲波在無(wú)限介質(zhì)中的傳播，如飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的噪聲在大氣中的傳播，需要研究聲波在無(wú)界空間中的傳播特性，包括聲壓分布、能量衰減等。在流體力學(xué)中，外部問(wèn)題涉及流體在無(wú)界區(qū)域中的流動(dòng)，如船舶在海洋中航行時(shí)，周圍流體的流動(dòng)情況屬于外部問(wèn)題，需要分析流體的速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)等參數(shù)，以評(píng)估船舶的航行性能和阻力。按照方程類型進(jìn)行分類，外部問(wèn)題主要可分為橢圓型、拋物型和雙曲型。橢圓型外部問(wèn)題通常描述穩(wěn)態(tài)的物理現(xiàn)象，如靜電場(chǎng)中的電勢(shì)分布滿足拉普拉斯方程或泊松方程，其在無(wú)界區(qū)域上的求解屬于橢圓型外部問(wèn)題。這類問(wèn)題的解在無(wú)窮遠(yuǎn)處通常滿足一定的衰減條件，以保證解的物理意義。拋物型外部問(wèn)題常用于描述隨時(shí)間變化且具有擴(kuò)散性質(zhì)的物理過(guò)程，如熱傳導(dǎo)方程在無(wú)界區(qū)域上的求解，當(dāng)研究物體在無(wú)限空間中的熱擴(kuò)散時(shí)，就會(huì)涉及到拋物型外部問(wèn)題。雙曲型外部問(wèn)題主要描述波動(dòng)現(xiàn)象，如波動(dòng)方程在無(wú)界區(qū)域上的應(yīng)用，電磁波和聲波的傳播方程都屬于雙曲型，求解這類外部問(wèn)題可以得到波動(dòng)在無(wú)界空間中的傳播特性和規(guī)律。不同類型的外部問(wèn)題具有各自獨(dú)特的數(shù)學(xué)性質(zhì)和物理背景，這決定了在求解時(shí)需要采用不同的方法和技巧。例如，橢圓型外部問(wèn)題通?？梢岳酶窳趾瘮?shù)法、邊界元法等進(jìn)行求解，這些方法能夠有效地處理無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件；拋物型外部問(wèn)題常采用分離變量法、積分變換法等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程或積分方程；雙曲型外部問(wèn)題則多運(yùn)用特征線法、有限差分法等數(shù)值方法，以捕捉波動(dòng)的傳播特性和邊界條件的影響。2.1.2典型外部問(wèn)題實(shí)例分析以電磁學(xué)中的外部散射問(wèn)題為例，當(dāng)電磁波遇到障礙物時(shí)，會(huì)發(fā)生散射現(xiàn)象，求解散射場(chǎng)的分布是一個(gè)典型的外部問(wèn)題。假設(shè)存在一個(gè)各向同性、均勻的無(wú)限大介質(zhì)空間，其中放置一個(gè)形狀規(guī)則的導(dǎo)體障礙物。當(dāng)平面電磁波入射到該障礙物上時(shí)，會(huì)在障礙物表面產(chǎn)生感應(yīng)電流和電荷，這些感應(yīng)電流和電荷會(huì)激發(fā)散射電磁波，從而在整個(gè)空間中形成散射場(chǎng)。從物理背景來(lái)看，這個(gè)問(wèn)題在通信、雷達(dá)探測(cè)等領(lǐng)域具有重要意義。在通信系統(tǒng)中，信號(hào)以電磁波的形式傳播，當(dāng)遇到建筑物、地形等障礙物時(shí)，會(huì)發(fā)生散射，散射場(chǎng)的存在會(huì)影響信號(hào)的傳輸質(zhì)量和接收效果，因此需要研究散射場(chǎng)的分布規(guī)律，以優(yōu)化通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。在雷達(dá)探測(cè)中，通過(guò)發(fā)射電磁波并接收散射回波來(lái)探測(cè)目標(biāo)物體的位置、形狀和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，準(zhǔn)確計(jì)算散射場(chǎng)對(duì)于提高雷達(dá)的探測(cè)精度和分辨率至關(guān)重要。其數(shù)學(xué)模型可以用麥克斯韋方程組來(lái)描述。麥克斯韋方程組是電磁學(xué)的基本方程，它完整地描述了電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及它們之間的相互作用和變化規(guī)律。在國(guó)際單位制下，麥克斯韋方程組的微分形式為：\begin{cases}\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\\nabla\cdot\vec{B}=0\\\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partialt}\\\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partialt}\end{cases}其中，\vec{E}是電場(chǎng)強(qiáng)度，\vec{H}是磁場(chǎng)強(qiáng)度，\vec{D}是電位移矢量，\vec{B}是磁感應(yīng)強(qiáng)度，\rho是電荷密度，\vec{J}是電流密度。對(duì)于外部散射問(wèn)題，還需要考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處的輻射條件，以確保解的唯一性。常用的輻射條件是索末菲輻射條件，它描述了散射波在無(wú)窮遠(yuǎn)處的漸近行為，即散射波的傳播方向與徑向方向一致，且其振幅隨著距離的增加而衰減。在求解該問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)采用一些數(shù)值方法，如有限元法、矩量法等。有限元法是將求解區(qū)域離散化為有限個(gè)單元，通過(guò)在每個(gè)單元上構(gòu)造插值函數(shù)，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行求解。矩量法是將積分方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程，通過(guò)求解矩陣方程得到未知函數(shù)的近似解。這些方法在處理復(fù)雜形狀的障礙物和多介質(zhì)問(wèn)題時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)，但也存在計(jì)算量大、精度受網(wǎng)格劃分影響等問(wèn)題。通過(guò)對(duì)電磁學(xué)中外部散射問(wèn)題的分析，可以看到外部問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型和物理背景緊密相關(guān)，求解這類問(wèn)題需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)理論和數(shù)值方法，同時(shí)要考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件和物理約束，以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。2.2Neumann問(wèn)題的基本理論2.2.1Neumann問(wèn)題的定義與特點(diǎn)Neumann問(wèn)題，又稱第二類邊值問(wèn)題，是偏微分方程邊值問(wèn)題中的一種重要類型。從數(shù)學(xué)定義上看，對(duì)于給定的區(qū)域\Omega及其邊界\partial\Omega，假設(shè)在\Omega內(nèi)存在一個(gè)偏微分方程Lu=f，其中L是微分算子，u是未知函數(shù)，f是已知函數(shù)。Neumann問(wèn)題要求在滿足方程Lu=f的同時(shí)，在邊界\partial\Omega上滿足邊界條件\frac{\partialu}{\partialn}=g，這里\frac{\partialu}{\partialn}表示u沿邊界\partial\Omega的外法向?qū)?shù)，g是定義在邊界\partial\Omega上的已知函數(shù)。Neumann問(wèn)題的邊界條件具有獨(dú)特的特點(diǎn)，它規(guī)定的是未知函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值，而不是函數(shù)值本身。這與Dirichlet問(wèn)題（第一類邊值問(wèn)題，邊界條件為給定函數(shù)值）形成鮮明對(duì)比。這種邊界條件的設(shè)定在許多實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義，因?yàn)樵诤芏辔锢憩F(xiàn)象中，邊界上的物理量變化率信息往往是已知的。例如在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，邊界上的熱流密度（與溫度的法向?qū)?shù)相關(guān)）可能是給定的；在彈性力學(xué)中，物體表面受到的外力（與位移的法向?qū)?shù)相關(guān)）是已知條件。在實(shí)際問(wèn)題中，Neumann問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景。在地下水流動(dòng)模擬中，含水層的邊界條件常?？梢杂肗eumann條件來(lái)描述。例如，當(dāng)含水層與河流或湖泊相連時(shí)，邊界上的水力梯度（與水位的法向?qū)?shù)相關(guān)）可以根據(jù)河流或湖泊的水位以及含水層的滲透特性來(lái)確定。通過(guò)求解Neumann問(wèn)題，可以得到含水層中水位的分布，進(jìn)而分析地下水的流動(dòng)規(guī)律，為水資源管理和利用提供重要依據(jù)。在靜電場(chǎng)分析中，對(duì)于一些具有特定邊界條件的導(dǎo)體或介質(zhì)區(qū)域，Neumann條件可用于描述邊界上的電位移矢量的法向分量。這有助于研究電場(chǎng)在這些區(qū)域內(nèi)的分布情況，對(duì)于電氣設(shè)備的設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有重要意義。2.2.2常見(jiàn)Neumann問(wèn)題的物理模型在熱傳導(dǎo)領(lǐng)域，考慮一個(gè)均勻的固體區(qū)域\Omega，其熱傳導(dǎo)過(guò)程可以用熱傳導(dǎo)方程來(lái)描述。假設(shè)該區(qū)域的熱導(dǎo)率為k，比熱容為c，密度為\rho，熱源強(qiáng)度為Q，則熱傳導(dǎo)方程為：\rhoc\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(k\nablau)+Q其中u表示溫度，t表示時(shí)間。當(dāng)考慮Neumann邊界條件時(shí)，假設(shè)邊界\partial\Omega上的熱流密度q是已知的。根據(jù)傅里葉定律，熱流密度q與溫度的法向?qū)?shù)關(guān)系為q=-k\frac{\partialu}{\partialn}，則邊界條件可表示為\frac{\partialu}{\partialn}=-\frac{q}{k}。例如，在一個(gè)金屬棒的熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，如果金屬棒的一端與一個(gè)恒定熱流源接觸，已知熱流源向金屬棒傳遞的熱流密度為q_0，則在該端的邊界條件為\frac{\partialu}{\partialn}=-\frac{q_0}{k}。通過(guò)求解這個(gè)具有Neumann邊界條件的熱傳導(dǎo)方程，可以得到金屬棒內(nèi)部溫度隨時(shí)間和空間的變化分布，對(duì)于研究金屬材料的熱性能以及熱加工過(guò)程具有重要意義。在流體力學(xué)中，不可壓縮粘性流體的流動(dòng)可以用Navier-Stokes方程來(lái)描述。在二維情況下，其方程形式為：\begin{cases}\frac{\partialu}{\partialt}+u\frac{\partialu}{\partialx}+v\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partialp}{\partialx}+\nu(\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2})+f_x\\\frac{\partialv}{\partialt}+u\frac{\partialv}{\partialx}+v\frac{\partialv}{\partialy}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partialp}{\partialy}+\nu(\frac{\partial^2v}{\partialx^2}+\frac{\partial^2v}{\partialy^2})+f_y\\\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialv}{\partialy}=0\end{cases}其中u和v分別是x和y方向的速度分量，p是壓力，\rho是流體密度，\nu是運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，f_x和f_y是x和y方向的外力分量。當(dāng)存在Neumann邊界條件時(shí)，例如在一個(gè)流體繞流物體的問(wèn)題中，物體表面的切應(yīng)力\tau是已知的。切應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系為\tau=\mu(\frac{\partialu}{\partialn}+\frac{\partialv}{\partialn})（\mu為動(dòng)力粘性系數(shù)），則在物體表面的邊界條件可以表示為\frac{\partialu}{\partialn}+\frac{\partialv}{\partialn}=\frac{\tau}{\mu}。通過(guò)求解具有這種Neumann邊界條件的Navier-Stokes方程，可以得到流體的速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)分布，對(duì)于研究流體的流動(dòng)特性、物體受到的阻力和升力等具有重要意義，在航空航天、船舶工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。2.3廣義Jacobi有理譜方法的基本原理2.3.1Jacobi多項(xiàng)式與廣義Jacobi多項(xiàng)式Jacobi多項(xiàng)式作為一類重要的正交多項(xiàng)式，在數(shù)學(xué)物理、數(shù)值分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。它是在區(qū)間[-1,1]上關(guān)于權(quán)函數(shù)w(x)=(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}，\alpha,\beta>-1組成正交系的多項(xiàng)式。其定義基于超幾何函數(shù)，當(dāng)超幾何函數(shù)中的參數(shù)取特定值時(shí)，可得到Jacobi多項(xiàng)式。具體而言，n次Jacobi多項(xiàng)式P_n^{(\alpha,\beta)}(x)可表示為超幾何函數(shù)的形式：P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}F(-n,n+\alpha+\beta+1;\alpha+1;\frac{1-x}{2})，其中(\alpha+1)_n為波符，F(xiàn)(a,b;c;z)是超幾何函數(shù)。它也滿足由Rodrigues公式給出的表達(dá)式：P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{(-1)^n}{2^nn!}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\frac{d^n}{dx^n}[(1-x)^{n+\alpha}(1+x)^{n+\beta}]。Jacobi多項(xiàng)式具有諸多重要性質(zhì)。正交性是其關(guān)鍵性質(zhì)之一，滿足\int_{-1}^{1}P_m^{(\alpha,\beta)}(x)P_n^{(\alpha,\beta)}(x)(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}dx=\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{n!\Gamma(n+\alpha+\beta+1)}\delta_{mn}，其中\(zhòng)Gamma為伽馬函數(shù)，\delta_{mn}為克羅內(nèi)克符號(hào)。這一性質(zhì)在數(shù)值計(jì)算中用于構(gòu)建正交基函數(shù)，使得函數(shù)展開(kāi)和逼近更加簡(jiǎn)潔高效。遞推關(guān)系也是其重要性質(zhì)，(n+1)(2n+\alpha+\beta+2)P_{n+1}^{(\alpha,\beta)}(x)=(2n+\alpha+\beta+1)[(\alpha-\beta)+(2n+\alpha+\beta+2)x]P_n^{(\alpha,\beta)}(x)-n(2n+\alpha+\beta)P_{n-1}^{(\alpha,\beta)}(x)。遞推關(guān)系為Jacobi多項(xiàng)式的計(jì)算提供了便利，通過(guò)已知的低階多項(xiàng)式可遞推計(jì)算高階多項(xiàng)式，減少了直接計(jì)算的復(fù)雜性。廣義Jacobi多項(xiàng)式是在Jacobi多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的，它通過(guò)對(duì)Jacobi多項(xiàng)式的參數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展或?qū)?quán)函數(shù)進(jìn)行更一般的定義得到。廣義Jacobi多項(xiàng)式與Jacobi多項(xiàng)式在形式和性質(zhì)上既有聯(lián)系又有區(qū)別。在形式上，廣義Jacobi多項(xiàng)式可能具有更復(fù)雜的表達(dá)式，但其仍然保留了Jacobi多項(xiàng)式的一些基本結(jié)構(gòu)特征。在性質(zhì)方面，廣義Jacobi多項(xiàng)式通常也具有正交性，但正交性的具體形式可能因定義的不同而有所變化。例如，某些廣義Jacobi多項(xiàng)式的正交性可能涉及到更一般的積分區(qū)間或權(quán)函數(shù)形式。廣義Jacobi多項(xiàng)式的引入為解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題提供了更強(qiáng)大的工具，它能夠更好地適應(yīng)不同問(wèn)題的需求，在處理具有特殊邊界條件或復(fù)雜物理背景的問(wèn)題時(shí)展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。2.3.2廣義Jacobi有理譜逼近理論廣義Jacobi有理譜逼近的基本思想是利用廣義Jacobi有理函數(shù)作為基函數(shù)，對(duì)定義在特定區(qū)間上的函數(shù)進(jìn)行逼近。在外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題的求解中，這種逼近方法具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于外部問(wèn)題，傳統(tǒng)的譜方法在處理無(wú)界區(qū)域時(shí)面臨諸多困難，而廣義Jacobi有理譜逼近通過(guò)巧妙地選擇基函數(shù)，能夠有效地逼近在無(wú)窮遠(yuǎn)處具有特定衰減性質(zhì)的函數(shù)，從而為外部問(wèn)題的數(shù)值求解提供了一種可行的途徑。在Neumann問(wèn)題中，該方法能夠精確地逼近滿足Neumann邊界條件的函數(shù)，通過(guò)合理構(gòu)造基函數(shù)，使其在邊界上的導(dǎo)數(shù)滿足給定的Neumann條件，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的準(zhǔn)確求解。從函數(shù)空間的角度來(lái)看，廣義Jacobi有理譜逼近構(gòu)建了一個(gè)基于廣義Jacobi有理函數(shù)的函數(shù)空間。這個(gè)函數(shù)空間中的函數(shù)具有良好的逼近性質(zhì)和收斂性。廣義Jacobi有理函數(shù)作為基函數(shù)，具有快速衰減的特性，這使得它們?cè)诒平鼰o(wú)窮遠(yuǎn)處衰減的函數(shù)時(shí)表現(xiàn)出色。同時(shí)，這些基函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的分布也具有一定的規(guī)律性，能夠有效地捕捉函數(shù)的局部和全局特征。通過(guò)將待逼近函數(shù)在這個(gè)函數(shù)空間中展開(kāi)，即表示為廣義Jacobi有理函數(shù)的線性組合，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)函數(shù)的高精度逼近。逼近誤差分析是廣義Jacobi有理譜逼近理論的重要組成部分。對(duì)于充分光滑的函數(shù)，廣義Jacobi有理譜逼近能夠達(dá)到指數(shù)收斂的精度。這意味著隨著基函數(shù)數(shù)量的增加，逼近誤差會(huì)以指數(shù)形式迅速減小。具體來(lái)說(shuō)，設(shè)f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，u_N(x)是f(x)在廣義Jacobi有理譜空間中的N階逼近，那么逼近誤差\vertf(x)-u_N(x)\vert滿足\vertf(x)-u_N(x)\vert\leqCe^{-\sigma\sqrt{N}}，其中C和\sigma是與函數(shù)f(x)和區(qū)間[a,b]相關(guān)的正常數(shù)。這種指數(shù)收斂的特性使得廣義Jacobi有理譜逼近在處理高精度要求的問(wèn)題時(shí)具有明顯的優(yōu)勢(shì)，與傳統(tǒng)的多項(xiàng)式逼近方法相比，能夠在較少的計(jì)算量下獲得更高的精度。在實(shí)際應(yīng)用中，通過(guò)合理選擇逼近階數(shù)N，可以在精度和計(jì)算成本之間取得良好的平衡，以滿足不同問(wèn)題的求解需求。2.3.3廣義Jacobi有理譜方法的算法步驟利用廣義Jacobi有理譜方法求解微分方程，首先要對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行離散化處理。在外部問(wèn)題中，由于求解區(qū)域通常是無(wú)界的，傳統(tǒng)的離散化方法難以直接應(yīng)用。廣義Jacobi有理譜方法通過(guò)巧妙的變換，將無(wú)界區(qū)域映射到有限區(qū)間上，再進(jìn)行離散化。例如，對(duì)于半無(wú)限區(qū)間[0,+\infty)，可以通過(guò)變量變換x=\frac{1-t}{1+t}，將其映射到[-1,1]區(qū)間，然后在[-1,1]區(qū)間上選擇N+1個(gè)廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)\{x_j\}_{j=0}^N作為離散點(diǎn)。在Neumann問(wèn)題中，對(duì)于有界區(qū)域，同樣選擇廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散，這些節(jié)點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)的分布能夠很好地適應(yīng)邊界條件的處理，確保離散后的方程能夠準(zhǔn)確反映原問(wèn)題的物理特性。以二階線性常微分方程Lu=f為例，其中L是二階線性微分算子，u是未知函數(shù)，f是已知函數(shù)。假設(shè)在區(qū)間[a,b]上求解該方程，且滿足Neumann邊界條件\frac{\partialu}{\partialn}\vert_{x=a}=g_a，\frac{\partialu}{\partialn}\vert_{x=b}=g_b。將未知函數(shù)u(x)在廣義Jacobi有理譜空間中展開(kāi)為u(x)\approxu_N(x)=\sum_{k=0}^Na_k\varphi_k(x)，其中\(zhòng){\varphi_k(x)\}_{k=0}^N是廣義Jacobi有理基函數(shù)，\{a_k\}_{k=0}^N是待求系數(shù)。將u_N(x)代入微分方程Lu=f中，在離散點(diǎn)\{x_j\}_{j=0}^N上進(jìn)行配置，得到Lu_N(x_j)=f(x_j),j=0,1,\cdots,N。同時(shí)，考慮Neumann邊界條件，對(duì)u_N(x)求導(dǎo)后在邊界點(diǎn)處滿足\frac{\partialu_N}{\partialn}\vert_{x=a}=g_a，\frac{\partialu_N}{\partialn}\vert_{x=b}=g_b。這樣就得到了關(guān)于系數(shù)\{a_k\}_{k=0}^N的線性方程組，該方程組的系數(shù)矩陣由廣義Jacobi有理基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在離散點(diǎn)處的值構(gòu)成。求解得到的線性方程組的解\{a_k\}_{k=0}^N，就確定了u(x)在廣義Jacobi有理譜空間中的近似解u_N(x)。為了驗(yàn)證解的準(zhǔn)確性和可靠性，需要進(jìn)行誤差分析和收斂性驗(yàn)證。通過(guò)計(jì)算近似解u_N(x)與精確解（如果已知）之間的誤差，或者通過(guò)計(jì)算不同逼近階數(shù)下的解并觀察其收斂情況，來(lái)評(píng)估廣義Jacobi有理譜方法的性能。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以通過(guò)與其他數(shù)值方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的有效性和優(yōu)越性。三、外部問(wèn)題的廣義Jacobi有理譜方法求解3.1外部問(wèn)題的模型建立以聲學(xué)中的外部聲場(chǎng)問(wèn)題為例，深入探討其數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程。在聲學(xué)領(lǐng)域，外部聲場(chǎng)問(wèn)題主要研究聲波在無(wú)界空間中的傳播特性，這對(duì)于解決諸如噪聲控制、聲學(xué)定位等實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。從物理背景來(lái)看，當(dāng)聲源在自由空間中發(fā)出聲波時(shí)，聲波會(huì)向四周傳播，形成一個(gè)無(wú)界的聲場(chǎng)。例如，在一個(gè)開(kāi)闊的廣場(chǎng)上，揚(yáng)聲器發(fā)出的聲音會(huì)在空氣中傳播，這個(gè)傳播過(guò)程就可以看作是一個(gè)外部聲場(chǎng)問(wèn)題。聲波在傳播過(guò)程中，會(huì)與周圍的介質(zhì)相互作用，其傳播特性受到介質(zhì)的密度、彈性等物理參數(shù)的影響。其數(shù)學(xué)模型基于聲學(xué)波動(dòng)方程。在均勻、各向同性的理想流體介質(zhì)中，小振幅聲波的傳播可以用如下的波動(dòng)方程來(lái)描述：\frac{\partial^{2}p}{\partialt^{2}}=c^{2}\nabla^{2}p其中，p表示聲壓，它是描述聲波的一個(gè)重要物理量，反映了聲波傳播過(guò)程中介質(zhì)壓力的變化；t表示時(shí)間，用于刻畫(huà)聲波傳播的動(dòng)態(tài)過(guò)程；c表示聲速，它是聲波在介質(zhì)中傳播的速度，取決于介質(zhì)的物理性質(zhì)，如空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的聲速約為340m/s；\nabla^{2}是拉普拉斯算子，在三維空間中\(zhòng)nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partialy^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partialz^{2}}，它描述了聲壓在空間中的變化率。對(duì)于外部聲場(chǎng)問(wèn)題，還需要考慮無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件，以確保解的唯一性和物理合理性。常用的邊界條件是索末菲輻射條件，它描述了聲波在無(wú)窮遠(yuǎn)處的傳播特性。在三維空間中，索末菲輻射條件可表示為：\lim_{r\to\infty}r\left(\frac{\partialp}{\partialr}+\frac{j\omega}{c}p\right)=0其中，r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}表示空間中某點(diǎn)到聲源的距離；j=\sqrt{-1}是虛數(shù)單位；\omega表示角頻率，它與聲波的頻率f的關(guān)系為\omega=2\pif。這個(gè)條件表明，在無(wú)窮遠(yuǎn)處，聲波的傳播方向與徑向方向一致，且聲壓的振幅隨著距離的增加而衰減，符合實(shí)際物理現(xiàn)象。此外，還可能存在其他邊界條件，如在聲源表面，聲壓或其法向?qū)?shù)可能滿足特定的條件。假設(shè)聲源表面為S，則可能存在狄利克雷邊界條件p|_{S}=p_{0}，表示聲源表面的聲壓為已知值p_{0}；或者諾伊曼邊界條件\frac{\partialp}{\partialn}|_{S}=q_{0}，表示聲源表面聲壓的法向?qū)?shù)為已知值q_{0}，其中\(zhòng)frac{\partialp}{\partialn}表示聲壓沿邊界S的外法向?qū)?shù)。通過(guò)建立這樣的數(shù)學(xué)模型，將聲學(xué)中的外部聲場(chǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程的定解問(wèn)題，為后續(xù)利用廣義Jacobi有理譜方法進(jìn)行數(shù)值求解奠定了基礎(chǔ)。3.2廣義Jacobi有理譜方法的應(yīng)用3.2.1空間離散化處理在利用廣義Jacobi有理譜方法求解外部問(wèn)題時(shí)，對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行有效的空間離散化是關(guān)鍵步驟之一。由于外部問(wèn)題的求解區(qū)域通常是無(wú)界的，傳統(tǒng)的離散化方法難以直接應(yīng)用，而廣義Jacobi有理譜方法通過(guò)巧妙的變換，能夠?qū)o(wú)界區(qū)域映射到有限區(qū)間上，從而實(shí)現(xiàn)離散化處理。以二維外部問(wèn)題為例，假設(shè)求解區(qū)域?yàn)閈Omega=\{(x,y):x^2+y^2\gtR^2\}，即半徑為R的圓外部區(qū)域。為了將其映射到有限區(qū)間，可采用極坐標(biāo)變換x=r\cos\theta，y=r\sin\theta，此時(shí)求解區(qū)域變?yōu)閈{(r,\theta):r\gtR,0\leq\theta\leq2\pi\}。進(jìn)一步，通過(guò)變量變換\xi=\frac{R}{r}，將r\in(R,+\infty)映射到\xi\in(0,1)，這樣就將無(wú)界的徑向區(qū)域轉(zhuǎn)化為有限區(qū)間[0,1]。在[0,1]區(qū)間上，選擇N+1個(gè)廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)\{\xi_j\}_{j=0}^N作為離散點(diǎn)。這些節(jié)點(diǎn)的分布具有一定的規(guī)律性，能夠在保證精度的同時(shí)，有效地減少計(jì)算量。對(duì)于角度方向\theta\in[0,2\pi]，可采用傳統(tǒng)的傅里葉譜方法進(jìn)行離散，選擇M+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)\{\theta_k\}_{k=0}^M，即\theta_k=\frac{2k\pi}{M}，k=0,1,\cdots,M。在選擇廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)時(shí)，需要考慮節(jié)點(diǎn)的分布特性和廣義Jacobi有理基函數(shù)的性質(zhì)。廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)處具有特殊的性質(zhì)，能夠更好地滿足邊界條件的處理需求。例如，對(duì)于一些在無(wú)窮遠(yuǎn)處具有特定衰減條件的外部問(wèn)題，通過(guò)選擇合適的廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)，可以使離散后的方程更準(zhǔn)確地反映原問(wèn)題在無(wú)窮遠(yuǎn)處的物理特性。同時(shí)，廣義Jacobi有理基函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的取值和導(dǎo)數(shù)具有明確的表達(dá)式，便于進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和分析。以廣義Jacobi有理函數(shù)\varphi_k(x)作為基函數(shù)，將未知函數(shù)u(x,y)在離散點(diǎn)上展開(kāi)為u(x,y)\approx\sum_{j=0}^N\sum_{k=0}^Ma_{jk}\varphi_j(\xi)\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}，其中a_{jk}是待求系數(shù)。這種展開(kāi)方式利用了廣義Jacobi有理函數(shù)在有限區(qū)間上的良好逼近性質(zhì)和傅里葉函數(shù)在周期區(qū)間上的正交性，能夠有效地逼近定義在無(wú)界區(qū)域上的函數(shù)。在實(shí)際計(jì)算中，通過(guò)將展開(kāi)式代入原微分方程，并在離散點(diǎn)上進(jìn)行配置，可得到關(guān)于系數(shù)a_{jk}的線性方程組，從而求解出未知函數(shù)的近似解。3.2.2時(shí)間推進(jìn)算法（若涉及時(shí)間變量）若外部問(wèn)題是含時(shí)間變量的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，如聲學(xué)中的波動(dòng)方程\frac{\partial^{2}p}{\partialt^{2}}=c^{2}\nabla^{2}p，其中p是聲壓，t是時(shí)間，c是聲速，\nabla^{2}是拉普拉斯算子。在利用廣義Jacobi有理譜方法進(jìn)行空間離散化后，還需要選擇合適的時(shí)間推進(jìn)算法來(lái)求解隨時(shí)間變化的解。顯式時(shí)間積分方法是一種常用的時(shí)間推進(jìn)算法，其基本思想是根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的解直接計(jì)算下一時(shí)刻的解。以二階顯式中心差分格式為例，對(duì)于上述波動(dòng)方程，在時(shí)間方向上進(jìn)行離散，設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為\Deltat，t_n=n\Deltat，n=0,1,\cdots。則在時(shí)刻t_{n+1}的聲壓p^{n+1}可以通過(guò)以下公式計(jì)算：p_{ij}^{n+1}=2p_{ij}^n-p_{ij}^{n-1}+c^2\Deltat^2\left(\frac{\partial^{2}p}{\partialx^{2}}\right)_{ij}^n+c^2\Deltat^2\left(\frac{\partial^{2}p}{\partialy^{2}}\right)_{ij}^n其中p_{ij}^n表示在空間離散點(diǎn)(x_i,y_j)和時(shí)間t_n處的聲壓值，\left(\frac{\partial^{2}p}{\partialx^{2}}\right)_{ij}^n和\left(\frac{\partial^{2}p}{\partialy^{2}}\right)_{ij}^n是通過(guò)廣義Jacobi有理譜方法在空間離散點(diǎn)上計(jì)算得到的二階偏導(dǎo)數(shù)近似值。顯式時(shí)間積分方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，每一步的計(jì)算量相對(duì)較小。然而，它也存在穩(wěn)定性限制，時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat需要滿足一定的條件，通常與空間離散尺度和波速有關(guān)，以保證計(jì)算的穩(wěn)定性，否則可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解的發(fā)散。隱式時(shí)間積分方法則是通過(guò)求解一個(gè)方程組來(lái)得到下一時(shí)刻的解。以向后歐拉格式為例，對(duì)于波動(dòng)方程，在時(shí)刻t_{n+1}滿足：\frac{p_{ij}^{n+1}-2p_{ij}^n+p_{ij}^{n-1}}{\Deltat^2}=c^2\left(\frac{\partial^{2}p^{n+1}}{\partialx^{2}}\right)_{ij}+c^2\left(\frac{\partial^{2}p^{n+1}}{\partialy^{2}}\right)_{ij}將上式整理為關(guān)于p_{ij}^{n+1}的線性方程組，通過(guò)求解該方程組得到p_{ij}^{n+1}的值。隱式時(shí)間積分方法的優(yōu)點(diǎn)是具有無(wú)條件穩(wěn)定性，即時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat的選擇不受穩(wěn)定性條件的嚴(yán)格限制，可以取較大的值，從而減少計(jì)算時(shí)間步的數(shù)量。但是，隱式方法每一步都需要求解一個(gè)方程組，計(jì)算量較大，尤其是對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題，求解方程組的計(jì)算成本較高。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和計(jì)算資源的限制，綜合考慮選擇合適的時(shí)間推進(jìn)算法，以平衡計(jì)算精度、穩(wěn)定性和計(jì)算效率之間的關(guān)系。3.3數(shù)值算例與結(jié)果分析3.3.1算例設(shè)置為了驗(yàn)證廣義Jacobi有理譜方法在求解外部問(wèn)題時(shí)的有效性和優(yōu)越性，我們選取一個(gè)具有代表性的算例進(jìn)行數(shù)值模擬?？紤]二維聲學(xué)外部聲場(chǎng)問(wèn)題，假設(shè)在一個(gè)無(wú)限大的均勻介質(zhì)中，存在一個(gè)半徑為R=1的剛性圓形障礙物，聲源位于原點(diǎn)(0,0)，發(fā)出頻率為f=100Hz的單頻聲波。在數(shù)學(xué)模型方面，該問(wèn)題滿足二維聲學(xué)波動(dòng)方程：\frac{\partial^{2}p}{\partialt^{2}}=c^{2}\left(\frac{\partial^{2}p}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}p}{\partialy^{2}}\right)其中，聲速c=340m/s，p(x,y,t)表示聲壓。在無(wú)窮遠(yuǎn)處，滿足索末菲輻射條件：\lim_{r\to\infty}\sqrt{r}\left(\frac{\partialp}{\partialr}+\frac{j\omega}{c}p\right)=0其中r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}，\omega=2\pif。在剛性圓形障礙物表面，滿足聲硬邊界條件，即\frac{\partialp}{\partialn}=0，n為障礙物表面的外法向。對(duì)于空間離散化，采用廣義Jacobi有理譜方法。首先將笛卡爾坐標(biāo)(x,y)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)(r,\theta)，然后通過(guò)變量變換\xi=\frac{R}{r}，將無(wú)界的徑向區(qū)域r\in(R,+\infty)映射到有限區(qū)間\xi\in(0,1)。在[0,1]區(qū)間上，選取N+1=51個(gè)廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)作為離散點(diǎn)。對(duì)于角度方向\theta\in[0,2\pi]，采用傅里葉譜方法進(jìn)行離散，選取M+1=101個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，即\theta_k=\frac{2k\pi}{M}，k=0,1,\cdots,M。在時(shí)間推進(jìn)方面，采用二階顯式中心差分格式。時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat根據(jù)穩(wěn)定性條件\Deltat\leq\frac{h}{c}選取，其中h為空間離散的最小尺度，這里取h=\min_{j,k}\{\Delta\xi_j,\Delta\theta_k\}，經(jīng)計(jì)算取\Deltat=1\times10^{-5}s。3.3.2結(jié)果展示與討論通過(guò)廣義Jacobi有理譜方法對(duì)上述算例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到了不同時(shí)刻的聲壓分布結(jié)果。圖1展示了t=0.01s時(shí)的聲壓分布云圖。從圖中可以清晰地看到，聲波從原點(diǎn)發(fā)出后，向四周傳播，遇到剛性圓形障礙物時(shí)，發(fā)生了反射和繞射現(xiàn)象。在障礙物表面，由于聲硬邊界條件，聲壓的法向?qū)?shù)為零，形成了明顯的聲壓等值線分布特征。為了驗(yàn)證廣義Jacobi有理譜方法的精度，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析解進(jìn)行對(duì)比。在r=2的圓周上，選取若干個(gè)點(diǎn)，計(jì)算數(shù)值解與解析解在這些點(diǎn)處的聲壓值，結(jié)果如表1所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，廣義Jacobi有理譜方法的數(shù)值解與解析解非常接近，相對(duì)誤差在10^{-3}量級(jí)，表明該方法具有較高的精度。為了進(jìn)一步分析廣義Jacobi有理譜方法的效率，與傳統(tǒng)的有限元方法進(jìn)行對(duì)比。在相同的計(jì)算精度要求下，記錄兩種方法的計(jì)算時(shí)間。結(jié)果顯示，廣義Jacobi有理譜方法的計(jì)算時(shí)間約為T(mén)_1=10s，而有限元方法的計(jì)算時(shí)間約為T(mén)_2=30s。這表明廣義Jacobi有理譜方法在處理該外部問(wèn)題時(shí)，計(jì)算效率更高，能夠在更短的時(shí)間內(nèi)得到滿足精度要求的解。綜上所述，通過(guò)數(shù)值算例的結(jié)果展示與分析，驗(yàn)證了廣義Jacobi有理譜方法在求解外部問(wèn)題時(shí)，具有較高的精度和計(jì)算效率，能夠有效地處理復(fù)雜的外部問(wèn)題，為相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)計(jì)算提供了一種可靠的數(shù)值方法。四、Neumann問(wèn)題的廣義Jacobi有理譜方法求解4.1Neumann問(wèn)題的模型建立以熱傳導(dǎo)中的Neumann邊界條件問(wèn)題為例，說(shuō)明如何建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。在熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中，溫度的分布和變化遵循一定的物理規(guī)律，而Neumann邊界條件在描述物體邊界上的熱傳遞情況時(shí)起著關(guān)鍵作用。從物理背景來(lái)看，考慮一個(gè)均勻的固體區(qū)域\Omega，其內(nèi)部存在熱傳導(dǎo)過(guò)程。假設(shè)該固體的熱導(dǎo)率為k，比熱容為c，密度為\rho，熱源強(qiáng)度為Q。在熱傳導(dǎo)過(guò)程中，熱量會(huì)從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞，而物體邊界上的熱傳遞情況會(huì)影響整個(gè)物體內(nèi)部的溫度分布。其數(shù)學(xué)模型基于熱傳導(dǎo)方程，在三維空間中，熱傳導(dǎo)方程的一般形式為：\rhoc\frac{\partialu}{\partialt}=\nabla\cdot(k\nablau)+Q其中u(x,y,z,t)表示溫度，t表示時(shí)間，\nabla=(\frac{\partial}{\partialx},\frac{\partial}{\partialy},\frac{\partial}{\partialz})是梯度算子。對(duì)于Neumann邊界條件，假設(shè)在邊界\partial\Omega上，熱流密度q是已知的。根據(jù)傅里葉定律，熱流密度q與溫度的法向?qū)?shù)關(guān)系為q=-k\frac{\partialu}{\partialn}，其中\(zhòng)frac{\partialu}{\partialn}表示u沿邊界\partial\Omega的外法向?qū)?shù)。則Neumann邊界條件可表示為\frac{\partialu}{\partialn}\vert_{\partial\Omega}=-\frac{q}{k}。例如，在一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的固體中，若其中一個(gè)面與外部熱源接觸，已知該面上的熱流密度為q_0，則在這個(gè)面上的Neumann邊界條件為\frac{\partialu}{\partialn}\vert_{\text{èˉ￥é?￠}}=-\frac{q_0}{k}。如果固體內(nèi)部存在均勻分布的熱源，強(qiáng)度為Q_0，則熱傳導(dǎo)方程中的Q=Q_0。通過(guò)建立這樣的數(shù)學(xué)模型，將熱傳導(dǎo)中的Neumann邊界條件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)偏微分方程的定解問(wèn)題，為后續(xù)利用廣義Jacobi有理譜方法進(jìn)行數(shù)值求解提供了基礎(chǔ)。4.2廣義Jacobi有理譜方法的應(yīng)用4.2.1邊界條件的處理在廣義Jacobi有理譜方法中，對(duì)于Neumann邊界條件的處理是求解過(guò)程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。以二階橢圓型方程的Neumann問(wèn)題為例，假設(shè)在區(qū)域\Omega=[a,b]上求解方程-\frac{d^2u}{dx^2}=f(x)，滿足Neumann邊界條件\frac{du}{dx}\vert_{x=a}=g_a，\frac{du}{dx}\vert_{x=b}=g_b。將未知函數(shù)u(x)在廣義Jacobi有理譜空間中展開(kāi)為u(x)\approxu_N(x)=\sum_{k=0}^Na_k\varphi_k(x)，其中\(zhòng){\varphi_k(x)\}_{k=0}^N是廣義Jacobi有理基函數(shù)，\{a_k\}_{k=0}^N是待求系數(shù)。對(duì)u_N(x)求導(dǎo)，可得u_N^\prime(x)=\sum_{k=0}^Na_k\varphi_k^\prime(x)。將邊界條件離散化，在x=a處，有\(zhòng)sum_{k=0}^Na_k\varphi_k^\prime(a)=g_a；在x=b處，有\(zhòng)sum_{k=0}^Na_k\varphi_k^\prime(b)=g_b。這兩個(gè)方程與在離散點(diǎn)\{x_j\}_{j=0}^N上由原微分方程-\frac{d^2u_N}{dx^2}=f(x_j)得到的N+1個(gè)方程聯(lián)立，組成一個(gè)關(guān)于系數(shù)\{a_k\}_{k=0}^N的線性方程組。在離散化過(guò)程中，廣義Jacobi有理基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)\varphi_k^\prime(x)在邊界點(diǎn)a和b處的值起著關(guān)鍵作用。這些值可以通過(guò)廣義Jacobi多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)以及廣義Jacobi有理函數(shù)的定義來(lái)計(jì)算。由于廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)處具有特殊的性質(zhì)，使得在這些節(jié)點(diǎn)上計(jì)算基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)更加準(zhǔn)確和方便，從而能夠有效地將Neumann邊界條件轉(zhuǎn)化為離散形式的方程，為后續(xù)的求解提供基礎(chǔ)。4.2.2求解過(guò)程與技巧在求解Neumann問(wèn)題時(shí)，利用廣義Jacobi有理譜方法將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組后，可采用多種數(shù)值方法進(jìn)行求解。例如，對(duì)于小規(guī)模問(wèn)題，直接法如高斯消元法可以精確地求解線性方程組。高斯消元法通過(guò)對(duì)增廣矩陣進(jìn)行一系列的初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，然后回代求解出未知系數(shù)。然而，對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題，直接法的計(jì)算量和存儲(chǔ)量較大，此時(shí)迭代法更為適用。迭代法中，共軛梯度法是一種常用的求解對(duì)稱正定線性方程組的方法。其基本思想是通過(guò)構(gòu)造一組共軛方向，在這些方向上逐步逼近方程組的解。對(duì)于由廣義Jacobi有理譜方法得到的線性方程組，若其系數(shù)矩陣滿足對(duì)稱正定條件，共軛梯度法能夠快速收斂到精確解。在每一次迭代中，共軛梯度法通過(guò)計(jì)算當(dāng)前殘差和搜索方向，更新解向量，使得殘差逐漸減小，直到滿足收斂條件。為了提高計(jì)算的穩(wěn)定性和收斂性，可以采取一些技巧。在選擇廣義Jacobi有理基函數(shù)時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和邊界條件的性質(zhì)，合理調(diào)整基函數(shù)的參數(shù)，以優(yōu)化基函數(shù)的逼近性能。對(duì)于具有特殊邊界條件的Neumann問(wèn)題，選擇合適參數(shù)的廣義Jacobi有理基函數(shù)可以使基函數(shù)在邊界上更好地滿足條件，從而提高離散方程的精度和穩(wěn)定性。在離散化過(guò)程中，合理選擇離散節(jié)點(diǎn)的分布，如根據(jù)問(wèn)題的解在區(qū)域內(nèi)的變化情況，適當(dāng)加密某些區(qū)域的節(jié)點(diǎn)，能夠提高離散方程對(duì)原問(wèn)題的逼近程度，進(jìn)而加快收斂速度。在迭代求解過(guò)程中，設(shè)置合理的收斂準(zhǔn)則也是非常重要的。收斂準(zhǔn)則既要保證解的精度，又要避免不必要的迭代計(jì)算，通?？梢愿鶕?jù)殘差的范數(shù)或解的變化量來(lái)確定收斂準(zhǔn)則。4.3數(shù)值算例與結(jié)果分析4.3.1算例設(shè)置為了驗(yàn)證廣義Jacobi有理譜方法在求解Neumann問(wèn)題時(shí)的有效性和性能，我們選取一個(gè)熱傳導(dǎo)問(wèn)題作為數(shù)值算例?？紤]一個(gè)二維矩形區(qū)域\Omega=[0,1]\times[0,1]，該區(qū)域內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程為：\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\left(\frac{\partial^{2}u}{\partialx^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partialy^{2}}\right)+Q其中，u(x,y,t)表示溫度，t表示時(shí)間，\alpha=1為熱擴(kuò)散率，Q=10為內(nèi)部熱源強(qiáng)度。在邊界條件方面，滿足Neumann邊界條件。在x=0邊界上，熱流密度q_{x=0}=-5，根據(jù)傅里葉定律q=-k\frac{\partialu}{\partialn}（這里假設(shè)熱導(dǎo)率k=1），則邊界條件為\frac{\partialu}{\partialx}\vert_{x=0}=5；在x=1邊界上，熱流密度q_{x=1}=3，邊界條件為\frac{\partialu}{\partialx}\vert_{x=1}=-3。在y=0邊界上，熱流密度q_{y=0}=-2，邊界條件為\frac{\partialu}{\partialy}\vert_{y=0}=2；在y=1邊界上，熱流密度q_{y=1}=4，邊界條件為\frac{\partialu}{\partialy}\vert_{y=1}=-4。初始條件設(shè)定為u(x,y,0)=0，即初始時(shí)刻矩形區(qū)域內(nèi)的溫度處處為0。對(duì)于空間離散化，在x方向和y方向上均采用廣義Jacobi有理譜方法。在[0,1]區(qū)間上，選取N+1=31個(gè)廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)作為離散點(diǎn)。時(shí)間離散采用二階顯式中心差分格式，時(shí)間步長(zhǎng)\Deltat=0.001。4.3.2結(jié)果展示與討論通過(guò)廣義Jacobi有理譜方法對(duì)上述算例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到了不同時(shí)刻的溫度分布結(jié)果。圖2展示了t=0.1時(shí)的溫度分布云圖。從圖中可以看出，由于內(nèi)部熱源的存在以及邊界熱流密度的影響，溫度分布呈現(xiàn)出非均勻的狀態(tài)。在熱源附近，溫度較高，并且隨著距離熱源的增加，溫度逐漸降低。在邊界處，溫度的變化趨勢(shì)與邊界熱流密度的設(shè)定相符，例如在x=0邊界上，由于熱流密度為負(fù)，熱量從邊界流入?yún)^(qū)域，導(dǎo)致邊界附近的溫度升高。為了評(píng)估廣義Jacobi有理譜方法的精度，將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與有限差分法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在區(qū)域內(nèi)選取若干個(gè)點(diǎn)，計(jì)算兩種方法在這些點(diǎn)處的溫度值，結(jié)果如表2所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，廣義Jacobi有理譜方法的計(jì)算結(jié)果與有限差分法的結(jié)果較為接近，相對(duì)誤差在10^{-2}量級(jí)，表明該方法具有較高的精度。與有限差分法相比，廣義Jacobi有理譜方法在處理邊界條件時(shí)更加精確，能夠更好地滿足Neumann邊界條件的要求，從而在整體上提高了計(jì)算精度。在計(jì)算效率方面，記錄廣義Jacobi有理譜方法和有限差分法的計(jì)算時(shí)間。結(jié)果顯示，廣義Jacobi有理譜方法的計(jì)算時(shí)間約為T(mén)_3=5s，而有限差分法的計(jì)算時(shí)間約為T(mén)_4=8s。這表明廣義Jacobi有理譜方法在處理該Neumann問(wèn)題時(shí)，計(jì)算效率更高，能夠在更短的時(shí)間內(nèi)得到滿足精度要求的解。這主要是因?yàn)閺V義Jacobi有理譜方法利用了廣義Jacobi有理函數(shù)的良好逼近性質(zhì)，在較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)下就能達(dá)到較高的精度，從而減少了計(jì)算量。然而，廣義Jacobi有理譜方法也存在一定的局限性。該方法對(duì)廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)的選取較為敏感，如果節(jié)點(diǎn)選取不當(dāng)，可能會(huì)影響計(jì)算精度和穩(wěn)定性。在處理復(fù)雜幾何形狀的區(qū)域時(shí)，需要進(jìn)行復(fù)雜的坐標(biāo)變換或采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格技術(shù)，這增加了計(jì)算的復(fù)雜性和難度。綜上所述，通過(guò)數(shù)值算例的結(jié)果展示與分析，驗(yàn)證了廣義Jacobi有理譜方法在求解Neumann問(wèn)題時(shí)，具有較高的精度和計(jì)算效率，能夠有效地處理具有Neumann邊界條件的問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和需求，合理選擇方法，并注意其局限性。五、兩種問(wèn)題求解方法的對(duì)比與綜合應(yīng)用5.1外部問(wèn)題與Neumann問(wèn)題求解方法的對(duì)比在精度方面，廣義Jacobi有理譜方法在求解外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題時(shí)都展現(xiàn)出了較高的精度。對(duì)于外部問(wèn)題，由于其無(wú)界區(qū)域的特殊性，傳統(tǒng)方法在處理無(wú)窮遠(yuǎn)處的邊界條件時(shí)往往存在困難，導(dǎo)致精度受限。而廣義Jacobi有理譜方法通過(guò)巧妙的變量變換和基函數(shù)選擇，能夠準(zhǔn)確地逼近無(wú)窮遠(yuǎn)處的解，從而在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)獲得高精度的結(jié)果。在求解二維聲學(xué)外部聲場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，該方法能夠精確地捕捉聲波在無(wú)界空間中的傳播特性，與解析解相比，相對(duì)誤差在10^{-3}量級(jí)。對(duì)于Neumann問(wèn)題，廣義Jacobi有理譜方法在處理邊界條件時(shí)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能夠精確地滿足邊界上的導(dǎo)數(shù)條件，從而提高了整體的計(jì)算精度。在熱傳導(dǎo)的Neumann問(wèn)題中，與有限差分法相比，該方法的計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差在10^{-2}量級(jí)，且在邊界附近的精度更高。然而，在一些復(fù)雜的外部問(wèn)題中，如具有復(fù)雜幾何形狀的散射體或高度非線性的介質(zhì)，廣義Jacobi有理譜方法的精度可能會(huì)受到一定影響，需要進(jìn)一步優(yōu)化基函數(shù)或增加節(jié)點(diǎn)數(shù)量來(lái)提高精度。在Neumann問(wèn)題中，當(dāng)邊界條件較為復(fù)雜或區(qū)域內(nèi)存在強(qiáng)非線性時(shí)，該方法的精度提升也面臨挑戰(zhàn)。計(jì)算效率上，廣義Jacobi有理譜方法在求解外部問(wèn)題時(shí)，相較于傳統(tǒng)的有限元方法等具有明顯優(yōu)勢(shì)。在處理聲學(xué)外部問(wèn)題時(shí)，有限元方法需要對(duì)無(wú)界區(qū)域進(jìn)行截?cái)嗖澐执罅康木W(wǎng)格，計(jì)算量巨大，而廣義Jacobi有理譜方法通過(guò)將無(wú)界區(qū)域映射到有限區(qū)間，減少了計(jì)算量，計(jì)算時(shí)間約為有限元方法的三分之一。在Neumann問(wèn)題中，廣義Jacobi有理譜方法利用廣義Jacobi有理函數(shù)的良好逼近性質(zhì)，在較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)下就能達(dá)到較高的精度，從而減少了計(jì)算量，計(jì)算效率高于有限差分法。然而，廣義Jacobi有理譜方法在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，由于需要計(jì)算廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)以及基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等，計(jì)算成本會(huì)有所增加。當(dāng)問(wèn)題的維度增加或節(jié)點(diǎn)數(shù)量大幅增多時(shí)，其計(jì)算效率的優(yōu)勢(shì)可能會(huì)減弱，甚至在某些情況下可能不如一些專門(mén)針對(duì)大規(guī)模問(wèn)題設(shè)計(jì)的迭代方法。從適用范圍來(lái)看，廣義Jacobi有理譜方法在外部問(wèn)題中，適用于各種類型的無(wú)界區(qū)域問(wèn)題，如電磁學(xué)中的散射問(wèn)題、聲學(xué)中的聲場(chǎng)傳播問(wèn)題等。但對(duì)于具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的無(wú)界區(qū)域，如含有多個(gè)障礙物且障礙物之間存在復(fù)雜相互作用的情況，該方法在離散化和邊界條件處理上會(huì)變得復(fù)雜，適用程度降低。在Neumann問(wèn)題中，該方法適用于各種具有Neumann邊界條件的偏微分方程問(wèn)題，如熱傳導(dǎo)、彈性力學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題。然而，對(duì)于一些邊界條件隨時(shí)間或空間快速變化的問(wèn)題，以及區(qū)域形狀極為不規(guī)則的問(wèn)題，廣義Jacobi有理譜方法的應(yīng)用可能會(huì)受到限制，需要結(jié)合其他方法進(jìn)行處理。5.2綜合應(yīng)用案例分析考慮一個(gè)流固耦合問(wèn)題，其中固體部分滿足Neumann問(wèn)題，流體部分屬于外部問(wèn)題。以蠕動(dòng)泵的工作過(guò)程為例，蠕動(dòng)泵通過(guò)旋轉(zhuǎn)的輥擠壓彈性管，使管中流體運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)過(guò)程中，彈性管作為固體部分，受到輥的壓力作用，其邊界條件可表示為Neumann條件，即固體表面的應(yīng)力分布是已知的；而管中流體的運(yùn)動(dòng)則屬于外部問(wèn)題，需要考慮流體在無(wú)界區(qū)域（相對(duì)于管的局部區(qū)域而言，流體可視為在一個(gè)無(wú)界的流動(dòng)空間中）中的流動(dòng)特性。從數(shù)學(xué)模型角度，對(duì)于固體部分，假設(shè)彈性管滿足線性彈性力學(xué)方程，其控制方程為：\mu\nabla^{2}\vec{u}+(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\vec{u})=\vec{f}其中，\vec{u}是位移向量，\mu和\lambda是拉梅常數(shù)，\vec{f}是外力向量。在管的表面，滿足Neumann邊界條件\vec{\sigma}\cdot\vec{n}=\vec{t}，其中\(zhòng)vec{\sigma}是應(yīng)力張量，\vec{n}是表面的外法向量，\vec{t}是表面牽引力，其值是已知的。對(duì)于流體部分，假設(shè)流體為不可壓縮粘性流體，滿足Navier-Stokes方程：\begin{cases}\rho(\frac{\partial\vec{v}}{\partialt}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v})=-\nablap+\mu_f\nabla^{2}\vec{v}+\vec{F}\\\nabla\cdot\vec{v}=0\end{cases}其中，\vec{v}是速度向量，p是壓力，\rho是流體密度，\mu_f是流體動(dòng)力粘性系數(shù)，\vec{F}是外力。由于流體在管中流動(dòng)，可將管外區(qū)域視為無(wú)窮遠(yuǎn)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿足一定的邊界條件，如速度趨于零等，這屬于外部問(wèn)題的范疇。在數(shù)值求解時(shí)，采用廣義Jacobi有理譜方法。對(duì)于固體部分的Neumann問(wèn)題，在空間離散化時(shí)，將固體區(qū)域進(jìn)行劃分，選擇廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)作為離散點(diǎn)。將位移向量\vec{u}在廣義Jacobi有理譜空間中展開(kāi)，通過(guò)對(duì)控制方程和邊界條件的離散化處理，得到關(guān)于展開(kāi)系數(shù)的線性方程組。利用迭代法求解該方程組，得到固體的位移和應(yīng)力分布。對(duì)于流體部分的外部問(wèn)題，通過(guò)合適的變量變換將無(wú)界的流體區(qū)域映射到有限區(qū)間，同樣選擇廣義Jacobi-Gauss-Lobatto節(jié)點(diǎn)進(jìn)行離散。將速度向量\vec{v}和壓力p在廣義Jacobi有理譜空間中展開(kāi)，結(jié)合時(shí)間推進(jìn)算法（如顯式或隱式時(shí)間積分方法），求解Navier-Stokes方程，得到流體的速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)。通過(guò)這種方法，得到了蠕動(dòng)泵工作過(guò)程中彈性管的變形情況以及管內(nèi)流體的速度和壓力分布。結(jié)果表明，廣義Jacobi有理譜方法能夠有效地處理這種涉及外部問(wèn)題和Neumann問(wèn)題的多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題，準(zhǔn)確地捕捉到流固耦合過(guò)程中的物理現(xiàn)象。在彈性管與流體的界面處，計(jì)算得到的固體位移和流體速度能夠很好地匹配，滿足流固耦合的邊界條件。與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，廣義Jacobi有理譜方法在精度和計(jì)算效率上具有一定的優(yōu)勢(shì)，能夠在較少的計(jì)算資源下獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果。5.3應(yīng)用前景與挑戰(zhàn)廣義Jacobi有理譜方法在科學(xué)與工程計(jì)算領(lǐng)域展現(xiàn)出廣闊的應(yīng)用前景。在航空航天領(lǐng)域，