2/33.1.2空間向量的基本定理一、教學要求了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推論；掌握點在已知平面內(nèi)的充要條件；會用上述知識解決立體幾何中有關的簡單問題．二、教學重點點在已知平面內(nèi)的充要條件．三、教學難點對點在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運用．四、教學過程（一）復習引入1.空間向量的有關知識——共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間直線的向量表示式、中點公式。2.必修4《平面向量》，平面向量的一個重要定理——平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的任意一個向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（二）新課講授1.定義：共線向量定理兩個空間向量a,b(b≠0)，a//b的充要條件是存在唯一的實數(shù)x，使得a=xb.2.定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．3.討論：空間中任意三個向量一定是共面向量嗎？請舉例說明．結(jié)論：空間中的任意三個向量不一定是共面向量．例如：對于空間四邊形ABCD，、、這三個向量就不是共面向量．4.討論：空間三個向量具備怎樣的條件時才是共面向量呢？5.得出共面向量定理：如果兩個向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使得p=xa+yb．證明：必要性：由已知，兩個向量a、b不共線．∵向量p與向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一對有序?qū)崝?shù)對x，y，使得p=xa+yb．充分性：如圖，∵xa，yb分別與a、b共線，∴xa，yb都在a、b確定的平面內(nèi)．又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行四邊形在a、b確定的平面內(nèi)，∴p=xa+yb在a、b確定的平面內(nèi)，即向量p與向量a、b共面．說明：當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)．6.共面向量定理的推論是：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使得，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有．分析：(1)推論中的x、y是唯一的一對有序?qū)崝?shù)；(2)由得：，∴.如果向量、、分別和向量a、b、c共線，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc7.對空間任一向量，都可以構(gòu)造出平行六面體，由此得到了空間向量基本定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對于空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．證明：存在性：唯一性：設另有一組實數(shù)x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，則有xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y(tǒng)－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y(tǒng)’且z＝z’．故實數(shù)x、y、z是唯一的．8.由上述定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成，我們把｛a、b、c｝叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量．說明：(1)空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．(2)三個向量不共面就隱含著它們都不是零向量．（零向量與任意非零向量共線，與任意兩個非零向量共面）(3)一個基底是不共面的三個向量構(gòu)成的一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量．由定理的證明過程（