第1頁（共1頁）2021-2022學年廣東省廣州市南沙區(qū)八年級（上）期末數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。）1．（3分）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（）A．等腰三角形 B．平行四邊形 C．銳角三角形 D．等邊三角形2．（3分）下面的軸對稱圖形中，對稱軸數量最多的是（）A． B． C． D．3．（3分）下面的計算正確的是（）A．（ab）2＝ab2 B．（ab）2＝2ab C．a3?a4＝a12 D．（a3）4＝a124．（3分）當x＝﹣2時，下列分式沒有意義的是（）A．x-2x+2 B．xx-2 C．x+22x5．（3分）如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數是（）A．115° B．65° C．40° D．25°6．（3分）計算（2x﹣1）（x+2）的結果是（）A．2x2+x﹣2 B．2x2﹣2 C．2x2﹣3x﹣2 D．2x2+3x﹣27．（3分）設等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為10，則其周長為（）A．15 B．20 C．25 D．20或258．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，CD＝6，AB＝12，則△ABD的面積是（）A．18 B．24 C．36 D．729．（3分）如圖，將△ABC沿著DE減去一個角后得到四邊形BCED，若∠BDE和∠DEC的平分線交于點F，∠DFE＝α，則∠A的度數是（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．360°﹣α D．360°﹣2α10．（3分）若正整數m使關于x的分式方程m(x+2)(x-1)=xA．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。）11．（3分）紅細胞也稱紅血球，是血液中數量最多的一種血細胞，也是我們體內通過血液運送氧氣的最主要的媒介，同時還具有免疫功能．紅細胞的直徑單位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人類的紅細胞直徑通常是6μm～8μm．6μm用科學記數法可以表示為m．12．（3分）在一場足球比賽中，運動員甲、乙兩人與足球的距離分別是8m，17m，那么甲、乙兩人的距離d的范圍是．13．（3分）化簡：3y2x-2y+2xy14．（3分）把多項式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），則m+n的值是．15．（3分）如圖，在四邊形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB+∠DCB＝180°，DE⊥AB于點E，AB＝8，BC＝4，則BE的長度是．16．（3分）若|2x﹣4|+（y+3）2＝0，點A（x，y）關于x軸對稱的點為B，點B關于y軸對稱的點為C，則點C的坐標是．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟。）17．（4分）計算：（結果用冪的形式表示）3x2?x4﹣（﹣x3）2．18．（4分）已知一個正多邊形一個內角等于一個外角的3219．（6分）如圖，已知∠A＝∠C，AE、CF分別與BD交于點E、F．請你從下面三項中再選出兩個作為條件，另一個作為結論，寫出一個真命題，并加以證明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．20．（6分）如圖，在△ABC中，（1）尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線，交AB于點D，交AC于點E，連結CD．（2）若△BCD的周長等于18，AE＝4，求△ABC的周長．21．（8分）已知T=(m+4m+4（1）化簡T．（2）若m2+2m﹣3＝0，求此時T的值．22．（10分）為了響應打贏“藍天保衛(wèi)戰(zhàn)”的號召，黃老師上下班的交通方式由駕車改為騎自行車，黃老師家距離學校的路程是9千米，在相同的路線上，駕車的平均速度是騎自行車的平均速度的3倍，所以黃老師每天上班要比開車早出發(fā)20分鐘，才能按原駕車的時間到達學校．（1）求黃老師駕車的平均速度；（2）據測算，黃老師的汽車在上下班行駛過程中平均每小時碳排放量約為2.4千克，按這樣計算，求黃老師一天（按一個往返計算）可以減少的碳排放量．23．（10分）常見的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多項式既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過適當的調整能構成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因式，這種方法叫分組分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現，前三項符合完全平方公式，分解后與后面的部分結合起來又符合平方差公式，可以繼續(xù)分解，過程為：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一種獨立的因式分解的方法，而是為提公因式或運用公式分解因式創(chuàng)造條件．閱讀材料并解答下列問題：（1）分解因式：2a2﹣8a+8；（2）請嘗試用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；（3）若△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，請判斷△ABC的形狀并加以說明．24．（12分）如圖①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠A＝α．（1）如圖①，若∠A＝50°，求∠BOC的度數．（2）如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC．（3）如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點P，求證OC⊥PC．25．（12分）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2．（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．

2021-2022學年廣東省廣州市南沙區(qū)八年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。）1．（3分）下列圖形中，不具有穩(wěn)定性的是（）A．等腰三角形 B．平行四邊形 C．銳角三角形 D．等邊三角形【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性即可作出選擇．【解答】解：平行四邊形屬于四邊形，不具有穩(wěn)定性，而三角形具有穩(wěn)定性，故B符合題意；故選：B．【點評】本題考查了多邊形和三角形的性質，解題的關鍵是記住三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性．2．（3分）下面的軸對稱圖形中，對稱軸數量最多的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形的概念分別確定出各選項圖形的對稱軸的條數，然后選擇即可．【解答】解：選項A有兩條對稱軸，選項B有兩條對稱軸，選項C有三條對稱軸，選項D有一條對稱軸，∴對稱軸數量最多的是選項C．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（3分）下面的計算正確的是（）A．（ab）2＝ab2 B．（ab）2＝2ab C．a3?a4＝a12 D．（a3）4＝a12【分析】根據冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法運算法則進行計算即可．【解答】解：A．（ab）2＝a2b2，故A不符合題意；B．（ab）2＝a2b2，故B不符合題意；C．a3?a4＝a7，故C不符合題意；D．（a3）4＝a12，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵．4．（3分）當x＝﹣2時，下列分式沒有意義的是（）A．x-2x+2 B．xx-2 C．x+22x【分析】根據分式的分母為0時，分式無意義即可解答．【解答】解：A．分式x-2x+2沒有意義時，x＝﹣2，故AB．分式xx-2沒有意義時，x＝2，故BC．分式x+22x沒有意義時，x＝0，故CD．分式x-2-2x沒有意義時，x＝0，故D故選：A．【點評】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母為0時，分式無意義是解題的關鍵．5．（3分）如圖是兩個全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數是（）A．115° B．65° C．40° D．25°【分析】根據三角形內角和定理求出∠2，根據全等三角形的性質解答即可．【解答】解：由三角形內角和定理得，∠2＝180°﹣115°﹣25°＝40°，∵兩個三角形全等，∴∠1＝∠2＝40°，故選：C．【點評】本題考查的是全等三角形的性質、三角形內角和定理，掌握全等三角形的對應角相等是解本題的關鍵．6．（3分）計算（2x﹣1）（x+2）的結果是（）A．2x2+x﹣2 B．2x2﹣2 C．2x2﹣3x﹣2 D．2x2+3x﹣2【分析】原式利用多項式乘多項式法則計算即可得到結果．【解答】解：原式＝2x2+4x﹣x﹣2＝2x2+3x﹣2．故選：D．【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握法則是解本題的關鍵．7．（3分）設等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為10，則其周長為（）A．15 B．20 C．25 D．20或25【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和10，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當腰為5時，5+5＝10，所以不能構成三角形；當腰為10時，5+10＞10，所以能構成三角形，周長是：10+10+5＝25．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．8．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，CD＝6，AB＝12，則△ABD的面積是（）A．18 B．24 C．36 D．72【分析】作DH⊥AB于D，如圖，根據角平分線的性質得到DH＝DC＝6，然后根據三角形面積公式計算．【解答】解：作DH⊥AB于D，如圖，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝6，∴S△ABD=1故選：C．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積公式．9．（3分）如圖，將△ABC沿著DE減去一個角后得到四邊形BCED，若∠BDE和∠DEC的平分線交于點F，∠DFE＝α，則∠A的度數是（）A．180°﹣α B．180°﹣2α C．360°﹣α D．360°﹣2α【分析】根據三角形內角和等于180°得到，∠FDE+∠FED＝180﹣α，再由兩個角平分線可以得到∠BDE+∠CED＝360﹣2α，根據四邊形內角和等于360°，推出∠B+∠C＝2α，進而得到∠A的度數．【解答】解：在△DEF中，∵∠DFE＝α，∴∠FDE+∠FED＝180﹣α，∵∠BDE和∠DEC的平分線交于點F，∴∠BDE+∠CED＝360﹣2α，∴∠B+∠C＝2α，在△ABC中，∵∠B+∠C＝2α，∴∠A＝180﹣2α．故選：B．【點評】本題考查了三角形和四邊形的內角和以及角平分線，掌握三角形和四邊形內角和公式是解題的關鍵．10．（3分）若正整數m使關于x的分式方程m(x+2)(x-1)=xA．2 B．3 C．4 D．5【分析】先解關于x的分式方程，求得x的值，然后再依據“解是正數”建立不等式求m的取值范圍，進而可求解．【解答】解：去分母得：m＝x（x﹣1）﹣（x﹣2）（x+2），即m＝4﹣x，解得x＝4﹣m，由x為正數且（x﹣1）（x+2）≠0可得：4﹣m＞0且m≠6或3，解得：m＜4且m≠3，．∵m為正整數，∴m的值為1，2共2個數．故選：A．【點評】考查了分式方程的解，由于我們的目的是求m的取值范圍，求得x＝4﹣m，即可列出關于m的不等式了，另外，解答本題時，易漏掉（x﹣1）（x+2）≠0，這個隱含的條件而造成的，這應引起同學們的足夠重視．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。）11．（3分）紅細胞也稱紅血球，是血液中數量最多的一種血細胞，也是我們體內通過血液運送氧氣的最主要的媒介，同時還具有免疫功能．紅細胞的直徑單位一般用微米（μm），1μm＝0.000001m，人類的紅細胞直徑通常是6μm～8μm．6μm用科學記數法可以表示為6×10﹣6m．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：6μm＝6×0.000001m＝6×10﹣6m．故答案為：6×10﹣6．【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．12．（3分）在一場足球比賽中，運動員甲、乙兩人與足球的距離分別是8m，17m，那么甲、乙兩人的距離d的范圍是9≤d≤25．【分析】結合三角形三邊關系進而得出甲、乙兩人的距離d的范圍．【解答】解：∵運動員甲、乙兩人與足球的距離分別是8m，17m，∴甲、乙兩人的距離d的范圍是：17﹣8≤d≤17+8，則9≤d≤25．故答案為：9≤d≤25．【點評】此題主要考查了三角形三邊關系，正確結合實際問題分析是解題關鍵．13．（3分）化簡：3y2x-2y+2xyx2【分析】通分并利用同分母分式的加法法則進行計算即可求出答案．【解答】解：3y=3xy=7xy=7y故答案為：7y2x-2y【點評】本題考查了分式的加法，題目比較簡單，在進行計算時要注意把最后結果進行化簡是本題的關鍵．14．（3分）把多項式x2﹣6x+m分解因式得（x+3）（x﹣n），則m+n的值是﹣18．【分析】先計算多項式乘多項式，然后再進行計算即可．【解答】解：由題意得：x2﹣6x+m＝（x+3）（x﹣n），x2﹣6x+m＝x2+3x﹣nx﹣3n，x2﹣6x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n，∴3﹣n＝﹣6，m＝﹣3n，∴n＝9，m＝﹣27，∴m+n＝﹣18，故答案為：﹣18．【點評】本題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握因式分解與整式乘法的關系是解題的關鍵．15．（3分）如圖，在四邊形中ABCD中，BD平分∠ABC，∠DAB+∠DCB＝180°，DE⊥AB于點E，AB＝8，BC＝4，則BE的長度是6．【分析】過D作DF⊥BC，垂足為F，首先證明∠DAE＝∠FCD，再證明△AED≌△CFD，可得AE＝FC，然后證明Rt△BFD≌Rt△BED可得FB＝BE，再根據線段的和差關系可得AB＝2BE﹣BC，則可得出答案．【解答】解：如圖，過D作DF⊥BC，垂足為F，∵∠BCD+∠FCD＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠DAE＝∠FCD，∵BD為∠ABC的平分線，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DF＝DE，在△AED和△CFD中，∠DEA=∠DFC∠DAE=∠FCD∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝FC，在Rt△BFD和Rt△BED中，DB=DBDF=DE∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），∴FB＝BE，∴AB＝AE+BE＝BE﹣BC+BE＝2BE﹣BC，∵AB＝8，BC＝4，∴BE＝6．故答案為：6．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質等知識，解決本題的關鍵是作出輔助線．16．（3分）若|2x﹣4|+（y+3）2＝0，點A（x，y）關于x軸對稱的點為B，點B關于y軸對稱的點為C，則點C的坐標是（﹣2，3）．【分析】依據非負數的性質，即可得到x＝2，y＝﹣3；依據關于x軸、y軸對稱的點的坐標特征，即可得出點C的坐標．【解答】解：∵|2x﹣4|+（y+3）2＝0，而|2x﹣4|≥0，（y+3）2≥0，∴2x﹣4＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3，∴點A的坐標為（2，﹣3），∴點A（x，y）關于x軸對稱的點B的坐標為（2，3），∴點B關于y軸對稱的點C的坐標是（﹣2，3）．故答案為：（﹣2，3）．【點評】本題主要考查了非負數的性質以及關于x軸、y軸對稱的點的坐標特征，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計算步驟。）17．（4分）計算：（結果用冪的形式表示）3x2?x4﹣（﹣x3）2．【分析】根據同底數冪的乘法和冪的乘方計算即可．【解答】解：3x2?x4﹣（﹣x3）2＝3x6﹣x6＝2x6．【點評】本題考查了同底數冪的乘法和冪的乘方，掌握法則是解題的關鍵．18．（4分）已知一個正多邊形一個內角等于一個外角的32【分析】多邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和是固定的360°，從而可根據一個正多邊形的一個內角等于一個外角的32【解答】解：設此正多邊形為正n邊形．∵正多邊形的一個內角等于一個外角的32∴此正多邊形的內角和等于其外角和的32∴32×360°＝（解得n＝5．答：正多邊形的邊數為5．【點評】本題考查正多邊形的內角和與外角和．關鍵是記住內角和的公式與外角和的特征．19．（6分）如圖，已知∠A＝∠C，AE、CF分別與BD交于點E、F．請你從下面三項中再選出兩個作為條件，另一個作為結論，寫出一個真命題，并加以證明．①AB∥DC；②AE∥CF；③DE＝BF．【分析】由已知設①AB∥DC；③DE＝BF，則得∠B＝∠D，DF＝BE，即得△ABE≌△CDF，從而證得∠DFC＝∠BEA，進而解答即可．【解答】解：如果AB∥DC，DE＝BF，那么AE∥CF．證明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D．∵DE＝BF，∴DE+EF＝BF+EF，即DF＝BE，在△ABE和△CDF中，∠B=∠D∠A=∠C∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴∠DFC＝∠BEA，∴AE∥CF．【點評】此題考查的知識點是全等三角形的判定與性質，關鍵是由已知證△ABE≌△CDF．20．（6分）如圖，在△ABC中，（1）尺規(guī)作圖：作邊AC的垂直平分線，交AB于點D，交AC于點E，連結CD．（2）若△BCD的周長等于18，AE＝4，求△ABC的周長．【分析】（1）根據要求作出圖形即可．（2）求出BC+AB＝18，AC＝8，可得結論．【解答】解：（1）如圖，直線DE即為所求．（2）DE垂直平分線段AC，∴DA＝DC，AE＝CE＝4，∴AC＝8，∵△BDC的周長＝BC+BD+DC＝BC+BD+DA＝BC+AB＝18．∴△ABC的周長＝BC+AB+AC＝18+8＝26．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形的周長，線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．21．（8分）已知T=(m+4m+4（1）化簡T．（2）若m2+2m﹣3＝0，求此時T的值．【分析】（1）先根據分式的加法法則進行計算，再根據分式的乘法法則進行計算即可；（2）求出m2+2m＝3，再代入m2+2m求出答案即可．【解答】解：（1）T=m2=(m+2)2＝m（m+2）＝m2+2m；（2）∵m2+2m﹣3＝0，∴m2+2m＝3，當m2+2m＝3時，原式＝3．【點評】本題考查了分式的化簡與求值，能正確根據分式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵，注意運算順序．22．（10分）為了響應打贏“藍天保衛(wèi)戰(zhàn)”的號召，黃老師上下班的交通方式由駕車改為騎自行車，黃老師家距離學校的路程是9千米，在相同的路線上，駕車的平均速度是騎自行車的平均速度的3倍，所以黃老師每天上班要比開車早出發(fā)20分鐘，才能按原駕車的時間到達學校．（1）求黃老師駕車的平均速度；（2）據測算，黃老師的汽車在上下班行駛過程中平均每小時碳排放量約為2.4千克，按這樣計算，求黃老師一天（按一個往返計算）可以減少的碳排放量．【分析】（1）可設黃老師騎自行車的平均速度為x千米/小時，根據時間的等量關系列出方程即可求解；（2）先根據黃老師開車的平均速度求出與離學校的距離求出一天開車的時間，即可求出減少碳排放量多少千克．【解答】解：（1）設黃老師騎自行車的平均速度為x千米/小時，則駕車的平均速度是3x千米/小時，依題意有：9x解得x＝18，經檢驗，x＝18是原方程的解．3x＝54，答：黃老師駕車的平均速度是54千米/小時；（2）由（1）可知黃老師開車的平均速度是54千米/小時，954答：黃老師一天可以減少的碳排放量0.8千克．【點評】本題主要考查了分式方程的應用，根據時間的等量關系列出方程是解決問題的關鍵．23．（10分）常見的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多項式既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過適當的調整能構成可分解的一組，用分組來分解一個多項式的因式，這種方法叫分組分解法．如x2+2xy+y2﹣16，我們細心觀察這個式子就會發(fā)現，前三項符合完全平方公式，分解后與后面的部分結合起來又符合平方差公式，可以繼續(xù)分解，過程為：x2+2xy+y2﹣16＝（x+y）2﹣42＝（x+y+4）（x+y﹣4）．它并不是一種獨立的因式分解的方法，而是為提公因式或運用公式分解因式創(chuàng)造條件．閱讀材料并解答下列問題：（1）分解因式：2a2﹣8a+8；（2）請嘗試用上面的方法分解因式：x2﹣y2+3x﹣3y；（3）若△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，請判斷△ABC的形狀并加以說明．【分析】（1）提取公因式，利用完全平方公式分解因式即可；（2）前兩項用平方差公式分解，后兩項提取公因式，再提取公因式即可；（3）前兩項提取公因式a，后兩項提取公因式﹣c，再提取公因式（a﹣b），得到（a﹣b）（a﹣c）＝0，從而a＝b或a＝c或a＝b＝c，從而得出答案．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2；（2）原式＝（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+3）；（3）△ABC是等腰三角形或等邊三角形．理由如下：∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c∴△ABC是等腰三角形．【點評】本題考查了因式分解的應用，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是解題的關鍵．24．（12分）如圖①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∠A＝α．（1）如圖①，若∠A＝50°，求∠BOC的度數．（2）如圖②，連接OA，求證：OA平分∠BAC．（3）如圖③，若射線BO與∠ACB的外角平分線交于點P，求證OC⊥PC．【分析】（1）利用三角形的內角和先求出∠ABC與∠ACB的和，再根據角平分的定義求出∠OBC與∠OCB的和即可解答；（2）根據角平分線的性質定理，想到過點O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F，證出OE＝OF即可解答；（3）根據角平分的定義求出∠OCP＝90°即可解答．【解答】（1）解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；（2）證明：過點O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF，∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC；（3）證明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACP=1∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP=12∠ACB+=12=1＝90°，∴OC⊥CP．【點評】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的定義和角平分線的性質定理是解題的關鍵．25．（12分）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2．（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時