第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（3分）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形，下面四個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在顯微鏡下，有一種細(xì)胞形狀可以近似地看成圓形，它的半徑約為0.00000078米，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為7.8×10n，則n的值為（）A．7 B．6 C．﹣7 D．﹣63．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a+2）2＝a2+4 B．（3a2）3＝27a6 C．(1a)4．（3分）下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）A．3（a+b）＝3a+3b B．a(chǎn)2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a(chǎn)2+2a+4＝（a+2）2 D．a(chǎn)2﹣9＝（a+3）（a﹣3）5．（3分）如果（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，則m的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．26．（3分）若長度分別為a，4，7的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．11 B．4 C．3 D．27．（3分）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A、C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS8．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（）A．40° B．64° C．76° D．86°9．（3分）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形邊長均為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1），則到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）10．（3分）如圖1，已知△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱；在射線AD上取點(diǎn)E，連接BE，CE，如圖2；在射線AD上取點(diǎn)F連接BF，CF，如圖3，依此規(guī)律，第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是（）A．n B．2n﹣1 C．n(n+1)2 D．3（n二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）11．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．12．（3分）若分式x-1x-2有意義，則x的取值范圍是13．（3分）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，則ab的值是．14．（3分）已知一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角都是120°，則這個(gè)正多邊形共有條對(duì)角線．15．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M在BC邊上，MN⊥AC，垂足為N，MN平分∠AMC，△ABM的周長為18，AN＝3，則△ABC的周長為．16．（3分）如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊作△ACD，滿足AC＝AD，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列結(jié)論：①∠ACB＝∠ADE；②AC⊥DE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB，則AE⊥AD．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）計(jì)算：（1）（2a）3（﹣5ab2）；（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）．18．（4分）解分式方程：1x+319．（6分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中點(diǎn)A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且與x軸平行．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A′B′C′，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P（a，b）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且PQ＝6，則b的值為．20．（6分）先化簡：(x-3xx+1)÷x221．（8分）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原來的二次三項(xiàng)式；（2）將（1）中的二次三項(xiàng)式分解因式．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：AC＝AE；（2）若E是AB的中點(diǎn)，CD＝4，求BD的長．23．（10分）某景區(qū)有一片蔬果采摘園，小荔決定采摘一些新鮮蔬果．已知西紅柿和土豆的采摘價(jià)格分別是每千克6元和每千克3元，采摘這兩種蔬果一共支付了210元，其中西紅柿比土豆少40千克．（1）求西紅柿和土豆各采摘了多少千克；（2）小荔計(jì)劃參加愛心義賣活動(dòng)，將采摘的部分蔬果拿去義賣，已知西紅柿和土豆的義賣所得分別是60元和90元，西紅柿的義賣單價(jià)是土豆義賣單價(jià)的2倍，土豆比西紅柿多賣出12千克，求土豆和西紅柿各自的義賣單價(jià)（列分式方程解應(yīng)用題）．如果小荔將采摘的蔬果全部義賣出去，那么扣除采摘成本后，義賣所得是多少元．24．（12分）為了測(cè)量一條兩岸平行的河流寬度（跨河測(cè)量困難），三個(gè)數(shù)學(xué)小組開展了課題研究．他們?cè)诤游靼兜狞c(diǎn)B處，利用工具測(cè)得河?xùn)|岸的一棵樹底部A點(diǎn)恰好在點(diǎn)B的正東方向，進(jìn)而設(shè)計(jì)出了不同的測(cè)量方案，具體如表：課題測(cè)量河流寬度工具測(cè)量角度的儀器（儀器的高度忽略不計(jì)）、標(biāo)桿、皮尺小組第一小組第二小組第三小組測(cè)量方案如圖1，從點(diǎn)B向正南方向走到點(diǎn)C，此時(shí)恰好測(cè)得∠ACB＝45°．如圖2，從點(diǎn)B向正南方向走到點(diǎn)D，O是BD的中點(diǎn)，繼續(xù)從點(diǎn)D沿垂直于BD的DE方向走，直到點(diǎn)A，O，E在一條直線上．測(cè)量方案示意圖（1）由第一小組的方案可知，河寬AB的長度就是線段的長度；（2）第二小組在實(shí)際測(cè)量中，從點(diǎn)D走到點(diǎn)F處時(shí)發(fā)現(xiàn)前方有大石頭擋路（如圖4），他們商議后決定改變路線，向右轉(zhuǎn)一個(gè)等于2∠AOB的角度，繼續(xù)前行至點(diǎn)H，滿足點(diǎn)A，O，H在一條直線上且點(diǎn)H在BD左側(cè)．他們認(rèn)為只要測(cè)得DF和FH的長就可求出河寬AB的長，你認(rèn)為他們的方案是否可行．如果可行，請(qǐng)給出證明；如果不可行，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你代表第三小組設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，把測(cè)量方案和測(cè)量方案示意圖填入表格，然后指明你畫的示意圖中，只要測(cè)出哪條線段的長，就能推算出河寬AB長，并證明方案的可行性．25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a，b滿足a2+2ab+b2+（b﹣6）2＝0，點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD．（1）直接寫出a＝，b＝；（2）點(diǎn)P是射線OD上一點(diǎn)，連接PA，PB，AO＝BP，∠APD＝30°．求△PBO的面積；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)E為邊在OE上方作等邊△OEF，連接DF．若OD＝a，求OF+DF的最小值（結(jié)果用含a的式子表示）．

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市荔灣區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案ACBDABACDC一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（3分）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形，下面四個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)B、C、D的美術(shù)字不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A的美術(shù)字能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）在顯微鏡下，有一種細(xì)胞形狀可以近似地看成圓形，它的半徑約為0.00000078米，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為7.8×10n，則n的值為（）A．7 B．6 C．﹣7 D．﹣6【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：∵0.00000078＝7.8×10﹣7，∴n等于﹣7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（a+2）2＝a2+4 B．（3a2）3＝27a6 C．(1a)【分析】根據(jù)完全平方公式、冪的乘方與積的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、（a+2）2＝a2+4a+4，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B、（3a2）3＝27a6，計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；C、(1D、不一定成立，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式、冪的乘方與積的乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分式的基本性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）A．3（a+b）＝3a+3b B．a(chǎn)2﹣a+1＝a（a﹣1）+1 C．a(chǎn)2+2a+4＝（a+2）2 D．a(chǎn)2﹣9＝（a+3）（a﹣3）【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：3（a+b）＝3a+3b是乘法運(yùn)算，則A不符合題意；a2﹣a+1＝a（a﹣1）+1中等號(hào)右邊不是積的形式，則B不符合題意；a2+2a+4≠（a+2）2，則C不符合題意；a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）符合因式分解的定義，則D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解的意義，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．5．（3分）如果（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，則m的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算（x+m）（x+3），再根據(jù)已知條件，列出關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，∵（x+m）（x+3）＝x2﹣x﹣12，∴3+m＝﹣1，解得：m＝﹣4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則．6．（3分）若長度分別為a，4，7的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）A．11 B．4 C．3 D．2【分析】三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊，由此得到3＜a＜11，即可得到答案．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：7﹣4＜a＜7+4，∴3＜a＜11，∴a的值可以是4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．7．（3分）如圖，小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A、C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【分析】由“SSS”可證△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，可證AE就是∠PRQ的平分線，即可求解．【解答】解：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=CD∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∴AE就是∠PRQ的平分線，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，則∠1的度數(shù)是（）A．40° B．64° C．76° D．86°【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出∠2，再利用全等三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：如圖，在第一個(gè)三角形中，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°．由全等三角形的性質(zhì)可知∠1＝∠2＝76°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)．9．（3分）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形邊長均為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1），則到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（0，1） B．（3，1） C．（1，﹣1） D．（0，0）【分析】到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而得出其坐標(biāo)．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，AB與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為點(diǎn)O，∴到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．10．（3分）如圖1，已知△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱；在射線AD上取點(diǎn)E，連接BE，CE，如圖2；在射線AD上取點(diǎn)F連接BF，CF，如圖3，依此規(guī)律，第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是（）A．n B．2n﹣1 C．n(n+1)2 D．3（n【分析】根據(jù)條件可得圖1中△ABD≌△ACD有1對(duì)三角形全等；圖2中可證出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3對(duì)三角形全等；圖3中有6對(duì)三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)．【解答】解：∵△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴∠BAD＝∠CAD．在△ABD與△ACD中AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD＝CD，在△BDE和△CDE中EB=ECBD=CD∴△BDE≌△CDE（SSS），∴圖2中有1+2＝3對(duì)三角形全等；同理：圖3中有1+2+3＝6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是n(n+1)2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出圖形中有幾對(duì)三角形全等，然后尋找規(guī)律．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）11．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱．【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，由此可得答案．【解答】解：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（﹣1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱．故答案為：（﹣1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答本題的關(guān)鍵．12．（3分）若分式x-1x-2有意義，則x的取值范圍是x≠2【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得x﹣2≠0，∴x≠2，故答案為：x≠2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不等于0是解題的關(guān)鍵．13．（3分）若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，則ab的值是﹣3．【分析】由a2b+ab2＝﹣15知ab（a+b）＝﹣15，結(jié)合a+b＝5可得答案．【解答】解：∵a2b+ab2＝﹣15，∴ab（a+b）＝﹣15，又∵a+b＝5，∴ab＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解﹣提公因式法，如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．14．（3分）已知一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角都是120°，則這個(gè)正多邊形共有9條對(duì)角線．【分析】先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和定理求出其邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得，（n﹣2）×180°＝120°n，解得n＝6，∴正六邊形共有6×(6-3)2故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，多邊形的對(duì)角線，熟記多邊形內(nèi)角和定理以及多邊形對(duì)角線條數(shù)的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M在BC邊上，MN⊥AC，垂足為N，MN平分∠AMC，△ABM的周長為18，AN＝3，則△ABC的周長為24．【分析】根據(jù)角平分線+垂直構(gòu)造△AMN≌△CMN，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AM＝CM，AN＝CN＝3，從而利用等量代換進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵M(jìn)N平分∠AMC，∴∠AMN＝∠CMN，∵M(jìn)N⊥AC，∴∠ANM＝∠CNM＝90°，∵M(jìn)N＝MN，∴△AMN≌△CMN（ASA），∴AM＝CM，AN＝CN＝3，∵△ABM的周長為18，∴AB+BM+AM＝18，∴AB+BM+CM＝AB+BC＝18，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝18+3+3＝24，故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊作△ACD，滿足AC＝AD，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接AE，DE，∠CAD＝2∠BAE．有下列結(jié)論：①∠ACB＝∠ADE；②AC⊥DE；③DE﹣BE＝BE+CE；④若CD∥AB，則AE⊥AD．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【分析】根據(jù)∠CAD＝2∠BAE．且∠ABC＝90°，要構(gòu)造2倍的∠BAC，故延長EB至G，使BE＝BG，從而得到∠GAE＝∠CAD，進(jìn)一步證明∠GAC＝∠EAD，且AE＝AG，接著證明△GAC≌△EAD（SAS），則∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以①是正確的，也可以通過線段的等量代換運(yùn)算推導(dǎo)出④是正確的，設(shè)∠BAE＝x，則∠DAC＝2x，因?yàn)镃D∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接著用x表示出∠EAC，再計(jì)算出∠DAE＝90°，故③是正確的，當(dāng)∠CAE＝∠BAE時(shí)，可以推導(dǎo)出AC⊥DE，否則AC不垂直于DE，故②是錯(cuò)誤的．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，△ACD中，AC＝AD，如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點(diǎn)M，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAB=12∴∠BAE=12∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，AG=AE∠GAC=∠EAD∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①正確，該選項(xiàng)符合題意；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，當(dāng)∠BAE＝∠EAC時(shí)，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當(dāng)∠BAE≠∠EAC時(shí)，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；設(shè)∠BAE＝x，則∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC=12（180°﹣2x）＝90°﹣∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，故③正確，該選項(xiàng)符合題意；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴DE﹣BE＝BE+CE，故④正確，該選項(xiàng)符合題意；故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過二倍角這一條件，構(gòu)造兩倍的∠BAE，是本題的突破口，也是常用方法，同時(shí)，要注意本題設(shè)參數(shù)導(dǎo)角，對(duì)學(xué)生分析數(shù)據(jù)的能力有一定要求．三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17．（4分）計(jì)算：（1）（2a）3（﹣5ab2）；（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）．【分析】（1）原式利用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算和利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則計(jì)算即可；（2）原式利用平方差公式，去括號(hào)合并即可．【解答】解：（1）（2a）3（﹣5ab2）＝8a3?（﹣5ab2）＝﹣40a4b2；（2）（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣1）＝a2﹣1﹣a+1＝a2﹣a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（4分）解分式方程：1x+3【分析】先整理分式方程，然后方程兩邊同乘（x+3）（x﹣3），將分式方程化為整式方程求解即可．【解答】解：1x+3方程可化為1x+3方程兩邊同乘（x+3）（x﹣3），得（x﹣3）﹣（x+3）＝2x，解得x＝﹣3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，（x+3）（x﹣3）＝0，不是分式方程的解，所以原分式方程無解．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．19．（6分）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中點(diǎn)A（﹣3，5），B（﹣5，2），C（﹣1，3），直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，1）且與x軸平行．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A′B′C′，并寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P（a，b）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且PQ＝6，則b的值為4．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．（2）由題意得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，2﹣b），即可得b﹣（2﹣b）＝6，求出b的值即可．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求．由圖可得，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3）．（2）∵點(diǎn)P（a，b）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，2﹣b），∵PQ＝6，∴b﹣（2﹣b）＝6，解得b＝4，∴b的值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．（6分）先化簡：(x-3xx+1)÷x2【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將符合條件的x的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（x2+x=x(x-2)x+1?=x∵x+1≠0且x﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2，則可取x＝0，原式＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．21．（8分）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成（x﹣1）（x﹣9），另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成（x﹣2）（x﹣4）．（1）求原來的二次三項(xiàng)式；（2）將（1）中的二次三項(xiàng)式分解因式．【分析】（1）先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算（x﹣1）（x﹣9）和（x﹣2）（x﹣4），再根據(jù)兩個(gè)同學(xué)的計(jì)算結(jié)果，確定原多項(xiàng)式即可；（2）根據(jù)（1）中所求原多項(xiàng)式，利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣9x﹣x+9＝x2﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣4x﹣2x+8＝x2﹣6x+8，∴原來的二次三項(xiàng)式為：x2﹣6x+9；（2）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和分解因式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和幾種常見的分解因式的方法．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：AC＝AE；（2）若E是AB的中點(diǎn)，CD＝4，求BD的長．【分析】（1）證明△ACD和△AED全等即可得出結(jié)論；（2）證明DE是AB的垂直平分線得BD＝AD，則∠B＝∠EAD＝∠CAD＝α，再根據(jù)∠B+∠BAC＝90°得α＝30°，然后在Rt△ACD中，根據(jù)CD＝4，∠CAD＝30°可得出AD的長，進(jìn)而可得BD的長．【解答】（1）證明：∵AD平分∠CAB，∴設(shè)∠CAD＝∠EAD＝α，∴∠BAC＝2α，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠DEA＝90°，CD＝CE，在Rt△ACD和Rt△AED中，CD=CEAD=AD∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE；（2）解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分線，∴BD＝AD，∴∠B＝∠EAD＝α，∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴α+2α＝90°，∴α＝30°，∴∠CAD＝α＝30°，在Rt△ACD中，CD＝4，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝8，∴BD＝AD＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，理解角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，含有30°角的直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．23．（10分）某景區(qū)有一片蔬果采摘園，小荔決定采摘一些新鮮蔬果．已知西紅柿和土豆的采摘價(jià)格分別是每千克6元和每千克3元，采摘這兩種蔬果一共支付了210元，其中西紅柿比土豆少40千克．（1）求西紅柿和土豆各采摘了多少千克；（2）小荔計(jì)劃參加愛心義賣活動(dòng)，將采摘的部分蔬果拿去義賣，已知西紅柿和土豆的義賣所得分別是60元和90元，西紅柿的義賣單價(jià)是土豆義賣單價(jià)的2倍，土豆比西紅柿多賣出12千克，求土豆和西紅柿各自的義賣單價(jià)（列分式方程解應(yīng)用題）．如果小荔將采摘的蔬果全部義賣出去，那么扣除采摘成本后，義賣所得是多少元．【分析】（1）設(shè)西紅柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，根據(jù)采摘這兩種蔬果一共支付了210元，其中西紅柿比土豆少40千克，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)土豆義賣單價(jià)為m元/千克，則西紅柿的義賣單價(jià)為2m元/千克，根據(jù)西紅柿和土豆的義賣所得分別是60元和90元，土豆比西紅柿多賣出12千克，列出分式方程，解方程，即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)西紅柿采摘了x千克，土豆采摘了y千克，根據(jù)題意得：x=y-406x+3y=210解得：x=10y=50答：西紅柿采摘了10千克，土豆采摘了50千克；（2）設(shè)土豆義賣單價(jià)為m元/千克，則西紅柿的義賣單價(jià)為2m元/千克，根據(jù)題意得：90m解得：m＝5，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝5是原方程的解，且符合題意，∴土豆義賣單價(jià)為5元/千克，西紅柿的義賣單價(jià)為10元/千克，∴扣除采摘成本后，義賣所得是10×10+50×5﹣210＝140（元），答：扣除采摘成本后，義賣所得是140元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．24．（12分）為了測(cè)量一條兩岸平行的河流寬度（跨河測(cè)量困難），三個(gè)數(shù)學(xué)小組開展了課題研究．他們?cè)诤游靼兜狞c(diǎn)B處，利用工具測(cè)得河?xùn)|岸的一棵樹底部A點(diǎn)恰好在點(diǎn)B的正東方向，進(jìn)而設(shè)計(jì)出了不同的測(cè)量方案，具體如表：課題測(cè)量河流寬度工具測(cè)量角度的儀器（儀器的高度忽略不計(jì)）、標(biāo)桿、皮尺小組第一小組第二小組第三小組測(cè)量方案如圖1，從點(diǎn)B向正南方向走到點(diǎn)C，此時(shí)恰好測(cè)得∠ACB＝45°．如圖2，從點(diǎn)B向正南方向走到點(diǎn)D，O是BD的中點(diǎn)，繼續(xù)從點(diǎn)D沿垂直于BD的DE方向走，直到點(diǎn)A，O，E在一條直線上．從B點(diǎn)向正北走到C點(diǎn)，使用測(cè)量角度的儀器測(cè)得∠BCD＝∠BCA＝65°，CD交AB延長線于D測(cè)量方案示意圖（1）由第一小組的方案可知，河寬AB的長度就是線段BC的長度；（2）第二小組在實(shí)際測(cè)量中，從點(diǎn)D走到點(diǎn)F處時(shí)發(fā)現(xiàn)前方有大石頭擋路（如圖4），他們商議后決定改變路線，向右轉(zhuǎn)一個(gè)等于2∠AOB的角度，繼續(xù)前行至點(diǎn)H，滿足點(diǎn)A，O，H在一條直線上且點(diǎn)H在BD左側(cè)．他們認(rèn)為只要測(cè)得DF和FH的長就可求出河寬AB的長，你認(rèn)為他們的方案是否可行．如果可行，請(qǐng)給出證明；如果不可行，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你代表第三小組設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案，把測(cè)量方案和測(cè)量方案示意圖填入表格，然后指明你畫的示意圖中，只要測(cè)出哪條線段的長，就能推算出河寬AB長，并證明方案的可行性．【分析】（1）根據(jù)已知條件可判定△ABC是等腰直角三角形，據(jù)此可得河寬AB的長度就是線段BC的長度；（2）延長AH交DF的延長線于點(diǎn)E，先證明△ABO和△EDO全等得AB＝DE，∠BAO＝∠E，設(shè)∠AOB＝α，則∠BAO＝∠E＝90°﹣α，再根據(jù)∠EFH＝2∠AOB＝2α可求出∠FHE＝180°﹣（∠E+∠EFH）＝90°﹣α，由此得∠FHE＝∠E＝90°﹣α，則EF＝FH，進(jìn)而DE＝DF+EF＝DF+FH，據(jù)此可得出答案；（3）觀測(cè)者從B點(diǎn)向正西走到C點(diǎn)，使用測(cè)量角度的儀器測(cè)得∠BCD＝∠ACB＝65°，CD交AB延長線于D，河寬AB的長等于線段BD的長，證明△ABC和△DBC全等即可．【解答】解：（1）∵AB⊥BC，∠ACB＝45°，∴∠CAB＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∴河寬AB的長度就是線段BC的長度．故答案為：BC；（2）第二小組的方案可行，證明如下：∵點(diǎn)A，O，H在一條直線上且點(diǎn)H在BD左側(cè)，∴延長AH交DF的延長線于點(diǎn)E，如圖4所示：∵O是BD的中點(diǎn)，AB⊥BD，DE⊥BD，∴OB＝OD，∠ABO＝∠EDO＝90°，在△ABO和△EDO中，∠ABO=∠EDO=90°∠AOB=EOB∴△ABO≌△EDO（AAS），∴AB＝DE，∠BAO＝∠E，設(shè)∠AOB＝α，則∠BAO＝∠E＝90°﹣α，又∵∠EFH＝2∠AOB＝2α，∴在△EFH中，∠FHE＝180°﹣（∠E+∠EFH）＝180°﹣（90°﹣α+2α）＝90°﹣α，∴∠FHE＝∠E＝90°﹣α，∴EF＝FH，∴DE＝DF+EF＝DF+FH，∴AB＝DF+FH，故第二小組的方案可行．（3）第三小組的設(shè)計(jì)方法是：觀測(cè)者從B點(diǎn)向正北走到C點(diǎn)，使用測(cè)量角度的儀器測(cè)得∠BCD＝∠BCA＝65°，CD交AB延長線于D，此時(shí)線段BD的長就是河寬AB長，理由如下：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝