第1頁（共1頁）2021-2022學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（3分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）2．（3分）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，則∠OAB等于（）A．40° B．50° C．80° D．120°3．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的對稱軸是（）A．直線x＝3 B．直線x＝﹣3 C．直線x＝4 D．直線x＝﹣44．（3分）連續(xù)拋擲兩次骰子，它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的概率是（）A．136 B．19 C．145．（3分）在一幅長60cm，寬40cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是2816cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+x）（40+x）＝2816 C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+2x）（40+2x）＝28166．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝﹣bx+c的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）如圖，正六邊形螺帽的邊長是4cm，那么這個正六邊形半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2，23 B．4，43 C．4，23 D．4，38．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α，得到△ADE，若點(diǎn)D恰好在CB的延長線上，則∠CDE等于（）A．α B．90°+α2 C．90°-α9．（3分）定義新運(yùn)算“a?b”：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a?b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運(yùn)算，如3?2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x?k＝0（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，且x＝2是這個方程的一個根，則k的值是（）A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或410．（3分）已知平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（﹣4，﹣4），點(diǎn)B（a，0），二次函數(shù)y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的圖象必過一定點(diǎn)C，則AB+BC的最小值是（）A．413 B．213 C．62 D．32二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。）11．（3分）若方程mx2+3x﹣4＝3x2是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．12．（3分）為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘中捕撈了100條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間等有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈300條．若其中有標(biāo)記的魚有15條，則可估計(jì)池塘里有魚條．13．（3分）如圖，扇形AOB的圓心角為120°，弦AB＝23，則圖中陰影部分的面積是．14．（3分）已知⊙O的直徑為8cm，如果直線AB上的一點(diǎn)與圓心的距離為4cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系是．15．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象相交于點(diǎn)A（﹣2，4）和點(diǎn)B（6，﹣2），則不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是．16．（3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜邊AC＝4，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的一動點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值是．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟。）17．（4分）解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．18．（4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度數(shù)．19．（6分）如圖，已知△ABC中，BD是中線．（1）尺規(guī)作圖：作出以D為對稱中心，與△BCD成中心對稱的△EAD．（2）猜想AB+BC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．20．（6分）如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內(nèi)，與水平橋相交于A，B兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C到AB的距離為9m，AB＝36m，D，E為拱橋底部的兩點(diǎn)，DE∥AB．（1）以C為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，求出此時拋物線的解析式．（忽略自變量取值范圍）（2）若DE＝48m，求E點(diǎn)到直線AB的距離．21．（8分）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4，小明隨機(jī)從口袋中摸取一個小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個小球，又放回．小明摸取了60次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：標(biāo)號1234次數(shù)16142010（1）上述試驗(yàn)中，小明摸取到“2”號小球的頻率是；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”號小球的概率是；（2）若小明隨機(jī)從口袋中摸取一個小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個小球，請用列舉法求小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的概率．（3）若小明一次在袋中摸出兩個小球，求小明摸出兩個小球標(biāo)號的和為5的概率．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的⊙O半徑為3．（1）試判斷點(diǎn)A（3，3）與⊙O的位置關(guān)系，并加以說明．（2）若直線y＝x+b與⊙O相交，求b的取值范圍．（3）若直線y＝x+3與⊙O相交于點(diǎn)A，B．點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，以A，B，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．23．（10分）已知關(guān)于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．（1）若方程有兩個實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．（2）若x＝2是方程的一個根，求另一個根．（3）在（1）的條件下，試判斷直線y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否過點(diǎn)A（﹣1，3），并說明理由．24．（12分）已知關(guān)于x的一元二次方程-12x2+ax+（1）求證：無論a為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如圖，若拋物線y=-12x2+ax+a+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，BC與對稱軸交于點(diǎn)①求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；②若點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線BC的上方，連接PC，PD，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，求△PCD的面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（12分）已知：如圖①，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，延長BO交AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAC＝2∠ABE；（2）若△BCE是等腰三角形時，求∠BCE的度數(shù)；（3）如圖②，若弦BC垂直平分半徑OD，連接DE交BC于點(diǎn)F，DF＝a，EF＝k?DF，S△BEF＝1，M、N、P分別為直線BD、BF、DF上的三個動點(diǎn)，求△MNP周長的最小值．

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市南沙區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（3分）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，可以直接得到答案．【解答】解：∵P（﹣3，4），∴關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣4），故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握坐標(biāo)的變化規(guī)律：兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反．2．（3分）如圖，在⊙O中，OC⊥AB，若∠BOC＝40°，則∠OAB等于（）A．40° B．50° C．80° D．120°【分析】根據(jù)垂徑定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論求出∠AOC＝∠BOC＝40°，那么∠AOB＝80°，再利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠OAB的度數(shù)．【解答】解：在⊙O中，OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱藞A心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．難度適中．3．（3分）拋物線y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的對稱軸是（）A．直線x＝3 B．直線x＝﹣3 C．直線x＝4 D．直線x＝﹣4【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，直接可以寫出對稱軸，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，∴該拋物線的對稱軸是直線x＝3，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．4．（3分）連續(xù)拋擲兩次骰子，它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的概率是（）A．136 B．19 C．14【分析】列舉出所有情況，看點(diǎn)都是奇數(shù)的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【解答】解：列表如下：123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566由表可知，共36種情況，其中它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的有9種結(jié)果，所以它們的點(diǎn)都是奇數(shù)的概率為936故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．注意列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（3分）在一幅長60cm，寬40cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是2816cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+x）（40+x）＝2816 C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+2x）（40+2x）＝2816【分析】根據(jù)題意可知：矩形掛圖的長為（60+2x）cm，寬為（40+2x）cm；則運(yùn)用面積公式列方程即可．【解答】解：掛圖長為（60+2x）cm，寬為（40+2x）cm，所以根據(jù)矩形的面積公式可得：（60+2x）（40+2x）＝2816．故選：D．【點(diǎn)評】此題是一元二次方程的應(yīng)用，解此類題的關(guān)鍵是看準(zhǔn)題型列面積方程，矩形的面積＝矩形的長×矩形的寬．6．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝﹣bx+c的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，得到a與b同號號，根據(jù)拋物線開口向下得到a小于0，故b小于0，再利用拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，得到c大于0，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出一次函數(shù)y＝﹣bx+c不經(jīng)過的象限．【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象得：a＜0，c＞0，∵-b∴﹣b＞0，故一次函數(shù)y＝﹣bx+c的圖象不經(jīng)過第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一次、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，正六邊形螺帽的邊長是4cm，那么這個正六邊形半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2，23 B．4，43 C．4，23 D．4，3【分析】設(shè)正六邊形的中心為O，連接OA，OC，OB，AB，AB與OC交于G，求得∠AOC=360°6=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到OA＝AC＝4cm，即這個正六邊形半徑R為4cm；根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形ACBO是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB⊥OC，∠CAG【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為O，連接OA，OC，OB，AB，AB與OC交于G，則∠AOC=360°∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝4cm，即這個正六邊形半徑R為4cm；∵△AOC是等邊三角形，同理△BOC是等邊三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四邊形ACBO是菱形，∴AB⊥OC，∠CAG=12∵AC＝4cm，∴CG＝2cm，∴AG=AC2-CG∴a＝AB＝43（cm），即a的值是43cm，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形與圓，解直角三角形，牢記正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α，得到△ADE，若點(diǎn)D恰好在CB的延長線上，則∠CDE等于（）A．α B．90°+α2 C．90°-α【分析】證明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解決問題．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知：AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝α，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABD+∠ADE＝180°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB+∠ADE＝2∠ADB+∠BED＝180°，∵∠BAD＝α，∴2∠ABD＝180°﹣α，∴∠BED＝180°﹣（180°﹣α）＝α．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（3分）定義新運(yùn)算“a?b”：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a?b＝（a﹣b）2﹣b，其中等式右邊是通常的加法、減法和乘法運(yùn)算，如3?2＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1．若x?k＝0（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，且x＝2是這個方程的一個根，則k的值是（）A．4 B．﹣1或4 C．0或4 D．1或4【分析】根據(jù)定義運(yùn)算“a?b”：對于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a?b＝（a﹣b）2﹣b，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題意得：2?k＝0，∴（2﹣k）2﹣k＝0，∴k2﹣5k+4＝0，∴k1＝1，k2＝4，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，方程的定義，解一元二次方程﹣因式分解法，理解定義新運(yùn)算“a?b”是解題的關(guān)鍵．10．（3分）已知平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（﹣4，﹣4），點(diǎn)B（a，0），二次函數(shù)y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的圖象必過一定點(diǎn)C，則AB+BC的最小值是（）A．413 B．213 C．62 D．32【分析】先通過二次函數(shù)的解析式求得C的坐標(biāo)，然后作C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（2，2），連接AC′，交x軸于B，此時，AB+BC的值最小，最小值為AC′．【解答】解：二次函數(shù)y＝x2+（k﹣3）x﹣2k＝（x﹣2）（x﹣1）+（x﹣2）k﹣2＝（x﹣2）（x﹣1+k）﹣2，∴圖象必過一定點(diǎn)C（2，﹣2），∴點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′（2，2），∵A（﹣4，﹣4），∴AC′=(-4-2)2∴AB+BC的最小值是62，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對稱﹣?zhàn)钚【嚯x問題，正確求得C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分。）11．（3分）若方程mx2+3x﹣4＝3x2是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是m≠3．【分析】一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項(xiàng)系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．【解答】解：把方程mx2+3x﹣4＝3x2轉(zhuǎn)化成一般形式，（m﹣3）x2+3x﹣4＝0，（m﹣3）是二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即m﹣3≠0，得m≠3．故答案為：m≠3．【點(diǎn)評】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．12．（3分）為了估計(jì)池塘里有多少條魚，從池塘中捕撈了100條魚做上標(biāo)記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間等有標(biāo)記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈300條．若其中有標(biāo)記的魚有15條，則可估計(jì)池塘里有魚2000條．【分析】用原做有標(biāo)記的魚的數(shù)量除以抽取樣本中標(biāo)記的魚的數(shù)量所占比例即可．【解答】解：估計(jì)池塘里有魚100÷15故答案為：2000．【點(diǎn)評】本題主要考查用樣本估計(jì)總體，一般來說，用樣本去估計(jì)總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計(jì)也就越精確．13．（3分）如圖，扇形AOB的圓心角為120°，弦AB＝23，則圖中陰影部分的面積是4π3-【分析】過O作OC⊥BA于D，交⊙O于C，求出∠OAB＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OA＝2OD，根據(jù)勾股定理求出OD，求出OA，再分別求出扇形AOB和△AOB的面積即可．【解答】解：過O作OC⊥BA于D，交⊙O于C，則∠ADO＝90°，∵OC⊥AB，OC過圓心O，AB＝23，∴AD＝BD=3∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠∴OA＝2OD，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，∴（2OD）2＝OD2+（3）2，解得：OD＝1（負(fù)數(shù)舍去），∴OA＝2OD＝2，∴陰影部分的面積S＝S扇形AOB﹣S△AOB=120π×=4π故答案為：4π3【點(diǎn)評】本題考查了扇形的面積計(jì)算，三角形的面積，直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．14．（3分）已知⊙O的直徑為8cm，如果直線AB上的一點(diǎn)與圓心的距離為4cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交．【分析】分OM⊥AB、OM與AB不垂直兩種情況，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：設(shè)直線AB上與圓心的距離為4cm的點(diǎn)為M，當(dāng)OM⊥AB時，OM＝⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切，當(dāng)OM與AB不垂直時，圓心O到直線AB的距離小于OM，∴圓心O到直線AB的距離小于⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相交，綜上所述：直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切或相交，故答案為：相切或相交．【點(diǎn)評】本題考查的是直線和圓的位置關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．15．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c與一次函數(shù)y＝mx+n的圖象相交于點(diǎn)A（﹣2，4）和點(diǎn)B（6，﹣2），則不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是﹣2＜x＜6．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象寫出二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可．【解答】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖象如圖，觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)﹣2＜x＜6時，拋物線在直線的上方，即﹣x2+bx+c＞mx+n，∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是﹣2＜x＜6．故答案為﹣2＜x＜6．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用函數(shù)圖象判定兩函數(shù)的大小關(guān)系，此題型是中考中考查重點(diǎn)也是難點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．16．（3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜邊AC＝4，點(diǎn)P是三角形內(nèi)的一動點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值是27．【分析】將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BHG，連接PH，AG，過點(diǎn)G作AB的垂線，交AB的延長線于N，可證PA+PB+PC＝PA+PH+HG，則當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)H，點(diǎn)G共線時，PA+PH+HG有最小值，最小值為AG，由勾股定理可求解．【解答】解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BHG，連接PH，AG，過點(diǎn)G作AB的垂線，交AB的延長線于N，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AC＝4，∴AB＝2，BC＝23，∵將△BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BHG，∴△BPC≌△BHG，∴BP＝BH，∠PBH＝60°，HG＝PC，BC＝BG＝23，∠PBC＝∠GBN，∴△PBH是等邊三角形，∴PH＝BP，∴PA+PB+PC＝PA+PH+HG，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)H，點(diǎn)G共線時，PA+PH+HG有最小值，最小值為AG，∵∠ABP+∠PBH+∠GBH＝∠ABP+∠PBC+∠PBH＝150°，∴∠ABG＝150°，∴∠GBN＝30°，∵GN⊥AB，∴GN=12BG=3，BN∴AN＝5，∴AG=AN2+NG∴PA+PB+PC的最小值是27，故答案為：27．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分，解答要求寫出文字說明、證明過程或計(jì)算步驟。）17．（4分）解方程：（x+3）2﹣2x（x+3）＝0．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（x+3）（x+3﹣2x）＝0，x+3＝0或x+3﹣2x＝0，所以x1＝﹣3，x2＝3．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．18．（4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度數(shù)．【分析】首先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得∠BAD，然后根據(jù)等弧對等角求得答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DCE＝110°，∴∠BAD＝∠DCE＝110°，∵點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，∴∠BAC＝∠DAC=12∠【點(diǎn)評】考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，難度不大．19．（6分）如圖，已知△ABC中，BD是中線．（1）尺規(guī)作圖：作出以D為對稱中心，與△BCD成中心對稱的△EAD．（2）猜想AB+BC與2BD的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，△ADE即為所求．（2）結(jié)論：AB+BC＞2BD．理由：在△ADE和△CDB中，DA=DC∠ADE=∠CDB∴△ADE≌△CDB（SAS），∴AE＝BC，∵AB+AE＞BE，∴AB+BC＞2BD．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．20．（6分）如圖是一座拋物線形的拱橋，拱橋在豎直平面內(nèi)，與水平橋相交于A，B兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C到AB的距離為9m，AB＝36m，D，E為拱橋底部的兩點(diǎn)，DE∥AB．（1）以C為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，求出此時拋物線的解析式．（忽略自變量取值范圍）（2）若DE＝48m，求E點(diǎn)到直線AB的距離．【分析】（1）根據(jù)建立的坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）把x＝24代入（1）中解析式求出y的值，再求EF即可．【解答】解：（1）由題意建立如圖所示坐標(biāo)系：∵AB＝36m，CH＝9m，∴B（18，﹣9），設(shè)拋物線解析式為y＝ax2，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式得：﹣9＝324a，解得：a=-1∴拋物線解析式為y=-136x（2）∵DE＝48，∴當(dāng)x＝24時，y=-136×∴EF＝﹣9﹣（﹣16）＝﹣9+16＝7，∴E點(diǎn)到直線AB的距離7m．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題是建立平面直角坐標(biāo)系求函數(shù)解析式．21．（8分）一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標(biāo)號為1，2，3，4，小明隨機(jī)從口袋中摸取一個小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個小球，又放回．小明摸取了60次，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：標(biāo)號1234次數(shù)16142010（1）上述試驗(yàn)中，小明摸取到“2”號小球的頻率是730；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”號小球的概率是14（2）若小明隨機(jī)從口袋中摸取一個小球，記錄摸到小球的標(biāo)號后放回，再從中摸取一個小球，請用列舉法求小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的概率．（3）若小明一次在袋中摸出兩個小球，求小明摸出兩個小球標(biāo)號的和為5的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，其中小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，小明摸出兩個小球標(biāo)號的和為5的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由圖表中數(shù)據(jù)，小明摸取到“2”號小球的頻率是：1460小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”號小球的概率是：14故答案為：730，1（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的結(jié)果有4種，∴小明兩次摸取到小球的標(biāo)號相同的概率為416（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，小明摸出兩個小球標(biāo)號的和為5的結(jié)果有4種，∴小明摸出兩個小球標(biāo)號的和為5的概率為412【點(diǎn)評】此題考查了樹狀圖法求概率．正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的⊙O半徑為3．（1）試判斷點(diǎn)A（3，3）與⊙O的位置關(guān)系，并加以說明．（2）若直線y＝x+b與⊙O相交，求b的取值范圍．（3）若直線y＝x+3與⊙O相交于點(diǎn)A，B．點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，以A，B，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）計(jì)算OA與半徑3進(jìn)行比較即可；（2）當(dāng)直線y＝x+b與⊙O相切于點(diǎn)C時，求出OB的長度，即可得出相交時b的范圍；（3）首先得出A（0，3），B（﹣3，0），分AB＝AP，BA＝BP，PA＝PB三種情形，分別計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵A（3，3），∴OA＝32，∵32＞∴點(diǎn)A在⊙O外；（2）如圖，當(dāng)直線y＝x+b與⊙O相切于點(diǎn)C時，連接OC，則OC＝3，∵∠CBO＝45°，∴OB＝32，∴直線y＝x+b與⊙O相交時，﹣32＜b＜32（3）∵直線y＝x+3與⊙O相交于點(diǎn)A，B．∴A（0，3），B（﹣3，0），∴AB＝32，當(dāng)BA＝BP＝32時，∴P1（﹣3+32，0），P2（﹣3﹣32，0），當(dāng)AB＝AP時，∵AO⊥x軸，∴BO＝OP，∴P3（3，0），當(dāng)PB＝PA時，點(diǎn)P與O重合，∴P4（0，0），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3+32，0）或（﹣3﹣32，0）或（3，0）或（0，0）．【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．23．（10分）已知關(guān)于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．（1）若方程有兩個實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．（2）若x＝2是方程的一個根，求另一個根．（3）在（1）的條件下，試判斷直線y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否過點(diǎn)A（﹣1，3），并說明理由．【分析】（1）根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，求出a的范圍即可；（2）把x＝2代入方程求出a的值，進(jìn)而求出另一根即可；（3）把A坐標(biāo)代入直線解析式求出a的值，根據(jù)（1）的范圍判斷即可．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0，有兩個實(shí)數(shù)根，∴a≠0，（2a+1）2﹣4a（a﹣2）≥0，整理得：4a2+4a+1﹣4a2+8a≥0，即12a≥﹣1，解得：a≥-112且（2）把x＝2代入方程得：4a﹣2（2a+1）+a﹣2＝0，去括號得：4a﹣4a﹣2+a﹣2＝0，解得：a＝4，方程為4x2﹣9x+2＝0，設(shè)另一根為m，則有2m＝2，解得：m＝1，∵兩根之積為12∴另一根為14（3）把A（﹣1，3）代入直線解析式得：3＝﹣（2a﹣3）﹣a+5，去括號得：3＝﹣2a+3﹣a+5，移項(xiàng)合并得：3a＝5，解得：a=5經(jīng)檢驗(yàn)：a=5則直線y＝（2a﹣3）x﹣a+5過點(diǎn)A（﹣1，3），此時a=5【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一元二次方程的解，以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．24．（12分）已知關(guān)于x的一元二次方程-12x2+ax+（1）求證：無論a為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）如圖，若拋物線y=-12x2+ax+a+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，BC與對稱軸交于點(diǎn)①求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；②若點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線BC的上方，連接PC，PD，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，求△PCD的面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）令y＝0，得到一元二次方程，說明方程的判別式Δ＞0即可；（2）①利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式求得a值即可求出二次函數(shù)的解析式；令y＝0，解一元二次方程-12x2+②設(shè)點(diǎn)P（x，12x2+x+4）（0＜x＜4），則線段ON，PN，NE的長度可得，利用S△PCD＝S四邊形OCPN﹣S四邊形OCDE﹣S四邊形DENP，得到S△PCD與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法即可求得△PCD的面積的最大值，利用此時的x的值即可求得點(diǎn)P【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程-12x2+ax+∴Δ＝a2﹣4×（-12）×（a+3）＝a2+2a+6＝（a+1）∵（a+1）2≥0，∴Δ＝（a+1）2+5≥5，∴Δ＞0，∴無論a為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：①∵拋物線y=-12x2+ax+a+3與x軸交于點(diǎn)∴-12×（﹣2）2﹣2a解得：a＝1，∴y=-12x2+令y＝0，則-12x2+解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（﹣2，0）和（4，0），∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴拋物線的解析式為y=-12x2+x+4，②由（2）知，拋物線解析式為y=-12x2+∴對稱軸為x=-1令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），則4k+b=0b=4解得：k=-1b=4∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，∴D（1，3），設(shè)拋物線的對稱軸于x軸交于點(diǎn)E，如圖，∴OE＝1，DE＝3．∵C（0，4），∴OC＝4設(shè)點(diǎn)P（x，12x2+x+4）（0＜x∴ON＝x，PN=-12x2+∴EN＝ON﹣OE＝x﹣1，∴S△PCD＝S四邊形OCPN﹣S四邊