廣州市重點中學2026屆數(shù)學高三上期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列{an}滿足a1=3，且aA．22n-1+1 B．22n-1-13．若函數(shù)的圖象經過點，則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A． B． C． D．4．設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若函數(shù)恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．127．設集合、是全集的兩個子集，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．復數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結論正確的是A． B．的共軛復數(shù)為C．的實部與虛部之和為1 D．在復平面內的對應點位于第一象限9．對于定義在上的函數(shù)，若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是（）A．在上是減函數(shù) B．在上是增函數(shù)C．不是函數(shù)的最小值 D．對于，都有10．已知函數(shù)，若,且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．12．設函數(shù)，當時，，則（）A． B． C．1 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則的值為____14．設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為______．15．為激發(fā)學生團結協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽．每兩班之間只比賽1場，目前（—）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場．則目前（五）班已經參加比賽的場次為__________．16．已知橢圓的下頂點為，若直線與橢圓交于不同的兩點、，則當_____時，外心的橫坐標最大．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：18．（12分）隨著科技的發(fā)展，網絡已逐漸融入了人們的生活．網購是非常方便的購物方式，為了了解網購在我市的普及情況，某調查機構進行了有關網購的調查問卷，并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析，從而得到表（單位：人）經常網購偶爾或不用網購合計男性50100女性70100合計（1）完成上表，并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關？（2）①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券，求選取的3人中至少有2人經常網購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經常網購的人數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望和方差．參考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）設，求證：；（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．20．（12分）已知函數(shù).（1）設，求函數(shù)的單調區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點.（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調，證明：.21．（12分）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

結合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題2、D【解析】試題分析：因為an+1=4an+3，所以an+1+1=4(an+1)，即an+1+1an+1考點：數(shù)列的通項公式．3、B【解析】

由點求得的值，化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.4、D【解析】

先把變形為，然后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出，得到其坐標可得答案.【詳解】解：由，得，所以，其在復平面內對應的點為，在第四象限故選：D【點睛】此題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.5、B【解析】

求導函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個零點，即可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導數(shù)為，令，則或，上單調遞減，上單調遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點睛】該題考查的是有關結合函數(shù)零點個數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應用導數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結合思想，轉化為函數(shù)圖象間交點個數(shù)的問題，難度不大.6、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結合等差中項，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質，考查了等差中項.對于等差數(shù)列，一般用首項和公差將已知量表示出來，繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大，如果能結合等差數(shù)列性質，可使得計算量大大減少.7、C【解析】

作出韋恩圖，數(shù)形結合，即可得出結論.【詳解】如圖所示，，同時.故選:C.【點睛】本題考查集合關系及充要條件，注意數(shù)形結合方法的應用，屬于基礎題.8、D【解析】

利用復數(shù)的四則運算，求得，在根據(jù)復數(shù)的模，復數(shù)與共軛復數(shù)的概念等即可得到結論．【詳解】由題意，則，的共軛復數(shù)為，復數(shù)的實部與虛部之和為，在復平面內對應點位于第一象限，故選D．【點睛】復數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化，其次要熟悉復數(shù)相關基本概念，如復數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為．9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)對稱性和單調性的關系，進行判斷即可．【詳解】由得關于對稱，若關于對稱，則函數(shù)在上不可能是單調的，故錯誤的可能是或者是，若錯誤，則在，上是減函數(shù)，在在上是增函數(shù)，則為函數(shù)的最小值，與矛盾，此時也錯誤，不滿足條件．故錯誤的是，故選：．【點睛】本題主要考查函數(shù)性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵．10、A【解析】分析：作出函數(shù)的圖象，利用消元法轉化為關于的函數(shù)，構造函數(shù)求得函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，即可得到結論.詳解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，若，且，則當時，得，即，則滿足，則，即，則，設，則，當，解得，當，解得，當時，函數(shù)取得最小值，當時，；當時，，所以，即的取值范圍是，故選A.點睛：本題主要考查了分段函數(shù)的應用，構造新函數(shù)，求解新函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究新函數(shù)的單調性和最值是解答本題的關鍵，著重考查了轉化與化歸的數(shù)學思想方法，以及分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題.11、C【解析】

先求導得（），由于函數(shù)有兩個不同的極值點，，轉化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構造新函數(shù)，通過利用導數(shù)研究單調性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數(shù)有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設，，故在上單調遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運用分離參數(shù)法和構造函數(shù)法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.12、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質求得參數(shù)值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質，掌握正弦函數(shù)性質是解題關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

根據(jù)的正負值，代入對應的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解：.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，是基礎題.14、-8【解析】

通過約束條件，畫出可行域，將問題轉化為直線在軸截距最大的問題，通過圖像解決.【詳解】由題意可得可行域如下圖所示：令，則即為在軸截距的最大值由圖可知：當過時，在軸截距最大本題正確結果：【點睛】本題考查線性規(guī)劃中的型最值的求解問題，關鍵在于將所求最值轉化為在軸截距的問題.15、2【解析】

根據(jù)比賽場次，分析，畫出圖象，計算結果.【詳解】畫圖所示，可知目前（五）班已經賽了2場．故答案為：2【點睛】本題考查推理，計數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結合分析問題的能力，屬于基礎題型.16、【解析】

由已知可得、的坐標，求得的垂直平分線方程，聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程，求得的垂直平分線方程，兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標，再由導數(shù)求最值．【詳解】如圖，由已知條件可知，不妨設，則外心在的垂直平分線上，即在直線，也就是在直線上，聯(lián)立，得或，的中點坐標為，則的垂直平分線方程為，把代入上式，得，令，則，由，得（舍）或．當時，，當時，.當時，函數(shù)取極大值，亦為最大值．故答案為：.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用導數(shù)求最值，是中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）將問題轉化為對任意恒成立，換元構造新函數(shù)即可得解；（2）結合（1）可得，令，求導后證明其導函數(shù)單調遞增，結合，即可得函數(shù)的單調區(qū)間和最小值，即可得證.【詳解】（1）對任意恒成立等價于對任意恒成立，令，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；有最大值，.（2）證明：由（1）知，當時，即，，，令，則，令，則，在上是增函數(shù)，又，當時，；當時，，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，即，．【點睛】本題考查了利用導數(shù)解決恒成立問題，考查了利用導數(shù)證明不等式，考查了計算能力和轉化化歸思想，屬于中檔題.18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）①；②數(shù)學期望為6，方差為2.4.【解析】

（1）完成列聯(lián)表，由列聯(lián)表，得，由此能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經常網購的有人，偶爾或不用網購的有人，由此能選取的3人中至少有2人經常網購的概率．②由列聯(lián)表可知，抽到經常網購的市民的頻率為：，由題意，由此能求出隨機變量的數(shù)學期望和方差．【詳解】解：（1）完成列聯(lián)表（單位：人）：經常網購偶爾或不用網購合計男性5050100女性7030100合計12080200由列聯(lián)表，得：，∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關．（2）①由題意所抽取的10名女市民中，經常網購的有人，偶爾或不用網購的有人，∴選取的3人中至少有2人經常網購的概率為：．②由列聯(lián)表可知，抽到經常網購的市民的頻率為：，將頻率視為概率，∴從我市市民中任意抽取一人，恰好抽到經常網購市民的概率為0.6，由題意，∴隨機變量的數(shù)學期望，方差D（X）=．【點睛】本題考查獨立檢驗的應用，考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的求法，考查古典概型、二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．19、（Ⅰ）函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）利用二次求導可得，所以在上為增函數(shù)，進而可得函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ）利用導數(shù)可得在區(qū)間上存在唯一零點，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，則，進而可證；（Ⅲ）條件等價于對于恒成立，構造函數(shù)，利用導數(shù)可得的單調性，即可得到的最小值為，再次構造函數(shù)（a），，利用導數(shù)得其單調區(qū)間，進而求得最大值．【詳解】（Ⅰ）當時，，則，所以，又因為，所以在上為增函數(shù)，因為，所以當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，即函數(shù)的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為；（Ⅱ），則令，則（1），，所以在區(qū)間上存在唯一零點，設零點為，則，且，當時，，當，，，所以函數(shù)在遞減，在，遞增，，由，得，所以，由于，，從而；（Ⅲ）因為對于恒成立，即對于恒成立，不妨令，因為，，所以的解為，則當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，所以的最小值為，則，不妨令（a），，則（a），解得，所以當時，（a），（a）為增函數(shù)，當時，（a），（a）為減函數(shù)，所以（a）的最大值為，則的最大值為．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，以及函數(shù)不等式恒成立問題的解法，意在考查學生等價轉化思想和數(shù)學運算能力，屬于較難題．20、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見解析（2）見解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導數(shù)求得的單調區(qū)間，結合零點存在性定理判斷出有唯一零點.（2）求得的導函數(shù)，結合在區(qū)間上不單調，證得，通過證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域為，由，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個零點：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內有零點，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，故函數(shù)只有一個零點.（2）證明：函數(shù)，則當時，，不符合題意；當時，令，則，所以在上單調增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調，所以存在，使得在上有一個零點，即，所以，且，即兩邊取自然對數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，