2026屆廣東省廣州市番禺區(qū)番禺中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一條直線過原點(diǎn)和點(diǎn)，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.2．丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Jensen）是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是（）A. B.C. D.3．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.4．下圖是一個(gè)“雙曲狹縫”模型，直桿沿著與它不平行也不相交的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成雙曲面，雙曲面的邊緣為雙曲線．已知該模型左、右兩側(cè)的兩段曲線(曲線AB與曲線CD)所在的雙曲線離心率為2，曲線AB與曲線CD中間最窄處間的距離為10cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D均關(guān)于該雙曲線的對(duì)稱中心對(duì)稱，且|AB|＝30cm，則|AD|＝（）A.10cm B.20cmC.25cm D.30cm5．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，是直線且．“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差7．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí)指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個(gè)等級(jí)，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，下面說法錯(cuò)誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日8．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足(且為常數(shù))，化簡(jiǎn)得曲線E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線E有下列四個(gè)命題：①曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)10．曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．某校去年有1100名同學(xué)參加高考，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)總成績(jī)進(jìn)行分析，在這個(gè)調(diào)查中，下列敘述錯(cuò)誤的是A.總體是：1100名同學(xué)的總成績(jī) B.個(gè)體是：每一名同學(xué)C.樣本是：50名同學(xué)的總成績(jī) D.樣本容量是：5012．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列滿足，，則______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，，則雙曲線的漸近線方程為___________.15．過拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），_________16．設(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：“，”為假命題，命題q：“實(shí)數(shù)滿足”．若是真命題，是假命題，求的取值范圍18．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富，其在改善環(huán)境，保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會(huì)上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對(duì)氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國(guó)森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長(zhǎng)率自然生長(zhǎng)，而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請(qǐng)寫出一個(gè)遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo)，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）19．（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn).（1）證明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，分別過曲線上的兩點(diǎn)，做曲線的兩條切線，且交于點(diǎn)，與直線交于兩點(diǎn)（1）求曲線的方程；（2）求面積的最小值.21．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是，的等比中項(xiàng)，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設(shè)，若橢圓E上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q滿足，證明：直線PQ過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設(shè)這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.2、B【解析】根據(jù)“凹函數(shù)”的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可解出【詳解】對(duì)A，，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)B，，在上恒成立，所以B正確；對(duì)C，，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤故選：B3、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，故，.點(diǎn)睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個(gè)重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.4、B【解析】由離心率求出雙曲線方程，由對(duì)稱性設(shè)出點(diǎn)A，B，D坐標(biāo)，求出坐標(biāo)，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，因?yàn)殡x心率，所以，，故雙曲線方程為，設(shè)，則，，則，所以，則，解得：，故.故選：B5、B【解析】，得不到，因?yàn)榭赡芟嘟?，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點(diǎn)，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點(diǎn)晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項(xiàng).6、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3，即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，要取前3名參加決賽，則成績(jī)從高到低排列，確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.7、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對(duì)于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故B正確對(duì)于C，14個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，觀察折線圖可知D正確故選：C8、A【解析】由兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用，結(jié)合傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線AB的傾斜角為，因?yàn)?，所以直線AB的斜率，即，因?yàn)?，所?故選：A9、D【解析】①：根據(jù)軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔儯源匠滩蛔?，同時(shí)代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此本命題正確；④：，因?yàn)椋?，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.11、B【解析】采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)總體，個(gè)體，樣本的概念，可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題意：總體是1100名同學(xué)的總成績(jī)，故A正確個(gè)體是每名同學(xué)的總成績(jī)，故B錯(cuò)樣本是50名同學(xué)的總成績(jī)，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點(diǎn)睛】本題考查總體，個(gè)體，樣本的概念，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】利用三角形面積公式、二倍角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角的性質(zhì)及余弦定理化簡(jiǎn)求即可.【詳解】由，∴，在中，，∴，解得.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求得的值.【詳解】依題意數(shù)列滿足，，所以.故答案為：14、【解析】首先根據(jù)已知條件得到，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示：，，所以，即.設(shè)，則，.即，，，，所以，漸近線方程為.故答案為：15、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.16、【解析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任何，，所以對(duì)任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對(duì)恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對(duì)參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個(gè)別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解析】先假設(shè)命題、為真，分別求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再由命題、具體的真假，取實(shí)數(shù)的取值范圍或其補(bǔ)集，最終確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若命題p為真，則“，”為假命題則，恒成立∴恒成立，即∴，∴.若命題q為真，則，即∴∴∵是真命題，是假命題∴命題、必為一真一假.①當(dāng)p真q假時(shí)，∴；②當(dāng)p假q真時(shí)，∴.綜上所述：a的取值范圍是或.18、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則，根據(jù)遞推公式，計(jì)算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因?yàn)?，且，所以，由?）可知，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項(xiàng)，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達(dá)到翻兩番的目標(biāo)，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推公式求通項(xiàng)公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；

形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項(xiàng)公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1），連接，證明，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）說明平面，取的中點(diǎn)F，連接，以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】證明：記，連接，由直棱柱的性質(zhì)可知四邊形是矩形，則E為的中點(diǎn).因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】因?yàn)榈酌媸堑冗吶切?，D是的中點(diǎn)，所以，由直棱柱的性質(zhì)可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中點(diǎn)F，連接，則兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，從而，設(shè)平面的法向量為，則，令x=2，得，同理平面的一個(gè)法向量為，則cosm由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）由題意可得化簡(jiǎn)可得答案；（2）求出、方程并得到、點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立，方程求出交點(diǎn)和、點(diǎn)到的距離，可得，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理得到，設(shè)，記，利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問1詳解】由題意可知：，即：化簡(jiǎn)得：；【小問2詳解】由題意可知：，，，過點(diǎn)的切線斜率為，方程為：①，令，，則，同理：方程為：②，，聯(lián)立①②得：，的交點(diǎn)，，點(diǎn)到的距離，所以③，設(shè)：，則，整理得，所以，由韋達(dá)定理得：，，代入③式得：，設(shè)，記，則，令得（舍負(fù)），時(shí)，單調(diào)遞減：時(shí)，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)的最小值為.21、（1）（2）【解析】（1）