第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年浙江省寧波市慈溪市（第四屆）九年級(jí)下學(xué)期核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)I活動(dòng)競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題5分，共30分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）1．（5分）在中考長跑測(cè)試中，某班前30名學(xué)生成績的平均分為8分，方差為25.6分2，后10名同學(xué)的成績分別為（單位：分）：5，6，8，9，6，9，10，9，8，10，則該班40名同學(xué)成績的方差為（）A．19.9分2 B．20.1分2 C．20.3分2 D．20.5分22．（5分）圖1是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的5種基本圖形，現(xiàn)通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等方式，用基本圖形中的1種或幾種去鋪滿圖2中4×4的單位網(wǎng)格，要求圖形不重疊、無空隙，每種基本圖形可以重復(fù)使用，則下列哪個(gè)組合不能把4×4的網(wǎng)格鋪滿？該組合是（）A．④ B．④⑤ C．①②⑤ D．①③④3．（5分）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y定義“※”運(yùn)算：當(dāng)x≥y時(shí)，x※y＝x+y；當(dāng)x＜y時(shí)，x※y＝x2﹣xy+y2，若（﹣1）※a＝2，則a3+2a+3的值為（）A．15 B．25 C．±25 4．（5分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在反比例函數(shù)y=kx(k≠0，k為常數(shù)）圖象上，∠ACB＝90°，AB過點(diǎn)O，BC分別與x軸、y軸交于D、E兩點(diǎn)，若E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），△ABCA．22 B．2 C．325．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝10，AC＝6，點(diǎn)P，Q分別在BC，AB邊上運(yùn)動(dòng)，且BP＝AQ，連接AP，CQ，則AP+CQ的最小值為（）A．14 B．63 C．237 6．（5分）已知ax﹣2b＝by﹣2a＝22a+22b，ab≠0，x，y為正整數(shù)，則符合條件的（x，y）共有（）A．12組 B．21組 C．34組 D．42組二、填空題（每小題5分，共30分）7．（5分）計(jì)算：24+23-8．（5分）方程（x﹣1）2+b＝a+2|x﹣1|+3有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則a﹣b的值為．9．（5分）定義平面內(nèi)任意兩點(diǎn)P（x，y），Q（x2，y2）之間的距離dPQ＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，dPQ稱為這兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離．已知點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P為直線y＝kx﹣4上一點(diǎn)，若dAP＝2，則k的取值范圍為．10．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D為AB中點(diǎn)，E為邊BC上一點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE與△BDE重疊部分的面積占△ABE面積的14，則BE的長為11．（5分）設(shè)正數(shù)a，b，c是三角形三條邊的長，則稱（a，b，c）是三角形數(shù)．若（m，n，t）和(1m，1n，1t)均為三角形數(shù)，且m12．（5分）如圖1，有一長方體容器，其截面為矩形ABCD，底邊長AB為10cm，容器內(nèi)盛有一定量的水，將容器放在水平桌面上，并將容器繞底部垂直于截面的一條棱旋轉(zhuǎn)（如圖2），且不使水溢出．若旋轉(zhuǎn)前容器內(nèi)水的高度為hcm，旋轉(zhuǎn)后水的高度的最大值為2hcm，則h的值為．三、解答題（第13題12分，第14、15題各15分，第16題18分，共60分）13．（12分）在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，假分式可以化成“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，如：x2（1）把下列假分式化成帶分式：①xx-1=②x4+1（2）若x3-x（3）若11x-63-2x和1x同時(shí)為整數(shù)，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)14．（15分）如圖1，在正方形ABCD中，AB＝6，E是AB邊上一點(diǎn)，連接CE，將△BCE沿CE翻折得到△FCE．連接DF并延長，交AB于點(diǎn)G．（1）若F為DG中點(diǎn)，求EG的長度；（2）如圖2，連接A并延長，交CE于點(diǎn)H，AG＝3GE．①證明：G為AB中點(diǎn)；②求FH的長度．15．（15分）觀察下列按規(guī)律生長的“枝繁葉茂”圖，其中圖1中線段的條數(shù)記為a1，圖2中線段的條數(shù)記為a2，圖3中線段的條數(shù)記為a3…，圖n中線段的條數(shù)記為an顯然a1＝1，a2＝5．（1）當(dāng)n≥2時(shí)，請(qǐng)直接寫出an﹣1和an之間的關(guān)系；（2）用n表示出an；（3）若ap﹣aq＝4212，求pq的值．四、綜合學(xué)習(xí)型試題16．（18分）同學(xué)們，我們已經(jīng)知道，三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)點(diǎn)記作“I”，該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，我們把這個(gè)距離記作r0．【知識(shí)儲(chǔ)備】：（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，證明：r0（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3a，4a），B的坐標(biāo)為（4b，﹣3b），a＞0，b＞0；【思考探究】：①求OI所在直線的函數(shù)表達(dá)式；【延伸拓展】：②若I的縱坐標(biāo)為2024，a，b為整數(shù)，求符合條件的△AOB的個(gè)數(shù)．

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市慈溪市（第四屆）九年級(jí)下學(xué)期核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)I活動(dòng)競(jìng)賽數(shù)學(xué)試卷答案一、選擇題（每小題5分，共30分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）1．【答案】A【解答】解：前30名學(xué)生成績分別為x1、x2、、x30，后10名同學(xué)的成績的平均成績?yōu)?10∵前30名學(xué)生成績的平均分為8分，∴該班40名同學(xué)的平均成績?yōu)?分，∴該班40名同學(xué)成績的方差=140[（x1﹣8）2+...+（x30﹣8）2+（5﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）∵前30名學(xué)生成績的平均分為8分，方差為25.6分2，∴130[（x1﹣8）2+...+（x30﹣8）2∴（x1﹣8）2+...+（x30﹣8）2＝768，∴該班40名同學(xué)成績的方差=140[768+（5﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）故選：A．2．【答案】A【解答】解：選項(xiàng)A：圖形④由4個(gè)小正方形組成，嘗試用其鋪滿4×4網(wǎng)格，會(huì)發(fā)現(xiàn)其形狀無法通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱無重疊、無空隙地鋪滿，故A不能鋪滿；選項(xiàng)B：圖形④和⑤可通過組合、變換鋪滿網(wǎng)格；選項(xiàng)C：圖形①、②、⑤可通過組合、變換鋪滿網(wǎng)格；選項(xiàng)D：圖形①、③、④可通過組合、變換鋪滿網(wǎng)格，故選：A．3．【答案】B【解答】解：①當(dāng)﹣1≥a即a≤﹣1時(shí)，∵（﹣1）※a＝2，∴﹣1+a＝2，∴a＝3（不合題意，舍去）；②當(dāng)﹣1＜a即a＞﹣1時(shí)，（﹣1）※a＝（﹣1）2﹣（﹣1）?a+a2＝2，整理得a2+a﹣1＝0，∴a=-1±∵a＞﹣1，∴a=-1+∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴a3+2a+3＝a3+a2﹣a2﹣a+3a+3＝a（a2+a）﹣（a2+a）+3a+3＝a﹣1+3a+3＝4a+2＝4×-1+＝﹣2+25+＝25，故選：B．4．【答案】D【解答】解：∵AB過原點(diǎn)O，且A、B在反比例函數(shù)y=kx(k≠0根據(jù)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性，設(shè)A（a，ka）（a＞0），則B（﹣a，-由于∠ACB＝90°，且A、C在反比例函數(shù)上，C的坐標(biāo)為（ka，a設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，將B（﹣a，-ka）和C（ka得-ma+n=-k解得m=1n=a-因此，直線BC的解析式為y＝x+a-k已知E（0，﹣2）在直線BC上，將x＝0，y＝﹣2代入解析式，得a-ka=-因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以S△ABC＝2S△AOC，對(duì)于A（a，ka）、O（0，0）、C（ka，利用坐標(biāo)法求三角形面積：S△AOC=1因此，S△ABC＝|a^2，已知S△ABC＝8，即|a^28②，由式①可得ka-a＝2，令t=ka，則t﹣a＝2，將a＝t﹣2和k＝at代入式②，|（t﹣2）2﹣t2|＝8，即|﹣4t+4|＝8，分情況討論：若﹣4t+4＝8，解得t＝﹣1（舍去，因?yàn)閠=k若﹣4t+4＝﹣8，解得t＝3．因此，a＝t﹣2＝3﹣2＝1，k＝at＝3，故選：D．5．【答案】B【解答】解：作∠ABD＝60°，作BD＝AC＝6，連接PD，如圖，∵∠ACB＝120°，∴∠ABC+∠BAC＝60°，而∠ABC+∠DBP＝60°，∴∠PBD＝∠QAC，在△BDP和△ACQ中，BP=AQ∠DBP=∠CAQ∴△BDP≌△ACQ（SAS），∴PD＝CQ，∴AP+CQ＝PA+PD，∵AP+PD≥AD，∴AP+PD的最小值為AD的長度，∵當(dāng)AD⊥BD時(shí)，AD最短，此時(shí)AD=3BD＝63∴AP+CQ的最小值為63．故選：B．6．【答案】B【解答】解：由ax﹣2b＝22a+22b得：a（x﹣22）＝24b，由by﹣2a＝22a+22b得：b（y﹣22）＝24a，∴ab（x﹣22）（y﹣22）＝24b?24a，∵ab≠0，∴（x﹣22）（y﹣22）＝576，當(dāng)x﹣22＞0，y﹣22＞0時(shí)，∵576＝26×32，∴576的正因數(shù)個(gè)數(shù)為（6+1）×（2+1）＝21個(gè)，∴有21對(duì)（x，y）滿足（x﹣22）（y﹣22）＝576；當(dāng)x﹣22＜0，y﹣22＜0時(shí)，∵x，y為正整數(shù)，∴0＜x＜22，0＜y＜22，∴x﹣22＞﹣22，y﹣22＞﹣22，∴（x﹣22）（y﹣22）＜（﹣22）×（﹣22），即（x﹣22）（y﹣22）＜484，此時(shí)（x﹣22）（y﹣22）＝576不可能成立；綜上所述，有21對(duì)（x，y）滿足（x﹣22）（y﹣22）＝576；故選：B．二、填空題（每小題5分，共30分）7．【答案】3+【解答】解：原式＝23+2＝2(＝2（3+1）＝23+2=3故答案為：3+8．【答案】﹣3．【解答】解：令t＝|x﹣1|（t≥0），則原方程（x﹣1）2+b＝a+2|x﹣1|+3可轉(zhuǎn)化為：t2+b＝a+2t+3，整理為：t2﹣2t+（b﹣a﹣3）＝0，∵原方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，而t＝|x﹣1|，當(dāng)t＞0時(shí)，x有兩個(gè)解，當(dāng)t＝0時(shí)，x有一個(gè)解，因此，方程t2﹣2t+（b﹣a﹣3）＝0的根需滿足一個(gè)根為t＝0，另一個(gè)根為t＞0，將t＝0代入方程t2﹣2t+（b﹣a﹣3）＝0，得0﹣0+（b﹣a﹣3）＝0，即a﹣b＝﹣3，綜上，a﹣b的值為﹣3，故答案為：﹣3．9．【答案】23≤【解答】解：如圖，B（1，0），C（3，﹣2），D（5，0），E（3，2），正方形BCDE邊上的點(diǎn)到點(diǎn)A的曼哈頓距離為2，所以直線y＝kx﹣4與正方形BCDE有交點(diǎn)即可．當(dāng)y＝kx﹣4經(jīng)過B（1，0）時(shí)，k＝4，當(dāng)y＝kx﹣4經(jīng)過C（3，﹣2）時(shí)，k=2∴23≤故答案為：23≤10．【答案】52或【解答】解：如圖，當(dāng)∠ADE＞90°時(shí)，連接AA'，延長ED交AA'于點(diǎn)M∵∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB=∵D為AB中點(diǎn)，∴AD＝DB=∵將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD＝A'D，AE＝A'E∴ED垂直平分AA'∴EM⊥AA'，∵AD＝DB＝DA'=∴△ABA'是直角三角形∴∠AA'B＝90°，即AA'⊥A'B∴ME∥A'B∴∠MEF＝∠FA'B，∵△A′DE與△BDE重疊部分的面積占△ABE面積的14∴S△DEF=14S△∴DF=14AB∴DF＝FB，且∠MEF＝∠FA'B，∠A'FB＝∠EFD∴△A'FB≌△EFD（AAS）∴EF＝A'F，且DF＝FB，∠EFB＝∠A'FD∴△BFE≌△DFA'（SAS）∴AD＝BE=若∠ADE＜90°時(shí)，如圖，同理可求：AE＝A'E＝BD=5∴CE=A∴BE＝BC﹣CE=3故答案為：52或311．【答案】3-5【解答】解：∵m≤n≤t，∴1m∵（m，n，t）和(1∴m+n＞t，1n∴n＞t﹣m，1n∴t﹣m＜n＜mt∴t2+m2﹣3mt＜0，令a=mt，則a2﹣3∴3-52＜∵m≤t，∴mt故答案為：3-512．【答案】52【解答】解：如圖，設(shè)BE＝a，BF＝b，斜邊EF上的高為h1，則S△BEF所以ab＝20h，由1h∴h1的最大值為10h，故10h=2h解得h=5故答案為：52三、解答題（第13題12分，第14、15題各15分，第16題18分，共60分）13．【答案】（1）①1+1x-1，②（2）﹣2，﹣1，2，3（3）1，13【解答】解：（1）①將分子改寫為分母的形式：xx-1②用多項(xiàng)式除法分解：x4故答案為：1+1x-1，（2）將分式化為帶分式：x3要求6x(x-1)為整數(shù)，即x（x解得x＝﹣2，﹣1，2，3．故答案為：﹣2，﹣1，2，3；（3）由1x為整數(shù)，得x=1k（k化簡為11-6k3k-2要求11-6k3k-2解得k＝1和k＝3，對(duì)應(yīng)x＝1和x=1故答案為：1，1314．【答案】（1）EG＝43-6（2）①證明：如圖2，延長EF交AD于點(diǎn)M，連結(jié)CM交DG于點(diǎn)N，由折疊的性質(zhì)可知∠CFE＝∠B＝90°，CB＝CF＝CD，∴∠CFM＝∠CDM＝90°，∵CM＝CM，∴Rt△CFM≌Rt△CDM（HL），∴FM＝DM，CM⊥DG，∴∠DCM＝∠GDA＝90°﹣∠CDG，∵∠CDM＝∠GAD＝90°，CD＝AD，∴△CDM≌△DAG（ASA），∴DM＝AG，設(shè)EG＝x，則FM＝DM＝AG＝3x，AM＝6﹣3x，EF＝BE＝6﹣4x，EM＝EF+FM＝6﹣x，在Rt△AEM中，（4x）2+（6﹣3x）2＝（6﹣x）2，解得x1＝1，x2＝0（舍掉），∴AG=3=1∴G為AB中點(diǎn)；②FH=6【解答】（1）解：如圖1，延長EF，CD相交于點(diǎn)H，∵F為DG中點(diǎn)，∴GF＝DF，∵AB∥CD，∴∠FEG＝∠H，∵∠EFG＝∠HFD，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴EF＝FH，由折疊的性質(zhì)可知∠CFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝∠CFH，∵CF＝CF，∴△CEF≌△CHF（SAS），∴∠BCE＝∠FCE＝∠FCH＝30°，∴CH＝CE=BCcos30°=∴EG＝DH＝CH﹣CD＝43-（2）①證明：如圖2，延長EF交AD于點(diǎn)M，連結(jié)CM交DG于點(diǎn)N，由折疊的性質(zhì)可知∠CFE＝∠B＝90°，CB＝CF＝CD，∴∠CFM＝∠CDM＝90°，∵CM＝CM，∴Rt△CFM≌Rt△CDM（HL），∴FM＝DM，CM⊥DG，∴∠DCM＝∠GDA＝90°﹣∠CDG，∵∠CDM＝∠GAD＝90°，CD＝AD，∴△CDM≌△DAG（ASA），∴DM＝AG，設(shè)EG＝x，則FM＝DM＝AG＝3x，AM＝6﹣3x，EF＝BE＝6﹣4x，EM＝EF+FM＝6﹣x，在Rt△AEM中，（4x）2+（6﹣3x）2＝（6﹣x）2，解得x1＝1，x2＝0（舍掉），∴AG=3=1∴G為AB中點(diǎn)；②解：由①知，EF＝2，F(xiàn)M＝DM＝3，∴CM=35∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，N是DF中點(diǎn)，∴MN∥AF，即CM∥FH，∴△EFH∽△EMC，∴FHCM=EF∴FH=615．【答案】（1）an＝3an﹣1+2；（2）an（3）40．【解答】解：（1）由所給圖形可知，a1＝1，a2＝5＝3a1+2，a3＝17＝3a2+2，a4＝53＝3a3+2，…，由此可見，an＝3an﹣1+2，所以an﹣1和an之間的關(guān)系為an＝3an﹣1+2；（2）由（1）知，an＝3an﹣1+2＝3（3an﹣2+2）+2…=3＝2×（3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+…+31+30）﹣3n﹣1=2×3＝3n﹣3n﹣1﹣1，所以an（3）由ap﹣aq＝4212得，3p﹣3p﹣1﹣1﹣（3q﹣3q﹣1﹣1）＝4212，整理得，3p﹣5﹣3q﹣5＝26，則3p﹣5﹣3q﹣5＝27﹣1，所以p﹣5＝3，q﹣5＝0，則p＝8，q＝5，所以pq＝40．四、綜合學(xué)習(xí)型試題16．【答案】（1）如圖，過I作AB、AC、BC的垂線段，垂足分別為E、F、G，連接IA、IB、IC，則IE＝IF＝IG＝r0，在Rt△AIE和Rt△AIF中，IE=IFIA=IA∴