2026復(fù)變函數(shù)高級(jí)能力評(píng)估試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)高級(jí)能力評(píng)估試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)高年級(jí)學(xué)生、相關(guān)專業(yè)研究生及行業(yè)從業(yè)者題型分值分布-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.洛朗級(jí)數(shù)展開式的收斂域一定是圓環(huán)。3.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分。4.如果函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Γ上連續(xù)，則沿Γ的積分與路徑無(wú)關(guān)。5.解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍解析。6.所有解析函數(shù)都是整函數(shù)。7.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)的階數(shù)等于極點(diǎn)的階數(shù)。8.瑞利定理表明，在圓盤內(nèi)解析的函數(shù)可以用泰勒級(jí)數(shù)唯一表示。9.如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，則它在整個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面上有界。10.虛部為常數(shù)的解析函數(shù)一定是線性函數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的收斂半徑是（）。A.1B.2C.∞D(zhuǎn).02.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)是（）。A.-1/3B.1/3C.-2/3D.2/33.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.e/(2i)B.-e/(2i)C.e/(2)D.-e/(2)4.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-15.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的洛朗展開式中，-z2項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.-1/6B.1/6C.-1/3D.1/36.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在|z|>1區(qū)域內(nèi)的主值積分∮Γf(z)dz（Γ為|z|=2正向閉曲線）的值是（）。A.2πiB.-2πiC.0D.πi7.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的極點(diǎn)階數(shù)是（）。A.1B.2C.0D.無(wú)窮8.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在擴(kuò)充復(fù)平面上的孤立奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）。A.0B.1C.2D.39.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在|z|=1區(qū)域內(nèi)的積分∮Γf(z)dz（Γ為|z|=1正向閉曲線）的值是（）。A.πiB.-πiC.0D.2πi10.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在|z|<1區(qū)域內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z3項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.-1C.1/3D.-1/3三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2+2z+1B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=1/(z-1)D.f(z)=ez2.下列函數(shù)中，在z=1處有極點(diǎn)的有（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)2C.f(z)=1/(z2-1)D.f(z)=ez/(z-1)3.下列關(guān)于留數(shù)定理的描述正確的有（）。A.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分B.留數(shù)定理適用于任何閉曲線積分C.留數(shù)定理表明，沿閉曲線的積分等于所有孤立奇點(diǎn)留數(shù)之和乘以2πiD.留數(shù)定理只適用于單極點(diǎn)4.下列關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)的描述正確的有（）。A.泰勒級(jí)數(shù)只在圓盤內(nèi)收斂B.泰勒級(jí)數(shù)可以表示任何解析函數(shù)C.泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑由函數(shù)的奇點(diǎn)決定D.泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)決定5.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的描述正確的有（）。A.洛朗級(jí)數(shù)可以表示解析函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)的展開B.洛朗級(jí)數(shù)只適用于有奇點(diǎn)的函數(shù)C.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓環(huán)D.洛朗級(jí)數(shù)的負(fù)冪項(xiàng)反映了函數(shù)的奇點(diǎn)性質(zhì)6.下列關(guān)于積分路徑無(wú)關(guān)的描述正確的有（）。A.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則沿D內(nèi)任意閉曲線的積分為0B.積分路徑無(wú)關(guān)性與函數(shù)的解析性無(wú)關(guān)C.積分路徑無(wú)關(guān)性由柯西-古爾薩定理保證D.積分路徑無(wú)關(guān)性只適用于單連通區(qū)域7.下列關(guān)于孤立奇點(diǎn)的描述正確的有（）。A.孤立奇點(diǎn)是函數(shù)解析性中斷的點(diǎn)B.孤立奇點(diǎn)可以是可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)C.可去奇點(diǎn)可以通過(guò)重新定義函數(shù)來(lái)去除D.極點(diǎn)的階數(shù)由洛朗展開式中負(fù)冪項(xiàng)的階數(shù)決定8.下列關(guān)于整函數(shù)的描述正確的有（）。A.整函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上解析B.整函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上收斂C.整函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)沒有負(fù)冪項(xiàng)D.整函數(shù)的例子包括ez、sin(z)、cos(z)9.下列關(guān)于柯西積分公式的描述正確的有（）。A.柯西積分公式適用于解析函數(shù)在圓內(nèi)的積分B.柯西積分公式表明，函數(shù)在圓內(nèi)的值可以由邊界上的積分表示C.柯西積分公式的收斂性與圓的半徑無(wú)關(guān)D.柯西積分公式只適用于單連通區(qū)域10.下列關(guān)于解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的描述正確的有（）。A.如果函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，則u和v滿足柯西-黎曼方程B.解析函數(shù)的實(shí)部或虛部可以唯一確定函數(shù)C.解析函數(shù)的實(shí)部或虛部可以展開為泰勒級(jí)數(shù)D.解析函數(shù)的實(shí)部或虛部一定不是常數(shù)四、案例分析（每題6分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在|z|=2正向閉曲線Γ上的積分∮Γf(z)dz，并說(shuō)明解題思路。2.求函數(shù)f(z)=ez/(z-1)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式，并說(shuō)明收斂半徑。3.計(jì)算函數(shù)f(z)=1/(z-1)2在|z|<1區(qū)域內(nèi)的積分∮Γf(z)dz，其中Γ為|z|=r（r<1）正向閉曲線，并說(shuō)明解題思路。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述留數(shù)定理在計(jì)算實(shí)積分中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。2.論述解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足的性質(zhì)，并說(shuō)明這些性質(zhì)如何反映函數(shù)的解析性。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.×（需要解析性）5.√6.×（解析函數(shù)不一定是整函數(shù)）7.√8.√9.√（根據(jù)Liouville定理）10.×（例如f(z)=z+1）二、單選題1.B2.A3.A4.A5.B6.A7.A8.C9.C10.D三、多選題1.A,B,D2.A,B,C,D3.A,C4.B,C,D5.A,B,D6.A,C7.A,B,C,D8.A,B,C,D9.A,B10.A,B,C四、案例分析1.解題思路：-函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=±i處有極點(diǎn)，且|z|=2包含這兩個(gè)極點(diǎn)。-將積分分解為兩個(gè)極點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2πi。-計(jì)算留數(shù)：Res(f,i)=lim(z→i)(z-i)z/(z2+1)=lim(z→i)z/(z+i)=i/(2i)=1/2。-Res(f,-i)=lim(z→-i)(z+i)z/(z2+1)=lim(z→-i)z/(-z+i)=-i/(-2i)=1/2。-積分結(jié)果：∮Γf(z)dz=2πi(1/2+1/2)=2πi。2.解題思路：-函數(shù)f(z)=ez/(z-1)在z=1處有極點(diǎn)。-將f(z)展開為洛朗級(jí)數(shù)：f(z)=ez/(z-1)=ez(1+z+z2/2!+...)/(z-1)。-將1/(z-1)展開為冪級(jí)數(shù)：1/(z-1)=-1/(1-z)=-1-z-z2-...。-乘積展開：f(z)=-ez-ez2-ez3/2!-...。-泰勒級(jí)數(shù)展開：f(z)=-ez-ez2-ez3/2!-...，收斂半徑為1。3.解題思路：-函數(shù)f(z)=1/(z-1)2在z=1處有二階極點(diǎn)。-在|z|<1區(qū)域內(nèi)，積分路徑Γ不包含極點(diǎn)。-根據(jù)柯西積分定理，積分結(jié)果為0。五、論述題1.留數(shù)定理在計(jì)算實(shí)積分中的應(yīng)用：-留數(shù)定理可以將實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的積分，利用留數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)化問(wèn)題。-例如，計(jì)算∫-∞^∞e^x/(x2+1)dx：-令f(z)=e^z/(z2+1)，在上半平面補(bǔ)充極點(diǎn)z=i。-∮Γf(z)dz=2πiRes(f,i)=2πi(e^i/(2i))=πie^i。