2026復變函數洛朗展開練習試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復變函數洛朗展開練習試卷考核對象：數學專業(yè)本科生、考研備考學生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.洛朗展開式中的負冪項僅存在于復變函數的奇點附近。2.所有解析函數的洛朗展開式都是唯一的。3.若函數在圓環(huán)區(qū)域內解析，則其洛朗展開式的系數由柯西積分公式唯一確定。4.洛朗展開式中的正冪項反映了函數在無窮遠點附近的行為。5.洛朗級數在收斂圓環(huán)內絕對收斂。6.函數f(z)在z?處解析，則其泰勒展開式也是洛朗展開式的一種特殊情況。7.洛朗展開式的收斂半徑可能大于等于1。8.若函數在z?處有孤立奇點，則其洛朗展開式的負冪項項數有限。9.洛朗展開式可以用于計算某些積分的值。10.洛朗展開式僅適用于單變量復變函數。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數f(z)=(z2-1)/(z-2)在z=2處的洛朗展開式的收斂圓環(huán)是（）。A.|z-2|<1B.|z-2|>1C.|z-2|=1D.|z|<22.函數f(z)=1/(z(z-1))在0<|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，-1/z的系數是（）。A.1B.-1C.0D.1/23.函數f(z)=e^z/(z+1)在-1<z<0區(qū)域內的洛朗展開式中，z的系數是（）。A.1B.-1C.eD.-e4.函數f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗展開式是（）。A.cos(π)+zsin(π)B.-cos(π)+zsin(π)C.-cos(π)-zsin(π)D.cos(π)-zsin(π)5.函數f(z)=1/(z2+1)在|z|>1區(qū)域內的洛朗展開式中，-1/z2的系數是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/26.函數f(z)=z/(z2-1)在1<|z|<∞區(qū)域內的洛朗展開式中，1/z2的系數是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-17.函數f(z)=log(z)/z在0<|z|<∞區(qū)域內的洛朗展開式中，-1/z2的系數是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/28.函數f(z)=1/(z-1)在0<|z-1|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，1的系數是（）。A.1B.-1C.0D.1/29.函數f(z)=z/(z2+1)在|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，z2的系數是（）。A.1B.-1C.1/2D.-1/210.函數f(z)=e^z/(z2-1)在0<|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，z的系數是（）。A.1B.-1C.0D.1/2三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數中，在|z|<1區(qū)域內可以展開為洛朗級數的是（）。A.1/(1-z)B.1/(1+z2)C.1/(z-1)D.1/(z2+1)2.函數f(z)=1/(z(z-1))在0<|z|<1和1<|z|<∞區(qū)域內的洛朗展開式分別是（）。A.∑_{n=0}^∞z??-∑_{n=0}^∞(1/z)?B.∑_{n=0}^∞z??+∑_{n=0}^∞(1/z)?C.∑_{n=0}^∞(1/z)?-∑_{n=0}^∞z??D.∑_{n=0}^∞(1/z)?+∑_{n=0}^∞z??3.函數f(z)=e^z/(z2+1)在|z|>1區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.e^z/z2B.e^z/zC.e^zD.e^(-z)4.函數f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.sin(π)B.zcos(π)C.-zsin(π)D.z2cos(π)5.函數f(z)=1/(z-1)在0<|z-1|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.1/(z-1)B.1/(z-1)2C.1D.-16.函數f(z)=log(z)/z在0<|z|<∞區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.log(z)B.-log(z)/z2C.1/zD.-1/z27.函數f(z)=z/(z2-1)在|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.z/(z+1)B.z/(z-1)C.-z/(z+1)D.-z/(z-1)8.函數f(z)=e^z/(z2+1)在|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.e^z/z2B.e^z/zC.e^zD.e^(-z)9.函數f(z)=1/(z-1)在1<|z|<∞區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.1/(z-1)B.1/(z-1)2C.1/zD.-1/z210.函數f(z)=sin(z)/(z2-1)在0<|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式中，包含的項有（）。A.sin(z)/(z+1)B.sin(z)/(z-1)C.-sin(z)/(z+1)D.-sin(z)/(z-1)四、案例分析（每題6分，共18分）1.函數f(z)=1/(z(z-1)(z-2))在0<|z|<1區(qū)域內的洛朗展開式。2.函數f(z)=e^z/(z2+1)在|z|>1區(qū)域內的洛朗展開式。3.函數f(z)=sin(z)/(z-π)在z=π處的洛朗展開式。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述洛朗展開式在復變函數理論中的重要性及其應用場景。2.比較洛朗展開式與泰勒展開式的異同，并舉例說明。---標準答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.×（正冪項反映無窮遠點行為）5.√6.√7.×（收斂半徑小于等于1）8.√9.√10.√解析：-第4題：洛朗展開式中的正冪項反映函數在無窮遠點附近的行為，而非原點附近。-第7題：洛朗級數的收斂半徑由函數的奇點決定，不可能大于1。二、單選題1.B2.A3.B4.B5.D6.A7.D8.A9.D10.C解析：-第2題：1/(1-z)=∑_{n=0}^∞z??，-1/z的系數為1。-第8題：1/(z-1)=∑_{n=0}^∞(z-1)??，1的系數為1。三、多選題1.A,B2.A,C3.A,B,C4.A,B,C5.A,B6.A,B,C7.A,B8.A,B,C9.A,C10.A,B,C解析：-第1題：1/(1-z)=∑_{n=0}^∞z??，1/(1+z2)不能展開為洛朗級數。-第4題：sin(z)/(z-π)=sin(π)+zcos(π)-z2sin(π)/2+...四、案例分析1.解析：f(z)=1/(z(z-1)(z-2))=1/z-1/z2+1/z-1/(z-1)+1/(z-2)在0<|z|<1區(qū)域內，展開式為：1/z-1/z2+1/z-1/(z-1)+1/(z-2)=2/z-1/z2-1/(z-1)+1/(z-2)2.解析：f(z)=e^z/(z2+1)=e^z/(z-i)(z+i)在|z|>1區(qū)域內，展開式為：e^z/(z2+1)=e^z/(z2)-e^z/(z2)+...3.解析：f(z)=sin(z)/(z-π)=sin(π)+zcos(π)-z2sin(π)/2+...在z=π處，展開式為：sin(π)/(π-π)+zcos(π)/(π-π)-z2sin(π)/(π-π)2+...五、論述題1.解析：洛朗展開式是復變函數理論的核心工具，用于研究函數在奇點附近的行為。其重要性體現在：-揭示函數在孤