2026復(fù)變函數(shù)微分技巧練習(xí)試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)微分技巧練習(xí)試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生、考研備考學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為解析函數(shù)。3.若f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。4.柯西積分定理要求積分路徑為封閉曲線。5.柯西積分公式適用于任意解析函數(shù)。6.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。7.若f(z)在z?處解析，則沿任意路徑∫f(z)dz為常數(shù)。8.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂。9.留數(shù)定理適用于所有復(fù)變函數(shù)。10.若f(z)在z?處有極點(diǎn)，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式中，z3項(xiàng)的系數(shù)為（）A.1B.0C.1/6D.1/33.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)為（）A.-1B.1C.-1/2D.1/24.柯西積分公式∫_{|z|=1}(z+1)/(z2+1)dz的值為（）A.πiB.0C.πi/2D.-πi5.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值為（）A.0B.1C.-1D.i6.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）A.-i/2B.i/2C.-1D.17.解析函數(shù)f(z)滿足f(z)=f(1/z)，則f(z)可能為（）A.z2B.z3C.1/zD.e^z8.函數(shù)f(z)=z2/(z2+1)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式中，z項(xiàng)的系數(shù)為（）A.0B.1C.-1D.29.柯西積分定理要求被積函數(shù)在（）A.整個(gè)路徑上解析B.路徑內(nèi)部解析C.路徑外部解析D.路徑上連續(xù)10.函數(shù)f(z)=z/(z-1)在z=1處的極點(diǎn)階數(shù)為（）A.1B.2C.0D.無(wú)窮三、多選題（每題2分，共20分）1.解析函數(shù)的性質(zhì)包括（）A.滿足柯西-黎曼方程B.可微性C.泰勒級(jí)數(shù)收斂D.留數(shù)為零2.柯西積分公式適用于（）A.解析函數(shù)B.封閉路徑C.單連通區(qū)域D.多連通區(qū)域3.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的前三項(xiàng)為（）A.1+z+z2/2B.1+z+z3/6C.1+z+z2/6D.1+z2/2+z3/64.留數(shù)定理可用于計(jì)算（）A.∫_{|z|=1}f(z)dzB.∫_{|z|=2}f(z)dzC.∫_{|z|=1}(z+1)/(z2+1)dzD.∫_{|z|=2}(z+1)/(z2+1)dz5.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足（）A.柯西-黎曼方程B.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C.拉普拉斯方程D.極值原理6.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開式包括（）A.z2B.z?1C.z?2D.z?37.柯西積分定理的推論包括（）A.解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍解析B.∫_{|z|=R}f(z)dz=0（若f(z)在內(nèi)部解析）C.∫_{|z|=R}zdz=0D.∫_{|z|=R}1dz=2πi8.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的前三項(xiàng)為（）A.z-z3/6B.z+z3/6C.z-z2/2D.z+z2/29.留數(shù)的計(jì)算方法包括（）A.直接代入B.洛朗級(jí)數(shù)展開C.柯西積分公式D.極點(diǎn)階數(shù)法10.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足（）A.拉普拉斯方程B.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C.極值原理D.柯西-黎曼方程四、案例分析（每題6分，共18分）1.計(jì)算積分∫_{|z|=1}(z2+2z+3)/(z-1)dz，其中f(z)在|z|=1內(nèi)解析。2.已知函數(shù)f(z)=z/(z2+1)，計(jì)算其在z=i處的留數(shù)，并求∫_{|z|=2}f(z)dz。3.證明函數(shù)f(z)=e^z在z=0處解析，并求其泰勒級(jí)數(shù)展開式的前五項(xiàng)。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述柯西積分定理的條件和意義，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。2.比較解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的可微性差異，并說(shuō)明復(fù)變函數(shù)中解析性的重要性。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√（解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)）2.√（解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍解析）3.×（解析函數(shù)在z?的去心鄰域內(nèi)解析，但z?本身可去極點(diǎn)）4.√（柯西積分定理要求積分路徑為封閉曲線）5.×（柯西積分公式要求被積函數(shù)在路徑內(nèi)部解析）6.√（解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程）7.×（沿任意路徑積分值與路徑無(wú)關(guān)，但非常數(shù)）8.√（解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂）9.×（留數(shù)定理適用于解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算）10.×（極點(diǎn)處函數(shù)不解析，但去心鄰域內(nèi)解析）二、單選題1.B（f'(z)=2z+2，z=1時(shí)f'(1)=4）2.A（e^z的泰勒級(jí)數(shù)為1+z+z2/2!+z3/3!+…，z3項(xiàng)系數(shù)為1/6）3.A（留數(shù)Res(f,z=2)=lim_{z→2}(z-2)f(z)=lim_{z→2}(z-2)/(z-1)=-1）4.C（f(z)=(z+1)/(z-1)(z+1)，z=±i為極點(diǎn)，∫_{|z|=1}f(z)dz=πi/2）5.C（sin(π)=-1）6.A（Res(f,z=i)=lim_{z→i}(z-i)f(z)=lim_{z→i}z/(z+i)=-i/2）7.C（1/z滿足f(z)=f(1/z)）8.A（f(z)=1/(z+1)-1/(z-1)，z=0時(shí)洛朗級(jí)數(shù)為1-z+z2-z3+…，z項(xiàng)系數(shù)為0）9.A（柯西積分定理要求被積函數(shù)在路徑上解析）10.A（z/(z-1)在z=1處單極點(diǎn)）三、多選題1.ABC（解析函數(shù)滿足柯西-黎曼方程、可微性、泰勒級(jí)數(shù)收斂）2.ABC（柯西積分公式適用于解析函數(shù)、封閉路徑、單連通區(qū)域）3.AC（e^z的泰勒級(jí)數(shù)為1+z+z2/2!+z3/3!+…，前三項(xiàng)為1+z+z2/2）4.AD（留數(shù)定理適用于封閉路徑積分，且路徑內(nèi)包含極點(diǎn)）5.AD（柯西-黎曼方程、極值原理）6.ABC（洛朗級(jí)數(shù)包含z2、z?1、z?2）7.AB（解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍解析、∫_{|z|=R}f(z)dz=0若f(z)在內(nèi)部解析）8.AB（sin(z)的泰勒級(jí)數(shù)為z-z3/6+z?/120+…，前三項(xiàng)為z-z3/6）9.ABCD（留數(shù)計(jì)算方法包括直接代入、洛朗級(jí)數(shù)、柯西積分公式、極點(diǎn)階數(shù)法）10.AD（柯西-黎曼方程、極值原理）四、案例分析1.解：f(z)=z2+2z+3在|z|=1內(nèi)解析，∫_{|z|=1}f(z)/(z-1)dz=2πiRes(f/(z-1),z=1)=2πi(2+1)=6πi。2.解：Res(f,z=i)=lim_{z→i}(z-i)f(z)=lim_{z→i}z/(z+i)=-i/2?！襙{|z|=2}f(z)dz=2πiRes(f,z=i)=-πi。3.證明：e^z在z=0處解析，泰勒級(jí)數(shù)為1+z+z2/2!+z3/3!+z?/4!=