年普通高等學(xué)校招生考試模擬卷(三)(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A＝{x|x2<4}，集合B＝{0，1，2}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0，1} D．{0，1，2}C[由A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，又B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}．]2．若復(fù)數(shù)z滿足zz?1＝1－i，其中i為虛數(shù)單位，則|z|A．2 B．3C．1 D．2A[由zz?1＝1－i，得z＝(1－i)(z－1)＝(1－i)z－1＋得z＝?1+ii＝1＋i，所以|z|＝23．已知向量a＝(1，4)，b＝(2，x)，若b∥(2a＋b)，則x＝()A．8 B．4C．2 D．－8A[2a＋b＝(4，8＋x)，由b∥(2a＋b)得4x＝2(8＋x)，解得x＝8．]4．已知cos(α＋β)＝－12，cos(α－β)＝13，則tanαtanβA．－5 B．－15C．15 A[由cos(α＋β)＝－12，cos(α－β)＝13可得cosαcosβ－sinαsinβ＝－12，cosαcosβ＋sinαsinβ兩式相加可得2cosαcosβ＝－16，則cosαcosβ＝－1兩式相減可得2sinαsinβ＝56，則sinαsinβ＝5故tanαtanβ＝sinαsinβcos5．已知高為3的圓錐的底面半徑是圓柱底面半徑的兩倍，圓柱的高為圓錐高的兩倍，且圓錐和圓柱的側(cè)面積相等，則圓錐的體積為()A．33π4 C．33π D．9C[設(shè)圓柱底面半徑為r，則圓錐底面半徑為2r．因?yàn)閳A錐的高為3，所以圓柱的高為23．因?yàn)閳A錐和圓柱的側(cè)面積相等，所以S＝π·2r·3+4r2＝2πr·23，解得r＝所以圓錐的體積為V＝13π·(2r)2·3＝336．當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，曲線y＝sin2x與y＝2sin2xA．3 B．4C．6 D．8B[在同一坐標(biāo)系中畫出圖形，如圖所示，則兩個(gè)函數(shù)在[0，2π]上有4個(gè)交點(diǎn)．]7．已知函數(shù)f(x)＝ax+2cosx，x≤0，aA．[－3，－2) B．(－3，－2]C．[－3，－2] D．(－3，－2)C[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ax+2cosx，x所以當(dāng)x≤0時(shí)，f'(x)＝a－2sinx≤0恒成立，則a≤(2sinx)min＝－2；當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝ax2－x－2a－4在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，若a＝0，f(x)＝－x－4，符合題意，若a≠0，則a<0，12a<0?a<0又分段點(diǎn)處也要滿足單調(diào)遞減的性質(zhì)，所以－2a－4≤2，解得a≥－3．綜上所述，a的取值范圍是[－3，－2]．]8．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－2)＝－1，f(1－x)為奇函數(shù)，f(x－1)為偶函數(shù)．若g(x)＝2f(x)+3，0<xA．5 B．6C．7 D．8D[因?yàn)閒(1－x)為奇函數(shù)，則f(1－x)＝－f(1＋x)，用x＋1代替x可得，f(－x)＝－f(x＋2)．因?yàn)閒(x－1)為偶函數(shù)，則f(x－1)＝f(－x－1)，用x＋1代替x可得，f(x)＝f(－x－2)，所以f(－x)＝f(x－2)．故－f(x＋2)＝f(x－2)?f(x)＝－f(x＋4)，再用x＋4代替x，則f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，即函數(shù)f(x)的周期為8．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為8，所以f(10)＝f(2＋8)＝f(2)．由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝0，可得f(0)＝－f(2)．又f(x－1)＝f(－x－1)，令x＝1，則f(0)＝f(－2)＝－1，所以f(2)＝－f(0)＝1，即f(10)＝1．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為8，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)．由f(1－x)＝－f(1＋x)，令x＝0，可得f(1)＝－f(1)，即2f(1)＝0，所以f(1)＝0，即f(17)＝0．已知g(x)＝2f(x)+3，0<x≤10，log2[f(x)+8]，x>10，則g(10)＝2f(10)＋3＝21＋3＝5，g(17)＝log所以g(10)＋g(17)＝5＋3＝8．]二、選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某工廠為了提升產(chǎn)量，研究引進(jìn)了新技術(shù)．現(xiàn)抽取一條生產(chǎn)線作為樣本，在使用新技術(shù)后，每天的產(chǎn)量為450，樣本方差為4，已知沒有使用新技術(shù)前，該生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量為440，樣本方差為9，若未使用新技術(shù)的日產(chǎn)量X與使用新技術(shù)后的日產(chǎn)量Y都服從正態(tài)分布，則()A．X~N(440，92)B．Y~N(450，22)C．P(X≤450)>P(Y≤450)D．P(Y≥430)<P(Y≤460)BC[對于選項(xiàng)A，未使用新技術(shù)時(shí)，日產(chǎn)量X的均值為440，方差為9，得X~N(440，32)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，使用新技術(shù)時(shí)，日產(chǎn)量Y的均值為450，方差為4，Y~N(450，22)，故B正確；對于選項(xiàng)C，P(X≤450)>0.5，P(Y≤450)＝0.5，所以P(X≤450)>P(Y≤450)，故C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)閅服從正態(tài)分布，其圖象關(guān)于x＝450對稱，所以P(Y≥430)＝P(Y≤470)，所以P(Y≥430)>P(Y≤460)，故D錯(cuò)誤．]10．設(shè)函數(shù)f(x)＝13x3－x－2，A．f'(2)＝3B．函數(shù)f(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)遞增C．f(x)有一個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>f(x2)AC[對于A，由f'(x)＝x2－1，可得f'(2)＝3，故A正確；對于B，令f'(x)＝x2－1＝0，解得x＝－1或x＝1，當(dāng)x<－1或x>1時(shí)，f'(x)>0，即f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)－1<x<1時(shí)，f'(x)<0，即f(x)在(－1，1)內(nèi)單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)的極小值為f(1)＝－83<0，極大值為f(－1)＝－43因此函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對于D，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，則當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，又當(dāng)0<x<1時(shí)，x>x2，所以f(x)<f(x2)，故D錯(cuò)誤．]11．雙紐線，也稱伯努利雙紐線，伯努利雙紐線的描述首見于1694年，雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理．橢圓是由到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，而卡西尼卵形線則是由到兩定點(diǎn)距離之乘積為定值的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)此定值使得軌跡經(jīng)過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)時(shí)，軌跡便為伯努利雙紐線．已知曲線C(如圖所示)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)P(x，y)滿足到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－a，0)，F(xiàn)2(a，0)(a>0)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＝2B．點(diǎn)M(x，1)(x>0)在C上，則|MF1|＝22C．點(diǎn)N在橢圓x26＋y22＝1上，若F1N⊥F2N，D．過F2作x軸的垂線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|<2ACD[由題意，|PF1|·|PF2|＝4，即(x+a)2對于A，因?yàn)榍€C過原點(diǎn)O，將O(0，0)代入，解得a＝2，故A正確；對于B，由點(diǎn)M(x，1)(x>0)在C上，得|MF1||MF2|＝[(x+2)化簡得x4－6x2＋9＝0，解得x＝3，|MF1|＝(3+2)2+1≠22，對于C，橢圓x26＋y22＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為F1(－2，0)與F2(2，0)，則|F1N|＋|F2N|由F1N⊥F2N，得|F1N|2＋|F2N|2＝16，則|F1N|·|F2N|＝(＝4，N∈C，故C正確；對于D，設(shè)A(2，y)，則|AB|＝2|y|，而A∈C，則|AF1|＝4y又根據(jù)勾股定理得|AF1|2＝16＋y2，則16y2＝16＋y2，化簡得y4＋16y2－16＝解得y2＝45－8，y2－1＝45－9<0，因此|y|<1，|AB|<2，故D正確．]三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12．直線y＝x與雙曲線x2a2－y28＝1(a>0)相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B3[由A，B兩點(diǎn)在直線y＝x上，設(shè)A(x0，x0)(x0>0)，由對稱性可知，A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以B(－x0，－x0)，由A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為－8，得x0·(－x0)＝－8，解得x0＝22，所以A(22，22)，代入雙曲線方程得8a2－1＝1，解得a＝所以c＝a2+b2所以離心率為ca＝23213．已知直線l：y＝kx是曲線f(x)＝ex+1和g(x)＝lnx＋a的公切線，則實(shí)數(shù)a＝________．3[設(shè)直線l與曲線y＝f(x)相切于點(diǎn)(x0，y0)，由f'(x)＝ex+1，得k＝f'(x0)＝ex0+1，因?yàn)閘與曲線f(x)＝ex所以y0=ex0+1x0，y0=ex0+1設(shè)l與曲線y＝g(x)相切于點(diǎn)(x1，y1)，由g'(x)＝1x，得k＝e2＝1x1，即e2x1因?yàn)?x1，y1)是l與曲線g(x)＝lnx＋a的公共點(diǎn)，所以y1=e2x1，y1=lnx1+a，消去y1，得e2x1＝lnx114．甲、乙兩位同學(xué)一起玩擲骰子的游戲，骰子為均勻的正方體，且正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)注了點(diǎn)數(shù)1，2，…，6．現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)輪流擲骰子，規(guī)定玩家完成一輪投擲的規(guī)則如下：①玩家開始投擲骰子，若玩家擲出的點(diǎn)數(shù)為6，則獲得6分，且玩家繼續(xù)擲骰子，本輪投擲繼續(xù)；②若玩家擲出的點(diǎn)數(shù)小于6，則獲得相應(yīng)點(diǎn)數(shù)的得分，此時(shí)將骰子交給對手投擲，該玩家完成了一輪投擲．規(guī)定“甲、乙兩人各完成一輪投擲”為完成了一輪游戲，則甲在三輪游戲中共得14分的概率為________．118[①甲在三輪游戲中未擲出6點(diǎn)時(shí)，則三輪得分為5，5，4，共有3種情況，概率為p1＝3×163，②甲在三輪游戲中擲出過6點(diǎn)時(shí)，則僅可能在其中一輪擲出一次6點(diǎn)，共有3種情況，且僅拋擲4次骰子，分別記另外三次擲出的點(diǎn)數(shù)為x，y，z，則x＋y＋z＝8，且x，y，z∈{1，2，3，4利用隔板法可得，共有C72－3＝18種情況(其中3指的是兩次1，一次6的情況概率為p2＝3×18×164＝9×綜上，甲在三輪游戲中共得14分的概率p＝p1＋p2＝3×163＋9×16四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(13分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，3a－c＝3bcosC．(1)求sinB；(2)若△ABC的面積為2，a＋c＝3b，求△ABC的周長．[解](1)由3a－c＝3bcosC和正弦定理，得3sinA－sinC＝3sinBcosC，因?yàn)閟inA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，代入化簡得sinC(3cosB－1)＝0，因?yàn)?<C<π，則sinC>0，故cosB＝13因?yàn)?<B<π，故sinB＝1?cos2B(2)△ABC的面積為12acsinB＝23ac＝2，解得ac＝由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－8，因?yàn)閍＋c＝3b，代入解得b＝2，則a＋c＝23，故△ABC的周長為23＋2．16．(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝3．(1)證明：BC∥平面PAD；(2)求平面PBC與平面PAD夾角的余弦值；(3)若Q為線段PC的中點(diǎn)，求三棱錐P-BDQ的體積．[解](1)證明：因?yàn)锽C＝1，AB＝3，AC＝2，則AB⊥BC，又AB⊥AD，A，B，C，D四點(diǎn)共面，則AD∥CB，因?yàn)锽C?平面PAD，AD?平面PAD，則BC∥平面PAD．(2)如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，1，0)，P(0，0，2)，則BC＝(0，1，0)，PB＝(3，0，－2)，設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x，y，z)，則m令x＝2，則m＝(2，0，3)，易知n＝(1，0，0)為平面PAD的一個(gè)法向量，則|cos<m，n>|＝|m·n|mn＝所以平面PBC與平面PAD夾角的余弦值為27(3)S△BCD＝12BC·AB＝12×1×3＝因?yàn)镼為線段PC的中點(diǎn)，則VP-BDQ＝VQ-BDP＝12VC-BDP＝12VP-BDC＝16S△BCD·PA＝16×3217．(15分)已知函數(shù)f(x)＝alnx－x＋1(a∈R)．(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)對任意的x1，x2∈(0，1]，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有14[f(x1)－f(x2)]<x2?x[解](1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f'(x)＝ax－1＝a當(dāng)a>0時(shí)，由f'(x)<0得x>a，由f'(x)>0得0<x<a．綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，＋∞)．(2)由14[f(x1)－f(x2)]<x2?x1x1x2，化簡為f(x1即f(x1)－4x1<f(x2)－令g(x)＝f(x)－4x＝alnx－x－4x＋因?yàn)閤1<x2，g(x1)<g(x2)，所以函數(shù)g(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，故g'(x)＝ax－1＋4x2≥0在(0，1]上恒成立，即a≥x－4x在(0設(shè)y＝x－4x，y'＝1＋4x2>0，所以y＝x－4x在(0所以a≥x?4xmax＝1綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－3，＋∞)．18．(17分)已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a>b(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線y＝kx＋2(k<0)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線y＝x與直線AB交于點(diǎn)N，若∠AON＝∠BON(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，求k的值．[解](1)由題意得b=3所以橢圓E的方程為x24＋y(2)由y=kx+2，x24+y23=1，得(3＋4k由Δ＝256k2－4(3＋4k2)×4>0，得k2>14又k<0，所以k<－12設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝?16k3+4k2，x1x不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，因?yàn)椤螦ON＝∠BON，又∠AON<π4此時(shí)，直線OB的傾斜角為α＝π4－∠BON直線OA的傾斜角為β＝π4＋∠AON所以α＋β＝π2由題可知直線OA和OB的斜率都存在，分別設(shè)為kOA和kOB，則kOA·kOB＝1．因?yàn)閗OA＝y(tǒng)1x1，kOB所以y1x1·y即x1x2＝y(tǒng)1y2．由x1x2＝(kx1＋2)(kx2＋2)，得(1－k2)x1x2＝2k(x1＋x2)＋4，所以(1－k2)×43+4k2＝2k×整理得k2＝23，又k<－12，所以k＝－19．(17分)已知數(shù)列{an}滿足an+1－an＝2023(an－1)(n∈N*)，a1＝2025．(1)求證：數(shù)列{an－1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}