第1頁/共5頁2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷A.πB.πC.πD.πA.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 A.14B.C.5.若點(diǎn)P（1，-1）在圓C：x2+y2-x+y+m=0的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()6.已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線PD的距離是()第2頁/共5頁7.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若B1F∥平面A1BE，則λ=()A.B.C.D.-2上，則3x-4y+4的取值范圍為()A.9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是()B.若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C則A,B,C三點(diǎn)共線.C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底(-3,x,9)，若x<，則,為鈍角.A.直線l過定點(diǎn)?1,1B.當(dāng)k=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為x+D.直線l一定經(jīng)過第四象限11.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點(diǎn)，以下說法正確的是()第3頁/共5頁A.A1CB.C到平面EFG的距離為 C.過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是32D.平面EGF與平面BCC1B1夾角余弦值為12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C:x2+y2=1，點(diǎn)P為直線l:x-y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則()A.圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為B.圓C與曲線：x2+y2-6x-8y+m=0恰有三條公切線，則m=9C.過點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，上OPQ可以為60oD.過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為M,N，則直線MN恒過定點(diǎn)三、填空題（共4題，每題5分，共20分）13.已知直線l的方向向量為(2,m,1)，平面α的法向量為，且l//α,那么m=14.已知圓C：x2+y2-4x-2y+1=0，圓C的弦AB被點(diǎn)P(2,0)平分，則弦AB所在的直線方程是.________)是空間直角坐標(biāo)系O-xyz內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．若點(diǎn)P在平面xOy上的射影為M，則四面體O-PQM的體積為.16.已知點(diǎn)P(-3,0)在動(dòng)直線mx+ny-(m+3n)=0上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)N則iMNi的最大值第4頁/共5頁18.已知直線l過點(diǎn)P(4,1)且與x軸、y軸正半軸分別交于A，B.（1）當(dāng)△OAB面積為8時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)求直線l的方程；（2）求直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最小值及此時(shí)直線的方程.E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值.-3.（2）判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面，并說明理由.21.已知圓C:x2+y2-Dx-Ey-4=0關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，且(4,2)在圓上.第5頁/共5頁（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；·（2）若直線l:(m+1)x-(2m+1)y-m-2=0與圓C交于點(diǎn)A，B，求VABC面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.△PBC為等邊三角形，點(diǎn)E是棱BC上的一動(dòng)點(diǎn).(Ⅰ)求證：CD丄平面PBD；(Ⅱ)求直線PE與平面PAD所成角的正弦值的最大值.第1頁/共22頁2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出線線角的余弦即可得解.而0≤θ≤,所以θ=.故選：CA.2B.3C.2或3D.2或3【答案】C【解析】【分析】依題意可得2×3—(m+1)m=0，求出m的值，再檢驗(yàn)即可.故選：C向圓C作切線，切點(diǎn)為B，則AB=()第2頁/共22頁 A.14B.【答案】C【解析】【分析】以勾股定理即可求得線段AB的長.【詳解】圓(x-1)2+(y+2)2=4的圓心C(1,-2)，半徑r=2，又A(-2,-1)， i102-22=故選：C4.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，AB=a，AD=b【答案】A【解析】故選：A.5.若點(diǎn)P（1，-1）在圓C：x2+y2-x+y+m=0的外部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()【答案】C第3頁/共22頁【解析】·【分析】將P點(diǎn)代入圓可得m的不等式，結(jié)合圓的一般方程構(gòu)成圓的條件，可得m的取值范圍.【詳解】解：若點(diǎn)P（1，-1）在圓C：x2+y2-x+y+m=0的外部，有1+111+m＞0，且由x2+y2-x+y+m=0構(gòu)成圓的條件可知：(12)+124m＞0，可得：m＞0且m＜，即：0＜m<,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及圓的一般方程，相對(duì)簡單.6.已知四棱錐PABCD的底面為正方形，PA丄平面ABCD，PA=AB=1，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線PD的距離是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量求法即得.所以第4頁/共22頁所以點(diǎn)E到直線PD的距離是故選：D.7.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且若B1F∥平面A1BE，則λ=()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求平面A1BE的法向量，根據(jù)線面平行可得n.B1F=0，運(yùn)算求解即可.【詳解】如圖所示，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，可得第5頁/共22頁又因?yàn)椋瑒t，故選：C.2上，則3x4y+4的取值范圍為()【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，問題轉(zhuǎn)化為半圓上的點(diǎn)到定直線的距離的5倍，進(jìn)而求出結(jié)果.44x2|3x4y+4|表示點(diǎn)(x,y)到直線3x4y+4=0距離的5倍，故選：B第6頁/共22頁9.下面四個(gè)結(jié)論正確的是()B.若空間四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C，PC=4PA+4PB，則A,B,C三點(diǎn)共線.(-3,x,9)，若x<，則,為鈍角.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的概念，空間向量的基本定理，以及空間向量基底的定義和空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若非零空間向量,,滿足丄,丄，不一定滿足//，所以A不正確；又因?yàn)楱C與–B有公共點(diǎn)，所以A,B,C三點(diǎn)共線，所以B正確；所以,,可以作為一個(gè)空間基底，所以C正確；對(duì)于D中，若,為鈍角，則.<0，且與不共線，當(dāng)與不共線得x≠-3，所以當(dāng)x<且x≠-3時(shí)，,為鈍角，所以D錯(cuò)誤.故選：BCA.直線l過定點(diǎn)?1,1B.當(dāng)k=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為x+C.點(diǎn)P(3,-1)到直線l的最大距離為2D.直線l一定經(jīng)過第四象限第7頁/共22頁【答案】ABC【解析】【分析】化簡直線方程y-1=k(x+1)，聯(lián)立方程組，可判定A正確；由直線l:y=x+2，結(jié)合對(duì)稱性和直線方程，可判定B正確；結(jié)合直線MP丄l時(shí)，點(diǎn)P(3,-1)到直線l的距離最大，可判定C正確；根據(jù)直線l不一定經(jīng)過第四象限，可判定D錯(cuò)誤.聯(lián)立方程組解得所以直線l過定點(diǎn)?1,1，所以A正確；在直線l上取兩點(diǎn)A(0,2),B(-2,0)，則點(diǎn)A(0,2)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A,(0,-2)，點(diǎn)B(?2,0)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B,(-2,0)，對(duì)于C，由A項(xiàng)知直線l過定點(diǎn)M(-1,1)，則當(dāng)直線MP丄l時(shí)，點(diǎn)P(3,-1)到直線l的距離最大，對(duì)于D，直線l不一定經(jīng)過第四象限，比如：當(dāng)k=1時(shí)，直線l：y=x+2不經(jīng)過第四象限，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點(diǎn)，以下說法正確的是()第8頁/共22頁A.A1CB.C到平面EFG的距離為 C.過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是3233D.平面EGF與平面BCC1B1夾角余弦值為3【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，用空間向量計(jì)算證明垂直即可判斷；對(duì)于B，用空間向量求平面EFG對(duì)于D，用空間向量求平面的法向量再計(jì)算二面角的余弦值即可判斷.【詳解】以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，向量A1C為平面EFG的法向量，且所以C到平面EFG的距離為第9頁/共22頁作C1D1中點(diǎn)N，BB1的中點(diǎn)M，DD1的中點(diǎn)T，連接GN，GM，F(xiàn)M，TN，ET，則正六邊形EFMGNT為對(duì)應(yīng)截面面積，正六邊形邊長為·,故選：ABD.A.圓C上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為C.過點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為Q，上OPQ可以為60oD.過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為M,N，則直線MN恒過定點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，求出圓心到直線的距離，將圓上點(diǎn)到直線的最短距離與比較即可；對(duì)B，轉(zhuǎn)化為兩圓外 切即可；對(duì)C，求出sin上OPQ最大值為，即上OPQ最大為45o；對(duì)D切點(diǎn)弦MN方程，不論x0如何變化，直線MN恒過定點(diǎn).【詳解】選項(xiàng)A，由題知，圓心(0,0)到直線的距離為圓的半徑為1，第10頁/共22頁+42當(dāng)oP最小時(shí)，sin上OPQ取最大值，上OPQ最大，過點(diǎn)O作OP,丄l，垂足為P,，此時(shí)oP最小，最小值為，即sin上OPQ最大值為，上OPQ最大為45。，不可能為60o，故C選項(xiàng)D，設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，切點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，可得切線MP方程為x1x+y1y=1，由點(diǎn)P在切線上，得x1x0+y1y0=1，故點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都在直線x0x+y0y=1上，即直線MN的方程為x0x+y0y=1，又由點(diǎn)P(x0,y0)在直線l:x-y-2=0上，則y0=x0-2，代入直線方程整理得(x+y)x0-2y-1=0，由解得即直線MN恒過定點(diǎn)，故D正確.故選：BD.第11頁/共22頁三、填空題（共4題，每題5分，共20分）13.已知直線l的方向向量為(2,m,1)，平面α的法向量為，且l//α,那么m=【答案】-8【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線的方向向量與平面法向量互相垂直，結(jié)合向量的數(shù)量積列出方程，即可求解.【詳解】由直線l的方向向量為(2,m,1)，平面α的法向量為，因?yàn)閘//α,可得直線的方向向量與平面法向量互相垂直，所以2+m+2=0，故答案為：-814.已知圓C：x2+y2-4x-2y+1=0，圓C的弦AB被點(diǎn)P(2,0)平分，則弦AB所在的直線方程是.________【解析】得到kAB=0，由點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】因?yàn)閳AC：x2+y2-4x-2y+1=0，所以化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-2)2+(y-1)2=4，所以圓心C(2,1).又圓C的弦AB被點(diǎn)P(2,0)平分，故AB丄PC，而直線PC斜率不存在，所以kAB=0，由于AB過點(diǎn)P(2,0)，故直線AB的方程為：y=0.第12頁/共22頁)是空間直角坐標(biāo)系O-xyz為．若點(diǎn)P在平面xOy上的射影為內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)M，則四面體O-PQM的體積為.【答案】①.（123）②.2【解析】【分析】由空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)求解，利用棱錐的體積公式直接求解【詳解】P(1,2,3)是空間直角坐標(biāo)系O-xyz內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-23因?yàn)辄c(diǎn)P在平面xOy上的射影為M，所以M(1,2,0)，故答案為123216.已知點(diǎn)P(-3,0)在動(dòng)直線mx+ny-(m+3n)=0上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)N則MN的最大值【答案】##5.5【解析】【分析】化簡直線為m(x-1)+n(y-3)=0，得到恒過定點(diǎn)M,(1,3)，根據(jù)題意，得到點(diǎn)M落在以PM,為直徑的圓上，其中半徑為結(jié)合MNmax=AN+r，即可求解.由方程組，解得x=1,y=3，可得直線恒過定點(diǎn)M,(1所以點(diǎn)M落在以PM,為直徑的圓上，其中圓的半徑為設(shè)PM,的中點(diǎn)為A，可得A(-1,)，第13頁/共22頁故答案為：.2【答案】證明見解析【解析】垂直，即線線垂直.由（1）－（2）得OA.OC-OC.OB=018.已知直線l過點(diǎn)P(4,1)且與x軸、y軸正半軸分別交于A，B.第14頁/共22頁（1）當(dāng)△OAB面積為8時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)求直線l的方程；（2）求直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最小值及此時(shí)直線的方程.【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程y-1=k(x-4)，其中(k<0)，求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)三角形面積求出k即可得解；（2）根據(jù)均值不等式求出截距和的最小值，求出取等號(hào)時(shí)的k即可得直線方程.【小問1詳解】由題意可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-4)，其中(k<0)它與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)由題意得解得.故所求直線方程為x+4y-8=0.【小問2詳解】由（1）知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線方程為x+2y-6=0.E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn).第15頁/共22頁（2）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值. 【答案】（1）證明見解析2）.【解析】【分析】（1）通過證明PA⊥AE和AE⊥AD，可證得AE⊥平面PAD，從而得證；（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AEF的一個(gè)法向量，平面AFC的一個(gè)法向量．通過空間向量夾角余弦公式求解二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，上ABC=60。，可得VABC為正三角形，而PA面PAD，AD面PAD，且PA∩AD=A又PA面PAD，∴AE丄PD.（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn),0,0設(shè)平面AEF的法向量為第16頁/共22頁則y1取z1.5【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離..（2）判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面，并說明理由.（2）P，A，B，C四點(diǎn)不共面，理由見解析【解析】第17頁/共22頁–A,–B–→,–l-1=2m-n22-3（2）根據(jù)共面向量定理，結(jié)合第（1）問驗(yàn)證系數(shù)和不等于1，不滿足條件，得到四點(diǎn)不共面.【小問1詳解】-3所以{2=m+n，方程組無解，所以{2=m+n，方程組無解，l-1=2m-n–A,–B–→,–可以構(gòu)成空間的一組基底，所以，得-e2=a--c-a-c+a--c-e2=a--c-a-c+a--c【小問2詳解】第18頁/共22頁21.已知圓C:x2+y2DxEy—4=0關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，且(4,2)在圓上.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l:(m+1)x(2m+1)ym2=0與圓C交于點(diǎn)A，B，求VABC面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程.(x1)22（2xy2=0或7xy20=0.【解析】求得D,E的值，即可求解；時(shí)，VABC面積最大，求得面積的最大值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得m的值，即可求解.【小問1詳解】(DE)(22,(DE)(22,【小問2詳解】又由由（1）圓心為C(1,2)，可得PC=·i5，因?yàn)镾△ABC=sinLACB，所以當(dāng)LACB=90。時(shí)，VABC面積最大，第19頁/共22頁此時(shí)VABC為等腰直角三角形，VABC面積最大值