第1頁/共5頁深圳市福田區(qū)外國語高級中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科（期中考）試題2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,一3,5)關(guān)于平面yoz對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()5.圓x2+y2-2x-3=0與圓x2+y2-4x+2y+3=0的位置關(guān)系是()A.相離B.內(nèi)含C.相切D.相交第2頁/共5頁 A.·i2B.C.127.若圓C與圓(x+2)2+(y-1)2=1關(guān)于直線y=x-1對稱，則圓C的方程是()A.2C.2228.若直線l:kx-y-2=0與曲線2=x-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.B.C.D.9.(多選題)若向量a-＝(1，2，0)(－2，0，1)，則下列結(jié)論正確的是(10.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且短軸長為2，離心率為過焦點(diǎn)F1作y軸的垂線，交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則下列說法正確的是()22A.橢圓方程為+x2=1B.橢圓方程為+y2=111.已知直線l:(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0，圓C:x2+y2-2x-4y-20=0，則以下命題正確的第3頁/共5頁A.直線l恒過定點(diǎn)(-3,-1)B.直線l與圓C恒相交C.圓C被x軸截得的弦長為2D.圓C被直線l截得的弦最短時(shí)，m=12.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均相等，D，E分別是BC，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足下列選項(xiàng)正確的是()C.當(dāng)x=y時(shí)，上DEP為銳角D.當(dāng)x-y=時(shí)，A1P//平面ADE三、填空題（每題s分）13.已知，是空間兩向量，若，則與的夾角為.14.求過點(diǎn)P(4,-3)且與圓(x-1)2+(y-3)2=9相切的直線方程為.15.已知在一個(gè)二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B，線段AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱2216.已知橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：(x-4)2+(y-3)2=1上任意一點(diǎn)，則|MN|-MF1的最小值為.（1）求sinB；（2）求c；（3）求△ABC的面積.18.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)（1）求△ABC外接圓的方程；（2）動點(diǎn)D在△ABC的外接圓上運(yùn)動，點(diǎn)E坐標(biāo)(7,4)，求DE中點(diǎn)M的軌跡第4頁/共5頁（2）求DE與平面AD1E所成角的正弦值.（1）求sin上ABC；21.如圖所示的幾何體P一ABCDE中，△ABP和△AEP均為以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，（3）設(shè)N為線段PE上的動點(diǎn)，使得平面ABN//平面MCE，求線段AN的長. 22.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為(3,0)，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為1的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，②求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）深圳市福田區(qū)外國語高級中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科（期中考）試題【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求解即可.【詳解】因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)（1．25，3所以直線方程為，即x-4y+7=0.故選：B2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,-3,5)關(guān)于平面yoz對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(-1,-3,5)C.(-1,3,-5)D.(【答案】A【解析】【分析】利用空間點(diǎn)關(guān)于平面的對稱求解.【詳解】解：點(diǎn)A(1,-3,5)關(guān)于平面yoz對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-3,5)，故選：A.第2頁/共18頁【答案】D【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，由勾股定理求得弦長.【詳解】圓心為(一1,2)，圓心到已知直線的距離為故選：D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解之即可求出結(jié)果.5.圓x2+y2-2x-3=0與圓x2+y2-4x+2y+3=0的位置關(guān)系是()A.相離B.內(nèi)含C.相切D.相交【答案】D【解析】【分析】求出圓心和半徑，再根據(jù)兩個(gè)圓的圓心距與半徑之差和半徑和的關(guān)系，可得兩個(gè)圓相交.【詳解】由于圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的圓心為（1，0半徑等于2，而圓x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（21）為圓心，半徑等于·2的圓.故兩個(gè)圓相交，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判定方法，屬于中檔題.第3頁/共18頁 2A.2B.22C.1D.【答案】D【解析】【分析】用CD,CA,AB表示出GE, 【詳解】因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB,AD,DC的中點(diǎn)，四面體ABCD是正四面體，且棱長-2，所以2故選：D.A.2C.222【答案】A【解析】【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱可求得圓心C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓C的方程.所以，解得即圓心C(2,一3)，第4頁/共18頁故選：A.8.若直線l:kx-y-2=0與曲線2=x-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.B.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡曲線為(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)，再由直線l恒過定點(diǎn)P(0,-2)，結(jié)合圖象和圓心到直線的距離，列出方程，即可求解.=x-1，可得又由直線l:kx-y-2=0，可化為y=kx-2，直線l恒過定點(diǎn)P(0,-2)，作出曲線C與直線l的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得A(1,0)，所以kPA=2，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(,2].故選：D.9.(多選題)若向量a-＝(1，2，0)(－2，0，1)，則下列結(jié)論正確的是(--2--＝－--2--第5頁/共18頁【答案】AD【解析】【分析】利用空間向量模的坐標(biāo)表示以及向量夾角的坐標(biāo)表示即可求解.由上知A正確，B不正確，D正確．C顯然也不正確.故選：AD 10.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且短軸長為2，離心率為，過焦點(diǎn)F1作y軸的垂線，交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則下列說法正確的是()22A.橢圓方程為+x2=1B.橢圓方程為+y2=13【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由離心率結(jié)合隱含條件求得a，可得橢圓方程，進(jìn)一步求得通徑及ΔPF2Q的周長判斷得答案.【詳解】由已知得，2b=2，b=1又a222如圖：第6頁/共18頁故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.11.已知直線l:(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0，圓C:x2+y2-2x-4y-20=0，則以下命題正確的A.直線l恒過定點(diǎn)(-3,-1)B.直線l與圓C恒相交C.圓C被x軸截得的弦長為2D.圓C被直線l截得的弦最短時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)及圓C的圓心、半徑，再求圓心到直線l的距離，由此判斷直線與圓的位置關(guān)系，利用弦長公式求弦長即可判斷B，C，D.【詳解】依題意，直線l：(1-2m)x-(m-1)y+7m-4=0可化為(-2x-y+7)m+x+y-4=0，因?yàn)榉匠蘹2+y2-2x-4y-20=0可化為(x-1)2+(y-2)2=25，所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為，半徑r=5即點(diǎn)P在圓C內(nèi)，直線l與圓C恒相交，B正確；由于直線l過定點(diǎn)P(3,1)，圓心C(1,2)，則直線PC的斜率第7頁/共18頁當(dāng)圓C被直線l截得的弦最短時(shí)，由圓的性質(zhì)知，l丄PC，于是得解得，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長均相等，D，E分別是BC，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足下列選項(xiàng)正確的是()【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐項(xiàng)求解判斷.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)棱長為2，則A，------------------------------------------------D.當(dāng)xy=時(shí)，設(shè)平面ADE的一個(gè)法(xy)1=0，又A1P丈平面ADE，所以A1P//平面ADE，故正確；第8頁/共18頁故選：ABD三、填空題（每題s分）【答案】【解析】【分析】利用平方的方法化簡已知條件，從而求得a-與的夾角.【詳解】設(shè)a-與的夾角為θ,所以根據(jù).cosθ,即cosθ=，故答案為：=9相切的直線方程為.【答案】x＝4或3x+4y＝0【解析】【分析】先考慮直線的斜率是否存在，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為y+3＝k（x－4即kx－y－4k－3＝0，由題意得解得此時(shí)直線方程為3x+4y＝0，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝4此時(shí)圓心(1,3)到直線x＝4的距離為3，所以直線與圓相切，符合題意.故答案為：x＝4或3x+4y＝0.15.已知在一個(gè)二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B，線段AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱【答案】90第9頁/共18頁【解析】設(shè)二面角的大小為θ,根據(jù)展開計(jì)算得到cosθ=0，得到答案.如圖，設(shè)則二面角的大小為θ,故2222因此所求二面角的度數(shù)為90o.----2 22BD----2 22BD2216.已知橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：(x4)2+(y3)2=1上任意一點(diǎn)，則|MN|MF1的最小值為. 【答案】325【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號最后根據(jù)|ME|+MF2≥EF2求得|MN|—MF1的最小值.【詳解】解：如圖，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，N為圓E：(x—4)2+(y—3)2=1上任意一點(diǎn)，第10頁/共18頁則MF1=4,MN≥ME1（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、F2共線時(shí)等號成立. ∴|MN|MF1的最小值為325. 故答案為：325.【點(diǎn)睛】本題主要考查與橢圓與圓上動點(diǎn)相關(guān)的最值問題，主要根據(jù)橢圓的定義將目標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化為能夠通過數(shù)形結(jié)合解題的類型，在平時(shí)備考中要注意多總結(jié).（1）求sinB；（2）求c；（3）求△ABC的面積. 【解析】【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求解即可；（3）由三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】由正弦定理可得，即【小問2詳解】。，由余弦定理可得：a222-2bccosA，即9=4+c2-2×2c. 【小問3詳解】18.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)（1）求△ABC外接圓的方程；（2）動點(diǎn)D在△ABC的外接圓上運(yùn)動，點(diǎn)E坐標(biāo)(7,4)，求DE中點(diǎn)M的軌跡【解析】【分析】（1）由已知求得AB的垂直平分線的方程，BC的垂直平分線的方程，聯(lián)立兩直線方程解得圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式求得半徑，由此可求得△ABC外接圓的方程；（2）設(shè)M(x,y),D(x0,y0)，由中點(diǎn)公式表示出再代入(x-2)2+(y-1)2=25得DE中點(diǎn)M的軌跡方程，可得DE中點(diǎn)M的軌跡.直平分線的方程為x=2；kBC==-7，BC的中點(diǎn)為，則BC的垂直平分線的方程為即x-7y+5=0；所以△ABC外接圓的方程為：(x-2)2+(y-1)2=25；第12頁/共18頁（2）設(shè)M(x,y),D(x0,y0)，由中點(diǎn)公式得則，代入2=25得DE中點(diǎn)M的軌跡方程為2=25，即所以DE中點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓.（2）求DE與平面AD1E所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）DE與平面AD1E所成角的正弦值為.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線AC,D1E的方向向量，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)證明AC⊥D1E；（2）求直線DE的方向向量和平面AD1E的法向量，求兩向量的夾角可得DE與平面AD1E所成角的正弦值.【小問1詳解】x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，第13頁/共18頁=2，E為BB1中點(diǎn).所以【小問2詳解】設(shè)直線DE與平面AD1E所成角為θ,則 所以DE與平面AD1E所成角的正弦值為.（1）求sin上ABC；第14頁/共18頁 ）； 【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長BC的值為BC=，然后由余弦定理可得cosB=最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=(2)由題意可得則S△ACD=S△ABC，據(jù)此即可求得△ADC的面積.【小問1詳解】由余弦定理可得：22-2bccosA?！拘?詳解】由三角形面積公式可得21.如圖所示的幾何體P-ABCDE中，△ABP和△AEP均為以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，第15頁/共18頁（2）求二面角M-CE-D的大小；（3）設(shè)N為線段PE上的動點(diǎn)，使得平面ABN//平面MCE，求線段AN的長.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得出PA丄AB，PA丄AE，根據(jù)線面垂直的判定定理得出PA丄平面ABCDE，則AB丄AE，建立以A為原點(diǎn)，AB，AE，AP為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明（2）求出平面MEC的法向量和平面DEC的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角M-CE-D的大?。唬?）設(shè)=λ，[λ∈[0，1])，求出N(0，2λ,2-2λ)，令丄，則.=0，解得N為PE的中點(diǎn)，利用向量法能求出線段AN的長.【詳解】解：依題意得，△ABP和△AEP均為以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，又AB丄AE，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖第16頁/共18頁→→→(x,y,z)ln.M