第1頁/共5頁深圳市紅山中學2023-2024學年第一學期期中考試高二數學試卷一單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的A.0B.C.D. A.150。B.120。C.60。D.45。則向量=()4.直線l過點(5,4)，且方向向量為(1,2)，則(B.D.)B.直線l的斜截式方程為線EF和直線AB所成的角是()第2頁/共5頁A.30。B.45。C.60。6.已知向量與2互相垂直，則k的值是()A.-1B.C.D.7.已知向量，若O,A,B,C共面，則在上的投影向量 2A.2B.22C.D.=10的化簡結果為A.22B.22C.22D.9.給出下列命題，其中正確的有()A.空間任意三個向量都可以作為一個基底B.已知向量a//b，則C.對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組(x,y,z)，使得p=xaD.如果，是兩個單位向量，則=10.設l是直線，α,β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A.若l//α,l//β,則α//βB.若α丄β,l//α,則l丄βA.圓O與圓M有兩條公切線；第3頁/共5頁B.圓O與圓M的相交弦所在的直線方程4xC.線段AB的長為；D.E，F分別是圓O和圓M上的點，則EF的最大值為4十·.點F是棱A1C1上的動點，點P是線段A1B上的動點，則下列結論正確的是()A.點P是線段A1B的中點，PE//平面ABCB.直線AB與平面A1BC所成角的正弦值是C.三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積是20πD.當點P是線段A1B的中點時，三棱錐P一B1CF的體積是22.2216.已知橢圓十的左、右焦點分別為F1，F2，M是C上的動點，△MF1F2的面積的最大值為9，則橢圓C長軸長的最小值為.第4頁/共5頁（1）求角A的大??；求f的值；的取值范圍.（1）求證：AE//平面C1BD；（2）求點E到平面C1BD的距離.(y2a)22（1）求圓C的方程；（2）若直線m：y=kx1與圓C有公共點，求k的取值范圍.第5頁/共5頁（1）證明：BD丄CC1；（2）棱BC上是否存在一點E，使得二面角E-AD1-D的余弦值為?若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由.（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知A、B為橢圓C的左、右頂點，過右焦點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M、N，直線AM與直線x=4交于點P，記PA、PF、BN的斜率分別為k1、k2、k3，問是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，請說明理由.深圳市紅山中學2023-2024學年第一學期期中考試高二數學試卷一一A.0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，利用和角的正弦公式直接計算作答.故選：D A.150。B.120。C.60。D.45?！敬鸢浮緾【解析】【分析】求出直線的斜率，結合傾斜角的取值范圍可求得直線3x—y+1=0的傾斜角.故選：C.則向量=()第2頁/共19頁22【答案】A【解析】)，結合平行六面體的結構特征即能求出結果.【詳解】∵在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1,B1D1的交點.故選：A.4.直線l過點(5,4)，且方向向量為(1,2)，則()A.直線l的點斜式方程為y-5=2(x-4)B.直線l的斜截式方程為C.直線l的截距式方程為D.直線l的一般式方程為2x-y-6=0【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求得斜率，從而求得直線的點斜式，斜截式，截距式，一般式方程【詳解】因為直線l的方向向量為(1,2)，所以直線l的斜率為2.因為直線l過點(5,4)，所以直線l的點斜式方程為y-4=2(x-5)，其一般式為2x-y-6=0．故A錯誤，D正確；化為斜截式：y=2x-6，故B錯誤；故選：D5.如圖所示，已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則直線EF和直線AB所成的角是()第3頁/共19頁【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位線得到平行關系，將異面直線EF和AB所成的角轉化為相交直線所成的角上B1AB，再求解即可.【詳解】連接D1B1，A1C1，交點即為正方形A1B1C1D1的中心E，連接AB1，在△D1AB1中，E,F分別為D1B1,D1A的中點，則EF//AB1，故上B1AB即直線EF和直線AB所成的角，故選：B.A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據空間向量的坐標運算結合向量垂直的坐標表示運算求解.若k與2互相垂直，則+2k+4=0，解得第4頁/共19頁故選：D.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用共面的條件求出λ,再利用投影向量及模的定義計算即得.故選：B=10的化簡結果為A.22B.22C.22D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得到給出的曲線方程的幾何意義，是動點(x,y)到兩定點的距離之和等于定值，符合橢圓定義，然后計算出相應的a,b,c得到結果.所以其幾何意義是動點(x,y)到點(0,—4)和點(0,4)的距離之和等于10，符合橢圓的定義.點(0,—4)和點(0,4)是橢圓的兩個焦點.c2第5頁/共19頁22所以曲線方程的化簡結果為故選D項.【點睛】本題考查曲線方程的幾何意義，橢圓的定義，求橢圓標準方程，屬于簡單題.9.給出下列命題，其中正確的有()A.空間任意三個向量都可以作為一個基底B.已知向量a//b，則C.對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組(x,y,z)，使得p=D.如果a，b→a=b【答案】BD【解析】【分析】根據共線向量、空間向量的基本定理、基底、單位向量概念等知識對選項進行分析，由此確定正確答案.【詳解】對于A，因為,,是空間的一組基底，所以,,為不共線的非零向量，故選項A錯誤;對于B，因為//,所以與共線，故,與任何向量都不能構成空間的一個基底，故選項B正確;對于C，當,,為空間的一組基底時，對于空間任一向量，則存在唯一的有序實數組(x,y,z)，使對于D，若,都是單位向量，則模長都為1，故ii=，故選項D故選：BD.10.設l是直線，α,β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A.若l//α,l//β,則α//βB.若α丄β,l//α,則l丄β【答案】CD【解析】【分析】對四個命題分別進行判斷，即可得到結論.【詳解】l是直線，α,β是兩個不同的平面，知：第6頁/共19頁在A中，若l//α,l//β,則α與β相交或平行，故A錯誤，在B中，若α丄β,l//α,則lβ或l//β或l與β相交，相交也不一定垂直，故B錯誤，在C中，若l丄α,l丄β,由直線與平面垂直的性質，可得α//β,故C在D中，α//β,l丄α,由直線與平面垂直的性質，可得l丄β,故D正確，故選：CDA.圓O與圓M有兩條公切線；B.圓O與圓M的相交弦所在的直線方程4x-2y+5=0；C.線段AB的長為； D.E，F分別是圓O和圓M上的點，則EF的最大值為4+·5.【答案】ABD【解析】【分析】寫出兩圓的圓心與半徑判斷兩圓的位置關系可知A，利用圓的方程求直線的方程，由圓心與直線關系可判斷B，利用圓的弦的性質可判斷C，根據圓上兩點最大距離判斷D.【詳解】圓O：x2+y2=4的圓心為(0,0)，半徑r=2，對于A，因為圓O與圓M相交，所以有兩條公切線，A正確；對于B，兩圓方程相減得4x-2y+5=0，即直線AB的方程為4x-2y+5=0，所以B正確；對于C，因為圓心O(0,0)與圓心M(-2,1)的中點為滿足-4-2×+5=0，×2=-1，所以第7頁/共19頁 對于D，E，F分別是圓O和圓M上的點，則EF的最大值為|MO|+r+R=5+4，故D正確，故選：ABD. 點F是棱A1C1上的動點，點P是線段A1B上的動點，則下列結論正確的是()A.點P是線段A1B的中點，PE//平面ABC B.直線AB與平面A1BC所成角的正弦值是C.三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積是20πD.當點P是線段A1B的中點時，三棱錐P-B1CF的體積是【答案】ABD【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A選項；利用空間向量法可判斷B選項；利用補形法結合長方體的外接球可判斷C選項；利用等體積法可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當點P為A1B的中點時，連接AB1，則P為AB1的中點，第8頁/共19頁又因為E為B1C的中點，則PE//AC，因為PE丈平面ABC，AC平面ABC，所以，PE//平面ABC，A對；以點C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設平面A1BC的法向量為 所以，直線AB與平面A1BC所成角的正弦值是B對；第9頁/共19頁ACC，故選：ABD.【答案】π【解析】【分析】已知兩邊與一邊對角由正弦定理解B，再由內角和定理求解C.故答案為：π.【答案】332【解析】【分析】代點求出a,b,c，進而可求.第10頁/共19頁a22=4,:c2=a2b2=3，故答案為：332.【解析】設，則解得或16.已知橢圓C:的最大值為9，則橢圓C長軸長的最小值為. 【答案】62【解析】【分析】由題意知當M為短軸端點時△MF1F2面積最大，由此求出bc=9，由a2=b2+c2結合基本不等式即可求解.【詳解】當M為短軸端點時△MF1F2面積最大，此時SVMF1F2=.2c.b=bc=9，a222 17.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，asinB=·bcosA.（1）求角A的大小；【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得出tanA的值，結合角A的取值范圍可求得角A的值；（2）利用平面向量數量積的定義可求得bc的值，然后利用余弦定理可求得b+c的值.【小問1詳解】解：因為asinB=3bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=·cosAsinB，【小問2詳解】236求f的值；第12頁/共19頁的取值范圍.【解析】【分析】（1）利用降冪公式與輔助角公式化簡函數解析式，再求值；（2）整體角換元求f(x)范圍.【小問1詳解】x-sinxcosx-【小問2詳解】由知f=cos函數y=cost在-,0|單調遞增，在單調遞減，故f(x)的取值范圍為[0,1].第13頁/共19頁（1）求證：AE//平面C1BD；（2）求點E到平面C1BD的距離.【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算即可證明線面平行；（2）根據題意，利用空間向量的距離求法，即可得到結果.【小問1詳解】以C的原點，CA,CB,CC1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，=2，且D，E分別是AA1，BC的中點，設平面C1BD的法向量為=(x,y,z)，因為AE丈平面C1BD，且第14頁/共19頁則AE//平面C1BD.【小問2詳解】由（1）可知，平面C1BD的一個法向量為，且(y2a)22（1）求圓C的方程；（2）若直線m：y=kx1與圓C有公共點，求k的取值范圍.【解析】【分析】（1）根據點在圓上以及直線垂直的斜率關系即可聯立方程求解，（2）根據圓心到直線的距離與半徑的關系即可求解.【小問1詳解】圓心(a,2a)，切點為在圓上，故2=r2又直線與圓相切，第15頁/共19頁【小問2詳解】∵直線與圓有公共點7k2+12k-9≥0，（1）證明：BD丄CC1；（2）棱BC上是否存在一點E，使得二面角E-AD1-D的余弦值為?若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析【解析】（2）取BC中點Q，連接AQ，以A為原點，建立空間直角坐標系，假設點E存在，設點E(,λ,0)，S3,0,0)，結合向量的夾角公式，列出方程，求得λ=即可求解.【小問1詳解】第16頁/共19頁證明:如圖