第一章數(shù)與式第01講實(shí)數(shù)及其運(yùn)算目錄01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命題前瞻 202·知識(shí)導(dǎo)航·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 403·考點(diǎn)解析·知識(shí)通關(guān) 504·命題洞悉·題型預(yù)測(cè) 14命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類題型01實(shí)數(shù)的分類題型02無理數(shù)的估算命題點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及其性質(zhì)題型01實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)題型02相反意義的量命題點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)題型01利用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)題型02利用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)題型03近似數(shù)與精確度命題點(diǎn)四算術(shù)平方根、平方根、立方根題型01求一個(gè)數(shù)的平方根/立方根題型02根據(jù)平方根/立方根的性質(zhì)求解題型03平方根/立方根的實(shí)際應(yīng)用命題點(diǎn)五實(shí)數(shù)的比較大小題型01實(shí)數(shù)的比較大小命題點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算題型01實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算題型02實(shí)數(shù)運(yùn)算與新定義問題05·重難突破·思維進(jìn)階 34突破一非負(fù)性的應(yīng)用突破二實(shí)數(shù)與數(shù)軸相結(jié)合的應(yīng)用突破三利用實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決新情境問題

考點(diǎn)課標(biāo)要求考法分析實(shí)數(shù)的分類理解實(shí)數(shù)的分類，能區(qū)分有理數(shù)和無理數(shù)，明確正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)、零的歸屬。識(shí)別無理數(shù)（如開方開不盡的數(shù)、π），或結(jié)合數(shù)軸判斷數(shù)的類型（如2025?江蘇揚(yáng)州卷、2025?江西卷）。實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及其性質(zhì)掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的概念及性質(zhì)，理解實(shí)數(shù)的幾何意義。考查用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量（如2025?吉林長春卷、2025?湖南長沙卷）；數(shù)軸上點(diǎn)的表示、移動(dòng)及實(shí)數(shù)大小比較（如2025?山東卷、2025?北京卷）；直接求相反數(shù)（2025?浙江卷、2025?四川眉山卷）、絕對(duì)值（2025?江蘇連云港卷、2025?重慶卷）、倒數(shù)（2025?山東煙臺(tái)卷），常與其他概念綜合考查?？茖W(xué)記數(shù)法與近似數(shù)會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示較大或較小的數(shù)，能按要求取近似數(shù)?？疾榇髷?shù)（如經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、人口）或小數(shù)（如時(shí)間單位）的科學(xué)記數(shù)法表示（2025?遼寧卷、2025?廣東卷T17）；注重實(shí)際背景，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，近似數(shù)常結(jié)合測(cè)量、統(tǒng)計(jì)考查。算術(shù)平方根、平方根、立方根了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示，會(huì)求某些數(shù)的平方根、立方根。直接求算術(shù)平方根、平方根或立方根，或與非負(fù)性結(jié)合解方程（2025?四川涼山卷、2025?江西卷），可能涉及簡單計(jì)算和性質(zhì)應(yīng)用。實(shí)數(shù)的比較大小會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小，包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和零。直接比較實(shí)數(shù)大小，或與有理數(shù)對(duì)比考查（如2025?福建卷、2025?湖南卷），多考查負(fù)數(shù)與正數(shù)的比較，難度較低。實(shí)數(shù)的運(yùn)算會(huì)進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包括加、減、乘、除、乘方、開方、絕對(duì)值、三角函數(shù)等。綜合考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及去絕對(duì)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)等（2025?湖南長沙卷、2025?河北卷），注重運(yùn)算順序和符號(hào)處理。能理解新定義運(yùn)算或材料內(nèi)容，解決與實(shí)數(shù)相關(guān)的綜合問題。定義新運(yùn)算（如2025·四川瀘州卷），或根據(jù)材料進(jìn)行變換、推理（如2025·安徽卷）?？疾檫壿嬎季S和遷移能力，難度較高。命題預(yù)測(cè)命題趨勢(shì)：實(shí)數(shù)部分是中考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，考查覆蓋面廣，題型以選擇題、填空題為主，難度適中。其中，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和新定義題是重點(diǎn)和難點(diǎn)，著重考查學(xué)生對(duì)運(yùn)算順序、符號(hào)規(guī)則的熟練掌握程度，同時(shí)也會(huì)涉及到與數(shù)軸、函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和知識(shí)遷移能力。備考建議：重視基礎(chǔ)概念：重點(diǎn)掌握相反數(shù)、絕對(duì)值、科學(xué)記數(shù)法等基礎(chǔ)概念的直接應(yīng)用，確保在基礎(chǔ)題上不丟分。強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合練習(xí)：加強(qiáng)實(shí)數(shù)與數(shù)軸結(jié)合的題目訓(xùn)練，提升利用數(shù)軸分析實(shí)數(shù)問題的數(shù)形結(jié)合能力，如通過數(shù)軸比較實(shí)數(shù)大小、確定實(shí)數(shù)的位置等。熟練掌握混合運(yùn)算：針對(duì)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，需綜合掌握絕對(duì)值、指數(shù)冪、開方等知識(shí)點(diǎn)，嚴(yán)格遵循運(yùn)算順序，注意符號(hào)變化，避免計(jì)算錯(cuò)誤。關(guān)注新定義題型：重視新定義題的訓(xùn)練，培養(yǎng)材料閱讀和邏輯推理能力，提升應(yīng)對(duì)創(chuàng)新題型的能力。 考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類1.實(shí)數(shù)的分類：2.常見的無理數(shù)：1）開方開不盡的數(shù)，如：2、等；[易錯(cuò)]帶根號(hào)的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).如.2）π以及一些含π的數(shù)，如5π，3+π，π3等3）具有特點(diǎn)結(jié)構(gòu)的數(shù)（看似有規(guī)律循環(huán)實(shí)際上是無限不循環(huán)的小數(shù)），如0.1010010001（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）…4）某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.1．（2025·廣東廣州·中考真題）下列四個(gè)選項(xiàng)中，負(fù)無理數(shù)的是（

）A．?2 B．?1 C．0 【答案】A【分析】本題考查的是負(fù)無理數(shù)的含義，根據(jù)負(fù)無理數(shù)的定義，需同時(shí)滿足負(fù)數(shù)和無理數(shù)兩個(gè)條件．對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：?2是無理數(shù)（無法表示為分?jǐn)?shù)且是無限不循環(huán)小數(shù)），因此?2也是無理數(shù)．負(fù)號(hào)表明其為負(fù)數(shù)，故?選項(xiàng)B：?1?1是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合無理數(shù)的條件．選項(xiàng)C：00是整數(shù)，屬于有理數(shù)，且非負(fù)數(shù)．選項(xiàng)D：33是正整數(shù)，屬于有理數(shù)，且非負(fù)數(shù)．綜上，只有選項(xiàng)A同時(shí)滿足負(fù)數(shù)和無理數(shù)的條件，故選A．2．（2025·四川德陽·中考真題）下列數(shù)是正數(shù)的是（

）A．1 B．0 C．?1 D．?2【答案】A【詳解】本題考查了正數(shù)的概念，熟知正數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)的定義判斷各選項(xiàng)是否符合條件．【分析】A．1大于0，是正數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．?1小于0，屬于負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．?2小于0，屬于負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．3．（2025·陜西·中考真題）滿足2<a<5的整數(shù)a可以是【答案】3（答案不唯一）【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，先整理得1<2<2，結(jié)合【詳解】解：∵1<∴1<2∵2<a<5∴整數(shù)a可以是3，故答案為：3（答案不唯一）考點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及其性質(zhì)1.實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)名稱定義性質(zhì)數(shù)軸在數(shù)學(xué)中，通常用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸.每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示.反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，我們稱其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的相反數(shù).1）若a，b互為相反數(shù)，則a+b=02）0的相反數(shù)是03）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等且位于原點(diǎn)的兩側(cè).絕對(duì)值數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|．倒數(shù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù).1）0沒有倒數(shù)，倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1；2）若ab=1a，b互為倒數(shù)；若ab=-1a，b互為負(fù)倒數(shù)；2.用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量用正、負(fù)數(shù)可以表示具有相反意義的量，一對(duì)相反意義的量，其中一個(gè)“意義”規(guī)定用“+”表示，則另一個(gè)“意義”必定用“-”表示．如：若規(guī)定向東5米為“+5米”，則向西9米為“-9米”.1．（2025·江蘇·中考真題）小明從小區(qū)?2樓出發(fā)，實(shí)數(shù)?2的絕對(duì)值是（

）A．2 B．?2 C．12 D．【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，掌握“一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)即可得出答案．【詳解】解：實(shí)數(shù)?2的絕對(duì)值是?2=2故選：A．2．（2025·四川瀘州·中考真題）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．7和?7 B．3和?2 C．2和12 D．?0.1和【答案】A【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：A.7和?7互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

B.3和?2，不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.2和12，不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.?0.1和10，不互為相反數(shù)，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．3．（2025·北京·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)>?1 B．a(chǎn)+b=0 C．a(chǎn)?b>0 D．a(chǎn)【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，絕對(duì)值的意義，利用數(shù)軸表示有理數(shù)的大小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先由數(shù)軸得，?2<a<?1<0<b<1，且b<【詳解】解：由數(shù)軸得，?2<a<?1<0<b<1，且b∴a+b<0，a?b<0，故A，B，C均錯(cuò)誤，不符合題意，D正確，符合題意，故選：D．考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)1.科學(xué)記數(shù)法定義：把一個(gè)數(shù)A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．表示方法：類別a的確定n的確定示例|A|＞101≤|a|＜10n為正整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)左移的位數(shù)a=5.5，n=60＜|A|＜1n為負(fù)整數(shù)，n=小數(shù)點(diǎn)右移的位數(shù)a=-5.5，n=-6【溫馨提示】對(duì)于含有計(jì)數(shù)(量)單位的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，應(yīng)先把計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，把計(jì)量單位轉(zhuǎn)化為題目要求的單位，再用科學(xué)記數(shù)法來表示.常考的計(jì)數(shù)單位：；常考的計(jì)量單位：.2.近似數(shù)近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個(gè)數(shù)的近似數(shù).例如π取3.14，小紅體重約45kg，數(shù)字“3.14”和“45”就是近似數(shù).精確度：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.確定近似數(shù)的精確度的方法：看這個(gè)近似數(shù)的最后一位數(shù)字，它在哪個(gè)數(shù)位上就說明該近似數(shù)精確到哪一數(shù)位.1．（2025·山東濱州·中考真題）截至2025年5月，國家智慧教育平臺(tái)注冊(cè)用戶已突破1.64億，成為世界第一大教育資源數(shù)字化中心和平臺(tái)．將1.64億用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A．16.4×107 B．0.164×109 C．【答案】C【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n，其中1≤a<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值【詳解】解：1.64億=1.64×10故選：C2．（2025·四川資陽·中考真題）2025年政府工作報(bào)告顯示，我國2024年新能源汽車年產(chǎn)量突破1300萬輛．將數(shù)“1300萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．13×106 B．1.3×107 C．【答案】B【分析】此題考查了正整數(shù)指數(shù)科學(xué)記數(shù)法，對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1的正整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及【詳解】解；1300萬=13000000=1.3×10故選B．3．（2025·山東威海·中考真題）據(jù)央視網(wǎng)2025年4月19日消息，復(fù)旦大學(xué)集成芯片與系統(tǒng)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室、片與系統(tǒng)前沿技術(shù)研究院科研團(tuán)隊(duì)成功研制出半導(dǎo)體電荷存儲(chǔ)器“破嘵”．“破曉”存儲(chǔ)器擦寫速度提升至400皮秒實(shí)現(xiàn)一次擦或者寫．一皮秒僅相當(dāng)于一萬億分之一秒．400皮秒用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4×10?10秒 B．4×10?11秒 C．4×10【答案】A【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，【詳解】∵1皮秒=10∴400皮秒=400×10∴400×10故選：A．考點(diǎn)四算術(shù)平方根，平方根，立方根名稱定義性質(zhì)算術(shù)平方根一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記為正數(shù)有一個(gè)正的算術(shù)平方根；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.平方根一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根或二次方根.這就是說，如果，那么x叫做a的平方根，記作±正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根立方根如果，則x叫做a的立方根，記作3a正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，0的立方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)1．（2025·四川廣元·中考真題）4的相反數(shù)是（

）A．?4 B．?2 C．2 D．4【答案】B【分析】本題考查了算術(shù)平方根的計(jì)算及相反數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是先求出√4的具體值，再根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)）確定其相反數(shù)．計(jì)算4的值：因?yàn)?2=4，所以4=2；求2的相反數(shù)：根據(jù)相反數(shù)定義，2的相反數(shù)是?2，因此4【詳解】解：∵4表示4的算術(shù)平方根，且22∴4=2．根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)），可得2的相反數(shù)是?2，即4的相反數(shù)是?2．故選：B．2．（2025·青?！ぶ锌颊骖}）4的算術(shù)平方根是.【答案】2【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的求法，理解算術(shù)平方根的定義是解答關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根的定義，一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方等于4，則該數(shù)是4的算術(shù)平方根．【詳解】解：因?yàn)?2所以4=2即4的算術(shù)平方根是2.故答案為：2．3．（2025·浙江·中考真題）?5+3【答案】2【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的立方根，掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算絕對(duì)值和立方根，再進(jìn)行加法計(jì)算即可．【詳解】解：?5+故答案為：2．考點(diǎn)五實(shí)數(shù)的比較數(shù)軸比較法同一數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù).類別比較法正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小.差值比較法設(shè)a，b是兩實(shí)數(shù)，若平方比較法若a，b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，若a＜b；若a，b是兩正實(shí)數(shù)，若a＞b；倒數(shù)法對(duì)于符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)，若，則a＞b；若，則a＜b.求商比較法設(shè)a，b是兩正實(shí)數(shù)，若估算法設(shè)a，b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較.例如2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236；1．（2025·山東淄博·中考真題）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，比?2大的無理數(shù)是（

）A．0 B．?1 C．?2 D．【答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)和實(shí)數(shù)的比較大小，先比較大小，然后找出比?2大的無理數(shù)解答即可．【詳解】解：?5∵?2故答案為：C．2．（2025·重慶·中考真題）下列四個(gè)數(shù)中，最大的是（

）A．6.18×108 B．6.28×108 C．【答案】D【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用能力，運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法知識(shí)將各選項(xiàng)數(shù)字還原，再進(jìn)行比較、求解．關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識(shí)．【詳解】解：6.18×108=618000000，6.28×108∵618000000<628000000<618000000<6280000000，∴6.18×10∴四個(gè)數(shù)中，最大的是6.28×10故選：D．3．（2025·貴州·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a與b的大小關(guān)系是ab．（填“>”“<”或“=”）【答案】<【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的大即可得到答案．【詳解】解：由數(shù)軸得：?4<a<?3<1<b<2，∴a<b，故答案為：<．考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.四則運(yùn)算實(shí)數(shù)的加法法則1)同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；2)異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)，和為0；絕對(duì)值不相等時(shí)，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.實(shí)數(shù)的減法法則減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).實(shí)數(shù)的乘法法則1）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；2）任何數(shù)同0相乘，都得0.實(shí)數(shù)的除法法則1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.2.幾種常見的運(yùn)算3.加法、乘法運(yùn)算律類別表示加法交換律加法結(jié)合律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法分配律4.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算先進(jìn)行乘方和開方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算.5.補(bǔ)充知識(shí)（特殊角的銳角三角函數(shù)值）三角函數(shù)值特殊角30°45°60°sinα1223cosα321tanα3131．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）計(jì)算：2cos【答案】4【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)指數(shù)冪，掌握算理是解決問題的關(guān)鍵．先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：2cos=2×1=1?1+4，=4．2．（2025·山東濟(jì)南·中考真題）計(jì)算：π?3【答案】8?【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算零次冪，負(fù)整數(shù)次冪，絕對(duì)值，三角函數(shù)，化簡二次根式，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．【詳解】解：原式=1+2+5+2×=8+=8?23．（2025·湖南長沙·中考真題）計(jì)算：22【答案】2【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．【詳解】解：原式=2命題點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類?題型01實(shí)數(shù)的分類有理數(shù)與無理數(shù)的根本區(qū)別在于小數(shù)的循環(huán)與不循環(huán).有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，也就是說無理數(shù)應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是無限小數(shù)，二是不循環(huán)的，二者缺一不可.【典例1】（2025·山東德州·中考真題）下列實(shí)數(shù)為無理數(shù)的是（

）A．?3 B．5 C．12 D．【答案】B【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，掌握無理數(shù)的定義是關(guān)鍵．無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：A、?3是整數(shù)，是有理數(shù)不是無理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、5是無理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；C、12D、0.3故選：B．【變式1-1】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）下列各數(shù)?3?3，+?4.1、?2?3、0、??9A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了化簡多重符號(hào)，立方根，負(fù)整數(shù)冪，有理數(shù)的分類，小于0的有理數(shù)即為負(fù)有理數(shù)，據(jù)此進(jìn)行逐個(gè)分析，即可作答．【詳解】解：依題意，?3?3=33∴負(fù)有理數(shù)有數(shù)+?4.1、?2?3、??9、?0.1010010001故選：C．【變式1-2】（2025·湖南永州·一模）在??2025，??2025，0，?5243，A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】本題考查負(fù)數(shù)的判斷，根據(jù)相反數(shù)的概念、絕對(duì)值的性質(zhì)、負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)正確判斷是解題關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)數(shù)的相反數(shù)為正、絕對(duì)值的意義、冪的運(yùn)算等相關(guān)原則，進(jìn)行計(jì)算分析即可．【詳解】解：??2025??20250，既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)；?5?2025?202，為負(fù)數(shù)；所以負(fù)數(shù)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：C．【變式1-3】（2025·四川資陽·模擬預(yù)測(cè)）在?22,?4,(?1)2011,π【答案】?1【分析】本題考查了有理數(shù)的分類，代數(shù)式求值，掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵，注意0比較特殊，是整數(shù)，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．根據(jù)整數(shù)，非負(fù)數(shù)的定義得出m=5，n=6，代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵?22=?4，?4=4，整數(shù)有?22、?4，?12011，??133非負(fù)數(shù)有?4、π，511，??133，3.1415，0∴m?n=5?6=?1，故答案為：?1．?題型02無理數(shù)的估算若，則，因此我們可以找距離a最近的兩個(gè)平方數(shù)，來估算的大小.例如:因?yàn)?5＜a＜36，則.【典例2】（2025·重慶·中考真題）若n為正整數(shù)，且滿足n<26<n+1，則n=【答案】5【分析】本題考查無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵．先估算26的取值范圍，得出5<26<6，又因?yàn)閚為正整數(shù)，且滿足n≤26【詳解】解：∵25<26<36，∴25<∴5<26∵n為正整數(shù)，且滿足n≤26∴n=5，故答案為：5．【變式2-1】（2025·天津·中考真題）估計(jì)1+6的值在（

A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【答案】C【分析】本題考查無理數(shù)的估算，夾逼法求出無理數(shù)的范圍，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵4<∴2<6∴3<1+6∴1+6故選C．【變式2-2】（2025·河北唐山·三模）如圖，數(shù)軸的一段被遮擋，下列各點(diǎn)可能被遮蓋的是（

）A．表示?2的點(diǎn) B．表示6C．表示10的點(diǎn) D．表示14的點(diǎn)【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的大小估算，由圖可知，被手掌遮擋住的數(shù)在0和3之間，估算出無理數(shù)所在的范圍，即可判斷出被手掌遮擋住的數(shù)可能是哪一個(gè)．【詳解】解：A選項(xiàng)：∵1<2<2，∴?2<?2<?1，即?2B選項(xiàng)：∵2<6<3，∴6在2和C選項(xiàng)：∵3<10<4，∴10在3D選項(xiàng)：∵3<14<4，∴14在3和故選：B．【變式2-3】（2025·浙江·中考真題）【閱讀理解】同學(xué)們，我們來學(xué)習(xí)利用完全平方公式：a±b近似計(jì)算算術(shù)平方根的方法．例如求67的近似值．因?yàn)?4<67<81，所以8<67則67可以設(shè)成以下兩種形式：①67=8+s，其中0<s<1②67=9?t，其中0<t<1小明以①的形式求67的近似值的過程如圖．因?yàn)?7=8+s所以67=8+s即67=64+16s+s因?yàn)閟2將s2所以67≈64+16s，即16s≈67?64，得s≈67?64故67≈8+【嘗試探究】（1）請(qǐng)用②的形式求67的近似值（結(jié)果保留2位小數(shù)）．【比較分析】（2）你認(rèn)為用哪一種形式得出的67的近似值的精確度更高，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）8.22；（2）用①的形式得出的67的近似值的精確度更高，理由見解析【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的估算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)67=9?t，其中0<t<1，則仿照題意可得67=81?18t+t2，t2比較小，將t2忽略不計(jì)，則67≈81?18t（2）可求出8.18<67【詳解】解：（1）設(shè)67=9?t，其中0<t<1∴672∴67=81?18t+t∵t2比較小，將t∴67≈81?18t，∴t≈81?67∴67≈9?（2）用①的形式得出的67的近似值的精確度更高，理由如下；∵8.18×8.18=66.9124，8.19×8.19=67.0761，∴8.18<67∴用①的形式得出的67的近似值的精確度更高．命題點(diǎn)二實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)?題型01實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)【典例2-1】（2025·江蘇常州·中考真題）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)的相反數(shù)是（

）A．?2 B．-1 C．0 D．1【答案】A【分析】本題考查求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸得到點(diǎn)P表示的數(shù)為2，根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由圖可知：點(diǎn)P表示的數(shù)為2，∴數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)的相反數(shù)是?2，故選：A．【典例2-2】（2025·重慶·中考真題）若實(shí)數(shù)x，y同時(shí)滿足x?y=2，x?y=4，則x【答案】1【分析】本題考查絕對(duì)值的非負(fù)性，解一元一次方程，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，得到x=y+2>0，x=y+4≥0，進(jìn)而得到y(tǒng)≥?4，進(jìn)而得到關(guān)于y的一元一次方程，求出y【詳解】解：∵x?y=2，∴x=y+2>0，∴y≥?4，∴x=x=當(dāng)y≥0時(shí)，方程無解，當(dāng)?4≤y<0時(shí)，?y+2=y+4，∴y=?1，∴x=y∴xy故答案為：13【變式2-1】（2024·江蘇南京·中考真題）如果實(shí)數(shù)a,?b滿足，那么【答案】a+b=0【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)和為0是解題的關(guān)鍵，根據(jù)相反數(shù)的定義，可得相反數(shù)的兩數(shù)相加為0，據(jù)此作答．【詳解】解：如果實(shí)數(shù)a,?b滿足a+b=0，那么故答案為：a+b=0．【變式2-2】（2025·江蘇宿遷·三模）若實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是2025，則a的值為（）A．2025 B．12025 C．?2025 D．【答案】B【分析】本題主要考查了倒數(shù)．根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵2025×1∴a=1故選：B．【變式2-3】（2025·江蘇南京·一模）?11的絕對(duì)值是，5?3的相反數(shù)是【答案】113?5/【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值與相反數(shù)，理解絕對(duì)值與相反數(shù)的意義是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值的意義可得出?11的絕對(duì)值，根據(jù)相反數(shù)的定義可得出5【詳解】解：?11的絕對(duì)值是：?∴5?3的相反數(shù)是：?故答案為：11，3?5?題型02相反意義的量找到反義詞，如果正數(shù)代表一個(gè)意義，那么負(fù)數(shù)就代表相反意義.【典例3】（2025·四川遂寧·中考真題）小明在一條東西向的跑道上進(jìn)行往返跑訓(xùn)練，如果向東跑20米記為“+20米”，那么向西跑20米記為（

）A．+20米 B．?20米 C．+40米 D．?40米【答案】B【分析】本題考查正負(fù)數(shù)表示相反意義的量；根據(jù)題意，向東記為“+”，則向西應(yīng)記為“?”，且數(shù)值與方向無關(guān)，僅符號(hào)相反，即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意，向東跑20米記為“+20米”，說明向東為正方向，向西則為負(fù)方向，向西跑的距離與向東跑的距離絕對(duì)值相同，方向相反，因此向西跑20米應(yīng)記為“?20米”；選項(xiàng)中B符合這一規(guī)則；故答案為：B．【變式3-1】（2025·廣東·中考真題）某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作+0.02g，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02A．?0.02g B．+0.02g C．?0.04g【答案】A【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，即可解答．【詳解】解：∵一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02g記作+0.02∴那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量0.02?g記作?0.02故選：A．【變式3-2】（2025·福建·中考真題）為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對(duì)自己的體重進(jìn)行了跟蹤統(tǒng)計(jì)．為方便記錄，他將體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作．【答案】?1【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)表示一對(duì)相反意義的量，增加為正，則減少為負(fù)，進(jìn)行作答即可．【詳解】解：體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作?1；故答案為：?1．命題點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法及近似數(shù)?題型01利用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a，n的值是關(guān)鍵，具體方法為：1）a是一個(gè)整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，即1≤|a|＜10；2）確定n的兩種方法：①當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，則n的值等于原數(shù)中整數(shù)部分的位數(shù)減1；②當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，n的值等于原數(shù)中第一個(gè)非零數(shù)字前面所有零的個(gè)數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.3）用科學(xué)記數(shù)法表示帶單位的大數(shù)的技巧：【典例4】（2025·四川攀枝花·中考真題）銀江水電站位于攀枝花市境內(nèi)金沙江與雅礱江交匯處附近，每年可為國家電網(wǎng)輸送約16億千瓦時(shí)的清潔能源．16億可用科學(xué)記數(shù)法記為（

）A．0.16×1010 B．1.6×109 【答案】B【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法：a×10【詳解】解：16億=1600000000=1.6×10故選B．【變式4-1】（2025·四川廣元·中考真題）2025年5月29日1時(shí)31分，西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭發(fā)射天問二號(hào)探測(cè)器取得圓滿成功．此次發(fā)射任務(wù)，火箭的入軌速度要達(dá)到11.2千米/秒，用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)速度為米/秒．【答案】1.12×【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，【詳解】解：11.2千米/秒=11200米/秒=1.12×10故答案為：1.12×10【變式4-2】（2025·四川南充·中考真題）2024年9月25日8時(shí)44分，我國火箭軍成功發(fā)射了一枚“東風(fēng)-31AG”洲際彈道導(dǎo)彈，導(dǎo)彈平均速度為25馬赫，馬赫為速度單位，1馬赫約為340米/秒．用科學(xué)記數(shù)法表示“東風(fēng)-31AG”導(dǎo)彈的平均速度為（

）A．8.5×102米/秒 B．C．8.5×104米/秒 D．【答案】B【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法中a（1≤|a|<10）與n（整數(shù)位數(shù)減1）的確定是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)1馬赫的速度算出25馬赫的速度，再轉(zhuǎn)化為科學(xué)記數(shù)法形式．【詳解】解：計(jì)算25馬赫的速度：25×340=8500（米/秒）用科學(xué)記數(shù)法表示8500：8500=8.5×10故選：B．?題型02利用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)【典例5】（2025·河南·中考真題）通電瞬間，導(dǎo)線中的電流以接近光速形成，但其中自由電子定向移動(dòng)的平均速度大約只有0.000074m/s，比蝸牛爬行的速度還慢．?dāng)?shù)據(jù)“0.000074A．0.74×10?4 B．7.4×10?4 C．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的正數(shù)的一般形式為a×10?n，其中1≤a<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及【詳解】解：0.000074=7.4×10故選：C．【變式5-1】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)水分子的直徑約為3.85×10?9米，勿忘我的花粉直徑約為5×10?6米，用科學(xué)記數(shù)法表示一個(gè)水分子的直徑是勿忘我花粉直徑的（A．0.77×10?3倍 B．77×10?5倍 C．7.7×10【答案】C【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則以及科學(xué)記數(shù)法的表示方法：a×10【詳解】解：3.85×==0.77×=7.7×=7.7×10故選：C．【變式5-3】（2025·河北·中考真題）一般固體都具有熱脹冷縮的性質(zhì)，固體受熱后其長度的增加稱為線膨脹．在0~100℃（本題涉及的溫度均在此范圍內(nèi)），原長為lm的銅棒、鐵棒受熱后，伸長量y(m)與溫度的增加量x℃之間的關(guān)系均為y=αlx，其中α為常數(shù)，稱為該金屬的線膨脹系數(shù)．已知銅的線膨脹系數(shù)αCu=1.7×10?5（單位：/℃）；原長為2.5(1)原長為0.6m的銅棒受熱后升高50℃(2)求鐵的線膨脹系數(shù)αFe；若原長為1m的鐵棒受熱后伸長(3)將原長相等的銅棒和鐵棒從0℃開始分別加熱，當(dāng)它們的伸長量相同時(shí)，若鐵棒的溫度比銅棒的高20℃，求該鐵棒溫度的增加量．【答案】(1)5.1×10?4(2)αFe=1.2×10?5(3)68【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)y=αlx，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)定義求得鐵的線膨脹系數(shù)αFe，進(jìn)而設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x（3）設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x2【詳解】（1）解：0.6×50×1.7×10答：該銅棒的伸長量5.1×10（2）解：2.5×α解得：αFe=1.2×10設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x11×1.2×10解得：x1答：鐵的線膨脹系數(shù)αFe=1.2×10?5（3）解：設(shè)該鐵棒溫度的增加量為x21.7×10解得：x2答：該鐵棒溫度的增加量為68℃?題型03近似數(shù)與精確度1.取一個(gè)精確到某一位的近似數(shù)時(shí)，應(yīng)是從這一位后面相鄰的第一個(gè)數(shù)字進(jìn)行四舍五入；2.取較大數(shù)的近似數(shù)時(shí)，通常先把該數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，再按要求精確.【典例6】（2025·四川資陽·模擬預(yù)測(cè)）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．3.14×103精確到十位C．用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)2.6×104精確到千位【答案】B【分析】本題考查了近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握近似數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)判斷即得答案.【詳解】解：A、3.14×10B、4.6093萬=46093，精確到個(gè)位，故選項(xiàng)說法錯(cuò)誤；C、用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)2.6×10D、近似數(shù)0.6精確到十分位，0.60精確到百分位，故近似數(shù)0.6和0.60表示的意義不同，故選項(xiàng)說法正確；故選：B.【變式6-1】（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）西昌2024年地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）首次突破800億元大關(guān)，達(dá)到803.43億元，持續(xù)穩(wěn)坐涼山州經(jīng)濟(jì)“頭把交椅”．這里的803.43億精確到（

）A．百分位 B．億位 C．千萬位 D．百萬位【答案】D【分析】本題考查了精確度，把原數(shù)還原，看末位數(shù)字在還原后的數(shù)中所占的數(shù)位即可求解，理解精確度的定義是解題的關(guān)鍵【詳解】解：803.43億=80343000000，∵803.43億的末位數(shù)字在還原后的數(shù)中所占的數(shù)位是百萬位，∴803.43億精確到百萬位，故選：D．【變式6-2】（2025·山東濰坊·一模）某市2025年參加中考的學(xué)生數(shù)大約為9.98×104人，下列關(guān)于這個(gè)近似數(shù)說法正確的是（A．精確到百位，有3個(gè)有效數(shù)字 B．精確到百位，有5個(gè)有效數(shù)字C．精確到百分位，有3個(gè)有效數(shù)字 D．精確到百分位，有5個(gè)有效數(shù)字【答案】A【分析】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，解答的關(guān)鍵是明確用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字的確定方法．在標(biāo)準(zhǔn)形式a×10n中a的部分中，從左邊第一個(gè)不為0的數(shù)字?jǐn)?shù)起，共有3個(gè)有效數(shù)字是【詳解】解：9.98×104=99800故選：A．命題點(diǎn)四算術(shù)平方根、平方根、立方根?題型01求一個(gè)數(shù)的平方根/立方根【易錯(cuò)失分點(diǎn)】求√a的平方根，要先把√a去根號(hào)，再求平方根【典例7】（2025·眉山·中考真題）?27的立方根是．【答案】?3【分析】此題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的定義是解答問題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：∵?33∴?27的立方根為?3，故答案為：?3．【變式7-1】（2025·北京·二模）下列算式中正確的有（

）（1）9=±3；（2）±9=3；（3）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B【分析】本題考查了算術(shù)平方根，平方根，立方根，根據(jù)算術(shù)平方根、平方根、立方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：（1）9=3（2）±9（3）3?3（4）?32故選：B．【變式7-2】（2025·山東·三模）2025年是農(nóng)歷乙巳蛇年，下列對(duì)2025的說法正確的是（

）A．2025的相反數(shù)是2025 B．2025的絕對(duì)值是2025C．2025的倒數(shù)是2025 D．2025的平方根是2025【答案】B【詳解】本題考查相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)及平方根的概念，需根據(jù)相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)及平方根的概念逐一判斷各選項(xiàng)，即可作答．【分析】解：A、2025的相反數(shù)是?2025，故A選項(xiàng)不符合題意；B、2025的絕對(duì)值為2025，故B選項(xiàng)符合題意；C、2025的倒數(shù)為12025D、2025的平方根為±45（因452故選：B．?題型02根據(jù)平方根/立方根的性質(zhì)求解【典例8】（2025·河北邯鄲·三模）如果a是b的算術(shù)平方根，那么a一定是（）A．正數(shù) B．0 C．非負(fù)數(shù) D．非正數(shù)【答案】C【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，根據(jù)算術(shù)平方根的定義，非負(fù)數(shù)b的算術(shù)平方根a滿足a≥0且a2=b，因此【詳解】解：∵a是b的算術(shù)平方根，∴a=b∴a必為非負(fù)數(shù)，故選：C．【變式8-1】（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)a滿足a=?a、a2=4則實(shí)數(shù)a=A．?2 B．2 C．±2 D．±【答案】A【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的平方根，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得a≤0，由平方根的定義即可得到答案．【詳解】解：∵a=?a∴a≤0，∵a2∴a=?2，故選：A．【變式8-2】（2025·寧夏銀川·二模）若一個(gè)正數(shù)的平方根是2m?4與3m?1，則這個(gè)正數(shù)是【答案】4【分析】本題考查了已知一個(gè)數(shù)的平方根，求這個(gè)數(shù)．先由一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2m?4與3m?1，得出2m?4+3m?1=0，解得m=1，再代入2m?4得?2，即可作答．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是2m?4與3m?1，∴2m?4+3m?1=0，∴m=1，∴2m?4=?2，則(?2)2故答案為：4．【變式8-3】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）若3x2=x2【答案】0，±1【分析】本題考查了立方根，熟悉掌握立方根等于本身的數(shù)有0，±1是解題的關(guān)鍵．根據(jù)立方根等于本身的數(shù)有0，±1，依此即可求解．【詳解】解：∵3∴x的值為0，±1．故答案為：0，±1．?題型03平方根/立方根的實(shí)際應(yīng)用1）把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.2）根據(jù)題意列出方程，利用平方根/立方根的定義求出方程的解.【典例9】（2025·山東濟(jì)南·中考真題）已知一個(gè)正方形的面積為2，則其邊長為．【答案】2【分析】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，正方形的面積等于邊長的平方，所以2的算術(shù)平方根即為所求．【詳解】解：已知一個(gè)正方形的面積為2，則其邊長為2．故答案為：2【變式9-1】（2025·廣東深圳·三模）大、中、小三個(gè)正方形擺放如圖所示，若大正方形的面積為8，小正方形的面積為2，則正方形ABCD的邊長可能是．【答案】3（答案不唯一）【分析】本題考查算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，求出大正方形的邊長，小正方形的邊長，根據(jù)正方形ABCD的邊長介于大正方形的邊長和小正方形的邊長之間，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵大正方形的面積為8，小正方形的面積為2，∴大正方形的邊長為8=22，小正方形的邊長由圖可知：2<AB<2∴正方形ABCD的邊長可能是3；故答案為：3（答案不唯一）．【變式9-1】（2025·山東德州·二模）如圖，在做浮力實(shí)驗(yàn)時(shí)，小華用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，并用一個(gè)量筒量得溢出的水的體積為54cm3，由此可估計(jì)該正方體鐵塊的棱長位于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間（A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【答案】B【分析】本題主要考查了立方根的實(shí)際應(yīng)用，無理數(shù)的估算，根據(jù)題意可得鐵塊的體積為54cm3，則鐵塊的棱長為354【詳解】解：由排水法可知，排出的水的體積即為鐵塊的體積，∴鐵塊的體積為54cm∴鐵塊的棱長為354∵27<54<64，∴3<3∴鐵塊的棱長在3和4之間，故選：B．命題點(diǎn)五實(shí)數(shù)的大小比較?題型01實(shí)數(shù)的大小比較比較實(shí)數(shù)大小的方法，常見的有作差法、作商法、倒數(shù)法、數(shù)軸法、平方法、估算法.這里主要介紹一下平方法：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，若a＞b；對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)a，b，若a＜b.【典例10】（2025·青海西寧·中考真題）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，最大的是（

）A．?7 B．0 C．12 D．【答案】D【分析】本題考查比較實(shí)數(shù)大小，無理數(shù)的估算，掌握比較實(shí)數(shù)大小的法則：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小是解題的關(guān)鍵，根據(jù)比較實(shí)數(shù)大小的法則求解即可．【詳解】解：∵負(fù)數(shù)小于0，0小于正數(shù)，∴?7<0，又∵(12)2=1∴1∴?7<0<1∴最大的是30，故選：D．【變式10-1】（2025·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）若m為小于1的正數(shù)，則m與m的大小關(guān)系為（）A．m=m B．m>m C．m<【答案】C【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，結(jié)合題意，舉出例子進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：∵m為小于1的正數(shù)，∴0<∴0<m∴0<m<故選：C．【變式10-2】（2025·寧夏·模擬預(yù)測(cè)）比較下列各組數(shù)的大小，錯(cuò)誤的是（

）A．7<10 B．5?12<0.5 【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較．熟練掌握無理數(shù)大小的估算，實(shí)數(shù)的大小比較法則，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的估算方法以及被開方數(shù)的大小逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可得．【詳解】A．∵7<10，∴7<B．∵2<5∴1<5∴12<5C．∵2<5∴3<5∴32∴5+1D．∵51>49，∴51>即51>7故選：B．【變式10-3】（2025·河北唐山·三模）已知實(shí)數(shù)?2，?5，m．(1)當(dāng)m=3時(shí)，計(jì)算最大數(shù)與最小數(shù)的差；(2)當(dāng)m=?22【答案】(1)8(2)?5<?2【分析】本題考查實(shí)數(shù)比較大小，實(shí)數(shù)的減法，掌握實(shí)數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．（1）當(dāng)m=3時(shí)，最大數(shù)是3，最小數(shù)是?5，根據(jù)有理數(shù)的減法法則即可求解；（2）當(dāng)m=?22【詳解】（1）解：當(dāng)m=3時(shí)，∵?5<?2<3，∴最大數(shù)是3，最小數(shù)是?5，它們的差是：3??5（2）解：當(dāng)m=?22時(shí)，?2=2，?5=5∵2<22∴?5<?22命題點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算?題型01實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算1）負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)；2）一個(gè)非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；3），【典例11】（2025·山東威海·中考真題）計(jì)算：12?1【答案】1?2【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，二次根式的化簡求解即可，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：1=2?2=1?22【變式11-1】（2025·河北·中考真題）（1）一道習(xí)題及其錯(cuò)誤的解答過程如下：請(qǐng)指出在第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，并選擇你喜歡的方法寫出正確的解答過程．計(jì)算：(?6)×1解：(?6)×=?6×1=?3+4?5第二步=?4．第三步（2）計(jì)算：|2?【答案】（1）原計(jì)算第一步開始出錯(cuò)；?2；（2）1?【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）第一步計(jì)算分配律時(shí)符號(hào)出錯(cuò)；（2）按照實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行，先計(jì)算括號(hào)里面的，再從左到右依次計(jì)算乘除．【詳解】解：（1）原計(jì)算第一步開始出錯(cuò)；(?6)×=?6×=?3?4+5=?2；（2）|2?=2?=1?【變式11-2】（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：?2?【答案】4+【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式及相關(guān)的運(yùn)算法則．根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則及絕對(duì)值的性質(zhì)、零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡求解即可．【詳解】解：原式=2?1+4?2×=2?1+4?=4+3?題型02實(shí)數(shù)運(yùn)算與新定義問題1）準(zhǔn)確理解新定義的概念、規(guī)則，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。2）分析新定義的應(yīng)用條件，避免忽略限制。3）把新定義問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)實(shí)數(shù)運(yùn)算、方程等知識(shí)求解。4）可通過示例或特殊值驗(yàn)證理解，分步驟拆解問題解決。【典例12】（2025·四川瀘州·中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,?b，定義新運(yùn)算：a※b=aa≥b?aa<b，給出下列結(jié)論：①8※2=8；②若x※3=6，則x=6；③a※b=?a※?b；④若2x?4※A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義運(yùn)算分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義運(yùn)算法則，逐項(xiàng)分析判斷，即可求解．【詳解】解：①∵8>2，∴8※2②∵x※3=6當(dāng)x>3時(shí)，x=6，當(dāng)x<3時(shí)，?x=6，即x=?6，故②不正確；③a※b=?a※?b不成立，例如a=b=1，則a④當(dāng)2x?4≥2即x≥3時(shí)，則：2x?4<5x，解得：x>?4∴x≥3；當(dāng)2x?4<2，即x<3時(shí)，則：?2x?4解得：x>4∴47綜上所述，x>4故正確的有①和④，共2個(gè)，故選：B．【變式12-1】（2025·甘肅酒泉·三模）對(duì)平面上任意一點(diǎn)a,b，定義f，g兩種變換：fa,b=a,?b，如f1,2=1,?2；ga,bA．5,?9 B．?9,?5 C．5,9 D．9,5【答案】D【分析】本題考查定義新運(yùn)算，根據(jù)變換規(guī)則，先計(jì)算f5,?9，得到新坐標(biāo)，再應(yīng)用g【詳解】解：∵fa,b∴f5,?9∵ga,b∴gf故選：D．【變式12-2】（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)n，符號(hào)n！=1×2×3×…×n，例如：3！=1×2×3=6，5！=1×2×3×4×5=120，如果A．?1 B．1 C．?2 D．2【答案】A【分析】本題考查了新定義，涉及有理數(shù)的運(yùn)算，數(shù)字類規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先確定末尾有4個(gè)0，再確定20!能被9整除，則2432902008y7664x000各個(gè)數(shù)字之和也能被9整除，即可求解．【詳解】解：在20!中，5的倍數(shù)有5,10,15,20共4個(gè)，因此20!中，末尾共有4個(gè)0，故x=0；∵20!中的因數(shù)有9，∴20!能被9整除，其各位數(shù)字之和2+4+3+2+9+0+2+0+0+8+y+7+6+6+4+x=53+x+y也能被9整除，∴53+y是9的倍數(shù)，即y=1，∴x?y=0?1=?1，故選：A．【變式12-3】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于任意一個(gè)三位正整數(shù)，我們可以記為abc，即abc=100a+10b+c（a，b，c均為正整數(shù)）．若規(guī)定：對(duì)abc進(jìn)行F運(yùn)算，得到整數(shù)F(abc)=100a3+10b(1)計(jì)算：F(128)；(2)若F(abc)=1294，求這個(gè)三位數(shù)【答案】(1)148；(2)274．【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)定義求出c=4，分別討論求出a=2，b=7，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：F(128)=100×1（2）解：F(∴100∴c=4a，b均為正整數(shù)若b2=9，則a3若b2=49，則a3=8∴綜上這個(gè)三位數(shù)為274突破一非負(fù)性的應(yīng)用【典例1】（2025·四川廣安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,b，且a，b滿足a?22+b+3=0，則點(diǎn)【答案】四【分析】本題考查非負(fù)性，判斷點(diǎn)所在的象限，根據(jù)非負(fù)性求出a,b的值，根據(jù)a,b的符號(hào)，判斷出點(diǎn)A所在的象限即可．【詳解】解：∵a?22∴a?2=0,b+3=0，∴a=2>0,b=?3<0，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,?3，在第四象限；故答案為：四．【變式1-1】（2025年四川省涼山州中考數(shù)學(xué)真題）若3x+2y?192+2x+y?11=0，則A．8 B．±8 C．±22 D．【答案】C【分析】本題考查非負(fù)性，解二元一次方程組，求一個(gè)數(shù)的平方根，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，先根據(jù)非負(fù)性，得到關(guān)于x,y的二元一次方程組，兩個(gè)方程相減后求出x+y的值，再根據(jù)平方根的定義，進(jìn)行求解即可．熟練掌握非負(fù)性，平方根的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵3x+2y?192∴3x+2y?19=0①①?②，得：∴x+y的平方根是±8【變式1-2】（2025·廣東清遠(yuǎn)·三模）若x?22與y+3互為相反數(shù)，則x+y2025的值為．【答案】?1【分析】此題主要考查了相反數(shù)的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)相反數(shù)的定義得到x?22+y+3=0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可求出【詳解】解：∵x?22與y+3∴x?22∴x?2=0，y+3=0，∴x=2，y=?3，∴x+y2025故答案為：?1．【變式1-3】（2025·貴州·一模）小紅同學(xué)在做題的時(shí)候不小心將墨水滴到了作業(yè)本上恰好遮住了一個(gè)數(shù)字，得到一個(gè)不完整的方程x+32+1【答案】?1【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性可知x+32=0，13x??=0，即x+3=0，13x??=0【詳解】解：∵x+32∴x+32=0，∴x+3=0，13∴x=?3，將x=?3代入13x??=0得：解得：？=?1故答案為：?1．突破二實(shí)數(shù)與數(shù)軸相結(jié)合的應(yīng)用【典例2】（2025·四川資陽·中考真題）已知數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是2，則與點(diǎn)A相距2個(gè)單位長度的點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A．2+2或2?2 B．2+2或2?2 C．【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的定義，該點(diǎn)可能在點(diǎn)A的左側(cè)或右側(cè)，分別計(jì)算即可．【詳解】解：數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2，與點(diǎn)A相距2個(gè)單位長度的點(diǎn)可能在點(diǎn)A的左側(cè)或右側(cè)．當(dāng)該點(diǎn)在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，表示的數(shù)為2+2當(dāng)該點(diǎn)在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，表示的數(shù)為2?2因此，符合條件的數(shù)為2+2或故選A．【變式2-1】（2024·山東德州·中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所，下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>b C．a(chǎn)+2>b+2 D．a(chǎn)?1【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，判斷數(shù)的大小關(guān)系，不等式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義判斷出式子的大小即可．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸得a<0<1<b，∴a<故選：D．【變式2-2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則(a?b)2?b?a?2A．2 B．2a?2 C．2?2b D．-2【答案】A【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡法則，根據(jù)數(shù)軸可得?3<a<?2，0<b<1，，再利用二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的化簡法則，化簡計(jì)算即可．【詳解】解∶由數(shù)軸知∶?3<a<?2，0<b<1，∴a?b<0，∴(a?b)==?=?a+b?b+a+2=2，故選：A．【變式2-3】（2024·山東威?！ぶ锌颊骖}）定義我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a，b的點(diǎn)A，B之間的距離AB=a?ba≥b．特別的，當(dāng)a≥0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于a?0．當(dāng)a<0時(shí)，表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于0?a應(yīng)用如圖，在數(shù)軸上，動(dòng)點(diǎn)A從表示?3的點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B從表示12的點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．(1)經(jīng)過多長時(shí)間，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度？(2)求點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值．【答案】(1)過4秒或6秒(2)3【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）設(shè)經(jīng)過x秒，則A表示的數(shù)為?3+x，B表示的數(shù)為12?2x，根據(jù)“點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度”列方程求解即可；（2）先求出點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為?3+x+12?2x，然后分x<3，3≤x≤6，【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒，則A表示的數(shù)為?3+x，B表示的數(shù)為12?2x，根據(jù)題意，得12?2x??3+x解得x=4或6，答，經(jīng)過4秒或6秒，點(diǎn)A，B之間的距離等于3個(gè)單位長度；（2）解：由（1）知：點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和為?3+x+當(dāng)x<3時(shí)，?3+x+∵x<3，∴15?3x>6，即?3+x+當(dāng)3≤x≤6時(shí)，?3+x+∵3≤x≤6，∴3≤9?x≤6，即3≤?3+x當(dāng)x>6時(shí)，?3+x+∵x>6，∴3x?15>3，即?3+x+綜上，?3+x+∴點(diǎn)A，B到原點(diǎn)距離之和的最小值為3．突破三利用實(shí)數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決新情境問題【典例3】（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）2025年5月，基于“三進(jìn)制”邏輯的芯片研制成功．與傳統(tǒng)的“二進(jìn)制”芯片相比，三進(jìn)制邏輯芯片在特定的運(yùn)算中具有更高的效率．二進(jìn)制數(shù)的組成數(shù)字為0，1．十進(jìn)制數(shù)22化為二進(jìn)制數(shù)：22=1×2傳統(tǒng)三進(jìn)制數(shù)的組成數(shù)字為0，1，2．十進(jìn)制數(shù)22化為三進(jìn)制數(shù)：22=2×3將二進(jìn)制數(shù)10112A．1023 B．1013 C．1103【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解例題的計(jì)算方法，按照例題代入計(jì)算即可．將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為三進(jìn)制數(shù)，需先將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，再將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為三進(jìn)制數(shù)．【詳解】∵二進(jìn)制數(shù)10112的各位權(quán)值從右到左依次為2對(duì)應(yīng)數(shù)值為：1×∴二進(jìn)制數(shù)10112將十進(jìn)制數(shù)11轉(zhuǎn)換為三進(jìn)制數(shù)，采用“除3取余法”：11÷3=3，余數(shù)為2；3÷3=1，余數(shù)為0；1÷3=0，余數(shù)為1．將余數(shù)倒序排列，得到三進(jìn)制數(shù)為1023故選：A．【變式3-1】（2025·山東濱州·中考真題）據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機(jī)上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個(gè)數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計(jì)算的奧妙．華羅庚解釋如下：①由103=1000，1003=1000000，1000<59319<1000000