湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．在等差數(shù)列中，已知，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．183．若方程表示圓，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．4．設(shè)，若直線與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù).若對(duì)于任意的等差數(shù)列，總有是等差數(shù)列，則稱函數(shù)具有“保等差性”.函數(shù)可能是（

）A． B．C． D．6．過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于，，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．27．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B．0 C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P．若，，，為的角平分線，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知圓與圓，則（

）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．兩圓相交，公共弦的方程為C．圓與圓有三條公切線 D．圓平分圓的周長(zhǎng)10．已知，設(shè)兩條直線，交點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓的一部分，且橢圓焦點(diǎn)在軸上B．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓的一部分，且橢圓焦點(diǎn)在軸上C．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓的一部分D．當(dāng)時(shí)，曲線是雙曲線的一部分11．?dāng)?shù)列滿足，，記，，則（

）A． B．是遞減數(shù)列C． D．存在使得三、填空題12．在等差數(shù)列中，，公差為，前項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則的取值范圍為．13．設(shè)直線與拋物線相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)．若，則．14．已知分別是橢圓的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若過(guò)三點(diǎn)的圓恰與軸相切，則的離心率為．四、解答題15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E與定點(diǎn)的距離和E到定直線的距離之比為2，動(dòng)點(diǎn)E的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求直線PA，PB的斜率之和．17．如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，平面平面PCD．(1)證明：；(2)若四邊形ABCD為直角梯形，，，，，，球O為三棱錐的外接球．（i）求直線AO與平面PBC的夾角正弦值；（ii）求平面PBC截球O的截面面積．18．如圖，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)也可表示為，其中，為x軸非負(fù)半軸繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與重合的旋轉(zhuǎn)角．將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，這個(gè)過(guò)程稱之為旋轉(zhuǎn)變換，由此可以得到旋轉(zhuǎn)變換公式：．已知將焦點(diǎn)在x軸上的橢圓W繞原點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換可以得到曲線．(1)直接寫出曲線的對(duì)稱軸和橢圓W的方程（不用說(shuō)明理由）；(2)已知曲線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到雙曲線，曲線與橢圓W交于A，B，C，D四點(diǎn)．（i）求k的取值范圍；（ii）求四邊形的面積S（用k表示）及其取值范圍．19．已知為拋物線的焦點(diǎn)，P，A，B是拋物線E上互異的任意三個(gè)點(diǎn)，且P點(diǎn)異于原點(diǎn)，直線PA，PB的斜率均存在．過(guò)點(diǎn)P作E的切線，與直線交于點(diǎn)Q，過(guò)Q作PF的垂線，垂足為H．(1)求E的方程；(2)證明：點(diǎn)H恒在一個(gè)以F為圓心的圓上，并求圓F的方程；(3)將圓F向右平移3個(gè)單位得到圓C，若，直線PA，PB被圓C截得的弦長(zhǎng)都為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．參考答案題號(hào)12345678910答案CDBCDBCDBDABD題號(hào)11答案ABD1．C【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C2．D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】在等差數(shù)列中，已知，，則，所以.故選：D.3．B【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以,解得或.故選：B.4．C【分析】直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，畫圖圖形，求出臨界時(shí)直線的斜率與直線的斜率，即可得解.【詳解】由得，因此直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率，如圖所示，當(dāng)直線由直線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到直線的位置時(shí)，符合題意．

易得，．結(jié)合圖形知或，解得或，即的取值范圍是．故選：C5．D【分析】利用等差數(shù)列的定義依次驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】是等差數(shù)列，則需要滿足，對(duì)于A，取等差數(shù)列，則,，,則，故A不正確；對(duì)于B，取等差數(shù)列，則,,，則，故B不正確；對(duì)于C，取等差數(shù)列，則,,,則，故C不正確；對(duì)于D,,,所以，，由于為等差數(shù)列，則，所以，故D正確；故選：D6．B【分析】通過(guò)設(shè)橢圓上兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率，推導(dǎo)出與的比值.【詳解】設(shè)，，則，.兩式相減得.因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，，且直線的斜率.將其代入上式，得，兩邊除以，得，整理得，故.故選：B7．C【分析】由題可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.易得.根據(jù)的周期性，可求得.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.，.所以.所以.故選：C.8．D【分析】利用雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，再利用角平分線定理求出．【詳解】雙曲線，設(shè)雙曲線半焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，，，，是中點(diǎn)，，，是中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上的點(diǎn)，故，設(shè)點(diǎn)在雙曲線漸近線上，聯(lián)立得，點(diǎn)在雙曲線漸近線上，且是中點(diǎn)，，故，解得，，的斜率，方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，得，解得，在雙曲線右支上，，，故點(diǎn)；，是的角平分線，，故D正確．故選：D．9．BD【分析】把兩個(gè)圓的方程通過(guò)配方法變成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】圓，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.圓，則圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.A：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；B：,因?yàn)?，所以兩圓相交，，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確；C：由上可知兩圓相交，故公切線有兩條，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；D：因?yàn)椋詧A心在圓上，又因?yàn)?，所以圓心在公共弦所在直線上，因此圓平分圓的周長(zhǎng)，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：BD10．ABD【分析】先聯(lián)立兩直線方程消去參數(shù)，得到曲線C的方程為，再根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件逐一分析選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與的方程，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與的方程，可得，所以，兩式平方相加可得,選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)曲線C的方程，這是橢圓去掉時(shí)的點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)在x軸上，所以該選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，這是橢圓去掉??時(shí)的點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以該選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，假設(shè),曲線C的方程為，表示圓去掉時(shí)的點(diǎn)，不表示橢圓的一部分，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，曲線C的方程是焦點(diǎn)在x軸的雙曲線的一部分，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11．ABD【分析】由遞推式可得，則可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)出其公差，可表示出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可表示出，再利用可解出，則可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再逐項(xiàng)計(jì)算并判斷即可得.【詳解】由，則，即，故，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，故，則，則，則，解得，故；對(duì)A：由，則，，則，，故，故A正確；對(duì)B：由，則，故是遞減數(shù)列，故B正確；對(duì)C：由，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，令，解得，故存在，使得，故D正確.故選：ABD.12．【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列是遞減數(shù)列，則有，解出即可得.【詳解】由等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則數(shù)列是遞減數(shù)列，又，則，解得，故的取值范圍為.故答案為：.13．【分析】假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線和拋物線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，將轉(zhuǎn)化為，再利用韋達(dá)定理解.【詳解】設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得；由拋物線的性質(zhì)可知，，則，即，等式兩側(cè)同時(shí)平方可得，整理可得，即，解得或（不符合題意舍去），故答案為：1.14．【分析】利用過(guò)三點(diǎn)的圓恰與軸相切，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)在圓上，坐標(biāo)適合方程即可求解．【詳解】由已知可得：，線段的垂直平分線方程為，過(guò)三點(diǎn)的圓恰與軸相切，所以圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以經(jīng)過(guò)過(guò)三點(diǎn)的圓的圓的方程為，在圓上，所以，整理得：，所以，所以，化為：，由，解得.故答案為：．15．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由已知等式變形得出，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，可知，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.16．(1)(2)0【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式、點(diǎn)到直線距離公式和題意聯(lián)立方程即可；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線和曲線方程，通過(guò)斜率定義表示直線和的斜率之和，再結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，E到定直線的距離為，所以，等式兩側(cè)同時(shí)平方可得，整理可得曲線C的方程為.（2）如圖示，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線和曲線方程，消去可得，因?yàn)橹本€與曲線相交于兩點(diǎn)，所以，，由韋達(dá)定理可知；已知，則直線的斜率為，直線的斜率為，即知，代入，得，再將代入上式，可得，所以直線的斜率之和為.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）證明線面垂直即可證明；（2）（i）由，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，易證平面平面，過(guò)作于,則平面，易得，延長(zhǎng)至使得，過(guò)作且，則直線AO平面，所以即為直線AO與平面PBC所成的角，易得，，.即可求解直線AO與平面PBC的夾角正弦值；（ii）求出點(diǎn)到面的距離.設(shè)平面PBC截球O的截面圓的半徑為，球的半徑，由，解得，即可求解.【詳解】（1）如圖：因?yàn)槠矫嫫矫?，面平面，過(guò)作于，則平面，平面，故.又平面,平面,所以，，所以平面,平面，所以.（2）（i）點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由如下：由（1）知平面，平面，.又平面,平面,所以.點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，故O為三棱錐的外接球的球心.因?yàn)槠矫?所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面，過(guò)作于,則平面.延長(zhǎng)至使得，過(guò)作且，則直線AO平面，所以即為直線AO與平面PBC所成的角，易得，

.過(guò)作于，則,設(shè)，則，，由（1）知，則，即，解得.故，又，解得.所以直線AO與平面PBC的夾角正弦值；（ii）點(diǎn)為的中點(diǎn)，故點(diǎn)到面的距離是點(diǎn)到面的距離的二分之一，又，所以點(diǎn)到面的距離等于點(diǎn)到面的距離，點(diǎn)到面的距離為，故點(diǎn)到面的距離.設(shè)平面PBC截球O的截面圓的半徑為，球的半徑，由，即，解得，所以平面PBC截球O的截面圓的面積為.18．(1)，(2)（i）；（ii），取值范圍為【分析】（1）易得曲線的對(duì)稱軸為，進(jìn)而可知曲線由橢圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換求橢圓方程即可；（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換得到曲線，（i）聯(lián)立橢圓，結(jié)合有四個(gè)交點(diǎn)即可得到k的取值范圍；（ii）根據(jù)題意可知四邊形為平行四邊形，則，再根據(jù)即可得到，然后再求范圍即可．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)在曲線上，則，所以，則點(diǎn)也在曲線上，故是曲線的對(duì)稱軸，又，所以點(diǎn)也在曲線上，故也是曲線的對(duì)稱軸，綜上，曲線的對(duì)稱軸為；所以曲線由橢圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點(diǎn)在橢圓上，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，則，又點(diǎn)在曲線上，所以，即，整理化簡(jiǎn)得，即橢圓的方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，則，整理得，即曲線，（i）聯(lián)立，得，因?yàn)榍€與橢圓W交于A，B，C，D四點(diǎn)，令，則有兩個(gè)不同的正數(shù)解，，解得或，所以k的取值范圍為；（ii）根據(jù)題意，橢圓W及曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易得四邊形為平行四邊形，則，不妨設(shè)，，在第四象限，則，又，所以，，，則，所以，取值范圍為．19．(1)(2)證明見(jiàn)解析，圓F的方程為(3)或【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)公式求出，再利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)拋物線切線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式、直線垂直的性質(zhì)、圓的定義進(jìn)行運(yùn)算證明即可；（3）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，所以，因此E的方程為；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知過(guò)點(diǎn)P（異于原點(diǎn)）的拋物線的切線的斜率一定存在，且不為零，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P的拋物線的切線的斜率為，所以該切線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€是