第1頁（共1頁）2025年陜西省中考數學試卷一、單選題(共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符含題意的)1．（3分）（2025?陜西）計算：﹣5+4＝（）A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣92．（3分）（2025?陜西）上馬石是古人上下馬的工具，形狀如圖①．它可以看作圖②所示的幾何體，該幾何體的俯視圖為（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?陜西）如圖，點O在直線AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，則∠2的度數為（）A．76° B．74° C．64° D．52°4．（3分）（2025?陜西）計算2a2?ab的結果為（）A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b5．（3分）（2025?陜西）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD為AB邊上的中線，DE⊥AC，則圖中與∠A互余的角共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標系中，過點（1，0），（0，2）的直線向上平移3個單位長度，平移后的直線經過的點的坐標可以是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）7．（3分）（2025?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為AB的中點，點F在AD上，EF⊥EC，則△CEF的面積為（）A．10 B．8 C．5 D．48．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的圖象與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別位于y軸兩側，則下列關于該函數的結論正確的是（）A．圖象的開口向下 B．當x＞0時，y的值隨x值的增大而增大 C．函數的最小值小于﹣3 D．當x＝2時，y＜0二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分)9．（3分）（2025?陜西）滿足2＜a＜5的整數a可以是10．（3分）（2025?陜西）生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設計圖案，如圖②，第1個圖案用了3個矩形，第2個圖案用了5個矩形，第3個圖案用了7個矩形，…則第10個圖案需要用矩形的個數為．11．（3分）（2025?陜西）草莓熟了，學校組織同學們參加勞動實踐，幫助果農采摘草莓．小康和小悅采摘的時長相同，采摘結束后，小康采摘的草莓比小悅多2.4kg．已知小康平均每小時采摘6kg，小悅平均每小時采摘4kg，小康采摘的時長是小時．12．（3分）（2025?陜西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB＝24°，則∠ACD的度數為13．（3分）（2025?陜西）如圖，過原點的直線與反比例函數y=kx(k＞0)的圖象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）兩點，則k14．（3分）（2025?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．動點M，N分別在邊AB，AD上，且AM＝AN，以MN為邊作等邊△MNP，使點P始終在?ABCD的內部或邊上．當△MNP的面積最大時，DN的長為．三、解答題（共12小題，計78分．解答應寫出過程)15．（5分）（2025?陜西）計算：3×16．（5分）（2025?陜西）解不等式組：x+3＜52(x+1)＞x?117．（5分）（2025?陜西）化簡：(1?118．（5分）（2025?陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點C在邊OA上．請用尺規(guī)作圖法，在∠AOB的內部求作一點P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）19．（5分）（2025?陜西）如圖，點D是△ABC的邊BC延長線上一點，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求證：BE＝AC．20．（5分）（2025?陜西）某班開展主題為“我愛陜西”的綜合實踐活動，班委會決定設置“山水”“歷史”“文學”“藝術”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個研究方向，并采取小組合作的研究方式．同學們在五張完全相同的不透明卡片的正面繪制了如圖所示的圖案，卡片背面保持完全相同．（1）將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，抽到的卡片內容是“科技”的概率為；（2）各小組從這五張卡片中隨機抽取一張，將卡片內容作為本小組的研究方向．將這五張卡片背面朝上洗勻后，小秦代表第一小組從中隨機抽取一張，記下結果，放回，背面朝上洗勻后，小博代表第二小組從中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個小組研究方向不同的概率．21．（6分）（2025?陜西）小涵和小宇想測量公園山坡上一個信號桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測量．測量示意圖如圖所示，他們在坡面FB上的點D處安裝測角儀DE，測得信號桿頂端A的仰角α為45°，DE與坡面的夾角β為72.5°，又測得點D與信號桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE＝1.7m，點A，B，C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號桿的高AB．（參考數據：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）22．（7分）（2025?陜西）研究表明，一定質量的氣體，在壓強不變的條件下，氣體體積y（L）與氣體溫度x（℃）成一次函數關系．某實驗室在壓強不變的條件下，對一定質量的某種氣體進行加熱，測得的部分數據如表：氣體溫度x（℃）…253035…氣體體積y（L）…596606616…（1）求y與x的函數關系式；（2）為滿足下一步的實驗需求，本次實驗要求氣體體積達到700L時停止加熱．求停止加熱時的氣體溫度．23．（7分）（2025?陜西）為了讓同學們了解我國航天事業(yè)取得的成就并普及航天知識，某校在“中國航天日”當天開展了研學活動，隨后采取自愿報名的方式，組織了航天知識競賽．競賽結束后，從競賽成績（單位：分滿分100分均不低于60分）中用科學的抽樣方法隨機抽取部分成績，并進行整理，繪制了如下統(tǒng)計圖．其中B組共有15個成績，從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根據以上信息，解答下列問題：（1）B組15個成績的平均數為分；（2）本次被抽取的所有成績的個數為，本次被抽取的所有成績的中位數為分；（3）學校決定對本次競賽成績90分及以上的學生進行獎勵，該校共有500名學生參加競賽，請估計本次競賽的獲獎人數．24．（8分）（2025?陜西）如圖，點O在△ABC的邊AC上，以OC為半徑的⊙O與AB相切于點D，與BC相交于點E，EF為⊙O的直徑，FD與AC相交于點G，∠F＝45°．（1）求證：AB＝AC；（2）若sinA=35，AB＝8，求25．（8分）（2025?陜西）某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部L1，左、右門洞L2，L3均呈拋物線型，水平橫梁AC＝16m，L1的最高點B到AC的距離BO＝4m，L2，L3關于BO所在直線對稱．MN，MP，NQ為框架，點M，N在L1上，點P，Q分別在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O為原點，以AC所在直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）求拋物線L1的函數表達式；（2）已知拋物線L3的函數表達式為y=?316(x?4)2，26．（12分）（2025?陜西）問題探究（1）如圖①，在△ABC中，請畫出一個?BDEF，使得點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上；（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P為矩形ABCD內一點，且滿足S△BPC＝9，△BPC周長的最小值；問題解決（3）為了進一步提升游客的體驗感，某公園管理部門準備在花海邊沿與游客服務中心之間的草地上選址修建一條筆直的步道及一個觀景臺．如圖③所示，△ABC區(qū)域為草地，線段BC為花海邊沿，點A為游客服務中心，線段PQ為步道，點P和點Q為步道口，點O為觀景臺．按照設計要求，點P，Q分別在邊AB，AC上，且滿足BP：AQ＝2：3，O為PQ的中點，為保證觀賞花海的最佳效果，還需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，請你幫助公園管理部門確定觀景臺的位置（在圖中畫出符合條件的點），并計算此時步道口P與游客服務中心A之間的距離PA．（步道的寬及步道口、觀景臺、游客服務中心的大小均忽略不計）

2025年陜西省中考數學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案BDADCBCD一、單選題(共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符含題意的)1．（3分）（2025?陜西）計算：﹣5+4＝（）A．1 B．﹣1 C．9 D．﹣9【考點】有理數的加法．【分析】根據絕對值不相等的異號兩數相加的運算法則計算即可．【解答】解：﹣5+4＝﹣（5﹣4）＝﹣1，故選：B．【點評】本題考查了有理數的加法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．2．（3分）（2025?陜西）上馬石是古人上下馬的工具，形狀如圖①．它可以看作圖②所示的幾何體，該幾何體的俯視圖為（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據簡單幾何體的三視圖進行判斷即可．【解答】解：從上面看這個幾何體，可得選項D的圖形．故選：D．【點評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．3．（3分）（2025?陜西）如圖，點O在直線AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，則∠2的度數為（）A．76° B．74° C．64° D．52°【考點】角平分線的定義；余角和補角．【分析】由角平分線的定義得到∠AOC＝2∠1＝104°，由鄰補角的性質即可求出∠2的度數．【解答】解：∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°，∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°．故選：A．【點評】本題考查角平分線的定義，余角和補角，關鍵是由角平分線的定義得到∠AOC＝2∠1．4．（3分）（2025?陜西）計算2a2?ab的結果為（）A．4a2b B．4a3b C．2a2b D．2a3b【考點】單項式乘單項式．【分析】根據單項式乘單項式的運算法則計算即可．【解答】解：2a2?ab＝2a3b．故選：D．【點評】本題考查了單項式乘單項式，掌握單項式乘單項式的運算法則是解題的關鍵．5．（3分）（2025?陜西）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD為AB邊上的中線，DE⊥AC，則圖中與∠A互余的角共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】直角三角形斜邊上的中線；余角和補角．【分析】由直角三角形斜邊中線的性質推出CD＝AD＝BD，推出∠B＝∠BCD，∠ADE＝∠CDE，而∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，即可得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD為AB邊上的中線，∴CD=12∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠A+∠ADE＝90°，∠A+∠B＝90°，∴圖中與∠A互余的角共有4個．故選：C．【點評】本題考查直角三角形斜邊的中線，余角和補角，關鍵是由直角三角形斜邊中線的性質推出CD＝AD＝BD，掌握余角的概念．6．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標系中，過點（1，0），（0，2）的直線向上平移3個單位長度，平移后的直線經過的點的坐標可以是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣3，2） D．（3，2）【考點】坐標與圖形變化﹣平移．【分析】根據題意，求出過點（1，0），（0，2）的直線解析式，再結合“上加下減”的平移法則，求出平移后的直線解析式，據此進行判斷即可．【解答】解：令過點（1，0），（0，2）的直線解析式為y＝kx+b，則k+b=0b=2解得k=?2b=2所以直線的解析式為y＝﹣2x+2，則向上平移3個單位長度后，所得直線的解析式為y＝﹣2x+5，顯然只有B選項符合題意．故選：B．【點評】本題主要考查了坐標與圖形變化﹣平移，熟知“上加下減”的平移法則是解題的關鍵．7．（3分）（2025?陜西）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為AB的中點，點F在AD上，EF⊥EC，則△CEF的面積為（）A．10 B．8 C．5 D．4【考點】相似三角形的判定與性質；三角形的面積；正方形的性質．【分析】根據正方形性質及勾股定理求出AE＝BE＝2，CE=25，證明△BCE和△AEF相似得EF=5，再根據三角形的面積公式即可得出△【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE=12在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=B∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠BCE＝∠AEF，∴△BCE∽△AEF，∴EFCE∴EF=CE?AE∴△CEF的面積為：12CE?EF=故選：C．【點評】此題主要考查了正方形的性質，三角形的面積，理解正方形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，三角形的面積公式是解決問題的關鍵．8．（3分）（2025?陜西）在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的圖象與x軸有兩個交點，且這兩個交點分別位于y軸兩側，則下列關于該函數的結論正確的是（）A．圖象的開口向下 B．當x＞0時，y的值隨x值的增大而增大 C．函數的最小值小于﹣3 D．當x＝2時，y＜0【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的最值．【分析】由二次函數圖象與x軸有兩個交點且位于y軸兩側，說明對應方程的兩根異號，即常數項與二次項系數符號相反，結合開口方向、頂點坐標及特定點函數值分析選項即可．【解答】解：由題意可得，∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的兩根異號，∴x1解得0＜a＜3，∴二次項系數a＞0，開口向上，故A不符合題意；∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的對稱軸為直線x=??2a∴當x＞1時，y隨x增大而增大，故B不符合題意；∵當x＝1時，y＝﹣3，∴最小值為﹣3，故C不符合題意；當x＝2時，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3，∵0＜a＜3，∴此時y＜0，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是二次函數的圖象與性質，掌握其性質是解題的關鍵．二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分)9．（3分）（2025?陜西）滿足2＜a＜5的整數a可以是3（答案不唯一）【考點】估算無理數的大?。痉治觥肯裙浪?的取值范圍，即可找出一個符合條件的整數a的值即可．【解答】解：∵1＜∴1＜2∵2＜a＜5，a∴a可以是3（答案不唯一），故答案為：3（答案不唯一）．【點評】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握夾逼法是解題的關鍵．10．（3分）（2025?陜西）生活中常按圖①的方式砌墻，小華模仿這樣的方式，用全等的矩形按規(guī)律設計圖案，如圖②，第1個圖案用了3個矩形，第2個圖案用了5個矩形，第3個圖案用了7個矩形，…則第10個圖案需要用矩形的個數為21．【考點】規(guī)律型：圖形的變化類；全等圖形．【分析】根據圖形的變化情況得出規(guī)律，即可解決問題．【解答】解：觀察圖形可知，第1個圖案用了3個矩形，即3＝2×1+1，第2個圖案用了5個矩形，即5＝2×2+1，第3個圖案用了7個矩形，即7＝2×3+1，…第n個圖案用了（2n+1）個矩形，∴第10個圖案需要用矩形的個數為2×10+1＝21（個），故答案為：21．【點評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，觀察圖形的變化，找出規(guī)律是解題的關鍵．11．（3分）（2025?陜西）草莓熟了，學校組織同學們參加勞動實踐，幫助果農采摘草莓．小康和小悅采摘的時長相同，采摘結束后，小康采摘的草莓比小悅多2.4kg．已知小康平均每小時采摘6kg，小悅平均每小時采摘4kg，小康采摘的時長是1.2小時．【考點】一元一次方程的應用．【分析】利用小康采摘的草莓比小悅多2.4kg得出等式求出答案．【解答】解：設小康和小悅采摘了x小時，依題意：6x﹣4x＝2.4，解得：x＝1.2，因此，小康采摘了1.2小時，故答案為：1.2．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應用，根據采摘的質量得出等式是解題關鍵．12．（3分）（2025?陜西）如圖，AB為⊙O的直徑，BC=BD，∠CDB＝24°，則∠ACD的度數為【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系．【分析】連接BC，如圖，先利用圓周角定理得到∠BCD＝∠CDB＝24°，∠ACB＝90°，然后利用互余計算出∠ACD的度數．【解答】解：連接BC，如圖，∵BC=∴∠BCD＝∠CDB＝24°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°．故答案為：66°．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．13．（3分）（2025?陜西）如圖，過原點的直線與反比例函數y=kx(k＞0)的圖象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）兩點，則k【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．【分析】先根據題意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入y=k【解答】解：∵過原點的直線與反比例函數y=kx(k＞0)的圖象交于A（m，n），B（m∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）兩點關于原點O對稱，即A的橫坐標與B的橫坐標互為相反數，A的縱坐標與B的縱坐標互為相反數，∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，∴m＝3，n＝3，∴A（3，3），把A（3，3）代入y=k得3=k解得k＝9，故答案為：9．【點評】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，求反比例函數的解析式，關于原點對稱的點的性質，掌握以上性質是解題的關鍵．14．（3分）（2025?陜西）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B＝60°．動點M，N分別在邊AB，AD上，且AM＝AN，以MN為邊作等邊△MNP，使點P始終在?ABCD的內部或邊上．當△MNP的面積最大時，DN的長為5．【考點】平行四邊形的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質．【分析】由題意可得AM＝AN，MP＝NP，則點P在AH上運動，由點P始終在?ABCD的內部或邊上．則AP的最大值為AH的長，通過證明△ABH是等邊三角形，可得AB＝AH＝6，即可求解．【解答】解：如圖，連接AP，交BC于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B＝60°，∴∠BAD＝120°，∵△MNP是等邊三角形，∴MP＝PN，∠PMN＝∠PNM＝60°，△MNP的面積=34MP∵AM＝AN，AP＝AP，∴△AMP≌△ANP（SSS），∴∠BAP＝∠DAP＝60°，∠APM＝∠APN＝30°，∴∠AMP＝90°，∴MP=3AM，AP＝2AM∴MP=32∴△MNP的面積=3316∴當AP最大時，△MNP的面積的面積最大，∵∠B＝∠BAH＝60°，∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝AH＝6，∵AM＝AN，MP＝NP，∴點P在AH上運動，∵點P始終在?ABCD的內部或邊上．∴AP的最大值為AH的長，即AP＝6，∴AM＝AN＝3，∴DN＝5，故答案為：5．【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，銳角三角函數等知識點，確定點P的軌跡是解題的關鍵．三、解答題（共12小題，計78分．解答應寫出過程)15．（5分）（2025?陜西）計算：3×【考點】實數的運算；零指數冪．【分析】根據零指數冪的性質，先算乘方，再根據二次根式的乘法法則計算乘法，最后算加減即可．【解答】解：原式==36＝6+2﹣1＝7．【點評】本題主要考查了實數的運算，解題關鍵是熟練掌握零指數冪的性質、二次根式的乘法法則和絕對值的性質．16．（5分）（2025?陜西）解不等式組：x+3＜52(x+1)＞x?1【考點】解一元一次不等式組．【分析】先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集．【解答】解：x+3＜5①解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x＞﹣3，∴原不等式組的解集為﹣3＜x＜2．【點評】本題考查解一元一次不等式組，解答本題的關鍵是明確解一元一次不等式（組）的方法．17．（5分）（2025?陜西）化簡：(1?1【考點】分式的混合運算．【分析】先通分，同時將除法轉化為乘法，然后約分即可．【解答】解：(1?=x+2?1x+2?=x+1x+2?＝x+2．【點評】本題考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．18．（5分）（2025?陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點C在邊OA上．請用尺規(guī)作圖法，在∠AOB的內部求作一點P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）【考點】作圖—復雜作圖；平行線的性質．【分析】先作∠AOB的平分線，再以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交射線OD于點P，則點P即為所求．【解答】解：如圖，先作∠AOB的平分線，再以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交射線OD于點P，∴∠CPO=∠COP=∠BOP=1∴∠AOP＝25°，CP∥OB，則點P即為所求．【點評】本題考查作圖—復雜作圖、平行線的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．19．（5分）（2025?陜西）如圖，點D是△ABC的邊BC延長線上一點，BD＝AB，DE∥AB，DE＝BC．求證：BE＝AC．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】由DE∥AB，得∠D＝∠ABC，而BD＝AB，DE＝BC，即可根據“SAS”證明△BDE≌△ABC，則BE＝AC．【解答】證明：∵點D是BC延長線上一點，DE∥AB，∴∠D＝∠ABC，在△BDE和△ABC中，BD=AB∠D=∠ABC∴△BDE≌△ABC（SAS），∴BE＝AC．【點評】此題重點考查平行線的性質、全等三角形的判定與性質等知識，推導出∠D＝∠ABC，進而證明△BDE≌△ABC是解題的關鍵．20．（5分）（2025?陜西）某班開展主題為“我愛陜西”的綜合實踐活動，班委會決定設置“山水”“歷史”“文學”“藝術”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個研究方向，并采取小組合作的研究方式．同學們在五張完全相同的不透明卡片的正面繪制了如圖所示的圖案，卡片背面保持完全相同．（1）將這五張卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，抽到的卡片內容是“科技”的概率為15（2）各小組從這五張卡片中隨機抽取一張，將卡片內容作為本小組的研究方向．將這五張卡片背面朝上洗勻后，小秦代表第一小組從中隨機抽取一張，記下結果，放回，背面朝上洗勻后，小博代表第二小組從中隨機抽取一張．請用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個小組研究方向不同的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有25種等可能的結果，其中這兩個小組研究方向不同的結果有20種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵設置“山水”“歷史”“文學”“藝術”“科技”（分別記作A，B，C，D，E）共五個研究方向，∴從中隨機抽取一張，抽到的卡片內容是“科技”的概率為15故答案為：15（2）畫樹狀圖如下：共有25種等可能的結果，其中這兩個小組研究方向不同的結果有20種，∴這兩個小組研究方向不同的概率為2025【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法或樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．21．（6分）（2025?陜西）小涵和小宇想測量公園山坡上一個信號桿的高度．在征得家長同意后，他們帶著工具前往測量．測量示意圖如圖所示，他們在坡面FB上的點D處安裝測角儀DE，測得信號桿頂端A的仰角α為45°，DE與坡面的夾角β為72.5°，又測得點D與信號桿底端B之間的距離DB為22m．已知DE＝1.7m，點A，B，C在同一條直線上，AB，DE均與水平線FC垂直．求信號桿的高AB．（參考數據：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30，tan72.5°≈3.17）【考點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題．【分析】理解題意，得出∠DBH＝∠BDE＝72.5°，再在Rt△DBH中，運用HD＝BD×sin72.5°，BH＝BD×cos72.5°，代入數值進行計算，得出HD，BH的值，然后證明四邊形EDHI是矩形，故EI＝HD＝20.9m，根據∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，得∠EAI＝45°，AI＝EI＝20.9m，把數值代入AB＝AI+IH﹣BH進行計算，即可作答．【解答】解：過點E作EI⊥AC于點I，過點D作DH⊥AC于點H，如圖所示：∵AB，DE均與水平線FC垂直，∴DE∥AC，∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，∵DH⊥AC，∴∠DHI＝90°，在Rt△DBH中，BD=22m，sin72.5°=DH則HD＝BD×sin72.5°＝22×0.95＝20.9（m），在Rt△DBH中，BD＝22m，cos72.5°=BH則BH＝BD×cos72.5°＝22×0.30＝6.6（m），∵過點E作EI⊥AC于點I，過點D作DH⊥AC于點H，DE∥AC，∴∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，∴四邊形EDHI是矩形，∴EI＝HD＝20.9m，∴∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，∴AI＝EI＝20.9m，∴AB＝AI+IH﹣BH＝20.9+1.7﹣6.6＝16（m），信號桿的高AB為16m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，三角形內角和性質，矩形的判定與性質，等角對等邊，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．22．（7分）（2025?陜西）研究表明，一定質量的氣體，在壓強不變的條件下，氣體體積y（L）與氣體溫度x（℃）成一次函數關系．某實驗室在壓強不變的條件下，對一定質量的某種氣體進行加熱，測得的部分數據如表：氣體溫度x（℃）…253035…氣體體積y（L）…596606616…（1）求y與x的函數關系式；（2）為滿足下一步的實驗需求，本次實驗要求氣體體積達到700L時停止加熱．求停止加熱時的氣體溫度．【考點】一次函數的應用．【分析】（1）根據變量的變化規(guī)律解答即可；（2）當y＝700時，求出對應x的值即可．【解答】解：（1）根據表格，氣體溫度升高1℃，氣體體積增大2L，則y＝596+2（x﹣25）＝2x+546，∴y與x的函數關系式為y＝2x+546．（2）當y＝700時，得2x+546＝700，解得x＝77．答：停止加熱時的氣體溫度為77℃．【點評】本題考查一次函數的應用，根據變量的變化規(guī)律寫出y與x的函數關系式是解題的關鍵．23．（7分）（2025?陜西）為了讓同學們了解我國航天事業(yè)取得的成就并普及航天知識，某校在“中國航天日”當天開展了研學活動，隨后采取自愿報名的方式，組織了航天知識競賽．競賽結束后，從競賽成績（單位：分滿分100分均不低于60分）中用科學的抽樣方法隨機抽取部分成績，并進行整理，繪制了如下統(tǒng)計圖．其中B組共有15個成績，從高到低分別為：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．根據以上信息，解答下列問題：（1）B組15個成績的平均數為84分；（2）本次被抽取的所有成績的個數為50，本次被抽取的所有成績的中位數為80分；（3）學校決定對本次競賽成績90分及以上的學生進行獎勵，該校共有500名學生參加競賽，請估計本次競賽的獲獎人數．【考點】中位數；用樣本估計總體；加權平均數．【分析】（1）根據加權平均數公式解答即可；（2）用B組的個數除以B組所占百分比可得樣本容量，再根據中位數的意義解答即可；（3）用總人數乘樣本中成績90分及以上的學生的人數所占比例即可．【解答】解：（1）B組15個成績的平均數為：115故答案為：84；（2）本次被抽取的所有成績的個數為：15÷30%＝50，A組人數為：50×24%＝12（個），把50個成績從大到小排列，排在中間的兩個數分別是80，80，所以本次被抽取的所有成績的中位數為：80+802故答案為：50，80；（3）500×24%＝120（人），答：估計本次競賽的獲獎人數為120人．【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、中位數，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．24．（8分）（2025?陜西）如圖，點O在△ABC的邊AC上，以OC為半徑的⊙O與AB相切于點D，與BC相交于點E，EF為⊙O的直徑，FD與AC相交于點G，∠F＝45°．（1）求證：AB＝AC；（2）若sinA=35，AB＝8，求【考點】相似三角形的判定與性質；解直角三角形；圓周角定理；切線的性質．【分析】（1）連接OD，由∠F＝45°，得∠DOE＝2∠F＝90°，由切線的性質得AB⊥OD于點D，則∠ODA＝∠DOE＝90°，所以AB∥OE，因為OC＝OE，所以∠B＝∠OEC＝∠C，則AB＝AC；（2）由ODOA=sinA=35，得OA=53OD，因為OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，所以53OD+OD＝8，則OF＝OD＝3，求得OA＝5，DF＝32，則AD＝4，由AD∥OF，證明△AGD∽△OGF，則【解答】（1）證明：連接OD，∵∠F＝45°，∴∠DOE＝2∠F＝90°，∵⊙O與AB相切于點D，∴AB⊥OD于點D，∴∠ODA＝∠DOE＝90°，∴AB∥OE，∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C，∴AB＝AC．（2）解：∵ODOA=sinA∴OA=53∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°，∴53OD+OD∴OF＝OD＝3，∴OA=53×3＝5，DF=O∴AD=O∵AD∥OF，∴△AGD∽△OGF，∴DGFG∴DG=44+3DF=47DF∴DG的長是122【點評】此題重點考查圓周角定理、切線的性質、平行線的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、解直角三角形等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．25．（8分）（2025?陜西）某景區(qū)大門上半部分的截面示意圖如圖所示，頂部L1，左、右門洞L2，L3均呈拋物線型，水平橫梁AC＝16m，L1的最高點B到AC的距離BO＝4m，L2，L3關于BO所在直線對稱．MN，MP，NQ為框架，點M，N在L1上，點P，Q分別在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O為原點，以AC所在直線為x軸，以BO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）求拋物線L1的函數表達式；（2）已知拋物線L3的函數表達式為y=?316(x?4)2，【考點】二次函數的應用．【分析】（1）理解題意，先設拋物線L1的函數表達式為y＝a（x﹣0）2+4，結合二次函數的對稱性得A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4進行求解，即可作答；（2）理解題意，得出y=yN?yQ=52，再結合拋物線L1L3的函數表達式分別為y=?116x2+4，y=?316(x?4)2【解答】解：（1）∵BO＝4m，∴拋物線L1的頂點B坐標為（0，4），設拋物線L1的函數表達式為y＝a（x﹣0）2+4，∵AC＝16m，結合二次函數的對稱性得A（﹣8，0），C（8，0），將C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，得0＝64a+4，則a=?1∴y=?1（2）由（1）得拋物線L1的函數表達式y(tǒng)=?1∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.NQ=52m，且拋物線L3∴y=y整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，解得x1＝x2＝6，∴MN＝2×6＝12（m）．【點評】本題考查了二次函數的圖象性質，二次函數的解析式，因式分解法進行解方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．26．（12分）（2025?陜西）問題探究（1）如圖①，在△ABC中，請畫出一個?BDEF，使得點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上；（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P為矩形ABCD內一點，且滿足S△BPC＝9，△BPC周長的最小值；問題解決（3）為了進一步提升游客的體驗感，某公園管理部門準備在花海邊沿與游客服務中心之間的草地上選址修建一條筆直的步道及一個觀景臺．如圖③所示，△ABC區(qū)域為草地，線段BC為花海邊沿，點A為游客服務中心，線段PQ為步道，點P和點Q為步道口，點O為觀景臺．按照設計要求，點P，Q分別在邊AB，AC上，且滿足BP：AQ＝2：3，O為PQ的中點，為保證觀賞花海的最佳效果，還需使∠BOC最大．已知AB＝120m，AC＝BC＝180m，請你幫助公園管理部門確定觀景臺的位置（在圖中畫出符合條件的點），并計算此時步道口P與游客服務中心A之間的距離PA．（步道的寬及步道口、觀景臺、游客服務中心的大小均忽略不計）【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）先作∠ADE＝∠B，DE交AC于點E，得出DE∥BF，再以點B為圓心，以DE的長為半徑畫弧，交線段BC于一點F，