第1頁（共1頁）2025年四川省自貢市中考數(shù)學試卷一.選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（4分）（2025?自貢）若（﹣4）×□＝8，則□內(nèi)的數(shù)字是（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣42．（4分）（2025?自貢）起源于中國的圍棋深受青少年喜愛．以下由黑白棋子形成的圖案中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025?自貢）如圖，一束平行光線穿過一張對邊平行的紙板，若∠1＝115°，則∠2的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．100° D．115°4．（4分）（2025?自貢）中國新能源汽車性能優(yōu)越，近年來銷售量持續(xù)攀升，2024年度銷量已達到1286.6萬輛．12866000用科學記數(shù)法表示為（）A．1.2866×103 B．1.2866×104 C．1.2866×107 D．1.2866×1085．（4分）（2025?自貢）如圖，一橫一豎兩塊磚頭放置于水平地面，其主視圖為（）A． B． C． D．6．（4分）（2025?自貢）某校舉行“唱紅歌”歌詠比賽，甲、乙、丙三位選手的得分如表所示．三項評分所占百分比如圖所示，平均分最高的是（）選手專家組評分教師組評分學生組評分甲779乙878丙788A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同7．（4分）（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的邊長為5，AB邊在y軸上，B（0，﹣2）．若將正方形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到正方形A′B′C′D′，則點D′的坐標為（）A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣2）8．（4分）（2025?自貢）如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則α+β＝（）A．140° B．150° C．160° D．170°9．（4分）（2025?自貢）某小區(qū)人行道地磚鋪設(shè)圖案如圖所示．用10塊相同的小平行四邊形地磚拼成一個大平行四邊形，若大平行四邊形短邊長40cm，則小地磚短邊長（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm10．（4分）（2025?自貢）PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，點C在⊙O上，不與點A，B重合．若∠P＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．130° D．50°或130°11．（4分）（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO平移，得到△EFG，點E，F(xiàn)在坐標軸上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），則點A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）12．（4分）（2025?自貢）如圖，正方形ABCD邊長為6，以對角線BD為斜邊作Rt△BED，∠E＝90°，點F在DE上，連接BF．若2BE＝3DF，則BF的最小值為（）A．6 B．62?5 C．35 D．45二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）13．（4分）（2025?自貢）計算：18?32=14．（4分）（2025?自貢）分解因式：m2﹣4m＝．15．（4分）（2025?自貢）若2a+b＝﹣1，則4a2+2ab﹣b的值為．16．（4分）（2025?自貢）如圖，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于點D，AB＝DC＝2．以點B為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC于點E1，以點C為圓心，CE1的長為半徑畫弧，交CD于點D1，過點D1作D1F1⊥DC，交AC于點F1；再以點F1為圓心，F(xiàn)1D1的長為半徑畫弧，交AC于點F2，以CF2的長為半徑畫弧，交DC于點D2，過點D2作D2E2⊥DC，交BC于點E2；又以點E2為圓心…重復以上操作，則D2025F2025的長為．17．（4分）（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的頂點C，A分別在x軸，y軸正半軸上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC為邊作等邊△BCD，連接OD，則OD的最大值為．三、解答題（共8個題，共82分）18．（8分）（2025?自貢）解不等式組：3x+3＞04x?3＜3x?119．（8分）（2025?自貢）如圖，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求證：AE＝BF．20．（8分）（2025?自貢）去年暑假，小張和小李同學主動幫劉大爺掰玉米，他們各掰了36筐和30筐，兩人勞動時間相同，小張平均每小時比小李多掰2筐，請問小李平均每小時掰玉米多少筐？21．（10分）（2025?自貢）某校七年級擬組建球類課外活動興趣班，為了解同學們的參與意向，學生會進行了隨機問卷調(diào)查，要求被調(diào)查的同學在足球、籃球、乒乓球、羽毛球中任選一項，以下是依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，正在繪制中的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表，請根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題．選擇球類興趣班人數(shù)占比統(tǒng)計表組別球類活動興趣班占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比A足球10%B籃球C乒乓球D羽毛球（1）請補全上述條形統(tǒng)計圖和占比統(tǒng)計表，若用扇形統(tǒng)計圖反映選擇球類活動興趣班的人數(shù)占比，則籃球興趣班的扇形圓心角為度；（2）估計該校七年級400名學生中，選擇乒乓球興趣班的人數(shù)；（3）若用電腦隨機選擇A、B、C、D四類興趣班，請用列表或畫樹狀圖的方法，求該校七年級甲、乙兩名同學都選擇乒乓球興趣班的概率．22．（10分）（2025?自貢）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，連接AB，作直徑AC，延長O2B到點D，使DB＝O2B，連接DC．（1）∠ABO2＝度；（2）求證：DC為⊙O2的切線；（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的長．23．（10分）（2025?自貢）如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y=?8x的圖象交于點A（﹣2，a），點B是線段OA上異于端點的一點，過點B作y軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點（1）求k的值；（2）若BD＝2，求點B坐標；（3）雙曲線y=?8x關(guān)于y軸對稱的圖象為y′，直接寫出射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)90°后與24．（13分）（2025?自貢）如圖1，自貢彩燈公園內(nèi)矗立著一座高塔，它見證過自貢燈會的輝煌歷史．小蕊參加了測量該塔高度的課外實踐活動，小組同學研討完測量方案后，活動如下．（1）制作工具如圖2，在矩形木板HIJK上O點處釘上一顆小鐵釘，系上細繩，繩的另一端系小重物G，過點O畫射線QM∥HK．測量時豎放木板，當重垂線OG∥HI時，將等腰直角三角尺ACB的直角頂點C緊靠鐵釘，繞點O轉(zhuǎn)動三角尺，通過OB邊瞄準目標N，測量∠MOB可得仰角度數(shù)，采用同樣方式，可測俯角度數(shù)．測量時，QM是否水平呢？小蕊產(chǎn)生了疑問，組長對她說：“因為OG始終垂直于水平面，滿足OG⊥QM就行．”求證：OG⊥QM．（2）獲取數(shù)據(jù)如圖3，同學們利用制作的測量工具，在該塔對面高樓上進行了測量．已知該樓每層高3米，小蕊在15樓陽臺P處測得塔底U的仰角為5.1°，在25樓對應位置D處測得塔底U的俯角為9.1°，塔頂T的仰角為14.5°．如圖4，為得到仰角與俯角的正切值，小蕊在練習本上畫了一個Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在邊WZ上取兩點X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，則tan5.1°≈，tan9.1°≈，tan14.5°≈（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）．（3）計算塔高請根據(jù)小蕊的數(shù)據(jù)，計算該塔高度（結(jié)果取整數(shù)）．（4）反思改進小蕊的測量結(jié)果與該塔實際高度存在2米的誤差．為減小誤差，小組同學想出了許多辦法．請你也幫小蕊提出兩條合理的改進建議（總字數(shù)少于50字）．25．（15分）（2025?自貢）如圖，在△ABC中，D，E分別是AC，AB的中點，連接DE，CE，BD交于點G．（1）若BD⊥CE，BD＝1，CE=12，則四邊形BCDE的面積為（2）若BD+CE=32，△ABC的最大面積為S．設(shè)BD＝x，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求（3）若（2）問中x取任意實數(shù)，將函數(shù)S的圖象依次向右、向上平移1個單位長度，得到函數(shù)y的圖象．直線y＝k1x﹣k1交該圖象于點F，H（F點在H點左邊），過點H的直線l：y＝k2x+b交該圖象于另一點Q，過點F，Q的直線與直線x＝1交于點K．若S△HFK＝S△HKQ，試問直線l是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

2025年四川省自貢市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案ACDC．DBABBDB題號12答案D一.選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（4分）（2025?自貢）若（﹣4）×□＝8，則□內(nèi)的數(shù)字是（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考點】有理數(shù)的乘法．【分析】因為（﹣4）×□＝8，所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2，據(jù)此解答．【解答】解：因為（﹣4）×□＝8，所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2．故選：A．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，解決本題的關(guān)鍵是□＝8÷（﹣4）．2．（4分）（2025?自貢）起源于中國的圍棋深受青少年喜愛．以下由黑白棋子形成的圖案中，為中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】中心對稱圖形．【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．據(jù)此判斷即可．【解答】解：選項A、B、D都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項C能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3．（4分）（2025?自貢）如圖，一束平行光線穿過一張對邊平行的紙板，若∠1＝115°，則∠2的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．100° D．115°【考點】平行線的性質(zhì)．【分析】利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠3＝115°，∠3＝∠4＝115°，然后利用對頂角相等可得∠2＝∠4＝115°，即可解答．【解答】解：如圖：∵DB∥CA，∴∠1＝∠3＝115°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠4＝115°，∴∠2＝∠4＝115°．故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（4分）（2025?自貢）中國新能源汽車性能優(yōu)越，近年來銷售量持續(xù)攀升，2024年度銷量已達到1286.6萬輛．12866000用科學記數(shù)法表示為（）A．1.2866×103 B．1.2866×104 C．1.2866×107 D．1.2866×108【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：12866000＝1.2866×107．故選：C．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．5．（4分）（2025?自貢）如圖，一橫一豎兩塊磚頭放置于水平地面，其主視圖為（）A． B． C． D．【考點】簡單組合體的三視圖．【分析】根據(jù)從正面看幾何體，所看到的視圖是主視圖進行解答．【解答】解：幾何體的主視圖是．故選：D．【點評】本題主要考查了簡單組合體的三視圖，掌握三視圖的確定方法是關(guān)鍵．6．（4分）（2025?自貢）某校舉行“唱紅歌”歌詠比賽，甲、乙、丙三位選手的得分如表所示．三項評分所占百分比如圖所示，平均分最高的是（）選手專家組評分教師組評分學生組評分甲779乙878丙788A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同【考點】扇形統(tǒng)計圖；加權(quán)平均數(shù)．【分析】利用加權(quán)平均數(shù)公式解答即可．【解答】解：甲的平均分為：7×50%+7×30%+9×20%＝7.4；乙的平均分為：8×50%+7×30%+8×20%＝7.7；丙的平均分為：7×50%+8×30%+8×20%＝7.5；因為7.7＞7.5＞7.4，所以平均分最高的是乙．故選：B．【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)和扇形統(tǒng)計圖，掌握加權(quán)平均數(shù)公式是解答本題的關(guān)鍵．7．（4分）（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的邊長為5，AB邊在y軸上，B（0，﹣2）．若將正方形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到正方形A′B′C′D′，則點D′的坐標為（）A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣2）【考點】正方形的性質(zhì)；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．【分析】依題意得AB＝BC＝CD＝AD＝5，根據(jù)點B（0，﹣2）得OA＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA'＝OA＝3，且點A'在x軸的負半軸上，正方形A′B′C′D′的邊長為5，由此即可得出點D'的坐標．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為5，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∵點B（0，﹣2），∴OB＝2，∴OA＝AB﹣OB＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OA'＝OA＝3，且點A'在x軸的負半軸上，正方形A′B′C′D′的邊長為5，∴點D'的坐標為（﹣3，5）．故選：A．【點評】此題主要考查了點的坐標，正方形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，理解點的坐標，正方形的性質(zhì)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8．（4分）（2025?自貢）如圖，正六邊形與正方形的兩鄰邊相交，則α+β＝（）A．140° B．150° C．160° D．170°【考點】正多邊形和圓；對頂角、鄰補角；多邊形內(nèi)角與外角．【分析】先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出正六邊形、正方形的每個內(nèi)角，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理求出四邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)對頂角相等計算即可．【解答】解：如圖，正六邊形的每個內(nèi)角為(6?2)×180°6∵四邊形的內(nèi)角和是（4﹣2）×180°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵α＝∠1，β＝∠2，∴α+β＝150°，故選：B．【點評】本題考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角和定理，對頂角、鄰補角，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．9．（4分）（2025?自貢）某小區(qū)人行道地磚鋪設(shè)圖案如圖所示．用10塊相同的小平行四邊形地磚拼成一個大平行四邊形，若大平行四邊形短邊長40cm，則小地磚短邊長（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【考點】二元一次方程組的應用；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】設(shè)小地磚的長邊長為xcm，短邊長為ycm，根據(jù)圖中信息列出二元一次方程組，解方程組即可．【解答】解：設(shè)小地磚的長邊長為xcm，短邊長為ycm，由題意得：x+y=402x=x+4y解得：x=32y=8即小地磚短邊長為8cm，故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及平行四邊形的性質(zhì)，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．10．（4分）（2025?自貢）PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，點C在⊙O上，不與點A，B重合．若∠P＝80°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．130° D．50°或130°【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°求出∠AOB，分點C在優(yōu)弧AB上、點C在劣弧AB上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：連接OA、OB，∵PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，當點C在優(yōu)弧AB上時，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，當點C′在劣弧AB上時，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，綜上所述：∠ACB的度數(shù)是50°或130°，故選：D．【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，靈活運用分情況討論思想、掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．11．（4分）（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO平移，得到△EFG，點E，F(xiàn)在坐標軸上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），則點A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）【考點】解直角三角形；坐標與圖形變化﹣平移．【分析】過點A作AH⊥y軸，作BK⊥AH交HA的延長線于點K，證明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OAAB，根據(jù)點A的坐標，結(jié)合tan∠ABO的值，求出BK【解答】解：過點A作AH⊥y軸，作BK⊥AH交HA的延長線于點K，則∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO，∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO，∴△AHO∽△BKA，∴AHBK∴∠A＝90°，tan∠ABO=12，∴OH＝3，AH＝4，OAAB∴4BK∴BK＝8，AK＝6，∵將△ABO平移，∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，∴E（6，0），∴將點A先向右平移10個單位，再向下平移3個單位得到點E，∴將點O（0，0）先向右平移10個單位，再向下平移3個單位得到點G，∴G（10，﹣3）；故選：B．【點評】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形變換一平移，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．12．（4分）（2025?自貢）如圖，正方形ABCD邊長為6，以對角線BD為斜邊作Rt△BED，∠E＝90°，點F在DE上，連接BF．若2BE＝3DF，則BF的最小值為（）A．6 B．62?5 C．35 D．45【考點】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】過點F作EF的垂線，過點D作BD的垂線，兩垂線交于點M，構(gòu)造△MDF∽△DBE，求出MD，取MD中點為O，得到點F在以O(shè)圓心，半徑為22的圓上運動，連接OB，當F在線段OB上時，即O、F、B三點共線時，BF取得最小值，即可解答．【解答】解：∵2BE＝3DF，∴BEDF如圖，過點F作EF的垂線，過點D作BD的垂線，兩垂線交于點M，∴∠FMD＝∠EDB，∴△MDF∽△DBE，∴BDMD∵正方形ABCD邊長為6，∴BD=DC2∴MD＝42，取MD中點為O，∴OD＝22，∴點F在以O(shè)圓心，半徑為22的圓上運動，連接OB，OF，在Rt△BDO中，OB=OD2當F在線段OB上時，即O、F、B三點共線時，BF取得最小值，∵OF+BF≥BO，∴BF≥OB﹣OF＝45?22故選：D．【點評】本題考查了正方形與三角形綜合．熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共5個小題，每小題4分，共20分）13．（4分）（2025?自貢）計算：18?32=【考點】二次根式的加減法．【分析】先化簡二次根式，然后再合并同類二次根式即可．【解答】解：18?3故答案為：0．【點評】本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．14．（4分）（2025?自貢）分解因式：m2﹣4m＝m（m﹣4）．【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】提取公因式m，即可求得答案．【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．故答案為：m（m﹣4）．【點評】本題考查了提公因式法分解因式．題目比較簡單，解題需細心．15．（4分）（2025?自貢）若2a+b＝﹣1，則4a2+2ab﹣b的值為1．【考點】因式分解的應用．【分析】由題意可得b＝﹣1﹣2a，整體代入計算即可得解．【解答】解：∵2a+b＝﹣1，∴b＝﹣1﹣2a，∴4a2+2ab﹣b＝4a2+2a（﹣1﹣2a）﹣（﹣1﹣2a）＝4a2﹣2a﹣4a2+1+2a＝1，故答案為：1．【點評】本題考查了求代數(shù)式的值、整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．16．（4分）（2025?自貢）如圖，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于點D，AB＝DC＝2．以點B為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC于點E1，以點C為圓心，CE1的長為半徑畫弧，交CD于點D1，過點D1作D1F1⊥DC，交AC于點F1；再以點F1為圓心，F(xiàn)1D1的長為半徑畫弧，交AC于點F2，以CF2的長為半徑畫弧，交DC于點D2，過點D2作D2E2⊥DC，交BC于點E2；又以點E2為圓心…重復以上操作，則D2025F2025的長為(5?1【考點】規(guī)律型：圖形的變化類；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝BD＝1，由勾股定理得出AC=BC=5，求出D1F1=5?1【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于點D，AB＝DC＝2，∴AD＝BD＝1，∴AC＝BC=1∵以點B為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC于點E1，∴BE1＝BD＝1，∴CE∵以點C為圓心CE1的長為半徑畫弧，交CD于點D1，∴CD∵過點D1作D1F1⊥DC交AC于點F1，∴AD∥D1F1，∴△CD1F1∽△CDA，∴CD1CD∴D1F1∵以點F1為圓心，F(xiàn)1D1的長為半徑畫弧，交AC于點F2，∴D1∴CF∵以CF2的長為半徑畫弧，交DC于點D2，∴CD∵過點D2作D2E2⊥DC，交BC于點E2，∴∠CD1F1＝∠CD2E2＝90°，∴∠F1CD1＝∠D2CE2，∴△CD2E2∽△CD1F1，∴CD2C∴D2同理可得：D3∴D2025F2025的長為(5故答案為：(5【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形類規(guī)律探索，熟練掌握以上知識點并靈活運用，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．17．（4分）（2025?自貢）如圖，在平面直角坐標系xOy中，Rt△ABC的頂點C，A分別在x軸，y軸正半軸上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC為邊作等邊△BCD，連接OD，則OD的最大值為3+13【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．【分析】解直角三角形得出AC=23，由等邊三角形的性質(zhì)可得CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，取AC的中點E，連接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延長線于F，則AE=CE=OE=3，∠FCE＝30°，求出EF=32，CF=32，從而可得DF=72，由勾股定理可得DE【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC=BC÷tan30°=2÷3∵△BCD為等邊三角形，∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，如圖，取AC的中點E，連接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延長線于F，則AE=CE=OE=12AC=3，∠FCE＝180°﹣∠∴EF=12CE=∴DF=DC+CF=7∴DE=E根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：OD≤DE+OE，∴OD≤3∵OD的最大值為3+故答案為：3+【點評】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形三邊關(guān)系，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（共8個題，共82分）18．（8分）（2025?自貢）解不等式組：3x+3＞04x?3＜3x?1【考點】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)3x+3＞0①4x?3＜3x?1②，由①得，x＞﹣1；由②得，x【解答】解：3x+3＞0①4x?3＜3x?1②∴由①得，x＞﹣1；由②得，x＜2．∴原不等式組的解集為：﹣1＜x＜2，在數(shù)軸上表示出解集如下．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題時要熟練掌握并能準確計算是關(guān)鍵．19．（8分）（2025?自貢）如圖，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求證：AE＝BF．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根據(jù)CE＝CF得BE＝AF，由此可依據(jù)“SAS”判定△ABE和△BAF全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠ABE＝∠BAF，∴CB＝CA，∵CE＝CF，∴CB+CE＝CA+CF，即BE＝AF，在△ABE和△BAF中，BE=AF∠ABE=∠BAF∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AE＝BF．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．（8分）（2025?自貢）去年暑假，小張和小李同學主動幫劉大爺掰玉米，他們各掰了36筐和30筐，兩人勞動時間相同，小張平均每小時比小李多掰2筐，請問小李平均每小時掰玉米多少筐？【考點】分式方程的應用．【分析】設(shè)小李平均每小時掰玉米x筐，則小張平均每小時掰玉米（x+2）筐，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結(jié)合小張掰36筐與小李掰30筐所用時間時間，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)小李平均每小時掰玉米x筐，則小張平均每小時掰玉米（x+2）筐，根據(jù)題意得：36x+2解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是所列方程的解，且符合題意．答：小李平均每小時掰玉米10筐．【點評】本題考查了分式方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．21．（10分）（2025?自貢）某校七年級擬組建球類課外活動興趣班，為了解同學們的參與意向，學生會進行了隨機問卷調(diào)查，要求被調(diào)查的同學在足球、籃球、乒乓球、羽毛球中任選一項，以下是依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，正在繪制中的統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表，請根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題．選擇球類興趣班人數(shù)占比統(tǒng)計表組別球類活動興趣班占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比A足球10%B籃球C乒乓球D羽毛球（1）請補全上述條形統(tǒng)計圖和占比統(tǒng)計表，若用扇形統(tǒng)計圖反映選擇球類活動興趣班的人數(shù)占比，則籃球興趣班的扇形圓心角為90度；（2）估計該校七年級400名學生中，選擇乒乓球興趣班的人數(shù)；（3）若用電腦隨機選擇A、B、C、D四類興趣班，請用列表或畫樹狀圖的方法，求該校七年級甲、乙兩名同學都選擇乒乓球興趣班的概率．【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．【分析】（1）用條形統(tǒng)計圖中A的人數(shù)除以表格中A的百分比可得調(diào)查的人數(shù)，用調(diào)查的人數(shù)分別減去A，B，C的人數(shù)可得D的人數(shù)，用B的人數(shù)除以調(diào)查的人數(shù)再乘以100%可得B組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比，用C的人數(shù)除以調(diào)查的人數(shù)再乘以100%可得C組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比，用D的人數(shù)除以調(diào)查的人數(shù)再乘以100%可得D組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比，補全條形統(tǒng)計圖和占比統(tǒng)計表即可；用360°乘以B組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比，即可得出答案．（2）根據(jù)用樣本估計總體，用400乘以表格中乒乓球占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該校七年級甲、乙兩名同學都選擇乒乓球興趣班的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，調(diào)查的人數(shù)為4÷10%＝40（人），∴D組的人數(shù)為40﹣4﹣10﹣14＝12（人），∴B組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比為10÷40×100%＝25%，C組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比為14÷40×100%＝35%，D組占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比為12÷40×100%＝30%，補全條形統(tǒng)計圖和占比統(tǒng)計表如下：選擇球類興趣班人數(shù)占比統(tǒng)計表組別球類活動興趣班占調(diào)查總?cè)藬?shù)百分比A足球10%B籃球25%C乒乓球35%D羽毛球30%籃球興趣班的扇形圓心角為360°×25%＝90°．故答案為：90．（2）400×35%＝140（人）．∴估計該校七年級400名學生中，選擇乒乓球興趣班的人數(shù)約140人．（3）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結(jié)果，其中該校七年級甲、乙兩名同學都選擇乒乓球興趣班的結(jié)果有1種，∴該校七年級甲、乙兩名同學都選擇乒乓球興趣班的概率為116【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，能夠讀懂統(tǒng)計圖表，掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計總體是解答本題的關(guān)鍵．22．（10分）（2025?自貢）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，連接AB，作直徑AC，延長O2B到點D，使DB＝O2B，連接DC．（1）∠ABO2＝30°度；（2）求證：DC為⊙O2的切線；（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的長．【考點】切線的判定與性質(zhì)；相交兩圓的性質(zhì)；弧長的計算；圓周角定理．【分析】（1）連接O1A，O1B，O1O2，BC，根據(jù)⊙O1和⊙O2是等圓得△O1O2B和△O1O2A都是等邊三角形，則∠O1BO2＝60°，再根據(jù)相交圓的性質(zhì)得O1O2⊥AB，由此可得∠ABO2的度數(shù)；（2）先證明△O2BC是等邊三角形得∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，進而得DB＝BC，根據(jù)三角形外角限制得∠D＝∠BCD＝30°，則∠O2CD＝90°，然后根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；（3）設(shè)O2C＝O2B＝R，則O2D＝2R，進而由勾股定理得R＝3，則O1A＝O2B＝R＝3，然后根據(jù)∠AO1B＝120°及弧長公式即可得出⊙O2上弧AB的長．【解答】（1）解：連接O1A，O1B，O1O2，BC，如圖所示：∵⊙O1和⊙O2是等圓，∴O1B＝O2B＝O1O2＝O1A＝O2A＝O1O2，∴△O1O2B和△O1O2A都是等邊三角形，∴∠O1BO2＝60°，根據(jù)相交圓的性質(zhì)得：O1O2⊥AB，∴∠ABO2=12∠O1BO故答案為30；（2）證明：∵△O1O2B和△O1O2A都是等邊三角形，∴∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，∴∠BO2C＝60°，∵O2B＝O2C，∴△O2BC是等邊三角形，∴∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，∵DB＝O2B，∴DB＝BC，∴∠D＝∠BCD，∵∠O2BC是△BCD的外角，∴∠D+∠BCD＝∠O2BC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴∠O2CD＝∠O2CB+∠BCD＝90°，即O2C⊥CD，∵O2C是⊙O2的半徑，∴DC為⊙O2的切線；（3）解：設(shè)O2C＝O2B＝R，∴DB＝O2B＝R，∴O2D＝DB+O2B＝2R，∵∠O2CD＝90°，∴△O2CD是直角三角形，在Rt△O2CD中，由勾股定理得：DC=O∵DC=33∴3R=3解得：R＝3，∴O1A＝O2B＝R＝3，∵△O1O2B和△O1O2A都是等邊三角形，∴∠AO1O2＝∠BO1Q2＝60°，∴∠AO1B＝120°，∴⊙O2上弧AB的長為：120π×3180=2【點評】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相交兩圓的性質(zhì)，弧長的計算，理解圓周角定理，相交兩圓的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，弧長的計算是解決問題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?自貢）如圖，正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y=?8x的圖象交于點A（﹣2，a），點B是線段OA上異于端點的一點，過點B作y軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖象于點（1）求k的值；（2）若BD＝2，求點B坐標；（3）雙曲線y=?8x關(guān)于y軸對稱的圖象為y′，直接寫出射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)90°后與【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．【分析】（1）點A（﹣2，a）在反比例函數(shù)y=?8x上，可得a＝4，即A（﹣2，4），將A（﹣2，4）代入正比例函數(shù)y＝（2）設(shè)B（m，﹣2m），結(jié)合過點B作y軸的垂線．交反比例函數(shù)的圖象于點D．可得D(82m，?2m)（3）求解y=8x，如圖，由旋轉(zhuǎn)可得：OA＝OA，∠AOA'＝90°，過A作AK⊥x軸于K，過A作AL⊥x軸于L，證明△AOK≌△OAL，可得A（4，2），證明A（4，2）在y=8【解答】解：（1）∵點A（﹣2，a）在反比例函數(shù)y=?8∴a＝4，即A（﹣2，4），將A（﹣2，4）代入正比例函數(shù)y＝kx中，得﹣2k＝4，解得：k＝﹣2；（2）∵B在直線y＝﹣2x上，設(shè)B（m，﹣2m），∵過點B作y軸的垂線．交反比例函數(shù)的圖象于點D，∴D(∵BD＝2，∴m?8整理得：m2﹣2m﹣4＝0解得：m=1?5，m=1?∴B（1?5（3）∵雙曲線y=?8x關(guān)于y軸對稱的圖象為y′=8如圖，由旋轉(zhuǎn)可得：OA＝OA'，∠AOA'＝90°，過A作AK⊥x軸于K，過A'作A'L⊥x軸于L，∴∠AKO＝∠A'LO＝90°∴∠AOK＝90°﹣∠A'OL＝∠OA'L∴△AOK≌△OA'L，∵A（﹣2，4），∵OL＝AK＝4，A'L＝OK＝2，∴A'（4，2），當x＝4時，y′=∴A'（4，2）在y′=8由反比例函數(shù)是中心對稱圖形可得：A'（﹣4，﹣2），∴射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)90°后與y'的交點坐標為（4，2）或（﹣4，﹣2）．【點評】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，一元二次方程的解法，軸對稱的性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的作出圖形利用函數(shù)性質(zhì)解題是關(guān)鍵．24．（13分）（2025?自貢）如圖1，自貢彩燈公園內(nèi)矗立著一座高塔，它見證過自貢燈會的輝煌歷史．小蕊參加了測量該塔高度的課外實踐活動，小組同學研討完測量方案后，活動如下．（1）制作工具如圖2，在矩形木板HIJK上O點處釘上一顆小鐵釘，系上細繩，繩的另一端系小重物G，過點O畫射線QM∥HK．測量時豎放木板，當重垂線OG∥HI時，將等腰直角三角尺ACB的直角頂點C緊靠鐵釘，繞點O轉(zhuǎn)動三角尺，通過OB邊瞄準目標N，測量∠MOB可得仰角度數(shù)，采用同樣方式，可測俯角度數(shù)．測量時，QM是否水平呢？小蕊產(chǎn)生了疑問，組長對她說：“因為OG始終垂直于水平面，滿足OG⊥QM就行．”求證：OG⊥QM．（2）獲取數(shù)據(jù)如圖3，同學們利用制作的測量工具，在該塔對面高樓上進行了測量．已知該樓每層高3米，小蕊在15樓陽臺P處測得塔底U的仰角為5.1°，在25樓對應位置D處測得塔底U的俯角為9.1°，塔頂T的仰角為14.5°．如圖4，為得到仰角與俯角的正切值，小蕊在練習本上畫了一個Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在邊WZ上取兩點X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，則tan5.1°≈0.09，tan9.1°≈0.16，tan14.5°≈0.26（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）．（3）計算塔高請根據(jù)小蕊的數(shù)據(jù)，計算該塔高度（結(jié)果取整數(shù)）．（4）反思改進小蕊的測量結(jié)果與該塔實際高度存在2米的誤差．為減小誤差，小組同學想出了許多辦法．請你也幫小蕊提出兩條合理的改進建議（總字數(shù)少于50字）．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)正切的定義計算即可得解；（3）延長DR交TU于F，延長PS交TU于E，則四邊形DPEF為矩形，由矩形的性質(zhì)可得DP＝EF，DF＝PE，由題意可得DP＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，設(shè)EU＝x米，則FU＝（30﹣x）米，解直角三角形得出30?x0.16=x0.09，求出FU＝19.2米，PE＝（4）結(jié)合題意提出合理的建議即可．【解答】（1）證明：∵四邊形HIJK為矩形，∴∠H＝90°，∵QM∥HK，∴∠IQM＝∠H＝90°，又∵OG∥HI，∴∠MOG＝∠IQM＝90°，∴OG⊥QM；（2）解：在Rt△VWY中，∠W＝90°，∠YVW＝5.1°，VW＝10.0cm，YW＝0.91cm，∴tan5.1°=tan∠YVW=YW∵∠XVY＝4.0°，∠YVW＝5.1°，XY＝0.70cm，YW＝0.91cm，∴∠XVW＝∠XVY+∠YVW＝9.1°，XW＝XY+YW＝1.6lcm，∵在Rt△VWX中，∠W＝90°，∠XVW＝9.1°，VW＝10.0cm，XW＝16．lcm，∴tan9.1°=tan∠XVW=XW∵YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，∴ZW＝ZX+XY+YW＝2.55cm，∵在Rt△VWZ中，∠W＝90°，∠ZVW＝14.5°，VW＝10.0cm，ZW＝2.55cm，∴tan14.5°=